专题7因式分解易错必刷题型专项训练 2025-2026学年苏科版八年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦因式分解11类核心题型，以易错点为导向，系统提炼解题技巧，构建从概念辨析到综合应用的递进式训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|4题|定义对比法（整式乘法逆运算）|从因式分解定义出发，明确变形本质| |基础方法|16题|提公因式三要素、公式法适用条件|按“提公因式→公式法”顺序构建基本技能| |综合方法|20题|一提二套三检查、十字相乘拆分法、分组分解策略|整合多方法，形成复杂式子分解路径| |实际应用|10题|简算构造法、几何模型转化法|链接代数变形与实际问题，发展应用意识|

专题7 因式分解易错必刷题型专项训练 【温馨提示】本专题涵盖11类核心必考题型，是初中代数运算的基础核心，也是后续分式化简、解方程、函数计算的铺垫知识点。专题聚焦学生常犯的分解不彻底、公式混淆、符号出错、方法误用等高频错误，通过梳理各题型解题技巧，帮助学生夯实因式分解运算功底，突破易错难点，提升代数变形与简便运算能力，适配基础巩固、培优提升全阶段学习需求。 题型1 判断是否是因式分解 题型7 综合提公因式和公式法分解因式 题型2 已知因式分解的结果求参数 题型8 因式分解在有理数简算中的应用 题型3 提公因式法分解因式 题型9 十字相乘法 题型4 平方差公式分解因式 题型10 分组分解法 题型5 完全平方公式分解因式 题型11 因式分解的应用 题型6 综合运用公式法分解因式 题型1 判断是否是因式分解 易错点：混淆因式分解与整式乘法；忽略分解结果必须是整式积的形式；残留加减运算、含有分式或小数。 解题技巧：牢记核心定义，把多项式化为几个整式乘积的形式才是因式分解；整式乘法是“积变和差”，因式分解是“和差变积”，二者互为逆运算；最终结果无加减、无分式、无单独常数项。 1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 4．在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是_____________，属于整式乘法的是____．（填序号） 题型2 已知因式分解的结果求参数 易错点：展开多项式计算粗心、符号出错；遗漏多解情况；忽略参数取值限制。 解题技巧：利用“对应项系数相等”解题，将分解后的式子展开，与原式对比同类项系数；特殊题型可采用赋值法，代入因式为0的根快速求参数；计算后务必检验结果是否符合题意。 5．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 6．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 7．已知整式分解因式的结果为，则______． 8．若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 题型3 提公因式法分解因式 易错点：公因式找不完整，遗漏字母、系数、多项式公因式；首项为负未提取负号；提取公因式后漏写剩余1；分解不彻底。 解题技巧：公因式三要素：系数取最大公约数、字母取最低次幂、多项式整体作为公因式；首项为负优先提负号，统一括号内首项为正；提取后逐项检查，保证无剩余公因式。 9．利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是 （    ） A． B． C． D． 10．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 11．因式分解________． 12．分解因式：______． 题型4 平方差公式分解因式 易错点：混淆平方差与完全平方公式；无法准确识别平方形式；符号判断错误；分解后仍可继续分解却终止运算。 解题技巧：牢记公式，适用条件为两项、异号、均为平方形式；复杂式子先整理变形，凑出平方差结构；遵循“先提公因式，再套公式”原则。 13．下列各式中能用平方差公式计算的是（） A． B． C． D． 14．把多项式分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 15．因式分解：_______． 16．因式分解： 题型5 完全平方公式分解因式 易错点：中间项系数判断错误；混淆和、差完全平方公式；忽略常数项符号；漏看二次项系数不为1的情况。 解题技巧：熟记两个公式，满足“首平方、尾平方，首尾两倍放中央”；先判断首尾项是否为平方数，再验证中间项是否为两倍乘积；符号与中间项一致。 17．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 18．分解因式：_________． 19．把下列完全平方式因式分解： (1)； (2)． 20．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 题型6 综合运用公式法分解因式 易错点：同时混用两个公式时思路混乱；多次公式分解遗漏步骤；符号变形出错。 解题技巧：先观察式子项数、次数和结构，两项优先平方差，三项优先完全平方；部分式子需多次套用公式，逐层分解；每一步分解后检查是否可继续化简。 21．因式分解：． 22．因式分解：． 23．因式分解： (1) (2) 24．分解因式：． 题型7 综合提公因式和公式法分解因式 易错点：跳过提公因式直接套公式；提公因式不彻底导致公式套用错误；最终结果未化简。 解题技巧：严格遵循解题顺序：一提、二套、三检查；先提取全部公因式，再根据剩余式子结构套用对应公式；最终结果必须分解到不能再分解为止。 25．在有理数范围内分解因式： (1) (2) 26．因式分解： (1)； (2)； 27．分解因式： (1)； (2)． 28．分解因式： (1) (2) (3) 题型8 因式分解在有理数简算中的应用 易错点：不会构造因式分解结构；计算过程中符号、数值出错；未约分简化导致计算繁琐。 解题技巧：观察算式结构，提取公共因数或凑平方差、完全平方公式；将复杂大数运算转化为整式因式运算，消去相同项；优先约分再计算，最大程度简化运算。 29．利用乘法公式简便计算：． 30．用简便方法计算： (1) (2) 31．利用因式分解计算： (1)； (2)． 32．利用因式分解计算：． 题型9 十字相乘法 易错点：常数项因数拆分错误；符号匹配混乱；二次项系数不为1时拆分失误。 解题技巧：二次项系数为1时，找两个数满足“积为常数项、和为一次项系数”；系数不为1时，首尾交叉相乘求和匹配中间项；拆分后务必回代检验，确保系数一致。 33．如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 34．【类比学习】 小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法： 即，所以． 【初步应用】 (1)请你完成下面的竖式计算． (2)小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，（其中□、△代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式： 得出______，______． 【深入研究】 (3)小明用这种方法对多项式进行因式分解，进行到了：．（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式因式分解． 35．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 36．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 题型10 分组分解法 易错点：分组方式不合理，无法继续分解；分组后符号变形错误；分组后遗漏公因式或公式结构。 解题技巧：四项式优先“二二分组”或“一三分组”；分组目的是提取组间公因式或凑公式；分组后整体整合，持续分解至最简。 37．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 38．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2)应用：若，求a、b、c的值． 39．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 40．我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 题型11 因式分解的应用 易错点：无法将实际问题、代数式求值问题转化为因式分解模型；分解后代入计算出错。 解题技巧：遇代数式求值、整除问题、最值问题，优先因式分解化简式子；利用分解后的整式乘积结构分析取值、整除规律；简化后代入数值计算，降低运算难度。 41．课堂上，老师借助拼图前后图形的面积不变的事实，帮助同学们直观理解因式分解的合理性，形象地说明因式分解是整式的恒等变形，并鼓励学习小组开展探究活动．如图1，已知现有A、B、C三种型号的卡片若干张． (1)实践活动：如图2，第一小组利用四张卡片（1张A型，1张B型，2张C型）拼成一个大正方形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； (2)拓展探究：如图3，第二小组利用九张卡片（2张A型，2张B型，5张C型）拼成一个大长方形． ①观察图形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； ②若每块C型小长方形卡片的面积为10，四个正方形（2张A型，2张B型）面积之和为58，试求图中所有拼接线（虚线部分）长之和． 42．小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 43．某班数学兴趣小组学习勾股定理后，对构成直角三角形三边长a，b，c（c为斜边长）为正整数的情况进行深入探究． 【特例发现】 (1)①；②；③；④；…它们都满足 ，若，则 ． 【提出问题】 该兴趣小组进一步探究发现，当时，总能找到正整数b，c使 于是该小组成员提出问题：当或时，是否存在正整数b，c，满足 【解决问题】 小组成员给出了当时，不存在正整数b，c，满足的证明过程． 证明：假设存在正整数b，c满足 移项得： 因式分解： ∵b，c为正整数且 ∴ ∵或 ∴，，解得，与假设相矛盾；或，． 综上所述，不存在正整数b，c，满足 (2)请类比上面的方法证明：当时，不存在正整数b，c，满足． 44．定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7 因式分解易错必刷题型专项训练 【温馨提示】本专题涵盖11类核心必考题型，是初中代数运算的基础核心，也是后续分式化简、解方程、函数计算的铺垫知识点。专题聚焦学生常犯的分解不彻底、公式混淆、符号出错、方法误用等高频错误，通过梳理各题型解题技巧，帮助学生夯实因式分解运算功底，突破易错难点，提升代数变形与简便运算能力，适配基础巩固、培优提升全阶段学习需求。 题型1 判断是否是因式分解 题型7 综合提公因式和公式法分解因式 题型2 已知因式分解的结果求参数 题型8 因式分解在有理数简算中的应用 题型3 提公因式法分解因式 题型9 十字相乘法 题型4 平方差公式分解因式 题型10 分组分解法 题型5 完全平方公式分解因式 题型11 因式分解的应用 题型6 综合运用公式法分解因式 题型1 判断是否是因式分解 易错点：混淆因式分解与整式乘法；忽略分解结果必须是整式积的形式；残留加减运算、含有分式或小数。 解题技巧：牢记核心定义，把多项式化为几个整式乘积的形式才是因式分解；整式乘法是“积变和差”，因式分解是“和差变积”，二者互为逆运算；最终结果无加减、无分式、无单独常数项。 1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，是整式乘法运算，结果是和的形式，不属于因式分解； 选项B，，变形错误，不属于因式分解； 选项C，的结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解； 选项D，，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义． 2．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式， 因式分解要求结果必须是几个整式的积的形式． 【详解】解：A选项等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； B选项的变形是整式乘法，是将整式的积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； C选项等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； D选项将多项式化为两个整式和的积，符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意． 故选：D． 3．下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③④ 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的对象是多项式，结果是几个整式的积，与整式乘法互为逆运算是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各等式变形是否符合定义． 【详解】解：等式①左边为积的形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 等式②左边为单项式，不是多项式，不符合因式分解对象要求； 等式③左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式④左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式⑤右边不是积的形式，因此不是因式分解． 故答案为：③④． 4．在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是_____________，属于整式乘法的是____．（填序号） 【答案】 ①③ ② 【分析】本题主要考查了因式分解的定义和多项式乘以多项式，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，整式乘法是将整式的积展开为多项式形式，根据等式左右形式判断即可． 【详解】解：①是因式分解； ②这是整式乘法，不是因式分解； ③是因式分解； 故答案为：①③；②． 题型2 已知因式分解的结果求参数 易错点：展开多项式计算粗心、符号出错；遗漏多解情况；忽略参数取值限制。 解题技巧：利用“对应项系数相等”解题，将分解后的式子展开，与原式对比同类项系数；特殊题型可采用赋值法，代入因式为0的根快速求参数；计算后务必检验结果是否符合题意。 5．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 6．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 【答案】C 【分析】通过展开等式右侧乘积，对比左右两边即可求出被盖住的数字． 【详解】设，，则， ， ， 解得， 所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2． 7．已知整式分解因式的结果为，则______． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解，将已知分解后的结果展开，对比原式对应项系数即可求得． 【详解】解：， 则， 即． 8．若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， 对比等式两边对应项的系数可得． 故答案为：． 题型3 提公因式法分解因式 易错点：公因式找不完整，遗漏字母、系数、多项式公因式；首项为负未提取负号；提取公因式后漏写剩余1；分解不彻底。 解题技巧：公因式三要素：系数取最大公约数、字母取最低次幂、多项式整体作为公因式；首项为负优先提负号，统一括号内首项为正；提取后逐项检查，保证无剩余公因式。 9．利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 10．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解——提取公因式，熟练掌握公因式定义是关键． 公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故选：B． 11．因式分解________． 【答案】 【分析】利用提公因式分解因式即可． 【详解】解：， ． 12．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，解题思路为找出多项式各项的公因式，提取公因式完成分解． 【详解】解： 题型4 平方差公式分解因式 易错点：混淆平方差与完全平方公式；无法准确识别平方形式；符号判断错误；分解后仍可继续分解却终止运算。 解题技巧：牢记公式，适用条件为两项、异号、均为平方形式；复杂式子先整理变形，凑出平方差结构；遵循“先提公因式，再套公式”原则。 13．下列各式中能用平方差公式计算的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式的结构为，使用条件是两个二项式相乘，两个式子中有一项相同，另一项互为相反数，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A：，其中相同，与互为相反数，符合平方差公式的条件，可以用平方差公式计算； B：，两项都相同，不符合条件，不能用平方差公式计算； C：，不符合条件，不能用平方差公式计算； D：，两项都互为相反数，不符合条件，不能用平方差公式计算． 14．把多项式分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 15．因式分解：_______． 【答案】 【分析】将原式整理为平方差的形式，再运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为． 16．因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 题型5 完全平方公式分解因式 易错点：中间项系数判断错误；混淆和、差完全平方公式；忽略常数项符号；漏看二次项系数不为1的情况。 解题技巧：熟记两个公式，满足“首平方、尾平方，首尾两倍放中央”；先判断首尾项是否为平方数，再验证中间项是否为两倍乘积；符号与中间项一致。 17．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构特征逐一判断选项即可，完全平方公式的结构为． 【详解】解：A、的常数项为，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； B、缺少两个数乘积的倍这一项，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； C、是平方差，只能用平方差公式因式分解，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； D、，符合完全平方公式结构，可以用完全平方公式因式分解． 18．分解因式：_________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可，最终分解至不能再分解为止． 【详解】解：． 19．把下列完全平方式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 20．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，再根据完全平方公式解答即可； （2）令，再根据整式乘法法则整理，然后根据完全平方公式解答． 【详解】（1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到：； （2）解：令， 则 ； 将“B”还原，可以得到： ． 题型6 综合运用公式法分解因式 易错点：同时混用两个公式时思路混乱；多次公式分解遗漏步骤；符号变形出错。 解题技巧：先观察式子项数、次数和结构，两项优先平方差，三项优先完全平方；部分式子需多次套用公式，逐层分解；每一步分解后检查是否可继续化简。 21．因式分解：． 【答案】 【分析】先展开原式，再对多项式分组，运用完全平方公式和平方差公式完成因式分解． 【详解】解：原式 ． 22．因式分解：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式展开，再利用完全平方公式以及平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 23．因式分解： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式； （2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式继续分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．分解因式：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式初步分解，再使用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 题型7 综合提公因式和公式法分解因式 易错点：跳过提公因式直接套公式；提公因式不彻底导致公式套用错误；最终结果未化简。 解题技巧：严格遵循解题顺序：一提、二套、三检查；先提取全部公因式，再根据剩余式子结构套用对应公式；最终结果必须分解到不能再分解为止。 25．在有理数范围内分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解即可； （2）利用多项式乘多项式法则和完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可； （2）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 28．分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型8 因式分解在有理数简算中的应用 易错点：不会构造因式分解结构；计算过程中符号、数值出错；未约分简化导致计算繁琐。 解题技巧：观察算式结构，提取公共因数或凑平方差、完全平方公式；将复杂大数运算转化为整式因式运算，消去相同项；优先约分再计算，最大程度简化运算。 29．利用乘法公式简便计算：． 【答案】 【分析】利用平方差公式和完全平方公式对已知式子进行变形，简便计算，即可得解． 【详解】解：原式 ． 30．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)41200 (2)3200 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 31．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】先把原式化成完全平方公式的形式，然后再按照完全平方公式分解后求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】掌握完全平方公式是解题的关键． 题型9 十字相乘法 易错点：常数项因数拆分错误；符号匹配混乱；二次项系数不为1时拆分失误。 解题技巧：二次项系数为1时，找两个数满足“积为常数项、和为一次项系数”；系数不为1时，首尾交叉相乘求和匹配中间项；拆分后务必回代检验，确保系数一致。 33．如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 【答案】(1)， (2)，，， (3)①；② 【分析】（1）根据等面积求解； （2）利用单项式乘多项式以及因式分解求解； （3）①利用代数方法变形因式分解； ②利用代数方法变形因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：①； ② ． 34．【类比学习】 小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法： 即，所以． 【初步应用】 (1)请你完成下面的竖式计算． (2)小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，（其中□、△代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式： 得出______，______． 【深入研究】 (3)小明用这种方法对多项式进行因式分解，进行到了：．（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式因式分解． 【答案】(1)见解析 (2)5，3 (3)见解析 【分析】（1）利用列竖式除法的结果进行分解； （2）根据竖式除法的运算方法先确定△表示的数，然后确定□代表的数； （3）利用列竖式除法的结果进行分解． 【详解】（1）解：列式如下： （2）解：仿照例题，得：， ∴， 则有，， ∴，； （3）解：列式如下： ∴ ， ∴将多项式可因式分解为． 35．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①把化为，然后利用十字相乘法分解因式； ②把化为，然后利用十字相乘法分解因式； （2）先把多项式看作关于的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式； （3）先把多项式分成和两组，再把两组分别分解，然后利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 36．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)7或或2或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 题型10 分组分解法 易错点：分组方式不合理，无法继续分解；分组后符号变形错误；分组后遗漏公因式或公式结构。 解题技巧：四项式优先“二二分组”或“一三分组”；分组目的是提取组间公因式或凑公式；分组后整体整合，持续分解至最简。 37．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 38．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2)应用：若，求a、b、c的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】 （1）①先将原式变形为，前3项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； ②将常数项变为，前三项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （2）将原式变形为 ，分组分解为，再利用非负数的性质即可求出，，． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由得： ， 即， ∴ ， ∴． 39．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】（）应用分组分解法，把分解因式即可． （）首先应用分组分解法，把分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出的形状即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， 或， 或， 是等腰三角形． 40．我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①，② (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）①将式子整理为，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； ②将式子整理为，再结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将整理得到，再结合，b，c均为正数，分析求解，即可解题． 熟练掌握因式分解方法，以及正确理解新方法是解题的关键． 【详解】（1）解：①． ②． （2）解：为等腰三角形．理由如下： ． 的三边长a，b，c ，b，c均为正数， ， ， 为等腰三角形． 题型11 因式分解的应用 易错点：无法将实际问题、代数式求值问题转化为因式分解模型；分解后代入计算出错。 解题技巧：遇代数式求值、整除问题、最值问题，优先因式分解化简式子；利用分解后的整式乘积结构分析取值、整除规律；简化后代入数值计算，降低运算难度。 41．课堂上，老师借助拼图前后图形的面积不变的事实，帮助同学们直观理解因式分解的合理性，形象地说明因式分解是整式的恒等变形，并鼓励学习小组开展探究活动．如图1，已知现有A、B、C三种型号的卡片若干张． (1)实践活动：如图2，第一小组利用四张卡片（1张A型，1张B型，2张C型）拼成一个大正方形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； (2)拓展探究：如图3，第二小组利用九张卡片（2张A型，2张B型，5张C型）拼成一个大长方形． ①观察图形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； ②若每块C型小长方形卡片的面积为10，四个正方形（2张A型，2张B型）面积之和为58，试求图中所有拼接线（虚线部分）长之和． 【答案】(1) (2)①；②42 【分析】（1）分别表示出四张卡片的面积和大正方形的面积，根据四张卡片的面积等于大正方形的面积即可得解； （2）①分别表示出九张卡片的面积和大长方形的面积，根据九张卡片的面积等于大长方形的面积即可得解； ②根据题意得，，再由，可求出，然后计算图中所有拼接线（虚线部分）长之和，化简后，整体代入求值． 【详解】（1）解：四张卡片的面积可表示为：， 大正方形的面积可表示为：， ∴； （2）解：①九张卡片的面积可表示为：， 大长方形的面积可表示为：， ∴； ②根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合，已舍去）， 图中所有拼接线（虚线部分）长之和为： ． 42．小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，见解析 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解 ，推出，即可得出结论. 【详解】（1）解：． （2）解：为等腰三角形． 理由：． ，，是的三边长， ， ，即， 为等腰三角形． 43．某班数学兴趣小组学习勾股定理后，对构成直角三角形三边长a，b，c（c为斜边长）为正整数的情况进行深入探究． 【特例发现】 (1)①；②；③；④；…它们都满足 ，若，则 ． 【提出问题】 该兴趣小组进一步探究发现，当时，总能找到正整数b，c使 于是该小组成员提出问题：当或时，是否存在正整数b，c，满足 【解决问题】 小组成员给出了当时，不存在正整数b，c，满足的证明过程． 证明：假设存在正整数b，c满足 移项得： 因式分解： ∵b，c为正整数且 ∴ ∵或 ∴，，解得，与假设相矛盾；或，． 综上所述，不存在正整数b，c，满足 (2)请类比上面的方法证明：当时，不存在正整数b，c，满足． 【答案】(1) (2) 见解析 【分析】（1）直接利用勾股定理计算正整数的值即可； （2）类比题目给出的证明方法，使用反证法，先假设存在正整数满足等式，再通过平方差公式因式分解，讨论正整数因数分解，推出矛盾，证明结论. 【详解】（1）解：∵，，为斜边长，满足，且为正整数， ∴， ∴（负值舍去）； （2）解：假设存在正整数，满足， 移项得， 利用平方差公式因式分解得； ∵，为正整数且 ∴ ∵ ∴，，解得，与假设相矛盾， 故不存在正整数b，c，满足. 44．定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 【答案】(1) (2)（答案不唯一）；见解析 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将式子因式分解即可求出结果； （2）写出一个含有因子的多项式即可； （3）结合图形，可知拼成的大长方形面积可表示为：，也可表示为，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 共因多项式和的同因子是； （2）解：，， 共因多项式和的同因子是， 为多项式的一个共因多项式； （3）解：根据题意，可知甲卡片面积为，乙卡片面积为a，丙卡片面积为2， ∵图2长方形由甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张拼成， ∴拼成的大长方形面积可表示为：， ∵拼成的大长方形长为，宽为， ∴拼成的大长方形面积也可表示为：， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $