陕西省镇安中学2026届高三考前自测数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.-3i(-8-7)= A.-21+24i B.21+24i C.-24+21i D.24+21i 2.若集合A={x∈N-3<x<3),则A的子集个数为 中 A.4 B.8 C.16 D.32 3.若7=9，则alog77= A.2 c D 23 4.直线l:x十√5y=0与圆M:(x一5)2+y2=4的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定的 5.如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏.已知 如 该提盒的盒口的外轮廓线是一个高心率为品的椭圆，且该精圆的 长轴长约为22cm,则该椭圆的短轴长约为（取√57=7.55） A.18.12cm B.15.1cm C.14.3cm D.7.55cm 6.在(1+x)”的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（√丘一 的常数项为 A.-180 B.180 C.-60 D.60 7.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,△ABC的面积为4√2， 则c= A.33 B.√19 C.17 D.√5 8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，P为棱AB上更靠近A的三等分点，则平面 线 PB,C1截该正方体的截面的周长为 A.3+√/13 B.6+2/13 C.3+/10 D.6+210 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列函数的图象关于直线x=2对称的有 A.f(x)=x2-4x B.f(x)=cos(2x-4) C.f(x)=|x+2| D.f(x)=sim(x+若) 【高三数学￠第1页（共4页）】 ·SX 1已知BB,分别是双曲线C:r2- 4=1的左、右焦点，0为坐标原点，点P在C上，且向量 a-PFj-PF2,b=PF+PF2, A.1a|=10 BC的渐近线方程为y=士， 12x C.b=2PO D.当|a=|b时，|PF1+|PF21=14 11.已知函数f(x)=一x3+ax-2sinx,则 A.f(x)是奇函数 B.0可能是f(x)的极值点 C.f(x)可能有2个极值点 D.当f(x)在(0,1)上有极大值时，a的取值范围为(2,2+2cos1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若正四棱台的上底面边长、下底面边长分别为√2,2√2，高为上底面边长与下底面边长的等 比中项，则该正四棱台的体积为▲ 13.已知随机变量X,Y均服从两点分布，X与Y相互独立，且P(X=0)= P(Y=1)=0.3.若Z=X十Y,则P(Z=0)=▲，Z的期望 为▲一 14知图，点A,B均在单位圆O上，且点A的横坐标为汽，∠A08=吾，则 点B的纵坐标与横坐标的比值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 2021~2025年我国高铁的运营里程（单位：万公里）统计如下： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份序号x 1 2 3 4 6 运营里程y 4.0 4.2 4.5 4.8 5.0 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)预测2026年我国高铁的运营里程 附：在经验回归方程y=bx十a中， 6=红-00- 2(x-) 含x-n2 ,a=y-bz. 【高三数学⊙第2页（共4页）】 16.(15分) 已知函数f(x)=x一xnx. (1)求曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间及最大值， 17.(15分) 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F关于C的准线的对称点为(0，一9). (1)求C的方程； (2)过点F的直线L与C交于A,B两点，A,B在x轴上的投影分别为A1,B1,且梯形 AA1B1B的中位线的长度为9，求l的方程. 【高三数学0第3页（共4页）】 18.(17分) 在△ABC中，AB=AC=2√5，BC=4,D,E分别为AC,AB的中点.将△ADE沿线段DE 折起，使点A到达点P的位置，连接PB,PC,得到四棱锥P-BCDE,取BC的中点F,连接 PF. (1)证明：DE⊥PF. (2)如图1，当平面PDE⊥平面BCDE时，求二面角P-BC-D的大小 (3)如图2，设二面角P-DE-B的大小为0，在折叠过程中，即0在(0，x)上变化时，求△PCD 的重心G在空间中的运动轨迹的长度， 图1 图2 19.(17分) 封 已知f(x)是定义在(0，十∞)上的函数f(x)的导函数，若正项数列{an}满足a1=1,且对 任意n∈N,都有f(am+1)一f(am)=f'(an),则称{an}为f(x)的衍生数列 (1)诺a,=2,f(x)=2(x>0),判断{a,是否是fx)的衍生数列，并说明理由. （2者a为f化。)=红便≠0)的衍生数列，证明：名<2 （3若a,为f)=2左-2的箱生数列，证明V<<反+号 线 【高三数学⊙第4页（共4页）】 ·SX· 高三数学参考答案 题序 1 9 10 11 12 13 14 答案 B D B D B ABD ACD AC 28 0.21;1 -3 3 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分， 【2】第9,10题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分；第11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分 【3】第12~14题，凡与答案不符的均不得分. 【4】第13题第一空2分，第二空3分. 1.A【解析】本题考查复数的四则运算，考查数学运算的核心素养 -3i(-8-7i)=24i+21i2=-21+24i. 2.B【解析】本题考查集合的子集个数，考查数学运算的核心素养 因为A={0,1,2},所以A的子集个数为23=8 3.D【解析】本题考查对数的运算，考查数学运算的核心素养 由-9，得a-bg8,所以eb8r7-he9X16g787×878张号号 4.A【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查逻辑推理的核心素养 圆M的圆心为M5,0),半径为2因为圆心M到1的距离为号>2，所以1与圆M相离。 5.B【解析】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查数学建模的核心素养和应用意识， 设该圆能方程为+芳-1>b>0,由后-得2-√-（分-， 所以26配×2a=25715.1,故该椭圆的短轴长约为15.1cm 6.D【解析】本题考查二项式定理，考查数学运算的核心素养. 在(1十x)”的展开式中，第4项的二项式系数为C.因为只有第4项的二项式系数最大，所以 n=6. 故(G-)”的常数项为C(V)(-)°=60， 7.C【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养， 由7dhnC=42,得血C-2号.因为△ABC是锐角三角形，所以osC=VC=号 由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcos C=17,则c=√17. 【高三数学·参考答案◆第1页（共7页）】 ·SX· 8.B【解析】本题考查正方体的截面，考查空间想象能力. D 如图，取棱DC上更靠近D的三等分点Q,连接PQ,QC1.易证PQ∥A B B1C1,PQ=B,C1,所以平面PB1C1截正方体的截面为平行四边形 PB1C1Q.因为B1C1=3,PB1=√13，所以该截面的周长为6十2√13 9.ABD【解析】本题考查函数图象的对称轴，考查逻辑推理的核心素养， f(x)=x2一4x的图象关于直线x=2对称，A正确 因为2X2一4=0，所以f(x)=cos(2x一4)的图象关于直线x=2对称，B正确. f(x)=|x十2的图象关于直线x=一2对称，C错误. 因为晋×2+若-受，所以fx)=sim(若x+若)的图象关于直线x=2对称，D正确， 10.ACD【解析】本题考查双曲线与向量的综合应用，考查数学运算的核心素养， 因为a=PF-PF2=F2F1,所以|a=F2F11=2X√/1+24=10，A正确. C的渐近线方程为y=士√24x=士2√6x,B错误， 因为O是F1F2的中点，所以b=PF1+PF2=2Pò，C正确. (PF I-PF2=2, 当|a-b时，P01=5,所以△PF1F2是直角三角形.由 PF12+1PF212=100, (PFI=6,(PFI=8 得 PF1=8或PF1=6 或 所以PF1+PF21=14,D正确. 11.AC【解析】本题考查函数的奇偶性与极值，考查数学运算和逻辑推理的核心素养 因为f(x)的定义域为R,且f(一x)=x3-ax+2sinx=一f(x),所以f(x)是奇函数，A 正确， f'(x)=-3x2十a-2cosx,由f'(0)=a-2=0,得a=2.因为f′(x)是偶函数，所以0不 可能是f'(x)的变号零点，所以0不可能是f(x)的极值点，B错误 f'(x)的导函数为fx)=-6x+2sinx.当0x≤号时，x≥sinx,得f产(x)≤0，当x> 时，一6x<-3π，2sinx≤2，得f"(x)<0,所以f'(x)在[0，十∞)上单调递减.当a>2时， f'(0)>0,当x→+∞时，f'(x)→-∞，则f'(x)在[0，十∞)上有1个变号零点，所以f(x)在 [0,十∞)上有1个极值点.又f(x)是奇函数，所以f(x)有2个极值点.故f(x)可能有2个极 值点，C正确. 1f'(0)=a-2>0, 当f(x)在(0,1)上有极大值时， 得2<a<3+2cos1,D错误. (f'(1)=-3+a-2cos1<0, 12.3 8 【解析】本题考查等比中项与正四棱台的体积，考查数学运算的核心素养， 因为正四棱台的高为W√2×2√2=2， 【高三数学·参考答案◆第2页（共7页）】 ·SX· 所以该正四棱台的体积为3×2×[(W2)2+(22)2+√W2)×(2W2)]=28 13.0.21;1【解析】本题考查两点分布与随机变量的期望，考查数学运算的核心素养。 因为P(X=1)=1-P(X=0)=0.7,P(Y=0)=1-P(Y=1)=0.7, 以P(Z=0)=P(X=0)P(Y=0)=0.3X0.7=0.21. Z的可能取值为0,1,2.P(Z=2)=P(X=1)P(Y=1)=0.7×0.3=0.21, P(Z=1)=1-P(Z=0)-P(Z=2)=0.58, 所以Z的期望为0×0.21+1×0.58+2×0.21=1. 14.一3【解析】本题考查单位圆与三角恒等变换，考查直观想象和数学运算的核心素养 设0A,OB与x轴正半轴所成的角分别为e9,则o-得，得sine=个-cosa-2 tan a= cos a &=2,所以anB=tana十)-"ad=一3.故点B的纵坐标与横坐标的比 值为一3. 15.【解析】本题考查一元线性回归模型，考查应用意识和数据处理能力， 解：(1)由题意得z=1+2+3+4+5 =3,… 2分 y=4+4.2+45+4,8+5-4.5, …4分 5 则6= 2-0- ）(-2)×(-0.5)+(-1)×(-0.3)+0+1×0.3+2×0.5 含x,-2) 4+1+0+1+4 0.26,… 6分 a=y-bx=3.72. 8分 故y关于x的经验回归方程为y=0.26x十3.72.…9分 (2)当x=6时，y=0.26×6+3.72=5.28. 11分 故预测2026年我国高铁的运营里程为5.28万公里. 13分 【评分细则】 【1】第(1)问还可以这样求： hy:nzy 1×4+2×4.2+3×4.5+4×4.8+5×5-5X3X4.5=0.26. 1+4+9+16+25-5×32 【2】第(2)问中，只写“预测2026年我国高铁的运营里程为5.28”，未写“万公里”，扣1分， 16.【解析】本题考查导数的几何意义、函数的单调性和最值，考查数学运算的核心素养， 解(1f'(x)=1-(lnx+x·） =-lnx.…2分 因为f(e)=e-elne=0, 3分 【高三数学·参考答案◆第3页（共7页）】 ·SX· f'(e)=-lne=-1, …4分 所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=一x十e.… 6分 (2)f(x)的定义域为(0，十0∞)，…7分 令f'(x)>0,得0<x<1,所以f(x)的单调递增区间为(0,1).…10分 令f'(x)<0,得x>1,所以f(x)的单调递减区间为(1，十o∞).…13分 故f(x)的最大值为f(1)=1.…15分 【评分细则】 【1】第(1)问中，切线方程还可以写成“x十y一e=0”. 【2】第(2)问中，写“f(x)的单调递增区间为(0,1]”“f(x)的单调递减区间为[1，十∞)”，均 不扣分 17.【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学运算和直观想象的核心素养. 解：1)由题意得F(0,), …1分 C的准线方程为y=一 2分 则号+(-9)=2×(-号 …4分 得p=6. …5分 故C的方程为x2=12y.… 6分 (2)易得l的斜率存在，设A(x1,y1),B(x2,y2),l:y=kx十3. …7分 y=kx+3, 由 得x2-12kx-36=0, …8分 x2=12y, (△=144k2+144>0, 得 …10分 x1+x2=12k. 由题意得AA1|+BB1|=2X9=18. 11分 因为AA1|+|BB1=y1十y2=kx1+3+kx2十3=k(x1十x2)十6=12k2+6=18,… …13分 所以k=士1.… …14分 故l的方程为x一y十3=0或x十y一3=0.…15分 【评分细则】 【1】第(2)问中，未写“易得1的斜率存在”，扣1分；最后的结果还可以写为“故l的方程为y =x十3或y=-x+3”. 【2】第(2)问求出还可以这样求AA1十BB1: 1AA+|BB1=y+y:=2z+z)=2[(,+x)2-2z1x]=12k2+6=18 18.【解析】本题考查线线垂直、二面角与图形折叠的变换，考查逻辑推理的核心素养和空间想象 【高三数学·参考答案◆第4页（共7页）】 ·SX· 能力 (1)证明：如图1，取DE的中点O,连接PO,OF.…1分 .AB=AC,D,E分别为AC,AB的中点， ∴.OF⊥DE,PO⊥DE.…2分 ,PO∩OF=O,∴.DE⊥平面POF.…3分 .PFC平面POF,.DE⊥PF.…4分 (2)解：.DE∥BC,∴.BC⊥PF,BC⊥OF,…5分 图1 ∴.二面角P-BC-D的平面角为∠PFO. ... 6分 ,PO⊥DE,平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE, .PO⊥平面BCDE,…7分 ∴PO⊥OF.易得PO=OF,∠PFO=,即二面角P-BCD为T 41 …9分 (3)解：如图2，取DE的中点O,连接PO,OF 由(1)可知PO⊥DE,OF⊥DE,则∠POF=0.…10分 以O为原点，建立空间直角坐标系，则P(2cos0,0,2sin0), D(0,1,0),C(2,2,0).…11分 设G(x,y,z). 由重心性质可得x=2cos0+0+2-2 3 3 cos 0+2 y 图2 0+1+2-1,z=2sin0+0+0-名 3 3 sin 0. …13分 3 .y=1为定值，.重心G在固定平面内运动.…14分 由x-号-号cs0=号m0,得(-号》+2- 9cos20+4、 g sin= 4 ,…15分 点G在圆心为（号，，0，半径r三名的圆上…l6分 又∈(0，π)，点G在空间中的运动轨迹的长度为3： …17分 【评分细则】 第(2)问得到PO⊥平面BCDE给1分，接下来这样解答： 如图，以O为原点，OF,OD,OP所在直线分别为x轴、 y轴、之轴，建立空间直角坐标系， 则B(2,-2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),BC=(0,4,0),B2= (-2,2,2).…6分 设平面PBC的法向量为n=(x,y,x), 【高三数学·参考答案0第5页（共7页）】 ·SX· 1m.BC=4y=0, 则 n·BP=-2x+2y+2z=0, 取x=1,则之=1，得n=(1,0,1).… 7分 易得平面BCDE的一个法向量为m=(0,0,1),得二面角P-BC-D的余弦值为 m·n mn ② 2 8分 由图可知二面角P-BC-D为锐角，故二面角P-BC-D为平 9分 19.【解析】本题考查数列的新定义与导数的综合应用，考查逻辑推理、数学抽象的核心素养和创 新意识， (1)獬：由题意得∫'(x)=x,则f'(an)=an=2m-1.…1分 因为fe1）-fa,)=2a217=2（(4-41)≠2， 2分 所以f(am+1)-f(an)≠f'(an),所以{an}不是f(x)的衍生数列.…3分 (2)证明：当f(x)=x(k≠0)时，f'(x)=k≠0，则f'(an)=k.…4分 由f(am+1)-f(an)=k(am+1-am)=k及k≠0，得am+1-an=1, 5分 又a1=1,所以an=n.…6分 设8日是+…+是则s,+ +…十 n 2n+1 2n2n+1,… 7分 11 1 2m+1=1一九十2 2m+1, 8分 则2-s-2- 2n ∠2. 9分 8证明：f)=2由fa-fa,)-fa,得2van-2v瓜- =.…10分 令b,=an,得1=√a-1,b+1=b,十26 1 将6c1-4+站两边平方，得=候+1计很得候1然=1+破1.…11分 当n≥2时，b员-b=b员-b员-1+…+b号-b3+b3-b>n-1,得b员>n. 又b1=1≥√1，所以bn=√a阳≥√n.…12分 6好，公=1+安≤1+城 …13分 【高三数学·参考答案◆第6页（共7页）】 ·SX 当m≥2时，6-6好=6-21++6-6娟+6房-≤n-1+(1+2十+n己） 得6<+1+号++) …14分 当时a62n-12 2 =2(Wn-I-√n-2), 则≤n+(1+2++n)n+是×21-0+2-1++va可-n-2)=n+ )√n …15分 要证va,<m+2,只需证<(m+2), 即证n+n可<n++行，即证+受+是>0，这显然恒成立，则v@:<m+2 0…0…。0000…040004000.0.000n。000.00000400.40.40004000040.0000400.4……4.6分 综上v顶<a<+ 17分 【评分细则】 【1第(1)问中，只写“{an}不是f(x)的衍生数列”，未说明理由，给1分. 【2】第(3)问中，未写“b1=1≥√1”，扣1分. 【高三数学·参考答案◆第7页（共7页）】 ·SX·