专题09正方形性质与判定期末复习讲义(20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题09正方形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理清正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系，熟记定义。 2.全面掌握正方形边、角、对角线、对称性的全部性质，区分四类特殊四边形的异同。 3.熟练掌握正方形四种判定方法，理解不同判定路径的逻辑。 4.牢记边长、对角线、周长、面积相关公式及常用几何结论。 1.能灵活运用性质完成线段、角度、长度计算。 2.根据已知条件，合理选择判定方法，规范完成证明题。 3.学会添加对角线等辅助线，能识别并简单运用十字架、半角等常见几何模型。 4.提升图形辨析、逻辑推理与知识综合运用能力。 1.稳拿概念判断、对称轴、简单计算等选择、填空题分值。 2.判定、证明类中档题步骤规范，做到零失误。 3.突破正方形综合题型、动点及几何模型类压轴小题，攻克期末重难点。 题型01.证明四边形是正方形 题型02.正方形的判定定理理解 题型03.添条件使四边形是正方形 题型04.正方形性质理解 题型05.正方形性质求角度 题型06.正方形性质求线段长 题型07.正方形性质求面积 题型08.正方形中的折叠问题 题型09.求正方形重叠部分面积 题型10.正方形性质证明 题型11.正方形性质与判定求角度 题型12.正方形性质与判定求线段长 题型13.正方形性质与判定求面积 题型14.由正方形性质与判定证明 题型15.特殊平行四边形对称性求阴影面积 题型16.正方形与坐标系综合 题型17.特殊平行四边形动点问题 题型18.四边形线段最值问题 题型19.四边形其他综合问题 题型20.正方形存在性问题 知识点01:正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 定义 1（从矩形出发）有一组邻边相等的矩形是正方形。 定义 2（从菱形出发）有一个角是直角的菱形是正方形。 一句话概括正方形是特殊的平行四边形，特殊的矩形，特殊的菱形。 知识点02.正方形的性质（核心） 正方形具备平行四边形、矩形、菱形的全部性质： 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:性质对比表（快速区分三者，避免混淆） 对比维度 正方形 矩形 菱形 边 四条边相等，邻边垂直 对边相等，邻边不垂直 四条边相等，邻边垂直 角 四个角都是 90° 四个角都是 90° 对角相等，无直角 对角线 相等、垂直、互相平分，平分一组对角 相等、互相平分 垂直、互相平分，平分一组对角 对称轴 4 条 2 条 2 条 知识点04:正方形的判定（★★★★） 判定核心思路：先判定为矩形 / 菱形，再添加条件升级为正方形。 1. 从平行四边形出发（定义法） 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 几何语言：在▱ABCD 中，∵AB=BC，∠A=90°，∴▱ABCD 是正方形。 2. 从矩形出发 有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：在矩形 ABCD 中，∵AB=BC，∴矩形 ABCD 是正方形。 对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言：在矩形 ABCD 中，∵AC⊥BD，∴矩形 ABCD 是正方形。 3. 从菱形出发 有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：在菱形 ABCD 中，∵∠A=90°，∴菱形 ABCD 是正方形。 对角线相等的菱形是正方形。 几何语言：在菱形 ABCD 中，∵AC=BD，∴菱形 ABCD 是正方形。 4. 从一般四边形出发（直接判定） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形。 知识点05:黄金二级结论（考场直接套用，无需推导） 1.正方形对角线与侧边的夹角固定为 45°，是计算角度的常用隐藏条件； 2.两条对角线把正方形分割成四个全等的等腰直角三角形； 3.公式汇总（设正方形边长为a） 周长：C=4a 面积：S=a2 对角线长：d=a 拓展：周长相等的四边形中，正方形的面积最大。 知识点06:易错点汇总 把高频错误整理成 “错题雷区”，提前规避，考试不丢冤枉分。 1.❌ 错误认知：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ✅ 正确解析：缺少 “对角线互相平分”，这样的四边形不一定是正方形，平分、垂直、相等三者必须同时具备。 2.❌ 错误认知：四条边相等的四边形是正方形 / 四个角相等的四边形是正方形 ✅ 正确解析：四边相等仅能判定为菱形，四角相等仅能判定为矩形，都不满足正方形全部条件。 3.❌ 概念混淆：对称轴数量 ✅ 区分：正方形有4 条对称轴，矩形、菱形只有 2 条，选择题高频考点。 4.❌ 逻辑漏洞：判定时跳步 ✅ 提醒：不能跳过平行四边形、矩形、菱形，直接用单一条件判定正方形，证明步骤必须严谨。 5.❌ 计算失误：边长与对角线换算出错 ✅ 牢记：对角线 =倍边长，计算时不要遗漏系数。 题型01.证明四边形是正方形. 1．如图，菱形的三个顶点E，F，G分别在矩形的边上，且，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】此题考查正方形的判定、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识． 证明，得到，证明，即可得到四边形是正方形． 【详解】证明∶∵四边形是矩形，四边形是菱形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形 2．如图，四边形是平行四边形，，分别过点，作，的垂线，分别交和的延长线于点，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】先根据平行四边形的性质结合垂线的定义证明四边形是矩形，再根据直角三角形的两锐角互余结合等角对等边证明，即可得证． 【详解】证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形． ， ， ， 矩形是正方形． 3．已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的形状是正方形，理由见解析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得出，证出，即可得出； （2）先证明四边形为正方形，得到，即可得出结论. 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形的形状是正方形，理由如下： ∵菱形，， ∴四边形为正方形， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形. 题型02.正方形的判定定理理解 4．在平面直角坐标系中，有，，，四点，顺次连接这四个点组成的四边形是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据四个点的坐标特征，判断各边的位置关系与长度，再根据特殊四边形的判定确定形状． 【详解】∵ ，，纵坐标相同， 轴， ， ∵ ，， 横坐标相同， 轴， ， ∵ ，纵坐标相同， 轴， ， ∵ ， 横坐标相同， 轴， ； 可得且，且 ， 四边形是平行四边形； 又轴，轴， ， 四边形是长方形； ∵邻边，，长度不相等， 因此不是正方形． 5．下列四个矩形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断矩形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定、矩形的性质，熟知正方形的判定方法是解答的关键．根据矩形的性质和正方形的判定逐项判断即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 若证明四边形是正方形，则， A中图形中是对角线相等且平分，不能判定，故此矩形是正方形，故不符合题意； B中图形给出，可得， ， ，可判定此矩形是正方形，符合题意； C中图形只给出矩形的对角线相等且平分，不能判定，故此矩形是正方形，故不符合题意； D中图形只给出，不能判定，故此菱形是正方形，故不符合题意， 故选：B． 6．在的方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子，至少要去掉（    ）枚围棋子，才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了正方形与网格问题，掌握正方形的判定是解题的关键．通过观察已知图形，分析可知第一行去掉一个，第二行去掉两个，第三行去掉一个才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点，据此即可解答． 【详解】解：设白圆圈表示去掉的棋子， ①图1是一个的方格网，每个小方格的中心都放有一枚棋子，以棋子为顶点的正方形共有6个，图2每个小方格中的整数表示以此方格的棋子为1个顶点和其他3个棋子为顶点构成的正方形的个数．标有数字3和4的方格有2个公共的正方形；标有数字2和4的方格有1个公共的正方形；都标有数字3的两个方格至少有1个公共的正方形．所以，如果从图1左边的网格中，只去掉2枚棋子，则网格中必定仍然有4枚棋子可以构成一个正方形． ②从图3的方格网中，如果只去掉3枚棋子，由①可知，不能从第1列和第4列中去掉棋子，只能从第2和第3列中，但是不能从同一列中去掉这3枚棋子，其中有2枚从同一列中去掉，除对称情况外，这两枚棋子只有图4和图5两种去掉的方式．显然，对图4和5，无论以什么方式去掉1枚棋子，仍然有4枚棋子可以构成一个正方形． ③如图6，去掉4枚棋子，留下的任意4枚棋子都不构成正方形的4个顶点，所以至少要去掉4枚围棋子，才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点． 故选：C． 题型03.添条件使四边形是正方形 7．如下图，要使矩形是正方形，需要增加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵矩形本身就有，，，故A，C，D错误； 添加，可以证明矩形是正方形，故B正确． 8．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，请添加一个条件：______，使四边形是正方形。    【答案】（答案不唯一） 【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形，进而添加一个角是直角，即可求解． 【详解】解：过点作于，于，   两条纸条宽度相同， ，，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 四边形是菱形 当时，四边形是正方形 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的基本性质，菱形与正方形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 9．如图在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定，菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理，正方形的判定定理逐项判定解答即可． 【详解】解：在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且， ， ， ， 四边形是菱形， 当添加时，则， 故四边形是菱形， 故A错误，该选项不符合题意； 当添加时，则四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故B错误，该选项不符合题意； 当时， ， ， ， 菱形是正方形， 故C正确，该选项符合题意； 当E为的中点时，得到， 无法判定菱形是正方形， 故D错误，该选项不符合题意； 故选：C． 题型04.正方形性质理解 10．正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查矩形和正方形的性质．根据矩形和正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：正方形的对角线互相垂直平分且相等， 矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直， 故选：B． 11．如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别记为，，若，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用正方形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：∵分别以为边向外作正方形，面积分别为， ， ， ， ， ， 故选：A． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C的坐标为，则顶点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得点A和点C关于x轴对称，然后根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点A和点C关于对称，即点A和点C关于x轴对称， ∵点C的坐标为， ∴点A的坐标为． 题型05.正方形性质求角度 13．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形、等边三角形的性质，得出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在正方形中，与交于点O，点E为上一点，且，连接，则的度数为__________°． 【答案】22.5 【分析】由正方形的性质得，，，再根据等边对等角得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ． ∵， ． ． 15．如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线和点即为所求； （2）解：四边形是正方形，是对角线， ， 平分， ， ， 直线，即， ． 题型06.正方形性质求线段长 16．如图，正方形的边长为6，E是的中点，，与交于点F，则的长为__________． 【答案】 【分析】由正方形的性质得出，，由E是的中点，得出，由勾股定理得出，证明，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之，成古代数学典范．如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若大正方形的面积为，连接、．若，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵大正方形的面积为， ∴， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴． 18．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点E，以点E为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键是正确求得线段的长度． 根据题意可得，，，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：在正方形中，为的中点， ∴，，， 由勾股定理可得，， 由题意可得， ∴， A选项符合题意． 19．如图，正方形中，，点在边上，点关于直线的对称点为点，连接，，． (1)当为边中点时，根据题意补全图形，并求的长； (2)当为边上一点，，求的度数； (3)过作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)图形见解析， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据题意补全图形即可；根据正方形的性质，结合为边中点得出，利用勾股定理求出，利用轴对称的性质得出是的垂直平分线，，再利用面积法求出，进而可得答案； （2）根据轴对称得性质得出，再利用正方形的性质得出，求出两个等腰三角形的底角的度数，即可得答案； （3）过点作，交于，设交于，根据直角三角形两锐角互余的性质得出，，即可证明，得出，，结合（2）可得，根据平行线的判定定理即可得结论． 【详解】（1）解：补全图形如图所示：、交于点， ∵正方形中，，为边中点， ∴，， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴是的垂直平分线，， ∵， ∴， 解得：， ∴． （2）解：如图所示： ∵点关于直线的对称点为点，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作，交于，设交于， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴． 题型07.正方形性质求面积 20．如图，、为正方形的对角线，若，求正方形的面积． 【答案】8 【分析】根据平行四边形的性质即可求得对角线长，进而即可求解． 【详解】解：在正方形中， ∴，， ∴正方形的面积为：． 21．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接． (1)试证明：垂直平分； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，则，再证明，则，得到垂直平分； （2）求出，，由图可知，和等高，设高为，由求出，则． 【详解】（1）证明：为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 平分， ． ， ． ， ， 垂直平分； （2）为正方形，且边长为4， ， 在中， 由（1）可知，， ， 由图可知，和等高，设高为， ， ， ， ． 22．如图，边长为10的正方形中，E、F、G、H分别在正方形的四条边上，且，那么正方形的面积是多少？ 【答案】40 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，由正方形的性质得到，，再由得到，同理可得，由勾股定理得到，则由等面积法得到，进而得到，同理可得，则，据此可得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 同理可得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 题型08.正方形中的折叠问题 23．如图，正方形的边长为，点在边上，且，连结，点在边上，连结，把沿翻折，点恰好落在上的点处，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是__________．(填序号) 【答案】①④/④① 【分析】本题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，正方形的性质，根据翻折的性质证，得出，，即可判断①正确；根据 ，即可判断②错误；在中，，，推出，则，推出，，则，判定③错误；根据，推出，即可判断④正确，进而得出答案． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， 由折叠的性质可得， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ，， 故①正确； ， ，故②错误； 在中，， ， ， ， ， ，， ， 故③错误； ， ， 故④正确； 综上所述：正确的是①④． 故答案为：①④． 24．如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则的度数为_________． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 由四边形是正方形，可得，，又由折叠的性质可得：，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 根据折叠的性质可得：， ， ． 故答案为：． 25．如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求三角形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， 由翻折的性质得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴ ∴， ∴． 26．正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)与平行，理由见解析 (4) 【分析】本题考查正方形半角模型以及勾股定理和面积的应用，解题关键是能够熟练运用这些知识去解题． （1）通过证明，，进而得到答案； （2）设，结合，利用勾股定理解直角三角形得到的值，再通过相似即可得到答案； （3）通过勾股定理得到为中点，得到，通过倒角得到答案； （4）利用正方形的面积与三角形面积与五边形的面积的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，四边形是正方形， ，， 将沿直线翻折，得到， ，，，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）作，垂足为点，如图， 设，则， 为中点， ， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得， ， ， 整理得：， 解得：， ，， ， ， ； （3）与平行，理由如下， 设，则，如图， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 整理得：， ∴ ， ， 由折叠可知，， 又， ， ， ， ； （4）设，，则，，如图， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 整理得：，① 由，② ∴把①代入②得， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 题型09.求正方形重叠部分面积 27．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 【答案】13.5// 【分析】将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形， ∴由平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为6-3=3（cm），长为6-1.5=4.5（cm）， ∴S阴影部分=3×4.5=13.5 （cm2）， 故答案为13.5cm2． 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义． 28．如图，两个边长为2的正方形中心重合，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，然后可得，，，则有，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由两个边长为2的正方形中心重合，可知：， ∵， ∴都为等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 【答案】（1）45；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案； （2）由正方形的性质得，，然后证明可证明结论成立； （3）由（2）可得，进而可求出2024个边长为1的全等正方形重叠在一起阴影部分的面积． 【详解】解：（1）一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形． 故答案为：45； （2）证明：在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知，， ∴， ∴， ∵2024个边长为1的全等正方形重叠在一起， ∴正方形重叠阴影部分的面积为： 题型10.正方形性质证明 30．如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意得，，，由互余得，故； （2）由（1）得，，故． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ， ． 31．如图，在正方形中，点在边上，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）设，则，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：正方形， ，， ， ， ； （2）解：正方形， ，， ，， 设，则， 在中，， ， ，（舍去） ． 32．如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）过点作，由题意易得，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作，如图所示： ∵四边形是边长为6的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 题型11.正方形性质与判定求角度 33．如图，在四边形中，，，，则的度数是_______°． 【答案】 【分析】如图，作，于，连接，证明四边形是正方形，则，，证明是等边三角形，则，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作，于，连接， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 34．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 35．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 题型12.正方形性质与判定求线段长 36．如图，在矩形中，，，将沿折叠，使点B落在F处，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】6或3 【分析】本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．当为直角三角形时，需要分类讨论：分与两种情况，通过勾股定理列方程求解． 【详解】解：当时，三点共线， 设长为x，则， 由翻折可得，， 由勾股定理的， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 当时，四边形为正方形， ∴， 故答案为：6或3． 37．如图，在正方形中，，点在上，为上一点，过点作于点，连结，记，若，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形判定与性质，角平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 当时，此时记为点，过点作于点，可得四边形为正方形，设，则由勾股定理得，则，解得：，那么，同理可求，则，即． 【详解】解：当时，此时记为点，过点作于点， ∵正方形， ∴平分，， ∵ ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， 设，则由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， 当时，此时记为点，过点作于点， 同理四边形为正方形， ∴， ∵， 设，则由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴，即， 故选：B． 38．如图，正方形，点为对角线上一个动点．为边上一点，且 (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边． （1）连接，根据正方形的性质得到，，进而证明，得到，，根据四边形内角和得到，进而得到，根据等角对等边得到，即可证明； （2）作交于点，交于点，可知四边形为正方形．证明，得到，，进而求出，根据计算即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 四边形是正方形， ， 在和中，， （）， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，作交于点，交于点，可知四边形为正方形． ， ， ， 又，， （）， ，， ， ． ． ∴ ． 题型13.正方形性质与判定求面积 39．在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积_____． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质，正方形的判定和性质，利用角平分线的性质和证明三角形全等是解题的关键． 过D作,交于M，，交延长线于N，证明，可得，再证明四边形是正方形，根据正方形的性质和三角形的面积公式求解． 【详解】如图，过D作,交于M，，交延长线于N， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 40．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）正方形ABCD的面积为 【分析】（1）由等边三角形的性质得EO⊥AC，即BD⊥AC，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）证明菱形ABCD是正方形，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC， ∵△ACE是等边三角形， ∴EO⊥AC （三线合一）， 即BD⊥AC， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAC＝60° 由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC ∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形， ∵∠AED＝2∠EAD， ∴∠EAD＝15°， ∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°， ∵▱ABCD是菱形， ∴∠BAD＝2∠DAO＝90°， ∴菱形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积＝AB2＝a2． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，证明四边形ABCD为菱形是解题的关键． 41．如图，四边形中，，于点E，旋转一定角度后能与重合，根据图形回答问题． (1)旋转中心是点________，旋转了________度； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)A，或； (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及旋转中心的确定，旋转角的确定，以及旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质． （1）根据图形确定旋转中心即可，对应边的夹角即为旋转角，再根据正方形的每一个角都是直角解答； （2）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得的面积等于的面积，从而得到四边形的面积等于正方形的面积，然后求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，点A为旋转中心，在四边形中，， ∴， ∴，， 所以，逆时针旋转了或顺时针； 故答案为：A，或； （2）解：由旋转性质知，， ∴四边形是正方形， ∵旋转后能与重合， ∴， ∴， ∴四边形的面积=正方形的面积， ∵， ∴四边形的面积． 题型14.由正方形性质与判定证明 42．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点． （1）________； （2）连接并延长交于点，则________． 【答案】 【分析】（1）根据已知得出，则为等腰直角三角形．根据勾股定理即可求解； （2）过点作，，，垂足分别为点，，．则四边形为正方形，四边形，为矩形，勾股定理求得，进而证明得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形，平分， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形． ∵， ∴由勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去）． 故答案为：． （2）如答图，过点作，，，垂足分别为点，，． ∴四边形，，为矩形． ∵为等腰直角三角形． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∵为等腰直角三角形，， ∴，，． 在中，由勾股定理，得． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识点是解题的关键． 43．如图，在正方形中，E是边上一点，以为边作正方形，H是的中点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点N，作交的延长线于点M，连接，则四边形是矩形．由勾股定理先求出，再求出，可得，证明得，从而四边形是正方形，设，则，然后根据即可求解． 【详解】如图，作于点N，作交的延长线于点M，连接，则四边形是矩形． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故选A． 44．如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一”得到，从而是矩形，由直角三角形斜边上中线的性质得到，从而得到矩形是正方形； （2）先由勾股定理求得，进而得到，根据正方形的性质得到，，因此，，证明得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴是矩形， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质及正方形的性质是解题的关键． 题型15.特殊平行四边形对称性求阴影面积 45．下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】运用平行四边形的面积，三角形的面积公式，先计算出每个阴影部分的面积，比较大小即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为S， A选项中阴影部分面积小于，B、C、D三个选项中阴影部分的面积都等于， ∴阴影部分面积与其他三幅不相等的是A选项． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形面积的计算，解题的关键是根据平行四边形的面积得出各个图形中阴影部分的面积． 46．由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为___________． 【答案】/ 【分析】如图，采用局部求解的方法，先求出正八边形的内角，再结合菱形的性质证明，进而证明，依次推出，，结合为正方形，可得，设，则，，由此可解． 【详解】解：如图， 正八边形的每个内角的度数为：， ， ， ， 在和 中， ， ， ， ， 由对称性易知四边形为正方形， ， 设，则，， ． 47．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 题型16.正方形与坐标系综合 48．图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边，分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】首先根据各点的坐标求出，，，，，，，，的长度，找出这些长度之间的规律，然后根据规律即可求解． 【详解】解：正方形边长为， ， 正方形是正方形的对角线为边， ，， 点坐标为， 同理可知； 点坐标为， 同理可知； 点坐标为， 可知； 点坐标为， 可知， 点坐标为， 可知， ， 可知， ， 可知， ∴， …… 由规律可以发现，， 由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同， ， 的横纵坐标符号与点相同，且都在第二象限上， 的坐标为． 49．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，连接，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，求出，，，，，，，，…，由此可得，8次一循环，计算即可得． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 如图，连接， 由勾股定理可得：， 由旋转的性质可得：， ∵将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式， ∴相当于将线段绕点O逆时针旋转，依次得到， ∴，，，，，，，，…， 由此可得，8次一循环， ∵， ∴点的坐标为． 50．如图，直线的函数解析式为．四边形是正方形，直线交轴于点，点在轴上，过点作且交轴于点．求证：． 【答案】见详解 【分析】根据正方形的性质与一次函数的性质确定的坐标，证明，由全等三角形的性质得到垂直平分，结合垂直平分线与平行线的性质推理解答； 【详解】证明：∵直线的函数解析式为， 令，则， 即， ∵四边形是正方形， ， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ，， 在和中 ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ． 题型17.特殊平行四边形动点问题 51．如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm，BC＝30cm，点E以1cm/s的速度从点A出发向点D运动，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF、DG，若t秒后△DFG的面积恰好为cm2，则t的值为_____． 【答案】 【分析】AE＝t，ED＝30－t，再利用的面积关系，求解即可． 【详解】解：由图形可知：， 若t秒后△DFG的面积恰好为cm2时， AE＝t，ED＝30－t， ， ， ， ， 解得：． 答案为：17.5 【点睛】本题考查了正方形中的动点问题，分析动点与面积间关系是解本题的关键． 52．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC上的一点且CE=3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB-BC-CD-DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（   ） A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5 【答案】D 【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BM=2t-4=3和AM=16-2t=3即可求得． 【详解】解：如图，当点M在BC上时， ∵△ABM′和△DCE全等， ∴BM=CE， 由题意得：BM′=2t-4=3， 所以t=3.5（秒）； 当点M在AD上时， ∵△ABM″和△CDE全等， ∴AM″=CE， 由题意得：AM″=16-2t=3， 解得t=6.5（秒）． 所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定，解题的关键是掌握正方形的性质． 53．如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示； (2)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的判定及性质． （1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在CD边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）P从A点以向B点运动 时， ； （2） Q在上运动时间为 运动时间最长为 时，在边上 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： 即 只需即可，由（1）知： 以的速度沿折线向终点运动， 运动时间为时， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理 只需，四边形是平行四边形 由（1）知， 则 解得： 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形 只需满足即可 由（1）知： 由（2）知：， ， 解得：， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 题型18.四边形线段最值问题 54．如图，矩形中，，点是边上的动点，点在边上，．连接，则的最小值为___． 【答案】 【分析】如图，延长，使，连接，，求解，证明，可得，当共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，延长，使，连接，， ∵矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当共线时，最小， ∴， ∴的最小值为． 55．如图，已知，线段长为4，两端分别在，上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，． ∵四边形是正方形，，点是的中点， ∴，，， 在中，， ∵，点是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴当，，三点共线时，有最大值， 的最大值． 56．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 【答案】[问题原型]见解析；[问题应用]（1）；（2） 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、将军饮马问题，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． [问题原型]证明即可； [问题应用]（1）先证，得，求证，由，，求得，则可得，即可由得解； （2）连接，可证明，得，则，延长到点，使，连接、，则，则，当、、共线时最小，求解即可． 【详解】解：[问题原型]证明：如图，设与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． [问题应用]（1）解：四边形是正方形，， ，， ，为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 为的中点， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，连接， ，，， 在和中， ， ， ， ， 延长到点，使，则，垂直平分， 连接、，则， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 题型19.四边形其他综合问题 57．在四边形中，已知，点为的中点，连接和，设的面积为，四边形的面积为，则与的关系为______． 【答案】/ 【分析】分别计算出，和，即可得到结论． 【详解】解：如图， 设，△中，AB边上的高为h， ∵点为的中点，AB//CD 则△中，CD边上的高也为h， ∴，， ∵AB//CD ∴ ∴ ∴ 即 故答案为： 【点睛】本题主要考查了梯形以及三角形面积的计算，正确识别图形和运用面积计算公式是解答本题的关键． 58．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AGCF；④，其中正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；求出和的面积即可． 【详解】解：①正确． 理由：∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）； ②正确． 理由：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x． 在直角△ECG中，根据勾股定理，得， 解得x=3． ∴BG=3=6﹣3=CG； ③正确． 理由：∵CG=BG，BG=GF， ∴CG=GF， ∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF． 又∵Rt△ABG≌Rt△AFG； ∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF， ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF， ∴AGCF； ④正确． 理由：∵， ∵， ∴， ∴其中正确的是①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用． 59．如图，在梯形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）． (1)当为何值时，四边形是平行四边形； (2)当为何值时，以，，，为顶点的梯形面积等于？ (3)是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当或时 (2)当或时 (3)当的值为或或时，是等腰三角形 【分析】（1）由题意已知，，要使四边形是平行四边形，则只需要让即可，因为、点的速度已知，、的长度已知，要求时间，用时间路程速度，即可求出时间； （2）要使以，，，为顶点的梯形面积等于，可以分为两种情况，点、分别沿、运动或点返回时，再利用梯形面积公式，即，因为、点的速度已知，、、的长度已知，用可分别表示、的长，即可求得时间； （3）使是等腰三角形，可分三种情况，即、、；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 当从运动到时， ∵， ， ∴， 解得：； 当从运动到时， ∵， ， ∴， 解得：， ∴当或时，四边形是平行四边形； （2）解：若点、分别沿、运动时， ， 即， 解得：； 若点返回时，， 则， 解得， 故当或时，以，，，为顶点的梯形面积等于； （3）解：当时， 如图，作于，则， ∵， 由得， 解得：； 当时，， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无实根， 当点从向运动时，观察图形可知，只有， 由题意：， 解得：， 综上所述，当的值为或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，熟练掌握知识点分类讨论是解题的关键． 题型20.正方形存在性问题 60．在四边形中，，，．点E从点D出发，沿方向运动到点C，点F从点B出发，沿方向运动到点A，点E，F的速度均为每秒1个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点E，F的运动时间为t．分别过点E，F作于点P，于点Q，当以E，P，F，Q四个点为顶点的四边形是正方形时t的值为________． 【答案】2或8 【分析】根据E、F的位置不同，分两种情况，根据正方形的性质，利用线段相等列方程，求解出时间t的值． 【详解】解：第一种情况： ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当时，四边形为正方形， 过点B作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 解得． 第二种情况：如下图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当时，四边形为正方形， 过点B作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 解得． 综上所述，或．． 61．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点且分别交轴于点，其中的长是方程的两个实数根． (1)求的值； (2)如图2，为上一动点，作轴交于点，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)如图3，平面内有一点与点关于轴对称，、分别为、上一动点（均不与重合），为平面内一点，问：是否存在点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）通过解方程求出线段的长度，得到，则，分别代入直线与直线即可求解； （2）设，则，用a表示出的长度，利用平行四边形的性质求解即可； （3）分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∴， ∴， 分别代入直线与直线得， ， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∵轴，以O、E、C、F为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∵直线与直线交于点C， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴E点坐标为或． （3）解：存在， ∵点M与C点关于x轴对称，， ∴， 设，分三种情况： ①为对角线时，如图，过点Q作轴于N，过点P作轴于L， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P为直线上一动点（均不与C重合）， ∴，解得：， ∴，与C重合，不合题意； ∴此种情况不存在； ②为对角线时，如图，过点Q作轴于N，过点P作轴于H，交于L， 同理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P为直线上一动点（均不与C重合）， ∴，解得， ∴，与C重合，不合题意； ③为对角线时，如图5，过点P作轴，过点M作于N，过点Q作于L， 同理得， 设， ∴， ∴，解得：， ∴； 如图6，过点P作轴，过点M作于N，过点Q作于L， 同理得， 设， ∴， ∴，解得：， ∴； 综上所述，存在，Q点坐标为或． 62．如图1，在矩形中，，是边上的一个动点（点不与重合），，垂足为点，过点作，交的延长线于点． (1)若， ①求证：四边形是菱形； ②求四边形的周长； (2)如图2，于点，于点，探究：当为何值时，四边形是正方形？ 【答案】(1)①证明见详解② (2)时，四边形是正方形，证明见详解 【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等几何知识；解题的关键是灵活运用矩形的性质（对边平行且相等、四个角为直角）和特殊四边形（菱形、正方形）的判定定理，通过构造全等三角形或利用勾股定理进行计算 （1）①由和矩形性质，证明，得到，再结合和，证明四边形是平行四边形，由一组邻边相等证菱形；②利用全等和勾股定理，求出四边形各边的长度，再求周长； （2）分析时可先假设四边形是正方形，反推的长度，若四边形是正方形，则，，再由得，可得，计算得出长度，然后书写时，使用长度，反推导四边形是正方形即可． 【详解】（1）①证明：在矩形中，，， ∴，，， ∴ ∵， ∴ 又∵， 在和中， ∴ ∴， ∵，且， ∴ 四边形是平行四边形 又∵， ∴ 平行四边形是菱形 ②由①得 ∴， ∵在中，， ∴ ∴ ∵，， ∴ （2）当时，四边形是正方形 ∵ ∴ ∵在矩形中， ∴ 又∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ 又∵，于点 ∴ ∴四边形为矩形 ∵ ∴矩形为正方形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09正方形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理清正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系，熟记定义。 2.全面掌握正方形边、角、对角线、对称性的全部性质，区分四类特殊四边形的异同。 3.熟练掌握正方形四种判定方法，理解不同判定路径的逻辑。 4.牢记边长、对角线、周长、面积相关公式及常用几何结论。 1.能灵活运用性质完成线段、角度、长度计算。 2.根据已知条件，合理选择判定方法，规范完成证明题。 3.学会添加对角线等辅助线，能识别并简单运用十字架、半角等常见几何模型。 4.提升图形辨析、逻辑推理与知识综合运用能力。 1.稳拿概念判断、对称轴、简单计算等选择、填空题分值。 2.判定、证明类中档题步骤规范，做到零失误。 3.突破正方形综合题型、动点及几何模型类压轴小题，攻克期末重难点。 题型01.证明四边形是正方形 题型02.正方形的判定定理理解 题型03.添条件使四边形是正方形 题型04.正方形性质理解 题型05.正方形性质求角度 题型06.正方形性质求线段长 题型07.正方形性质求面积 题型08.正方形中的折叠问题 题型09.求正方形重叠部分面积 题型10.正方形性质证明 题型11.正方形性质与判定求角度 题型12.正方形性质与判定求线段长 题型13.正方形性质与判定求面积 题型14.由正方形性质与判定证明 题型15.特殊平行四边形对称性求阴影面积 题型16.正方形与坐标系综合 题型17.特殊平行四边形动点问题 题型18.四边形线段最值问题 题型19.四边形其他综合问题 题型20.正方形存在性问题 知识点01:正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 定义 1（从矩形出发）有一组邻边相等的矩形是正方形。 定义 2（从菱形出发）有一个角是直角的菱形是正方形。 一句话概括正方形是特殊的平行四边形，特殊的矩形，特殊的菱形。 知识点02.正方形的性质（核心） 正方形具备平行四边形、矩形、菱形的全部性质： 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:性质对比表（快速区分三者，避免混淆） 对比维度 正方形 矩形 菱形 边 四条边相等，邻边垂直 对边相等，邻边不垂直 四条边相等，邻边垂直 角 四个角都是 90° 四个角都是 90° 对角相等，无直角 对角线 相等、垂直、互相平分，平分一组对角 相等、互相平分 垂直、互相平分，平分一组对角 对称轴 4 条 2 条 2 条 知识点04:正方形的判定（★★★★） 判定核心思路：先判定为矩形 / 菱形，再添加条件升级为正方形。 1. 从平行四边形出发（定义法） 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 几何语言：在▱ABCD 中，∵AB=BC，∠A=90°，∴▱ABCD 是正方形。 2. 从矩形出发 有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：在矩形 ABCD 中，∵AB=BC，∴矩形 ABCD 是正方形。 对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言：在矩形 ABCD 中，∵AC⊥BD，∴矩形 ABCD 是正方形。 3. 从菱形出发 有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：在菱形 ABCD 中，∵∠A=90°，∴菱形 ABCD 是正方形。 对角线相等的菱形是正方形。 几何语言：在菱形 ABCD 中，∵AC=BD，∴菱形 ABCD 是正方形。 4. 从一般四边形出发（直接判定） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形。 知识点05:黄金二级结论（考场直接套用，无需推导） 1.正方形对角线与侧边的夹角固定为 45°，是计算角度的常用隐藏条件； 2.两条对角线把正方形分割成四个全等的等腰直角三角形； 3.公式汇总（设正方形边长为a） 周长：C=4a 面积：S=a2 对角线长：d=a 拓展：周长相等的四边形中，正方形的面积最大。 知识点06:易错点汇总 把高频错误整理成 “错题雷区”，提前规避，考试不丢冤枉分。 1.❌ 错误认知：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ✅ 正确解析：缺少 “对角线互相平分”，这样的四边形不一定是正方形，平分、垂直、相等三者必须同时具备。 2.❌ 错误认知：四条边相等的四边形是正方形 / 四个角相等的四边形是正方形 ✅ 正确解析：四边相等仅能判定为菱形，四角相等仅能判定为矩形，都不满足正方形全部条件。 3.❌ 概念混淆：对称轴数量 ✅ 区分：正方形有4 条对称轴，矩形、菱形只有 2 条，选择题高频考点。 4.❌ 逻辑漏洞：判定时跳步 ✅ 提醒：不能跳过平行四边形、矩形、菱形，直接用单一条件判定正方形，证明步骤必须严谨。 5.❌ 计算失误：边长与对角线换算出错 ✅ 牢记：对角线 =倍边长，计算时不要遗漏系数。 题型01.证明四边形是正方形. 1．如图，菱形的三个顶点E，F，G分别在矩形的边上，且，求证：四边形是正方形． 2．如图，四边形是平行四边形，，分别过点，作，的垂线，分别交和的延长线于点，．求证：四边形是正方形． 3．已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 题型02.正方形的判定定理理解 4．在平面直角坐标系中，有，，，四点，顺次连接这四个点组成的四边形是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 5．下列四个矩形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断矩形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 6．在的方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子，至少要去掉（    ）枚围棋子，才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点． A．2 B．3 C．4 D．5 题型03.添条件使四边形是正方形 7．如下图，要使矩形是正方形，需要增加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 8．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，请添加一个条件：______，使四边形是正方形。    9．如图在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，为了使四边形是正方形．可以添加一个条件（   ） A． B． C． D． 题型04.正方形性质理解 10．正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 11．如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别记为，，若，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C的坐标为，则顶点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型05.正方形性质求角度 13．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在正方形中，与交于点O，点E为上一点，且，连接，则的度数为__________°． 15．如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数． 题型06.正方形性质求线段长 16．如图，正方形的边长为6，E是的中点，，与交于点F，则的长为__________． 17．《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之，成古代数学典范．如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若大正方形的面积为，连接、．若，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 18．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点E，以点E为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 19．如图，正方形中，，点在边上，点关于直线的对称点为点，连接，，． (1)当为边中点时，根据题意补全图形，并求的长； (2)当为边上一点，，求的度数； (3)过作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由． 题型07.正方形性质求面积 20．如图，、为正方形的对角线，若，求正方形的面积． 21．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接． (1)试证明：垂直平分； (2)求的面积． 22．如图，边长为10的正方形中，E、F、G、H分别在正方形的四条边上，且，那么正方形的面积是多少？ 题型08.正方形中的折叠问题 23．如图，正方形的边长为，点在边上，且，连结，点在边上，连结，把沿翻折，点恰好落在上的点处，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的是__________．(填序号) 24．如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则的度数为_________． 25．如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 26．正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 题型09.求正方形重叠部分面积 27．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 28．如图，两个边长为2的正方形中心重合，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 29．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 题型10.正方形性质证明 30．如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 31．如图，在正方形中，点在边上，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 32．如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 题型11.正方形性质与判定求角度 33．如图，在四边形中，，，，则的度数是_______°． 34．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 35．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 题型12.正方形性质与判定求线段长 36．如图，在矩形中，，，将沿折叠，使点B落在F处，当为直角三角形时，的长为________． 37．如图，在正方形中，，点在上，为上一点，过点作于点，连结，记，若，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 38．如图，正方形，点为对角线上一个动点．为边上一点，且 (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 题型13.正方形性质与判定求面积 39．在四边形中，平分，并且，若，，，求的面积_____． 40．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积． 41．如图，四边形中，，于点E，旋转一定角度后能与重合，根据图形回答问题． (1)旋转中心是点________，旋转了________度； (2)若，求四边形的面积． 题型14.由正方形性质与判定证明 42．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点． （1）________； （2）连接并延长交于点，则________． 43．如图，在正方形中，E是边上一点，以为边作正方形，H是的中点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 44．如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 题型15.特殊平行四边形对称性求阴影面积 45．下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．   B．   C．   D．   46．由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为___________． 47．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 题型16.正方形与坐标系综合 48．图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边，分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则点的坐标为__________． 49．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 50．如图，直线的函数解析式为．四边形是正方形，直线交轴于点，点在轴上，过点作且交轴于点．求证：． 题型17.特殊平行四边形动点问题 51．如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm，BC＝30cm，点E以1cm/s的速度从点A出发向点D运动，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF、DG，若t秒后△DFG的面积恰好为cm2，则t的值为_____． 52．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC上的一点且CE=3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB-BC-CD-DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（   ） A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5 53．如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示； (2)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 题型18.四边形线段最值问题 54．如图，矩形中，，点是边上的动点，点在边上，．连接，则的最小值为___． 55．如图，已知，线段长为4，两端分别在，上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D．8 56．【问题原型】 如图1，在正方形中，．求证：． 【问题应用】 如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且． （1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 　　； （2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 　　． 题型19.四边形其他综合问题 57．在四边形中，已知，点为的中点，连接和，设的面积为，四边形的面积为，则与的关系为______． 58．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AGCF；④，其中正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 59．如图，在梯形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）． (1)当为何值时，四边形是平行四边形； (2)当为何值时，以，，，为顶点的梯形面积等于？ (3)是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 题型20.正方形存在性问题 60．在四边形中，，，．点E从点D出发，沿方向运动到点C，点F从点B出发，沿方向运动到点A，点E，F的速度均为每秒1个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点E，F的运动时间为t．分别过点E，F作于点P，于点Q，当以E，P，F，Q四个点为顶点的四边形是正方形时t的值为________． 61．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点且分别交轴于点，其中的长是方程的两个实数根． (1)求的值； (2)如图2，为上一动点，作轴交于点，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)如图3，平面内有一点与点关于轴对称，、分别为、上一动点（均不与重合），为平面内一点，问：是否存在点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 62．如图1，在矩形中，，是边上的一个动点（点不与重合），，垂足为点，过点作，交的延长线于点． (1)若， ①求证：四边形是菱形； ②求四边形的周长； (2)如图2，于点，于点，探究：当为何值时，四边形是正方形？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $