专题9二次根式易错必刷题型专项训练 2025-2026学年苏科版八年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦二次根式14类核心题型，以易错点为导向系统提炼解题技巧，构建从概念理解到综合应用的完整知识逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3类（值/参数/有意义条件）|被开方数非负性应用，参数范围交集求解|从定义出发，关联参数取值与有意义条件| |性质与化简|5类（性质化简/乘除/分母有理化等）|先判断正负再化简，公式与配方法结合|以性质为基础，延伸至乘除、有理化及复合根式化简| |运算技巧|2类（加减/混合运算）|同类根式合并，运算顺序与乘法公式应用|从单一运算到混合运算，强化规则与公式简化| |综合应用|4类（化简求值/比较大小/应用）|整体代入法，平方/作差比较，实际问题建模|整合性质与运算，实现代数计算到实际应用的迁移|

专题9 二次根式易错必刷题型专项训练 【温馨提示】本专题共计14类核心题型，系统梳理各题型易错痛点，总结标准化解题技巧，帮助学生掌握二次根式核心性质，规范运算步骤，攻克化简求值、参数求解、根式比较等重难点题型，提升代数运算的准确性和熟练度。 题型1 求二次根式的值 题型8 复合二次根式的化简 题型2 求二次根式中的参数 题型9 二次根式的加减运算 题型3 二次根式有意义的条件 题型10 二次根式的混合运算 题型4 利用二次根式的性质化简 题型11 已知字母的值，化简求值 题型5 二次根式的乘除混合运算 题型12 已知条件式，化简求值 题型6 分母有理化 题型13 比较二次根式的大小 题型7 已知最简二次根式求参数 题型14 二次根式的应用 题型1 求二次根式的值 易错点：忽略算术平方根为非负数；代入负数计算出错；根式化简不彻底直接求值。 解题技巧：牢记，算术平方根结果恒非负；先化简二次根式，再代入数值计算；负数代入时优先平方运算，规避符号错误。 1．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将给定的x值代入二次根式，化简计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴． 2．当时，二次根式的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：当时，． 3．当a＝2时，二次根式的值是________． 【答案】 【分析】把a的值代入计算即可． 【详解】解：当a＝2时， ． 4．当时，二次根式的值是______． 【答案】 【详解】解：当时，. 题型2 求二次根式中的参数 易错点：遗漏被开方数非负条件；多个根式叠加时取值范围求解不全。 解题技巧：所有二次根式被开方数必须≥0；多个根式共存时，联立不等式组求解参数取值范围；结合题干整数、正数等限制条件精准取值。 5．若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定正整数m的范围，再代入验证得到满足条件的m的值． 【详解】解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 当时，，不是整数，不符合要求， 当时， ，是整数，符合要求． 6．已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先分解被开方数的质因数，再根据二次根式为整数的要求，即可求出正整数n的最小值； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 要使为整数，则需为完全平方数， ∵，两个质因数的指数都为1，要使为完全平方数，其所有质因数的指数都必须是偶数， ∴正整数n的最小值为． 7．若是整数，则满足条件的自然数的值为___ ． 【答案】0，7，12，15，16 【详解】解：有意义， ，即， 是整数， 或或或或， 解得，或或或或 故答案为：0，7，12，15，16． 8．当__________时，二次根式的值是0． 【答案】 【分析】根据二次根式的值为0，可知被开方数为0，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， 两边平方，得． 移项，得， 系数化为1，得， 故答案为：． 题型3 二次根式有意义的条件 易错点：混淆分式与二次根式复合题型条件；只看单一根式，遗漏多重限制。 解题技巧：纯二次根式：被开方数≥0；根式分式复合型：被开方数≥0且分母≠0；多个条件同时满足，取取值范围的交集。 9．若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 10．若分式有意义，则实数的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】根据分式有意义，分母不为0，二次根式的被开方数是非负数列式解答即可． 【详解】解：由题意得，且， ∴实数x的取值范围是． 11．若，则______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性，列不等式组，确定的值，然后代入代数式中计算的值，最后计算． 【详解】解：∵， ∴ 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴， 将代入原式求： ∴． 12．若代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得被开方数大于0，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 题型4 利用二次根式的性质化简 易错点：误用，忽略绝对值；根据字母正负去绝对值出错。 解题技巧：核心性质：；先判断字母或式子的正负性，正数直接去绝对值，负数变相反数；严格遵循“先判断、后化简”。 13．若a满足则的值为（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值． 【详解】解：∵有意义 ∴，即 ∵ ∴ 代入原方程： 化简得： 两边平方： ∴． ∴． 14．如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据二次根式的性质，可得 ． ∵，即， ∴， 解得． 15．计算：______． 【答案】2 【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】解：． 16．化简：________ 【答案】/ 【分析】先根据二次根式的性质将原式变形，再根据判断的符号，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质可得， ， ， ． 题型5 二次根式的乘除混合运算 易错点：乘除公式混用；根号内外数值随意运算；运算后未化为最简根式。 解题技巧：熟记公式、；同次根式根号内、外分别运算，最后统一化简为最简二次根式。 17．计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算，再将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解： ． 18．计算：． 【答案】 【分析】把二次根式的除法化为乘法，计算即可． 【详解】解： =． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照二次根式乘除运算法则逐步计算，然后合并即可； （）利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （2）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （3）先把带分数化为假分数，把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． （4）先把除法化为乘法，化为最简二次根式，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 题型6 分母有理化 易错点：单项、多项分母有理化方法混淆；分子漏乘对应因式；化简不彻底。 解题技巧：单项分母：分子分母同乘分母根式；两项分母：利用平方差公式，同乘共轭根式；有理化后彻底化简，保证分母无根式、根式为最简。 21．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行分母有理化化简，再对比化简后与的关系即可. 【详解】解：. 22．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 23．化简___________． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质，将分子分母同乘以分母，化去分母中的根号即可得到化简结果． 【详解】解：． 24．材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：， 观察上面的解题过程，并解答下列问题： (1)____，的倒数是____． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化化简即可解答； （2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可； （3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 的倒数是； （2）解：∵， ∴， 即的整数部分为2， ∴． 当时，； （3）解：原式 ． 题型7 已知最简二次根式求参数 易错点：不清楚最简二次根式定义；同类最简根式条件遗漏；参数取值验证缺失。 解题技巧：最简二次根式：被开方数无分母、无开得尽方的因数；同类最简二次根式：被开方数相同、根指数相同；联立方程求解参数，验证满足最简条件。 25．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是． 26．若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】先化简，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式能与合并， ∴． 27．请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的概念，最简二次根式要求被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据概念结合a是正整数解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，且a为正整数， ∴不能含有能开得尽方的因数， 当时，， 是最简二次根式，符合要求，故答案为2（答案不唯一）． 28．下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 【答案】② 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【详解】解：①∵，∴，故①说法错误； ②，要使为正整数，则需为整数，即为完全平方数，最小整数（此时，），故②说法正确； ③，被开方数含分母，不是最简二次根式，故③说法错误． 故答案为：②． 题型8 复合二次根式的化简 易错点：不会配方变形；拆分数值错误；化简后符号出错。 解题技巧：针对型根式，配方转化为完全平方形式；寻找两个数满足和为a、积为b；开方后保留非负结果，完成化简。 29．一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将被开方数凑成完全平方式，再开方化简即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 又∵， ∴． 30．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 31．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【答案】 【分析】将被开方数变形凑成完全平方公式的形式，再利用二次根式的性质化简即可. 【详解】解： . 32．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________． (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）仿照题干，利用完全平方公式进行化简； （3）分别化简与，求和即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ， ∴． 题型9 二次根式的加减运算 易错点：不同类二次根式盲目合并；化简不彻底导致合并错误。 解题技巧：二次根式加减本质是合并同类二次根式；先将所有根式化为最简，再合并被开方数相同的根式；不同类根式不可合并。 33．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．计算：． 【答案】 【分析】先化简为最简二次根式，去括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 35．计算：． 【答案】 【详解】解：． 36．计算： 【答案】 0 【详解】解： 题型10 二次根式的混合运算 易错点：运算顺序混乱；乘法公式误用；根式运算与整式运算规则混淆。 解题技巧：遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”；灵活运用平方差、完全平方公式简化运算；每一步化简，最终结果为最简根式。 37．计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2)2 【分析】（1）先根据二次根式的乘除法计算，然后化简即可； （2）先根据平方差公式展开，然后加减解题即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 38．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（）先化简所有二次根式，再计算括号内，最后算除法； （）按二次根式运算规则，依次计算乘法、化简根式、去绝对值、分母有理化，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．计算：． 【答案】 【详解】解： 40．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型11 已知字母的值，化简求值 易错点：直接代入复杂数值计算繁琐出错；化简过程符号、公式出错。 解题技巧：先化简代数式，再代入字母数值；含根式的字母优先有理化、简化数值；分步运算，规避计算失误。 41．已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 【答案】B 【分析】因为已知，所以先对其进行变形，求出的值，同时推导的整式关系式，用于降次．如果得到的整式关系式，那么利用该关系式对进行降次化简，最后将降次后的结果与的计算结果合并，代入求值． 【详解】解：已知 ， 移项，得 ， 两边平方，得， 展开得， ∴ ， ∴， ∴ ． 对 分母有理化， ∴ ∴ 原式． 42．已知，，则代数式的值等于______． 【答案】4 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式因式分解，再计算的值，整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 43．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据平方差公式直接求解； （2）先求出的值，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∴ ． 44．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式； 当时，原式． 题型12 已知条件式，化简求值 易错点：强行求解字母值，运算复杂；不会整体代入、变形条件式。 解题技巧：优先对已知条件式变形，构造整体（和、差、积、平方和）；不单独求未知数，整体代入化简后的式子；大幅简化运算，提升准确率。 45．阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一．用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，，求的值． 【答案】(1)34 (2) 【分析】（1）由配方公式得到，进而代值求解即可； （2）由配方公式得到，进而代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 46．阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 又．这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题：已知． (1)求的值： (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据题意构造对偶式即可求解； （2）构造方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∵， ∴． （2）解：∵， 整理得：， 解得：． 47．请运用分母有理化及有理化因式的知识，解决下列问题： (1)①化简：______； ②比较大小：______；（用“”、“”或“”填空） (2)设有理数a、b满足：，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①；② (2)26 (3)3 【分析】（1）①利用分母有理化的法则解答即可； ②根据分母有理化的法则得到，，再根据分数的性质解答即可； （2）将已知等式左边通分并进行分母有理化，与等式右边比较，利用无理数相等条件求出、的值，再计算的值即可； （3）设，，利用平方差公式得到，进而得到． 【详解】（1）解：①； ②∵，， ∴，， ， ， ； （2）解： ， ，都是有理数， ， 解得， ； （3）解：设，， ， ， ， ， 即． 48．已知，，求的值． 【答案】 【分析】根据、可知，再根据二次根式的性质化简可得，最后将代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ． 题型13 比较二次根式的大小 易错点：平方比较时忽略正负；作差、作商方法使用混乱。 解题技巧：正数根式：平方后比较大小；异号根式：正数大于负数；同分母根式比较分子，同分子根式比较分母；复杂式子用作差法、作商法精准判断。 49．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大． 【详解】解： ， ，，， ∵， ∴． 50．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 51．已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的结果即可得到答案； （2）可求出，，根据即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 又 ， ∴． 52．阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫作分母有理化． 问题： (1)①的一个有理化因式是_____； ②的一个有理化因式是______； (2)计算：； (3)已知，，试比较a，b的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；②（答案不唯一） (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据有理化因式的定义即可得出结果； （2）先对每一项进行分母有理化，然后通过化简计算即可得出结果； （3）先求出、的值，再比较它们的大小即可． 【详解】（1）解：， ∴①的一个有理化因式是； ②的一个有理化因式是（答案不唯一）； （2）解：原式 ； （3）解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴． 题型14 二次根式的应用 易错点：几何、实际问题建模错误；根式结果未化简、未取合理近似值。 解题技巧：结合几何边长、距离、面积公式列根式算式；运算后化为最简二次根式；实际问题根据需求保留近似值，保证结果符合实际意义。 53．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长为，宽为， ∴周长为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， 答：销售收入为元． 54．阅读材料：在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： ； 【类比归纳】 (1)①； ②； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示a，b，得_____，_____； 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求正方形的面积． 【答案】(1)①，1；②， (2)， (3) 【分析】（1）①②结合题目给的例子，结合完全平方公式解答即可； （2）将已知的等式右边展开，即可得到答案； （3）仿照例题的方法求出两个小正方形的边长，进而得到大正方形的边长，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， ∴， ∴当均为正整数时，，； （3）解：∵两小正方形的面积分别为和， 且， ， ∴两个小正方形的边长分别为，， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为． 55．综合与探究 问题情境：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为秦九韶公式：三角形的三边长分别为a，b，c则其面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，海伦公式：记，则其面积． (1)如图1，的三边的长依次为5、6、7， ①利用上面其中一个公式求的面积． ②请利用勾股定理求出的高的长度． (2)如图2，锐角的三边的长依次为a、b、c，请仿照第（1）问利用勾股定理求出高的长度（用含有a、b、c表达）． (3)在（2）的条件下，证明秦九韶公式． (4)通过秦九韶公式推导出海伦公式． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)见解析； (4)见解析． 【分析】（1）①代入海伦公式求解即可； ②设，则，由勾股定理得，，则，求出即可求解； （2）设，则，由勾股定理得，求出，即可得出答案； （3）根据三角形面积公式，再把代入即可得出结论； （4）根据平方差公式得到，令，得到，，，，再得到，再代入即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵的三边的长依次为5、6、7，即， ∴， ∴ ； ②设，则， 在中，， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：， ∴； （2）解：如图： 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 整理得：， ∴， 将代入，得： ； （3）解：如图： 根据三角形面积公式可得： ， 即； （4）解： ， 令， ∴， ， ， ， ∴， ∴ ． 56．【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． (1)化简： ； (2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)矩形是黄金矩形．证明见解析 【分析】（1）模仿阅读材料中的方法，利用平方差公式，将分子和分母同时乘以分母的有理化因式，从而消去分母中的根号，达到化简的目的； （2）根据黄金矩形的定义建立方程关于的方程，即可求解； （3）先根据图形关系计算出新矩形的长和宽，然后计算新矩形的宽与长的比值；最后将该比值与黄金比 进行比较，若相等则为黄金矩形，反之则不是． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽， ∴， ∴=． （3）解：矩形是黄金矩形．理由如下： ∵ 黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形， ∴，， ∴=， 故矩形是黄金矩形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9 二次根式易错必刷题型专项训练 【温馨提示】本专题共计14类核心题型，系统梳理各题型易错痛点，总结标准化解题技巧，帮助学生掌握二次根式核心性质，规范运算步骤，攻克化简求值、参数求解、根式比较等重难点题型，提升代数运算的准确性和熟练度。 题型1 求二次根式的值 题型8 复合二次根式的化简 题型2 求二次根式中的参数 题型9 二次根式的加减运算 题型3 二次根式有意义的条件 题型10 二次根式的混合运算 题型4 利用二次根式的性质化简 题型11 已知字母的值，化简求值 题型5 二次根式的乘除混合运算 题型12 已知条件式，化简求值 题型6 分母有理化 题型13 比较二次根式的大小 题型7 已知最简二次根式求参数 题型14 二次根式的应用 题型1 求二次根式的值 易错点：忽略算术平方根为非负数；代入负数计算出错；根式化简不彻底直接求值。 解题技巧：牢记，算术平方根结果恒非负；先化简二次根式，再代入数值计算；负数代入时优先平方运算，规避符号错误。 1．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．当时，二次根式的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．当a＝2时，二次根式的值是________． 4．当时，二次根式的值是______． 题型2 求二次根式中的参数 易错点：遗漏被开方数非负条件；多个根式叠加时取值范围求解不全。 解题技巧：所有二次根式被开方数必须≥0；多个根式共存时，联立不等式组求解参数取值范围；结合题干整数、正数等限制条件精准取值。 5．若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．若是整数，则满足条件的自然数的值为___ ． 8．当__________时，二次根式的值是0． 题型3 二次根式有意义的条件 易错点：混淆分式与二次根式复合题型条件；只看单一根式，遗漏多重限制。 解题技巧：纯二次根式：被开方数≥0；根式分式复合型：被开方数≥0且分母≠0；多个条件同时满足，取取值范围的交集。 9．若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．若分式有意义，则实数的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 11．若，则______． 12．若代数式有意义，则的取值范围是______． 题型4 利用二次根式的性质化简 易错点：误用，忽略绝对值；根据字母正负去绝对值出错。 解题技巧：核心性质：；先判断字母或式子的正负性，正数直接去绝对值，负数变相反数；严格遵循“先判断、后化简”。 13．若a满足则的值为（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 14．如果，那么（   ） A． B． C． D． 15．计算：______． 16．化简：________ 题型5 二次根式的乘除混合运算 易错点：乘除公式混用；根号内外数值随意运算；运算后未化为最简根式。 解题技巧：熟记公式、；同次根式根号内、外分别运算，最后统一化简为最简二次根式。 17．计算：． 18．计算：． 19．计算： (1)； (2)． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 题型6 分母有理化 易错点：单项、多项分母有理化方法混淆；分子漏乘对应因式；化简不彻底。 解题技巧：单项分母：分子分母同乘分母根式；两项分母：利用平方差公式，同乘共轭根式；有理化后彻底化简，保证分母无根式、根式为最简。 21．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 22．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 23．化简___________． 24．材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：， 观察上面的解题过程，并解答下列问题： (1)____，的倒数是____． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用上面的解法，请化简：． 题型7 已知最简二次根式求参数 易错点：不清楚最简二次根式定义；同类最简根式条件遗漏；参数取值验证缺失。 解题技巧：最简二次根式：被开方数无分母、无开得尽方的因数；同类最简二次根式：被开方数相同、根指数相同；联立方程求解参数，验证满足最简条件。 25．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 27．请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 28．下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 题型8 复合二次根式的化简 易错点：不会配方变形；拆分数值错误；化简后符号出错。 解题技巧：针对型根式，配方转化为完全平方形式；寻找两个数满足和为a、积为b；开方后保留非负结果，完成化简。 29．一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 30．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 31．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 32．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________． (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 题型9 二次根式的加减运算 易错点：不同类二次根式盲目合并；化简不彻底导致合并错误。 解题技巧：二次根式加减本质是合并同类二次根式；先将所有根式化为最简，再合并被开方数相同的根式；不同类根式不可合并。 33．计算： (1)； (2)． 34．计算：． 35．计算：． 36．计算： 题型10 二次根式的混合运算 易错点：运算顺序混乱；乘法公式误用；根式运算与整式运算规则混淆。 解题技巧：遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”；灵活运用平方差、完全平方公式简化运算；每一步化简，最终结果为最简根式。 37．计算： (1) (2) 38．计算： (1)； (2)； 39．计算：． 40．计算： (1)； (2)． 题型11 已知字母的值，化简求值 易错点：直接代入复杂数值计算繁琐出错；化简过程符号、公式出错。 解题技巧：先化简代数式，再代入字母数值；含根式的字母优先有理化、简化数值；分步运算，规避计算失误。 41．已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 42．已知，，则代数式的值等于______． 43．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 44．先化简，再求值：，其中． 题型12 已知条件式，化简求值 易错点：强行求解字母值，运算复杂；不会整体代入、变形条件式。 解题技巧：优先对已知条件式变形，构造整体（和、差、积、平方和）；不单独求未知数，整体代入化简后的式子；大幅简化运算，提升准确率。 45．阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一．用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，，求的值． 46．阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 又．这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题：已知． (1)求的值： (2)求的值． 47．请运用分母有理化及有理化因式的知识，解决下列问题： (1)①化简：______； ②比较大小：______；（用“”、“”或“”填空） (2)设有理数a、b满足：，求的值； (3)已知，求的值． 48．已知，，求的值． 题型13 比较二次根式的大小 易错点：平方比较时忽略正负；作差、作商方法使用混乱。 解题技巧：正数根式：平方后比较大小；异号根式：正数大于负数；同分母根式比较分子，同分子根式比较分母；复杂式子用作差法、作商法精准判断。 49．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 50．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 51．已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 52．阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫作分母有理化． 问题： (1)①的一个有理化因式是_____； ②的一个有理化因式是______； (2)计算：； (3)已知，，试比较a，b的大小，并说明理由． 题型14 二次根式的应用 易错点：几何、实际问题建模错误；根式结果未化简、未取合理近似值。 解题技巧：结合几何边长、距离、面积公式列根式算式；运算后化为最简二次根式；实际问题根据需求保留近似值，保证结果符合实际意义。 53．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 54．阅读材料：在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： ； 【类比归纳】 (1)①； ②； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示a，b，得_____，_____； 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求正方形的面积． 55．综合与探究 问题情境：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为秦九韶公式：三角形的三边长分别为a，b，c则其面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，海伦公式：记，则其面积． (1)如图1，的三边的长依次为5、6、7， ①利用上面其中一个公式求的面积． ②请利用勾股定理求出的高的长度． (2)如图2，锐角的三边的长依次为a、b、c，请仿照第（1）问利用勾股定理求出高的长度（用含有a、b、c表达）． (3)在（2）的条件下，证明秦九韶公式． (4)通过秦九韶公式推导出海伦公式． 56．【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． (1)化简： ； (2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $