期末备考训练平面向量与三角形“四心 ”-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以三角形“四心”向量关系为核心，通过定义-表示-应用逻辑链构建专项突破体系，强化数学思维与符号表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |四心基础识别|单选1-7题|外心/重心/垂心/内心向量式直接应用|从四心定义到向量表征，建立概念与符号的对应关系| |定理综合应用|解答13-14题|奔驰定理及推论（重心/外心/内心/垂心面积比关系）|以奔驰定理为工具，实现从定性判断到定量计算的深化|

永年二中高一数学必修二平面向量期末备考10 测试范围：平面向量与三角形“四心” 关于四心的向量关系式： O是的外心； O是的重心； O是的垂心； O是的内心.(其中 为的三边) 一、单选题 1. （人教A版必修二习题6.4第2题）已知点O、N、P在所在平面内，且，，，则点O、N、P依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 【答案】C 【分析】由知O是的外心；利用共起点向量加法将变形为共线的两向量关系，得到N点在中线上的位置，从而判断为重心；由移项利用向量减法变形为，得出PB为CA边上的高，同理得PC为AB边上的高，故为垂心. 【详解】，则点O到的三个顶点距离相等，O是的外心.，，设线段AB的中点为M，则，由此可知N为AB边上中线的三等分点(靠近中点M)，所以N是的重心.，.即，同理由，可得.所以P是的垂心.故选：C. 2．中，若，，则点的轨迹一定通过的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 【答案】B 【详解】因为分别表示方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致，若，则的方向与的角平分线一致，所以点的轨迹一定通过的内心. 3．已知为的外心，为所在平面内一点，且，则点为的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 【答案】D 【分析】先将转化为，通过计算，证得，同理证得、，从而判定为的垂心. 【详解】因为，所以，因为为的外心，所以，所以，同理，则点为的垂心. 4．已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 【答案】A 【分析】根据向量平行得到，将变形得到，取的中点，则，从而得到答案. 【详解】与向量共线，故，即，则变形为，即，所以， 取的中点，则，所以动点M的轨迹必经过的重心. 5．已知为所在平面内一点，满足，则为的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 【答案】D 【分析】根据向量的减法分别用表示，利用数量运算和题意代入式子化简，证得，同理可得，即可得为的垂心 【详解】设，则， 因为，所以，化简得， 即，所以，所以，即，同理可得， 所以为的垂心， 6．已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 【答案】A 【分析】利用正弦定理化简已知条件得到，由此判断出点的轨迹经过重心. 【详解】由正弦定理可知：，R为三角形的外接圆的半径，所以动点P满足．则，因为是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线以A为起点的向量，方向与边上的中线方向相同，所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心． 7．M，N分别为的边AB，AC上的点，且满足，，若，且，则MN恒过的（ ） A. 内心 B. 重心 C. 外心 D. 垂心 【答案】B 【分析】设G为的重心，根据题意可得，再结合三点共线的结论分析判断. 【详解】因为，，则，，设G为的重心，则， 又因为，且，即，可得，所以G，M，N三点共线，故MN恒过的重心． 二、多选题 8．点在所在平面内，下列说法中，能保证点轨迹过重心的是（    ） A． B．动点满足 C．动点满足 D．点满足 【答案】AC 【分析】根据向量的线性运算与数量积公式，数形结合分别判断即可. 【详解】A选项，如图所示，设的中点为， 由，则，故点为的重心，A选项正确； B选项，由，得，又为方向的单位向量，为方向的单位向量，故， 如图所示， ，且射线为的角分线，故点在的角分线上，B选项错误； C选项，如图所示， 由，得，故与共线，则在射线上，故点的轨迹一定过的重心，C选项正确； D选项，由，得，即，即，同理，，故点为的垂心，D选项错误；故选：AC. 9．几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ABC 【分析】对A：取边中点，连接，结合奔驰定理，可得，进而可判断A； 对B：设内切圆半径为，进而用表示出，再结合奔驰定理可判断B； 对C：设外接圆半径为，根据圆的性质结合题意可得，，，从而可用表示出，进而可判断C；对D：延长、、交、、于点、、，根据题意，结合奔驰定理可得，.从而可设，，则，，代入即可求解，进而可判断D. 【详解】对A：如图： 取边中点，连接，由， 所以，所以、、三点共线，且，所以为的重心，故A正确； 对B：如图： 因为则为内心，可设内切圆半径为，则有，，， 所以，故B 正确； 对C：如图： 因为为的外心，设外接圆半径为，有，， 所以，，故， 所以. 故C正确； 对D：由为的垂心，，所以.如图： 则，.设，，则，， 所以.所以.故D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：奔驰定理与三角形的“心”： 若为所在平面上一点，则（奔驰定理） （1）为的重心. （2）为的内心. （3）为的外心. （4）为的垂心. 三、填空题 10．是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过____心（内心、外心、垂心或重心）． 【答案】重心 【分析】由[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），且，得到点P的轨迹一定过△ABC的重心． 【详解】∵动点P满足[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），且， ∴P、C、D三点共线，又D是AB的中点，∴CD为中线，∴点P的轨迹一定过△ABC的重心． 11．在平面上有及内一点满足关系式：，即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的__心. 【答案】内 【分析】利用平面向量的线性运算得到，再利用三角形内心的性质求解即可． 【详解】，， ， ，，分别是，方向上的单位向量， 向量平分，即平分，同理平分，为的内心， 12．为所在平面内一点，且满足，则点为的_________心.若,，，则  ___________ 【答案】垂 【分析】由平面向量数量积的运算性质可得出，同理可得，，结合垂心的定义可得出结论；由平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用垂心的几何性质结合平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为，则， 即，即， 即，即， 所以，，同理可得，，故点为的垂心， 因为， 即，因为，解得， 因此，，解得， 因此，. 四、解答题 13．定理：如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则； ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则. 试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题. (1)点在内部，满足，求的值； (2)点为内一点，若，设，求实数和的值； (3)用“奔驰定理”证明推论②. 【答案】(1)；(2)，；(3)证明见解析 【分析】（1）根据奔驰定理可求得的值； （2）由奔驰定理得出，进而可得出，即可求得、的值； （3）设的外接圆半径为，，，，利用三角形的面积公式结合“奔驰定理”可证得推论②成立. 【详解】（1）因为，根据奔驰定理可得， 因此，. （2）根据奔驰定理，得，即， 整理可得，因为与不共线，所以由平面向量基本定理得，. （3）证明：若为的外心，则可设的外接圆半径为，，，， 故，同理，， 根据奔驰定理，. 即.所以. 14．阅读材料：三角形的重心､垂心､内心和外心是与三角形有关的四个特殊点，它们与三角形的顶点或边都具有一些特殊的性质. （一）三角形的“四心” 1.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. 2.三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直. 3.三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r. 4三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等. （二）三角形“四心”的向量表示 在中，角所对的边分别为. 1.三角形的重心：是的重心. 2.三角形的垂心：是的垂心. 3.三角形的内心：是的内心. 4.三角形的外心：是的外心. 研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想. 结合阅读材料回答下面的问题： (1)在中，若，求的重心的坐标； (2)如图所示，在非等腰的锐角中，已知点是的垂心，点是的外心.若是的中点，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）根据重心的向量表示，结合平面向量的线性运算与坐标运算求解即可； （2）根据，结合与平面向量的线性运算可得，再根据不成立可得，进而得到证明即可 【详解】（1）若记坐标原点为，由是的重心，有，从而，整理得. （2）因为，有，因为， 设，由可得，所以， 所以因为， 从而即， 所以，易见不成立，故，即，此时， 即：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二平面向量期末备考10 测试范围：平面向量与三角形“四心” 关于四心的向量关系式： O是的外心； O是的重心； O是的垂心； O是的内心.(其中 为的三边) 一、单选题 1. （人教A版必修二习题6.4第2题）已知点O、N、P在所在平面内，且，，，则点O、N、P依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 2．中，若，，则点的轨迹一定通过的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 3．已知为的外心，为所在平面内一点，且，则点为的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 4．已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 5．已知为所在平面内一点，满足，则为的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 6．已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 7．M，N分别为的边AB，AC上的点，且满足，，若，且，则MN恒过的（ ） A. 内心 B. 重心 C. 外心 D. 垂心 二、多选题 8．点在所在平面内，下列说法中，能保证点轨迹过重心的是（    ） A． B．动点满足 C．动点满足 D．点满足 9．几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 三、填空题 10．是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过____心（内心、外心、垂心或重心）． 11．在平面上有及内一点满足关系式：，即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的__心. 12．为所在平面内一点，且满足，则点为的_________心.若,，，则  ___________ 四、解答题 13．定理：如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则； ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则. 试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题. (1)点在内部，满足，求的值； (2)点为内一点，若，设，求实数和的值； (3)用“奔驰定理”证明推论②. 14．阅读材料：三角形的重心､垂心､内心和外心是与三角形有关的四个特殊点，它们与三角形的顶点或边都具有一些特殊的性质. （一）三角形的“四心” 1.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. 2.三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直. 3.三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r. 4三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等. （二）三角形“四心”的向量表示 在中，角所对的边分别为. 1.三角形的重心：是的重心. 2.三角形的垂心：是的垂心. 3.三角形的内心：是的内心. 4.三角形的外心：是的外心. 研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想. 结合阅读材料回答下面的问题： (1)在中，若，求的重心的坐标； (2)如图所示，在非等腰的锐角中，已知点是的垂心，点是的外心.若是的中点，求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $