精品解析：陕西咸阳市薛录高中2026年普通高等学校招生全国统一考试预测数学试卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试预测卷：陕西·山西·青海·宁夏专版数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解得或，即 . ∴ . 又∵ ，在集合的元素中满足的有， ∴ . 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，即， 设，则，故上式化为，化简得， 即，解得，故，. 3. 某精密仪器厂生产一种微型轴承钢珠，其直径（单位：）服从正态分布.若，且，则下列描述正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 直径服从正态分布，∴ 正态分布曲线的对称轴为，. ∵ ， ∴ . 又∵ ，根据正态分布的对称性，点与点关于对称轴对称， ∴ ，解得，即. 综上可得，，故选项C正确. 4. 已知，且，则( ) A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用已知条件求出，再通过二倍角公式求出，最后利用和角公式将目标角转化为已知角与的和，计算得结果. 【详解】由，得，故 . 由，得， 因此. 设，则，故. 由二倍角公式，解得或. 又，故，则，，故. . 5. 已知数列满足（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分为偶数与奇数进行讨论，结合三角函数诱导公式可求出及，即可得解. 【详解】当为偶数时，， ， 故， 故； 当为奇数时，， ， 故， 故 ； 故. 6. 在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 在中，，，由三角形面积公式得， 由余弦定理得 ，故， 因为平面ABC，四面体体积，代入解得， 以B为原点，为轴，平面内垂直于的方向为轴，过B且垂直于平面的方向为轴， 得各点坐标：， ， ， ，， 设平面的法向量为， 则，解得，令得，即 ， 又向量 ，， 设AC与平面所成角为，根据线面角与向量夹角的关系，. 7. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，以点F为圆心作圆与l相切，过抛物线C上一点P作圆F的两条切线，切点分别为M，N.若的面积为，则点P到准线l的距离为（ ） A. B. C. 或 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形面积公式求，再利用正弦定理和勾股定理计算的长度，最后需保证. 【详解】 如图所示，由题意可知：抛物线焦点坐标为，所以圆心为，圆半径为，圆的标准方程为， 则，所以， 则或， 若，则是等边三角形， 所以，， 此时由正弦定理得：， ，因为，所以成立； 若，则，所以是等边三角形， 由正弦定理得：，则， 所以 ，因为，所以成立； 因此由抛物线的定义可知点P到准线l的距离为或4. 8. 已知函数，，，和有相同的对称中心.若直线与的图象交于两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过函数图像平移的性质得到和的对称中心，从而得到，再令，解得两点的横坐标，再求出的值. 【详解】可看成是平移得到，所以对称中心为. ， 令，则， 所以为奇函数，对称中心为. ，的对称中心为. 和有相同的对称中心,，即. 则直线为， 令，解得， 由题意知两点在直线上， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数()，，则下列说法正确的有( ) A. B. 函数在上单调递增 C. 函数在内有两个零点 D. 函数的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先利用求出参数，再根据三角函数的单调性、零点及和差化积公式逐一分析选项. 【详解】由，结合，得，即，故A正确. 此时. 令()，解得(). 当时，单调递增区间为，故B正确. 令，得()，即(). 在内，时，时，共2个零点，故C正确. ， 则， 由和差化积公式，得， 其最小值为，故D错误. 10. 已知椭圆C：()的左、右焦点分别为，，离心率，P是C上一动点，且的周长为6，直线l与C交于A，B两点(异于点P)，则下列说法正确的有( ) A. 若点P到直线的距离为3，则 B. 若的中点M的坐标为，则直线l的方程为 C. 若A，B关于原点对称，直线，的斜率分别为，，则 D. 记的中点为N，则点N的轨迹方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】先根据已知条件求出椭圆方程，再分别利用椭圆的第二定义、点差法(对称点)、中点坐标代入法逐一验证选项. 【详解】由离心率及的周长为6，得，， 解得，，，椭圆方程为. 对于选项A，椭圆右准线为，由点到直线的距离为3，得的横坐标为1. 将代入椭圆方程，得，即. 所以，故A正确. 对于选项B，设，，代入椭圆方程得，， 两式相减得. 由中点，得，，代入得直线斜率， 故直线方程为，即，故B正确. 对于选项C，设，，则，斜率， ，故.由椭圆方程得，， 代入化简得，故C错误. 对于选项D，设，而，则， 代入椭圆方程得，整理得，故D错误. 11. 已知数列满足，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若数列满足，则数列为等比数列 C. D. 若数列满足，其前n项和为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，代入递推公式计算；对于B，由推出，根据等差数列定义证明；对于C，根据B选项是等差数列求出的通项公式，再根据等差数列前项和公式求解；对于D，利用裂项相消法求和. 【详解】对于A，由得， ，所以，A正确； 对于B，由得，所以， 所以，所以， 所以，所以数列是等差数列，不是等比数列，B错误； 对于C，由B选项可知， 又，所以，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以 ，C正确； 对于D，由C选项可知，， 所以， 所以， 又单调递增，当时，，所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，D是边上的一点，且，E是上的一动点.若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解的表达式，通过对比系数求得正确答案. 【详解】由，得. ，故. 设()，则. . 代入的表达式，得. 与对比系数，得，. 因此， . 13. 已知（）.若的展开式中的系数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由的展开式中的系数为，求出，令，则，利用赋值法求解即可. 【详解】二项式展开的通项公式为：， 令，则， 因为的展开式中的系数为， 所以，即， 即， 令，则，则， 令得到， ① 令得到， ② 令得到，； ①②得，即， ①②得，即 所以. 14. 已知函数（）.若，则在点处的切线方程为____________；若对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立，则a的取值范围是_____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当求出切点坐标和切线斜率，再用点斜式写出方程即可；对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立，由导数的几何意义，等价于对所有恒成立，再分离参数求解即可. 【详解】若，则， 可得则，， 所以在点处的切线方程为，即. 因为对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立， 所以图象上的任意两点A，B连线的斜率 恒成立， 由导数的几何意义，等价于 对所有恒成立， 即恒成立， 令， 因为 ， 当且仅当时取等号，有最大值. 所以，即a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，成等差数列，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角差的正弦公式计算即可得解； （2）由等差数列性质结合余弦定理计算可用表示出、，即可用余弦定理求出、，再利用同角三角函数基本关系与两角差的余弦公式计算即可得. 【小问1详解】 由题可知，即， 由正弦定理将边化为角可得， 则， 整理得， 即，故或， 若，则，与矛盾，不符合题意； 若，则 ，即； 综上可得：； 【小问2详解】 由，，成等差数列，则，即 由余弦定理可得， 即有，整理得，即， 则， 故， ， 由，则、， 故，， 故. 16. 如图，在四边形中，，，，，，点H满足.将沿翻折至，使得，E为的中点，M是上的一点. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）逐步求证、平面、平面即可； （2）以为原点建系，设，根据求出，再分别计算两个平面的法向量即可. 【小问1详解】 因为，，故，， 因为，，所以， 所以，， 因为，所以，又，所以， 在直角梯形中， 则，则， 因为，，所以， 则，则， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面； 【小问2详解】 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 则，，， 设，则， 则， 则 ，得，则， 分别设平面和平面的法向量为， 则，， 令，则， 则， 则二面角的正弦值为. 17. 某新华书店为庆祝“六一”儿童节，推出购图书参与抽奖的活动，抽奖的奖券分为10元和5元两种“现金抵用券”.规则如下：顾客每购买一本图书可获得1次抽奖机会，且每次抽到10元券的概率为p（）.已知某顾客购买了n本图书，用X表示该顾客在n次抽奖中获得的奖券金额总和，每次抽奖相互独立. （1）若，，求该顾客抽得的奖券金额总和为30元的概率； （2）求X的分布列与数学期望； （3）若，设事件A表示“该顾客前两次抽奖都抽到5元券”，事件B表示“该顾客抽到10元券的总次数不少于2”，证明：. 【答案】（1） （2）的分布列为：其中； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用二项分布求解即可； （2）对变量进行转换，用n次抽奖中抽到10元券的次数进行转换求解； （3）作差法进行比较，注意不同项的正负关系. 【小问1详解】 设该顾客抽得的奖券金额总和30元为事件， 则为四次抽奖中，10元和5元各有2张， 则. 【小问2详解】 不妨设为n次抽奖中抽到10元券的次数，则，且 ， 由题意可知，可能的取值为：，对应的取值为， 所以的分布列为： 其中； 因为，所以， 即：数学期望. 【小问3详解】 由题意得：事件为前两次都抽到5元券，故， 事件为抽到10元券的总次数不少于2次，即：， 故， 事件表示前两次都抽到5元券，且10元券总次数不少于2次，即：后次抽奖中抽到10元券的次数不少于2次， 设后次抽奖中抽到10元券的次数不少于2次为事件，则， 由条件概率公式得：， 要证，即： ，即证：， 即证：， 左边减右边合并化简得： ， 因为，，所以 ， 当，时， ，因为， 所以 ，因此 ，即得证. 18. 已知双曲线E：（，）的一个焦点为，渐近线方程为，过点F作倾斜角为（）的直线，将绕点F逆时针旋转角（）得到直线.设，与E分别交于A，B和C，D两点，，的斜率分别为，，P为的中点，Q为的中点，O为坐标原点. （1）求E的方程； （2）设将直线逆时针旋转角得到直线，若，证明：A，B，C，D四点位于E的同一支上； （3）若，且，求. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）求出，，与双曲线方程联立利用韦达定理以及得出，再根据得出即可判断四点均在上支. （3）利用弦长公式求出，根据得出，利用 求出即可. 【小问1详解】 由题意得，，得， 故E的方程为； 【小问2详解】 ，， 设， 联立，得 ， 则 ， ， 则，， 同理可得，，， 则 ， 则， 因为，，则， 因为 ， ， 同理可得，，， 故四点均在双曲线的上支. 【小问3详解】 由（2）可知，， 同理可得， 因为，所以 ， 令，等号成立时， 则， 因为， ，， 所以，又，所以， 因为， 所以， 所以， 得或（舍），则. 19. 已知函数（）. （1）当时，求的单调区间和极值. （2）设，在上存在两个不同的零点 ，（）. ①证明：对满足，的非零常数m，恒成立； ②当时，证明：. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 ，极大值，无极小值. （2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将代入，求定义域后对求导，令导数为0得到临界点，根据导数正负判断单调区间，再代入临界点求极值即可； （2）①先写出表达式，利用作差，得到参数与零点的关系式，整理得到，由均值不等式得到，将原不等式转化为证明，换元，构造函数，通过求导判断单调性，证明 ，完成证明，②先由得到，再利用变量代换令，得到，最后求和即可得证. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 求导得到， 令 ，得到或（舍去）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以单调递增区间为，单调递减区间为 ， 因此，在处取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 ①：因为，所以， 由得到， 两式相减得到，即， 得到 由均值不等式，当且仅当时取等， 因此 故， 只需证明， 即， 因为，代入即证， 令，即证，即证， 设，，则， 令 ，则 在内单调递减，且，所以在内， 即在内，所以在内单调递增，则 所以得证； 故恒成立； ②：由①得到，即， 令， 则，即， 所以得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试预测卷：陕西·山西·青海·宁夏专版数学 （考试时间：120分钟；试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 某精密仪器厂生产一种微型轴承钢珠，其直径（单位：）服从正态分布.若 ，且，则下列描述正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，且，则( ) A. 2 B. 3 C. D. 5. 已知数列满足（），则（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，以点F为圆心作圆与l相切，过抛物线C上一点P作圆F的两条切线，切点分别为M，N.若的面积为，则点P到准线l的距离为（ ） A. B. C. 或 D. 或4 8. 已知函数，，，和有相同的对称中心.若直线与的图象交于两点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数()，，则下列说法正确的有( ) A. B. 函数在上单调递增 C. 函数在内有两个零点 D. 函数的最小值为 10. 已知椭圆C：()的左、右焦点分别为，，离心率，P是C上一动点，且的周长为6，直线l与C交于A，B两点(异于点P)，则下列说法正确的有( ) A. 若点P到直线的距离为3，则 B. 若的中点M的坐标为，则直线l的方程为 C. 若A，B关于原点对称，直线，的斜率分别为，，则 D. 记的中点为N，则点N的轨迹方程为 11. 已知数列满足，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若数列满足，则数列为等比数列 C. D. 若数列满足，其前n项和为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，D是边上的一点，且，E是上的一动点.若，则__________. 13. 已知（）.若的展开式中的系数为，则__________. 14. 已知函数（）.若，则在点处的切线方程为____________；若对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立，则a的取值范围是_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，成等差数列，求. 16. 如图，在四边形中，，，，，，点H满足.将沿翻折至，使得，E为的中点，M是上的一点. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 17. 某新华书店为庆祝“六一”儿童节，推出购图书参与抽奖的活动，抽奖的奖券分为10元和5元两种“现金抵用券”.规则如下：顾客每购买一本图书可获得1次抽奖机会，且每次抽到10元券的概率为p（）.已知某顾客购买了n本图书，用X表示该顾客在n次抽奖中获得的奖券金额总和，每次抽奖相互独立. （1）若，，求该顾客抽得的奖券金额总和为30元的概率； （2）求X的分布列与数学期望； （3）若，设事件A表示“该顾客前两次抽奖都抽到5元券”，事件B表示“该顾客抽到10元券的总次数不少于2”，证明：. 18. 已知双曲线E：（，）的一个焦点为，渐近线方程为，过点F作倾斜角为（）的直线，将绕点F逆时针旋转角（）得到直线.设，与E分别交于A，B和C，D两点，，的斜率分别为，，P为的中点，Q为的中点，O为坐标原点. （1）求E的方程； （2）设将直线逆时针旋转角得到直线，若，证明：A，B，C，D四点位于E的同一支上； （3）若，且，求. 19. 已知函数（）. （1）当时，求的单调区间和极值. （2）设，在上存在两个不同的零点 ，（）. ①证明：对满足，的非零常数m，恒成立； ②当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $