专题04 随机变量及其分布（期末真题汇编，安徽专用）高二数学下学期

**基本信息** 聚焦随机变量5大核心考点，汇编安徽多校期末真题，以新药测试、篮球比赛等真实情境构建问题，层次覆盖基础计算与综合应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |解答题|19题|期望方差、二项分布等|结合党史竞赛、园博会等情境，设计多轮比赛游程分析、分层抽样等综合题| |选择/填空|32题|条件概率、正态分布等|通过数字通信干扰、疫苗接种等实例，考查公式应用与性质辨析|

专题04 随机变量及其分布 5大高频考点概览 考点01条件概率与全概率公式 考点02 离散型随机变量的期望与方差 考点03 二项分布 考点04 超几何分布 考点05 正态分布 地 城 考点01 条件概率与全概率公式 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)已知事件，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·安徽宿州第二中学·期末)已知事件，相互独立，，若，，则（   ） A．0.18 B．0.12 C．0.42 D．0.28 4．(24-25高二下·安徽·期末)为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（    ） A．可化简为，估计其值为 B．可化简为，估计其值为 C．可化简为，估计其值为 D．可化简为，估计其值为 5．(24-25高二下·安徽合肥一六八中学·期末)已知事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·安徽A10联盟·期中)已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·安徽阜阳多校联考·期末)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1：发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山.涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件 B．小明与父母一起选择乙路线登山的概率为 C．小明选择甲路线登山的概率为 D．已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为 9．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)若A，B是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（   ） A．A与B相互独立 B． C． D． 10．(24-25高二下·安徽亳州·期末)已知盒子中有2个白球和3个黑球，盒子中有3个白球和2个黑球．先从盒子随机取出一球放入盒子，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件；再从盒子中随机取一球，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件，下列说法正确的是（   ） A．是互斥事件 B．是独立事件 C． D． 11．(24-25高二下·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．(24-25高二下·安徽合肥百花中学等四校·期末)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则___________. 四、解答题 13．(24-25高二下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. (1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； (2)求第一次取出的是白球的概率； (3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率； 地 城 考点02 离散型随机变量的期望与方差 一、多选题 1．(24-25高二下·安徽宿州第二中学·期末)设离散型随机变量的分布列为 1 2 3 4 5 0.1 0.4 0.2 0.1 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（   ） A． B． C． D． 二、解答题 2．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为次赢次输.为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况.游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号.游程长度指该连续序列中数据的个数.一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为.假设校篮球队比赛的输赢序列具有个赢的游程， 表示第个赢的游程长度，其中 且 则记向量 表示第个赢的游程以前连续输的次数，表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中 且 ，记向量 例如，用表示赢，表示输，当，一个输赢序列记为 . 这个序列共有个游程，其中个赢的游程，故，游程的长度依次为，向量. (1)已知篮球队的比赛成绩为次赢，次输，即，若，请写出所有满足条件的输赢序列，以及对应的向量 和 (2)若篮球队有次赢，次输. (i)求具有个赢的游程的概率； (ii)求具有个游程的概率. 3．(24-25高二下·安徽合肥第七中学·期末)某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和． (1)1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？ (2)设三个班中进入决赛的班级数为，求的分布列． 0 1 2 3 P 4．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为. (1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率； (2)设进入决赛的同学人数为，求的分布列与数学期望. 0 1 2 3 5．(24-25高二下·安徽亳州·期末)在某次乒乓球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束．在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响． (1)求甲队以获胜的概率； (2)设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望． 3 4 5 6．(24-25高二下·安徽芜湖第一中学·期中)甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为. (1)当时，求甲第二局获胜的概率. (2)设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为. ①求； ②记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望. 2 3 7．(24-25高二下·安徽蒙城第一中学·期末)甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． (1)分别求，的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p． (2)记． （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）求的数学期望．（用n表示） 0 1 2 P 8．(24-25高二下·安徽宿州第二中学雪枫校区·期末)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望． 0 1 2 4 9．(24-25高二上·安徽阜阳阜南实验中学·期末)随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止. (1)求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率； (2)若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望. 10．(24-25高二下·安徽合肥百花中学等四校·期末)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 地 城 考点03 二项分布 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（   ）（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 2．(24-25高二下·安徽六安独山中学·期末)某篮球运动员进行投篮训练，若投进的概率是，用表示他投篮3次的进球数，则随机变量的标准差为（    ） A． B． C． D． 0 1 2 3 二、多选题 3．(24-25高二下·安徽合肥百花中学等四校·期末)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·安徽六安独山中学·期末)随机变量X的分布列如下表，随机变量．设，，且X与Y互相独立，则下列说法正确的是（   ） X a 1 P p A． B． C． D． 三、填空题 5．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 四、解答题 6．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个黑球，个红球. (1)若不放回的抽取个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率； (2)若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球或黑球不得分.求积分的分布列，以及的期望和方差.                                         7．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)为了激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养，合肥八中将举办一次数学文化知识竞赛，共进行4轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：题库中有艺术题和历史题两类问题，每一轮比赛中，参赛者在20分钟内完成艺术题和历史题各2道，若有不少于3道题答对，将获得一枚数学文化奖章，4轮比赛中，获得3枚及以上奖章的同学将进入决赛.甲同学十分喜欢数学，积极报名参加竞赛. (1)若一轮比赛中题库有5道艺术题和5道历史题，其中甲会2道艺术题，4道历史题，老师随机各抽取2道，求甲同学在这一轮比赛中答对1道艺术题，2道历史题的概率； (2)若每道艺术题甲答对的概率为，历史题答对的概率为.为提高参赛成绩，甲进行了赛前突击，使得艺术题和历史题答对的概率共增加了0.3，记增加后答对艺术题概率为（），答对历史题概率为（）； ①求提高后甲在一轮比赛中获得奖章的概率（用，表示）； ②以4轮比赛甲获得奖章的个数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛. 8．(24-25高二下·安徽宿州第二中学雪枫校区·期末)某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下： 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； 如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了； 设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望； (2)求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率． 9．(24-25高二下·安徽六安独山中学·期末)鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求： （1）没有鸡感染病毒的概率； （2）恰好有1只鸡感染病毒的概率. 地 城 考点04 超几何分布 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 二、解答题 2．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)3月14日某中学进行了以“数学对”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行.初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛.决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰． (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率． 0 1 2 3 3．(24-25高二下·安徽芜湖·期末)某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生．现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案： 方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答； 方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答． 假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二． (1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值； (2)若测试过程中答对个问题得分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明理由． 4．(24-25高二下·安徽合肥百花中学等四校·期末)2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园. (1)若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望； (2)为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表： 游园方式 游园结果 观光车 自行车 步行 参观完所有展园 80 80 40 未参观完所有展园 20 120 160 用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率. 0 1 2 地 城 考点05 正态分布 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)已知随机变量X服从正态分布，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·安徽六安第一中学·期末)随机变量，若，则（    ） A．0.1 B．0.5 C．0.2 D．0.3 4．(24-25高二下·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期末)已知随机变量，为使在内的概率不小于（若，则)，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 5．(24-25高二上·安徽阜阳阜南实验中学·期末)为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 二、多选题 6．(24-25高二下·安徽合肥百花中学等四校·期末)某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 7．(24-25高二下·安徽宣城·期末)某中学高三年级学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)关于随机变量的期望与方差，下列说法正确的是（ ） A． B．若，则 C．若，则的值与无关 D．若是两点分布，则当时，最大 9．(24-25高二下·安徽·期末)已知随机变量服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高二下·安徽县中联盟·期末)下列说法正确的是（   ） A．若随机变量X服从两点分布且，则 B．若随机变量满足，，则 C．若随机变量，则 D．设随机变量，若恒成立，则的最大值为12 三、填空题 11．(24-25高二下·安徽宿州第二中学·期末)若随机变量，且，则_____. 12．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)已知随机变量，且，则__________. 13．(24-25高二下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)已知随机变量X服从正态分布，若，且，则__________. 14．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)对一个零件进行次尺寸测量，以次测量结果的平均值作为该零件尺寸的最后结果.记零件尺寸的最后结果的随机变量为，若，为使零件尺寸的最后结果在内的概率不小于0.9545，则至少需要测量___________次.（若，则） 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 随机变量及其分布 5大高频考点概览 考点01条件概率与全概率公式 考点02 离散型随机变量的期望与方差 考点03 二项分布 考点04 超几何分布 考点05 正态分布 地 城 考点01 条件概率与全概率公式 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件概率的性质得，再利用条件概率公式求得，最后利用对立事件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 2．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)已知事件，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，根据概率的基本性质得到，从而求出，，利用条件概率求出答案. 【详解】由题意得，故， ， 又，故，解得， 所以， 故， 由条件概率公式得. 故选：B 3．(24-25高二下·安徽宿州第二中学·期末)已知事件，相互独立，，若，，则（   ） A．0.18 B．0.12 C．0.42 D．0.28 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式及条件概率公式求解即可. 【详解】易知可得， ， 又事件，相互独立， 故选：A 4．(24-25高二下·安徽·期末)为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（    ） A．可化简为，估计其值为 B．可化简为，估计其值为 C．可化简为，估计其值为 D．可化简为，估计其值为 【答案】A 【分析】利用条件概率公式化简. 【详解】1.化简. 已知， 则， 由条件概率公式， 所以 ， 2.根据列联表计算概率 由列联表可知，， 所以 故选：A. 5．(24-25高二下·安徽合肥一六八中学·期末)已知事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率的乘法公式及条件概率公式计算即可. 【详解】由条件概率公式知：， 则. 故选：D. 6．(24-25高二下·安徽A10联盟·期中)已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 7．(24-25高二上·安徽阜阳多校联考·期末)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1：发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全概率公式求出接收到的信号为0的概率，再利用条件概率公式计算即可求解. 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”．由题意得 ，，， ，， ， ． 故选：B. 二、多选题 8．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山.涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件 B．小明与父母一起选择乙路线登山的概率为 C．小明选择甲路线登山的概率为 D．已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为 【答案】BC 【分析】A选项利用条件概率和全概率公式求出和，再利用独立事件的定义进行判断即可；B选项利用条件概率求解；C选项由全概率公式求解；D选项利用贝叶斯公式进行求解. 【详解】设“小明与父母一起爬山”，“选择甲路线”， 则“小明不与父母一起爬山”，“选择乙路线”， ，，， ，， 对于A选项，，， 根据全概率公式可得，， ， “小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”不是相互独立事件，故A错误； 对于B选项，小明与父母一起选择乙路线登山为， ，， ， 即小明与父母一起选择乙路线登山的概率为，故B正确； 对于C选项，由A选项的解析可知， 即小明选择甲路线登山的概率为，故C正确； 对于D选项，已知小明从乙路线登山，求他与父母一起爬山的概率，即求， ，， 根据条件概率公式可得，， 再根据贝叶斯公式可得，，故D错误. 故选：BC. 9．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)若A，B是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（   ） A．A与B相互独立 B． C． D． 【答案】BC 【分析】先根据已知条件结合求出，，然后根据独立事件的定义，条件概率公式逐个分析判断即可. 【详解】因为，所以， 因为，，， 所以，所以，得， 对于A，因为，所以A与B不相互独立，故A错误， 对于B，因为，所以，故B正确， 对于C，因为，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：BC. 10．(24-25高二下·安徽亳州·期末)已知盒子中有2个白球和3个黑球，盒子中有3个白球和2个黑球．先从盒子随机取出一球放入盒子，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件；再从盒子中随机取一球，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件，下列说法正确的是（   ） A．是互斥事件 B．是独立事件 C． D． 【答案】AD 【分析】根据互斥事件的概念即可判断A；由条件概率，全概率公式即可判断BCD． 【详解】由题可知，，， 对于A，由题可知，是对立事件，所以是互斥事件，故A正确； 对于BC，， ， ，故不是独立事件，故BC错误； 对于D，，故D正确； 故选：AD． 11．(24-25高二下·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用互斥事件概率公式及条件概率公式逐项计算判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，由，解得， 因此，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．(24-25高二下·安徽合肥百花中学等四校·期末)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则___________. 【答案】/0.25 【分析】根据条件概率计算公式求解即可. 【详解】事件A：“取到的2个数之和为偶数”，则事件A包含的基本事件个数为， 又事件B：“取到的2个数均为偶数”，则事件A与事件B同时发生包含的基本事件个数为， 所以. 故答案为： 四、解答题 13．(24-25高二下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. (1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； (2)求第一次取出的是白球的概率； (3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 (1)合理设出事件，利用条件公式进行求解； (2) 利用全概率公式进行求解； (3) 利用全概率公式，条件概率公式进行求解； 【详解】（1）记“随机取到甲袋”为事件，“随机取到乙袋”为事件，“第一次取出的是白球”为事件，“第二次取出的是白球”为事件. . 所以取到甲袋且从中取出的两球均为白球的概率为. （2） 所以第一次取到白球的概率为. （3） 所以. 所以第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率为. 地 城 考点02 离散型随机变量的期望与方差 一、多选题 1．(24-25高二下·安徽宿州第二中学·期末)设离散型随机变量的分布列为 1 2 3 4 5 0.1 0.4 0.2 0.1 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先计算的值，然后用公式求、的值，再利用期望、方差的性质计算，即可. 【详解】由题意有，得， 所以， ， ， . 故选：BC. 二、解答题 2．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为次赢次输.为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况.游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号.游程长度指该连续序列中数据的个数.一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为.假设校篮球队比赛的输赢序列具有个赢的游程， 表示第个赢的游程长度，其中 且 则记向量 表示第个赢的游程以前连续输的次数，表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中 且 ，记向量 例如，用表示赢，表示输，当，一个输赢序列记为 . 这个序列共有个游程，其中个赢的游程，故，游程的长度依次为，向量. (1)已知篮球队的比赛成绩为次赢，次输，即，若，请写出所有满足条件的输赢序列，以及对应的向量 和 (2)若篮球队有次赢，次输. (i)求具有个赢的游程的概率； (ii)求具有个游程的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2)(i) (ii) 【分析】（1）根据赢的游程数、赢的次数和输的次数，找出所有可能的输赢序列，并确定对应的向量和； （2）需要先计算出所有可能的输赢序列的总数，再分别计算出具有特定赢的游程数和游程总数的序列数，最后根据概率公式计算概率. 【详解】（1）满足条件的输赢顺序及对应向量分别为： （2）篮球队有次赢，次输赢序列，即“个，个的排列”，共有 先考虑向量的个数， 即方程解的个数，为； 再考虑向量的个数， 即方程解的个数 令 因为方程解的个数为， 所以向量的个数为， 故具有个赢的游程的排列有个， 所以具有个赢的游程的概率. 因为输赢的游程个数相差， 故一种可能是个赢的游程，个输的游程，其概率 另一种可能是个赢的游程，个输的游程，同(i)计算方式知，其概率 故具有个游程的概率为 3．(24-25高二下·安徽合肥第七中学·期末)某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和． (1)1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？ (2)设三个班中进入决赛的班级数为，求的分布列． 【答案】(1)3班进入决赛的可能性最大 (2)答案见解析 【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出1班，2班，3班进入决赛的概率，比较大小确定结论； （2）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）1班进入决赛的概率为， 2班进入决赛的概率为， 3班进入决赛的概率为， 因为， 所以3班进入决赛的概率最大，所以3班进入决赛的可能性最大. （2）由（1）可知：1班、2班、3班进入决赛的概率分别为，，， 的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 4．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为. (1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率； (2)设进入决赛的同学人数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分别计算出三位同学仅通过第一个环节的概率，再根据相互独立事件的概率求恰好两位同学仅通过第一个环节的概率； （2）分别计算出三位同学进入决赛的概率，然后分析随机变量可能的取值及相应概率，即可求出随机变量的分布列，最后利用数学期望计算公式求解期望即可. 【详解】（1）三位同学仅通过第一个环节的概率分别为： ，，， 所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为： ； （2）记三位同学进入决赛分别为事件，则， ，，， 随机变量可能的取值为：， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望为. 5．(24-25高二下·安徽亳州·期末)在某次乒乓球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束．在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响． (1)求甲队以获胜的概率； (2)设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意分析出甲队必在第五场获胜，第2,3,4场中胜1场，负2场，即可求解； （2）根据题意可取，分别计算出概率，即可求解分布列及数学期望． 【详解】（1）甲队以获胜，已知甲队在第一场比赛中获胜，则甲队必在第五场获胜，第2,3,4场中胜1场，负2场，则甲队以获胜的概率为． （2）根据题意可取， 当时，即甲再连胜2场，所以， 当时，有2种情况，甲胜或乙胜， 所以， 当时，有2种情况，甲胜或乙胜， 所以， 所以的分布列为： 3 4 5 所以数学期望． 6．(24-25高二下·安徽芜湖第一中学·期中)甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为. (1)当时，求甲第二局获胜的概率. (2)设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为. ①求； ②记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)①；②分布列见解析，期望为. 【分析】（1）根据全概率公式即可求解, （2）①②根据全概率公式即可求解概率，进而根据期望公式求解. 【详解】（1）设“甲第局获胜”，其中，依题意得， 当时，由全概率公式得. ， 所以甲第二局获胜的概率为. （2）①甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为， 依题意得，解得. ②的可能取值为2，3. ， 所以的分布列为 2 3 . 7．(24-25高二下·安徽蒙城第一中学·期末)甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． (1)分别求，的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p． (2)记． （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）求的数学期望．（用n表示） 【答案】(1)，， (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）分析出包含两种情况，把两种情况的概率相加得到，同理也包含两种情况，求出相应的概率，相加可得，由，故交换一次不合要求，而，故操作两次满足要求，并求出概率为； （2）（ⅰ）先求出，，，，判断出数列是等比数列； （ⅱ）由（ⅰ）求出，的所有可能取值为0，1，2，并得到对应的概率，得到分布列，求出数学期望. 【详解】（1）根据题意，表示“重复2次操作，甲手中恰有2张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片， 则，，， 表示“重复2次操作，甲手中恰有1张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲交换银色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换银色卡片，乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片， 乙交换金色卡片，则． 其中，故交换一次不会出现的情况，而， 操作两次甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，其概率为． （2）（ⅰ）由题意可得， ， 则，， 所以，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， （ⅱ）由（ⅰ）知，所以． 的所有可能取值为0，1，2， 其分布列为 0 1 2 P 从而． 8．(24-25高二下·安徽宿州第二中学雪枫校区·期末)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望． 【答案】(1)分别抽取人，人和人 (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）根据题意，利用分层抽样的方法，即可求解； （2）根据题意，得到变量的可能取值为，分别求得相应的概率，列出分布列，结合期望的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：某单位甲乙丙三个部门的员工人数分别为， 现采用分层抽样的方法，从中抽取7人，进行睡眠时间的调查， 则从甲部门的员工中抽取人， 从乙部门的员工中抽取人， 从丙部门的员工中抽取人. （2）解：若抽取的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足， 现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查，用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，则的可能取值为， 则， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 4 则数学期望为 9．(24-25高二上·安徽阜阳阜南实验中学·期末)随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止. (1)求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率； (2)若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助独立事件的概率乘法公式和互斥事件加法概率公式计算即可得； （2）求出一天内模拟考试的次数的所有可能取值，计算相应概率，代入数学期望公式求解的期望，借助期望的性质求得模拟考试花费时间X的期望即可. 【详解】（1）设学员小张恰第i次通过模拟考试的概率为，则，， 所以，学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率为. （2）设表示一天内模拟考试的次数，则， 由题意知：，，，，， 所以， 因为，所以， 所以小张一天内模拟考试花费的时间X的期望为分钟. 10．(24-25高二下·安徽合肥百花中学等四校·期末)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． （2）依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 地 城 考点03 二项分布 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（   ）（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】可先求出目标一次都不被击中的概率，再根据“目标至少被击中一次的概率超过”列出不等式，最后通过对数运算求解的取值范围，进而确定的最小值. 【详解】已知每门大炮击中目标的概率是0.4，那么每门大炮不击中目标的概率为. 因为门大炮射击是相互独立事件，所以门大炮都不击中目标的概率为. “目标至少被击中一次”的对立事件是“目标一次都不被击中”，根据对立事件概率之和为，可得目标至少被击中一次的概率为. 已知目标至少被击中一次的概率超过，则可列出不等式，移项可得. 两边同时取以10为底的对数，根据对数函数的单调性可得. 因为，. 将，代入中，可得，解得. 因为为大炮的门数，应为正整数，所以的最小值为. 至少需要大炮的门数是. 故选：A.. 2．(24-25高二下·安徽六安独山中学·期末)某篮球运动员进行投篮训练，若投进的概率是，用表示他投篮3次的进球数，则随机变量的标准差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合二项分布求得随机变量的分布列，结合期望与方差的公式，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，随机变量，得出随机变量分布列： 0 1 2 3 所以， 方差 ， 故标准差. 故选：D. 二、多选题 3．(24-25高二下·安徽合肥百花中学等四校·期末)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出一次摸到黑球的概率，根据题意可得随机变量服从二项分布，再利用二项分布列及期望公式、方差公式求解即可. 【详解】从袋子中有放回的取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等， 又每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数， 又每次摸到黑球的概率为，由有放回地取4次球，得，A正确； ，B错误； 由二项分布期望公式得，C正确； 由二项分布方差公式得，D错误. 故选：AC 4．(24-25高二下·安徽六安独山中学·期末)随机变量X的分布列如下表，随机变量．设，，且X与Y互相独立，则下列说法正确的是（   ） X a 1 P p A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】当时，计算出，当时，根据得到方程，求出，A错误，BC正确；从而得到的可能取值和对应的概率，求出期望值. 【详解】由，故， ，， ， 当时，， 即， 当时，， 即，解得，A错误，BC正确； D选项，的可能取值为， ，， ， ， 故，D错误. 故选：BC 三、填空题 5．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 【答案】 【分析】由题知种子发芽的粒数，，根据二项分布求概率即可. 【详解】根据题意，种子发芽的粒数，， ， 所以恰有3粒种子发芽的概率是. 故答案为：. 四、解答题 6．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)袋子里有除颜色外完全相同的个小球，其中个白球，个黑球，个红球. (1)若不放回的抽取个小球，求既抽到白球也抽到黑球的概率； (2)若有放回的抽取次小球，每抽到一次红球得分，抽到白球或黑球不得分.求积分的分布列，以及的期望和方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析；； 【分析】（1）先求出从个球中不放回抽取个球的所有情况数，再求出既抽到白球也抽到黑球的事件的情况数，进而求出既抽到白球也抽到黑球的概率； （2）先确定积分的可能取值，再分别求出每个取值的概率，列出分布列，最后根据期望和方差的公式计算的期望和方差. 【详解】（1）既抽到白球也抽到黑球的概率； （2）记抽到红球的次数为， ， 由题知，，， 的分布列为                                         ， . 7．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)为了激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养，合肥八中将举办一次数学文化知识竞赛，共进行4轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：题库中有艺术题和历史题两类问题，每一轮比赛中，参赛者在20分钟内完成艺术题和历史题各2道，若有不少于3道题答对，将获得一枚数学文化奖章，4轮比赛中，获得3枚及以上奖章的同学将进入决赛.甲同学十分喜欢数学，积极报名参加竞赛. (1)若一轮比赛中题库有5道艺术题和5道历史题，其中甲会2道艺术题，4道历史题，老师随机各抽取2道，求甲同学在这一轮比赛中答对1道艺术题，2道历史题的概率； (2)若每道艺术题甲答对的概率为，历史题答对的概率为.为提高参赛成绩，甲进行了赛前突击，使得艺术题和历史题答对的概率共增加了0.3，记增加后答对艺术题概率为（），答对历史题概率为（）； ①求提高后甲在一轮比赛中获得奖章的概率（用，表示）； ②以4轮比赛甲获得奖章的个数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛. 【答案】(1)0.36 (2)①；②预测该同学不能进入决赛. 【分析】（1）根据超几何分布概率公式计算； （2）①由4题全对，或只错一个艺术题，或只错一个历史题可得；②求出提高后甲在一轮比赛中获得奖章的概率，利用甲获得奖章的个数，求得期望，再确定其取值与3比较后可得. 【详解】（1）由题意； （2）①甲在一轮比赛中获得奖章，4题全对或只错1题，概率为， 又， 所以； ②由题意知4轮比赛甲获得奖章的个数， 所以 ， 其中， 又，所以， 所以 ， 设， 又在时是减函数，所以， 所以预测该同学不能进入决赛. 8．(24-25高二下·安徽宿州第二中学雪枫校区·期末)某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下： 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； 如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了； 设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望； (2)求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值； （2）将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件，“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且，分别计算出、的值，利用互斥事件的概率公式可求得的值. 【详解】（1）由题可得，的可能取值为、、、， 所以，， ，， 所以，的分布列为： 所以. （2）将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件， “在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件， “在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且， 则， ， 所以. 因此，在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出的概率为. 9．(24-25高二下·安徽六安独山中学·期末)鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求： （1）没有鸡感染病毒的概率； （2）恰好有1只鸡感染病毒的概率. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式即可求解. （2）利用二项分布的概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得鸡接种一种疫苗后，感染某种病毒的概率为， 没有鸡感染病毒为事件， 则. （2）恰好有1只鸡感染病毒为事件， 地 城 考点04 超几何分布 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布概率公式，分别求出，再求. 【详解】依题意，的可能取值有0，1，2. 则，，， 则. 故选:A. 二、解答题 2．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)3月14日某中学进行了以“数学对”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行.初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛.决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰． (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率． 【答案】(1)分布列见解析； (2) 【分析】（1）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列； （2）所求事件可表示为事件得15分，得20分，得30分的和，再求每轮比赛抢到题目答对，抢到题目答错，没抢到题目的概率，结合概率乘法公式概率加法公式求结论. 【详解】（1）设该选手初赛中答对题目数量为，的所有可能取值为， 所以，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以； （2）甲在决赛中总得分大于10分的情况有以下三种情况： 得15分（抢到3次且答对2次，答错1次），得20分（抢到2次且答对2次，1次没抢到），得30分（抢到3次且答对3次）， 令甲每轮抢到题目且答对为事件，则， 令抢到题目且答错的概率为事件，则， 令没抢到题目为事件，则， 得15分的概率，得20分的概率， 得30分的概率， 所以甲在决赛中总得分大于10分的概率. 3．(24-25高二下·安徽芜湖·期末)某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生．现准备了个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的个问题，且甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案： 方案一：从装有个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取个问题作答； 方案二：从装有个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取个问题作答． 假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二． (1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值； (2)若测试过程中答对个问题得分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明理由． 【答案】(1)分布列答案见解析，均值为 (2)甲、乙得分相同，但乙发挥更为稳定，理由见解析 【分析】（1）由题意可知乙同学答对问题的个数为的可能取值有、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）计算出甲、乙回答问题得分的期望和方差，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）乙同学答对问题的个数为，由题意可知随机变量的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. （2）甲同学答对问题的个数为，则， 由二项分布的期望和方差公式得，， 甲回答问题得分为， 所以，甲得分的均值为， 方差为， 由（1）知，， 所以乙同学回答问题得分为， 所以乙得分的均值为， 方差为， 因为，， 所以，甲、乙得分相同，但乙发挥更为稳定. 4．(24-25高二下·安徽合肥百花中学等四校·期末)2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园. (1)若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望； (2)为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表： 游园方式 游园结果 观光车 自行车 步行 参观完所有展园 80 80 40 未参观完所有展园 20 120 160 用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2)0.4 【分析】（1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望； （2）根据题意结合全概率公式运算求解. 【详解】（1）由题意知：所有可能取值为，则有： ，，， 可知的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：. （2）记事件A为“游客乙乘坐观光车游园”，事件为“游客乙骑自行车游园”，事件为“游客乙步行游园”，事件为“游园结束时，乙能参观完所有展园”， 由题意可知：，， 由全概率公式可得， 所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.4. 地 城 考点05 正态分布 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)已知随机变量X服从正态分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正态分布的性质求解即可. 【详解】由题意，，对比选项可知，只有D正确. 故选：D. 2．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性可得，从而求出答案. 【详解】由对称性可知， 故. 故选：A 3．(24-25高二下·安徽六安第一中学·期末)随机变量，若，则（    ） A．0.1 B．0.5 C．0.2 D．0.3 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性求解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 故选：C 4．(24-25高二下·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期末)已知随机变量，为使在内的概率不小于（若，则)，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】由题意得，从而可列出关于的不等式即可求解. 【详解】若随机变量，则，， 为使在内的概率不小于，则，解得， 即的最小值为32. 故选：C. 5．(24-25高二上·安徽阜阳阜南实验中学·期末)为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意， 所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为 ． 故选：A． 二、多选题 6．(24-25高二下·安徽合肥百花中学等四校·期末)某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 【答案】ABC 【分析】越小，正态密度曲线越“瘦高”，可知选项A；根据正态密度曲线的对称性，可判断BCD． 【详解】为数据的方差，所以越小，数据在均值附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确； 因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同， 所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选：ABC. 7．(24-25高二下·安徽宣城·期末)某中学高三年级学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用正态分布的性质求解均值判断A，利用正态分布的性质求解方差判断B，利用正态曲线的对称性得到，再结合正态分布的性质得到，进而证明目标式判断C，利用正态分布的性质求出方差，进而得到的分布更为分散，最后判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确， 对于B，因为，所以，故B错误， 对于C，由正态曲线的对称性得， 由正态分布性质得， 则得证，故C正确， 对于D，因为，所以， 因为，所以， 则的分布更为分散，可得，故D错误. 故选：AC 8．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)关于随机变量的期望与方差，下列说法正确的是（ ） A． B．若，则 C．若，则的值与无关 D．若是两点分布，则当时，最大 【答案】ACD 【分析】由随机变量期望的线性运算可知A正确；由正态分布的意义可知可判断B；由二项分布期望与方差公式可判断C；由两点分布的方差公式，结合二次函数的最值可判断D. 【详解】根据期望的线性运算，，故A正确； 由，，故B错误； 由，，则，故C正确； 因为是两点分布，所以， 则当时，最大，故D正确； 故选：ACD. 9．(24-25高二下·安徽·期末)已知随机变量服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正态曲线的对称性可得答案. 【详解】∵随机变量X服从正态分布， 正态曲线关于直线对称，，，故A，D正确； 与不关于直线对称，故B错误； 正态曲线关于直线对称，所以，故C错误． 故选：AD． 10．(24-25高二下·安徽县中联盟·期末)下列说法正确的是（   ） A．若随机变量X服从两点分布且，则 B．若随机变量满足，，则 C．若随机变量，则 D．设随机变量，若恒成立，则的最大值为12 【答案】BD 【分析】根据两点分布、正态分布、二项分布的性质、期望与方差公式，逐项判断即可. 【详解】对于A，因为随机变量X服从两点分布且，所以， 所以，故A错误； 对于B，因为随机变量满足，， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为随机变量，所以，故C错误； 对于D，因为随机变量，恒成立，所以恒成立， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 11．(24-25高二下·安徽宿州第二中学·期末)若随机变量，且，则_____. 【答案】0.4 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】由可得，即， 因为随机变量，且， 故. 故答案为：. 12．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)已知随机变量，且，则__________. 【答案】0.9 【分析】根据正态曲线的性质求解． 【详解】因为，且，所以，， ， 故答案为：0.9 13．(24-25高二下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)已知随机变量X服从正态分布，若，且，则__________. 【答案】0 【分析】依据正态分布的对称性得a，关于对称即可求解. 【详解】由题意知随机变量X服从正态分布，， 如图所示，结合，得， 可知a，关于对称， 所以，解得. 故答案为： 14．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)对一个零件进行次尺寸测量，以次测量结果的平均值作为该零件尺寸的最后结果.记零件尺寸的最后结果的随机变量为，若，为使零件尺寸的最后结果在内的概率不小于0.9545，则至少需要测量___________次.（若，则） 【答案】25 【分析】由正态分布的对称性求解即可 【详解】由正态曲线的对称性知：要使零件尺寸的最后结果在内的概率不小于0.9545， 则， 又 所以，即，解得， 所以为使零件尺寸的最后结果在内的概率不小于0.9545， 则至少需要测量次 故答案为：25 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $