专题01 数列 6大高频考点（期末真题汇编，安徽专用）高二数学下学期

**基本信息** 数列专题试题汇编，覆盖6大高频考点，精选安徽多地期末真题，融合杨辉三角垛等文化情境与垃圾分类预算等实际应用，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|丰富|数列概念、等差等比性质|斐波那契数列体现数学文化| |多选|适中|等差函数性质、等比前n项和|冰雹猜想考查递推关系| |填空|多样|数列积最值、公共项问题|正三角形边长结合曲线方程| |解答|综合|等差等比证明、求和应用|垃圾分类预算凸显实际价值|

专题01 数列 6大高频考点概览 考点01数列的概念 考点02 等差数列的概念和性质 考点03 等差数列的函数性质 考点04 等差数列的前n项和 考点05 等比数列的概念和性质 考点06 等比数列的前n项和 地 城 考点01 数列的概念 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽亳州·期末)已知数列满足，则（   ） A． B． C． D．2 2．(24-25高二上·安徽宣城·期末)已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·安徽合肥六校·期末)数列满足：，若，则数列的前10项的和为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·月考)斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 二、多选题 5．(24-25高二下·安徽合肥百花中学等四校·期末)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．(24-25高二下·安徽阜阳临泉县·期末)已知数列{an}的通项公式为，前n项积为，则的最大值为____． 地 城 考点02 等差数列的概念和性质 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽耀正优·期末)已知等差数列中，，，则公差（ ） A． B．1 C． D． 2．(23-24高二上·安徽合肥普通高中联盟·期末)在等差数列中，，，则的值是（   ） A．13 B．14 C．16 D．17 3．(22-23高二下·安徽芜湖·)已知数列是等差数列，，则（    ） A．9 B．0 C．-3 D．-6 4．(18-19高二下·安徽高中教科研联盟·期末)已知数列的前项和为，，若，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 二、填空题 5．(24-25高二上·安徽合肥第一中学肥东分校等校·期末)将数列与的所有公共项从小到大排列形成一个新的数列，则______ 6．(24-25高二上·安徽合肥六校·期末)如图，曲线上的点与轴上的点（构成一系列正三角形：，，…，.设正三角形的边长为，点.则数列的通项公式为______.    7．(23-24高二上·安徽合肥六校联盟·期末)某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则的值为__________． 8．(23-24高二上·安徽马鞍山第二中学·期末)设集合，若A中任意3个元素均不构成等差数列，则集合A中元素最多有______个． 9．(23-24高二上·安徽十五校教育集团·期末)已知等差数列满足，则的值为_____________________． 10．(23-24高二上·安徽合肥第一中学·期末)已知数列，满足，若，则数列的前2024项和为______． 三、解答题 11．(24-25高二下·安徽芜湖·期末)已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 地 城 考点03 等差数列的函数性质 一、单选题 1．(17-18高一下·安徽六安第一中学·期末)设等差数列的前项和为，且，，则满足的最大自然数的值为 A．12 B．13 C．22 D．23 2．(21-22高二下·安徽黄山·期末)已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 3．(21-22高二上·安徽皖西七校·期末)已知等差数列的前项和为，若，，下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 4．(21-22高三上·安徽宣城·期末)在数列中，，（，），则数列的前n项和取最大值时，n的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、多选题 5．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期末)已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．取得最小值时或4 C． D．的最小值为 6．(24-25高二上·安徽怀宁县高河中学·期末)等差数列的前项和为，若，公差，则（    ） A．若，则 B．若，则是中最大的项 C．若，则 D．若，则 7．(21-22高二上·安徽合肥第八中学·期末)已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论错误的是（    ） A．数列是递减数列 B． C．当取得最大值时， D． 三、填空题 8．(22-23高二上·安徽六安第一中学·期末)设等差数列的前项和为，且，，则当______时，最大． 四、解答题 9．(19-20高一下·安徽六安霍邱县第一中学·期末)已知等差数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和的最大值. 10．(24-25高二上·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·期末)已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为.求. (3)在（2）条件下若都有不等式恒成立，求的取值范围. 11．(24-25高二上·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·期末)记为等差数列的前n项和，已知，从以下两个条件中任选其中一个给出解答．①；②． (1)求公差； (2)求，并求的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 地 城 考点04 等差数列的前n项和 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽怀宁县高河中学·期末)已知数列，，，且，则数列的前2023项之和为（   ） A．0 B．2 C．2024 D．4048 2．(24-25高二下·安徽合肥庐江县·期末)记等差数列的前n项和为，，则（   ） A．40 B．20 C．25 D．30 3．(24-25高二下·安徽宣城·期末)等差数列前项的和为，已知，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．(24-25高二下·安徽·期末)已知等差数列的前项和为，则的公差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．(24-25高二下·安徽阜阳临泉县·期末)已知，数列满足，则数列的前n项和的最大值为（  ） A． B． C． D． 二、多选题 6．(24-25高二上·安徽黄山·期末)数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则， C． 数列的前项和为 D．若存在正整数，使，，则 7．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期末)已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．取得最小值时或4 C． D．的最小值为 三、填空题 8．(24-25高二上·安徽怀宁县高河中学·期末)在数列中，，则的最小值为__________. 9．(24-25高二下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期中)设等差数列的前n项和为，若也是等差数列，，则____. 10．(24-25高二上·安徽淮南第四中学·期末)已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则_____． 四、解答题 11．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)已知：数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前2025项和. 12．(24-25高二上·安徽六安叶集皖西当代中学·期末)已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 13．(23-24高二下·安徽淮北第十二中学·期末) 记为等差数列的前n项和，已知 (1)求的通项公式； (2)记 求证：数列的前项和 14．(23-24高二上·安徽滁州·期末)已知数列的前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 15．(24-25高二下·安徽六安独山中学·期末)已知等差数列的前项和满足，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 地 城 考点05 等比数列的概念 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽黄山·期末)已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·安徽亳州·期末)已知数列满足，则（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 3．(24-25高二上·安徽合肥庐江县庐江中学·期末)已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 4．(23-24高二下·安徽皖中名校联盟（合肥第八中学等）·期末)设数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．31 C．47 D．63 5．(23-24高二下·安徽滁州·期末)已知正项等比数列单调递增，，则（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 6．(24-25高二下·安徽蒙城第一中学·期末)正项等比数列中，，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 7．(24-25高二上·安徽六安叶集皖西当代中学·期末)已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为2的等差数列 C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为2的等比数列 二、多选题 8．(24-25高二下·安徽亳州·期末)已知数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为20 B．成等比数列 C．数列为单调递减数列 D．数列为单调递增数列 9．(24-25高二上·安徽县中联盟·期末)在公比为q的等比数列中，.记数列的前n项积为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则的最大项为 D．若，则的最小项为 10．(22-23高二下·安徽亳州第二完全中学·期末)已知等比数列的前项积为，公比，且，则（ ） A．当时，最小 B． C．存在，使得 D．当时，最小 三、填空题 11．(24-25高二下·安徽·期末)已知等比数列满足，则____________. 12．(24-25高二下·安徽滁州·期末)在等比数列中，，，则等于______． 13．(24-25高二上·安徽淮北第一中学·期末)数列满足，则__________． 四、解答题 14．(24-25高二上·安徽宣城·期末)已知数列是各项均为正数的等比数列，且，是和的等差中项. (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前2025项和 15．(24-25高二上·安徽太和中学·期末)已知等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，为数列的前项和，若，求正整数的值． 地 城 考点06 等比数列的前n项和 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A． B．40 C．30或 D．或40 3．(24-25高二上·安徽合肥六校·期末)数列满足：，若，则数列的前10项的和为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下： 已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时，使得要13步“雹程” C．当时， D．若，则的取值有6个 5．(24-25高二下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)给定数列，定义差分运算：．若数列满足，数列的首项为1，且，则（    ） A．存在，使得恒成立 B． C．对任意，总存在，使得 D．对任意，总存在，使得 三、填空题 6．(24-25高二下·安徽宣城·期末)已知是各项均为正数的等比数列，，，则_____. 四、解答题 7．(24-25高二下·安徽合肥百花中学等四校·期末)已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 8．(24-25高二下·安徽合肥庐江县·期末)记数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)记，求 9．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 10．(24-25高二下·安徽阜阳临泉县·期末)实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．处理生活垃圾的主要方式有填埋方式和环保方式．去年某地产生的生活垃圾为100万吨，其中80万吨垃圾以填埋的方式处理，20万吨垃圾以环保的方式处理，预计每年生活垃圾的总量依次递增10%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加10万吨．已知用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100元/吨，用环保的方式处理生活垃圾的成本为500元/吨． (1)为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数n的表达式； (2)求从今年起，该地6年内处理生活垃圾的预算总和．(参考数据∶1.16≈1.77) 11．(24-25高二下·安徽亳州·期末)已知数列的前项和为. (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求的最小值 12．(24-25高二上·安徽淮南第四中学·期末)已知等差数列的前n项和为，且， (1)求的通项公式和； (2)若，求数列的前n项和 13．(24-25高二上·安徽蚌埠·期末)已知等差数列和正项等比数列，的前项和为，且，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和. 14．(24-25高二上·安徽怀宁县高河中学·期末)已知数列的前n项和．若，且数列满足． (1)求证：数列是等差数列； (2)求证：数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围． 15．(24-25高二下·安徽蒙城第一中学·期末)甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． (1)分别求，的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p． (2)记． （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）求的数学期望．（用n表示） 0 1 2 P 16．(24-25高二下·安徽蒙城第一中学·期末)设正项等比数列，，且、的等差中项为． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项为，数列满足，为数列的前项和，求． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列 6大高频考点概览 考点01数列的概念 考点02 等差数列的概念和性质 考点03 等差数列的函数性质 考点04 等差数列的前n项和 考点05 等比数列的概念和性质 考点06 等比数列的前n项和 地 城 考点01 数列的概念 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽亳州·期末)已知数列满足，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据已知得出数列的周期即可求解． 【详解】由已知得，， ， ， ，即， 所以， 故选：C． 2．(24-25高二上·安徽宣城·期末)已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数列单调递增得到分段函数单调递增，然后建立不等式组，解得的取值范围. 【详解】由，数列是递增数列， 得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 3．(24-25高二上·安徽合肥六校·期末)数列满足：，若，则数列的前10项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数列的前项和与通项的关系求出通项，再化简的通项，利用裂项相消法即可求得其前10项的和. 【详解】由，当时，； 当时，， 两式相减可得，即（）， 经检验，当时，上式符合，故， 所以， 所以. 故选：C. 4．(24-25高二上·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·月考)斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】利用斐波那契数列的规律列方程来求得的值. 【详解】由斐波那契数列的定义及递推公式可得： ， 则． 故选：C 二、多选题 5．(24-25高二下·安徽合肥百花中学等四校·期末)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意可得，由此推得通项公式，再利用裂项相消法求得，从而对各选项进行判断即可. 【详解】根据题意，可知从第二层起，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即，即， 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，，，，且， 所以上述各式相加得，， 经检验：满足，所以，则，故C正确； 对于D，由选项C可知， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 6．(24-25高二下·安徽阜阳临泉县·期末)已知数列{an}的通项公式为，前n项积为，则的最大值为____． 【答案】/ 【分析】由通项公式判断的符号以及与1的大小关系，从而最大值. 【详解】因为, 所以,,,,,,, .当时,, 所以,的最大值为. 故答案为： 地 城 考点02 等差数列的概念和性质 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽耀正优·期末)已知等差数列中，，，则公差（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】应用等差数列的通项公式求公差即可. 【详解】等差数列中，，， 由等差数列的通项公式，可得，解得， 故选：C 2．(23-24高二上·安徽合肥普通高中联盟·期末)在等差数列中，，，则的值是（   ） A．13 B．14 C．16 D．17 【答案】B 【分析】利用等差公式下标和性质即可得解. 【详解】因为是等差数列，，， 所以，即，解得. 故选：B. 3．(22-23高二下·安徽芜湖·)已知数列是等差数列，，则（    ） A．9 B．0 C．-3 D．-6 【答案】B 【分析】由于数列是等差数列，根据其性质可知，即可求得. 【详解】数列是等差数列 又 故选：B. 4．(18-19高二下·安徽高中教科研联盟·期末)已知数列的前项和为，，若，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】首先根据得到数列为等差数列，再根据，即可算出的值. 【详解】因为，所以数列为等差数列. 因为，所以. . . 因为，所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了等差中项，属于简单题. 二、填空题 5．(24-25高二上·安徽合肥第一中学肥东分校等校·期末)将数列与的所有公共项从小到大排列形成一个新的数列，则______ 【答案】 【分析】根据条件，找规律可得是首项为，公差为的等差数列，即可求解. 【详解】易知数列是以为首项，为公差的等差数列，即， 数列是以为首项，为公差的等差数列，即， 所以是首项为，公差为的等差数列，得到， 故答案为：. 6．(24-25高二上·安徽合肥六校·期末)如图，曲线上的点与轴上的点（构成一系列正三角形：，，…，.设正三角形的边长为，点.则数列的通项公式为______.    【答案】 【分析】由是边长为的正三角形，得的坐标，再将其坐标代入中，可求出的值， 又由于每一个三角形都为正三角形，从而可得，再将点的坐标代入中，可得，再由求出，所以数列为等差数列，从而可求得. 【详解】由条件可得为正三角形，且边长为， ， 由在曲线上，得， ，， 根据题意，得点在曲线上， 所以，整理，得. 当，时，， ∴ 即. ，， 当时，，即， 解得或（舍） ， 故 所以数列是首项为，公差为的等差数列， . 故答案为：. 7．(23-24高二上·安徽合肥六校联盟·期末)某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则的值为__________． 【答案】200 【分析】此类问题为数列的增减项问题，把握好两点，先枚举找规律，再做好满足题意的估计，最后利用相关数列的求和公式分组求和即可. 【详解】由已知原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人． 所以数列为等差数列，且，数列的公差，所以， 数列为数列的任意相邻两项与之间插入个2所得， 所以数列满足条件，，当时，， ，当时，，， 当时，，， 当时，， 所以数列的前项的和为. 故答案为： 8．(23-24高二上·安徽马鞍山第二中学·期末)设集合，若A中任意3个元素均不构成等差数列，则集合A中元素最多有______个． 【答案】8 【分析】先判断出，再根据特例可判断等号成立，故可求元素个数的最大值. 【详解】设， 若且递增，由题意可知且， 故，同理，又，故有，矛盾． 故，取满足条件． 故答案为：8. 9．(23-24高二上·安徽十五校教育集团·期末)已知等差数列满足，则的值为_____________________． 【答案】3 【分析】根据等差数列下标和性质运算求解. 【详解】由题意可得：，则， 所以. 故答案为：3. 10．(23-24高二上·安徽合肥第一中学·期末)已知数列，满足，若，则数列的前2024项和为______． 【答案】 【分析】根据等差数列的定义求出数列的通项公式，再利用裂项相消求和即可. 【详解】由，可知数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，， 所以数列的前2024项和为， 故答案为： 三、解答题 11．(24-25高二下·安徽芜湖·期末)已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合已知条件求出首项和公差，进而得到数列的通项公式； （2）先对进行裂项，然后利用裂项相消法求出，最后证明. 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为， 根据等差数列通项公式，已知，， 可得方程组，解得，， 所以的通项公式为； （2）由（1）可知，则 所以 则 可得： 因为，所以，则，即. 地 城 考点03 等差数列的函数性质 一、单选题 1．(17-18高一下·安徽六安第一中学·期末)设等差数列的前项和为，且，，则满足的最大自然数的值为 A．12 B．13 C．22 D．23 【答案】C 【详解】分析：由等差数列的前项和的公式求解，解出的关系式，再求出的临界条件，最后得解． 详解：等差数列的前项和为，所以 所以，其中，所以，当时，解得，，所以的最大自然数的值为22．故选C 点睛：本题应用公式，等差数列的性质：若，则．对数列的公式要灵活应用是快速解题的关键，解出的关系式，再求出的临界条件，判断满足的最大自然数的值． 2．(21-22高二下·安徽黄山·期末)已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意判断出，即可得到答案. 【详解】由等差数列的公差，知，，所以，故，则数列的前项和取得最大值时的值为. 故选：B 3．(21-22高二上·安徽皖西七校·期末)已知等差数列的前项和为，若，，下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】B 【分析】根据等差数列求和公式及等差中项，得到，，，进而得到数列是递减数列，作差法比较出，进而判断出答案. 【详解】，所以，，所以，所以且，所以数列是递减数列，且当时，取得最大值.故B正确，AC错误. 因为，所以，故D错误. 故选：B. 4．(21-22高三上·安徽宣城·期末)在数列中，，（，），则数列的前n项和取最大值时，n的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】由已知得，根据等差数列的定义得数列是以20为首项，以-3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式求得，令，求解即可. 【详解】解：由得，又因为，所以数列是以20为首项，以-3为公差的等差数列， 所以， 令，解得：，又，所以数列的前n项和取最大值时，n的值是7， 故选：A. 二、多选题 5．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期末)已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．取得最小值时或4 C． D．的最小值为 【答案】BC 【分析】给出作为反例即可判断A，利用二次函数的性质即可判断B，利用裂项相消法判断C，注意到一定是有理数即可判断D. 【详解】对于A，由于，故对不成立，故A错误； 对于B，由二次函数性质知的开口向上，且对称轴为，故当或时，取得最小值，故B正确； 对于C，因为，故对有. 所以，同时有. 故，故C正确； 对于D，因为一定是有理数，所以不可能以无理数为最小值，故D错误. 故选：BC. 6．(24-25高二上·安徽怀宁县高河中学·期末)等差数列的前项和为，若，公差，则（    ） A．若，则 B．若，则是中最大的项 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据可推得，利用等差数列的性质以及前n项和公式，可判断A；由可推出，进而判断 ，则 ，即可判断B；由可得，，，无法判断的正负，可判断C；由推出，，则，由此判断D. 【详解】由，得 ， 所以， 则 ，A正确； 因为， 所以，即， 因为，， 所以 ，则 ，等差数列为递减数列， 则则是中最大的项，B正确； 若，则，即 ， 因为，，则，故，无法判断的正负， 故，不能判断，C错误； 因为，所以， 因为，，所以，则， 则，D正确， 故选： 7．(21-22高二上·安徽合肥第八中学·期末)已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论错误的是（    ） A．数列是递减数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】BC 【分析】由等差数列的求和公式结合已知条件可得，从而得且，进而可判断ABC，对于D，作差判断即可 【详解】，所以， ， 所以，所以且， 所以数列是递减数列，且当时，取得最大值．故A正确，BC错误． 因为，所以，故D正确． 故选：BC． 三、填空题 8．(22-23高二上·安徽六安第一中学·期末)设等差数列的前项和为，且，，则当______时，最大． 【答案】1011 【分析】利用等差数列的求和公式及性质求解. 【详解】因为为等差数列，所以，即； 同理由可得，所以，所以当时，最大． 故答案为：1011. 四、解答题 9．(19-20高一下·安徽六安霍邱县第一中学·期末)已知等差数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据已知条件求解出等差数列的首项和公差，然后即可求解出的通项公式； （2）先根据首项和公差求出，然后分析二次函数的对称轴并求解出的最大值. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以，所以， 所以，所以； （2）因为， 且关于的开口向下的二次函数的对称轴为， 又因为，所以或时，有最大值， 所以. 10．(24-25高二上·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·期末)已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为.求. (3)在（2）条件下若都有不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先得，进一步由的关系得是以1为首项，为公比的等比数列，由此即可求解； （2）由等差数列求和公式、错位相减法求得表达式， （3）在（2）条件下进一步原问题等价于不等式恒成立，由此即可求解. 【详解】（1）因为①， 当时可得，即. 当时，② 由①-②得，即， 即是以1为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）因为， 所以， ， 两式相得，， 即， 则， 故. （3）由（2）知， 所以有， 即， 依题意，不等式恒成立， 因为随着n增大而减小，所以， 即的取值范围为. 11．(24-25高二上·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·期末)记为等差数列的前n项和，已知，从以下两个条件中任选其中一个给出解答．①；②． (1)求公差； (2)求，并求的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)，最小值为 【分析】（1）选条件①，根据得出数列的求和公式和题意，列出方程，即可求得的值； 选条件②，根据等差数列的通项公式，列出方程，即可求得的值； （2）由（1），根据等差数列的求和公式，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：选条件①：， 设的公差为，可得，解得， 又由，可得，故数列的公差． 选条件②：， 设的公差为，可得，即， 又由，可得，故数列的公差． （2）解：由（1）知，公差，且， 可得， 所以当时，取得最小值，最小值为． 地 城 考点04 等差数列的前n项和 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽怀宁县高河中学·期末)已知数列，，，且，则数列的前2023项之和为（   ） A．0 B．2 C．2024 D．4048 【答案】B 【分析】分析可知，数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列；数列的偶数项构成首项为，公差为的等差数列.利用等差数列的求和公式可求得数列的前项之和. 【详解】当为奇数时，，， 所以数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列； 当为偶数时，，， 所以数列的偶数项构成首项为，公差为的等差数列. 所以，数列的前项和为： . 故选：B. 2．(24-25高二下·安徽合肥庐江县·期末)记等差数列的前n项和为，，则（   ） A．40 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得，结合，即可求解. 【详解】由等差数列的前n项和为，且，可得，解得， 又由. 故选：C. 3．(24-25高二下·安徽宣城·期末)等差数列前项的和为，已知，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，可得，解得或，再根据等差数列求和公式，可知不符合题意，故，再结合等差数列求和公式，可得，解方程即可求得. 【详解】根据题意，，即， 又，所以，解得或， 又，， 所以， 所以，则， 解得. 故选：D. 4．(24-25高二下·安徽·期末)已知等差数列的前项和为，则的公差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用已知条件，结合等差数列通项公式，建立关于和d的方程；利用已知条件，结合前n项和公式，建立方程；联立两个方程，解出公差d. 【详解】已知，由通项公式，当时： （方程①）， 已知，由前n项和公式，当时： ，化简得 （方程②）， 用方程①减去方程②： ， 故选：D. 5．(24-25高二下·安徽阜阳临泉县·期末)已知，数列满足，则数列的前n项和的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得时，，当时，，然后可得时，，当时，，据此可得答案. 【详解】， 令， 则在上单调递增，在上单调递减. 注意到，，. 则当时，，当时，. 注意到， 因在上单调递增，在上单调递减， 又注意到，则当时，. 令. 从而时，，当时，. 设的前n项和为，则的最大值为. 故选：C 二、多选题 6．(24-25高二上·安徽黄山·期末)数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则， C． 数列的前项和为 D．若存在正整数，使，，则 【答案】ABC 【分析】A选项，根据规律得到；B选项，分母为的最后一项大于分母为的第一项，故，，B正确；C选项，计算出，从而得到为等差数列，求和得到C正确；D选项，在C基础上，得到的前项和为，前21项和为，确定，，D错误. 【详解】A选项，由的规律可知，分母为，且的有项， 所以分母为2,3,4,5,6,7的共项，故，，A正确； B选项，根据的特征可知，分母为，且时，递增， 只有分母为的最后一项大于分母为的第一项， ，故，，B正确； C选项，， ， 故， 所以为首项为，公差为的等差数列， 所以的前项和为，C正确； D选项，由C可知，，又， 即的前15项和为， ，又， 即的前21项和为， 其中，故的前项和为， ，，所以，则，故D错误. 故选：ABC 7．(24-25高二上·安徽阜阳第一中学·期末)已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．取得最小值时或4 C． D．的最小值为 【答案】BC 【分析】给出作为反例即可判断A，利用二次函数的性质即可判断B，利用裂项相消法判断C，注意到一定是有理数即可判断D. 【详解】对于A，由于，故对不成立，故A错误； 对于B，由二次函数性质知的开口向上，且对称轴为，故当或时，取得最小值，故B正确； 对于C，因为，故对有. 所以，同时有. 故，故C正确； 对于D，因为一定是有理数，所以不可能以无理数为最小值，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 8．(24-25高二上·安徽怀宁县高河中学·期末)在数列中，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】运用累加法，结合等差数列前项和公式、对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】， ， ， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，， 因此当，或，有最小值， 即的最小值为. 故答案为： 9．(24-25高二下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期中)设等差数列的前n项和为，若也是等差数列，，则____. 【答案】11 【分析】设的公差为，有，根据已知有且，结合求基本量，进而写出的通项公式，即可求项. 【详解】设的公差为，则， 又是等差数列，，所以，则，且， 所以，可得，故， 所以，则. 故答案为：11 10．(24-25高二上·安徽淮南第四中学·期末)已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则_____． 【答案】/ 【分析】化简得，用累加法和裂项相消公式求出即可求解的值. 【详解】因为，所以， 则，，……，，， 所以当时， ， 又满足上式，所以，所以， . 故答案为：. 四、解答题 11．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)已知：数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前2025项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)4971 【分析】（1）由与的关系可得，根据等差数列的定义即可证明； （2）找到为整数时的临界值，再分区间计算，相加可得结果. 【详解】（1）由，可得，则， 即，，所以是首项为2，公差为1的等差数列. （2）由（1），，所以，， 当时，，即， 所以，则，，， 当且时，不是整数， 所以当时，，时，，当时，， 当时，， 所以. 12．(24-25高二上·安徽六安叶集皖西当代中学·期末)已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列式求解的公差，写出等差数列通项公式，即可求解； （2）由（1）得，再利用裂项相消法求和，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 解得， 所以. （2）由（1）知， 所以. 13．(23-24高二下·安徽淮北第十二中学·期末) 记为等差数列的前n项和，已知 (1)求的通项公式； (2)记 求证：数列的前项和 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式列方程组求出，然后可得通项公式； （2）利用裂项相消法求和即可得证. 【详解】（1）记等差数列的公差为，则， 解得，所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即. 14．(23-24高二上·安徽滁州·期末)已知数列的前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用，得到，从而说明是公差为2的等差数列，利用等差数列的基本量计算即可; （2）表示出，利用裂项相消法，计算证明即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以是公差为2的等差数列， 又，所以，解得， 所以. （2）由（1）知， . 又，所以. 15．(24-25高二下·安徽六安独山中学·期末)已知等差数列的前项和满足，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由，，可得求出，从而可得的通项公式； （2）由（1）可得，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求得 【详解】解：（1）设等差数列的公差为， 因为，. 所以，化简得，解得， 所以， （2）由（1）可知， 所以， 所以 地 城 考点05 等比数列的概念 一、单选题 1．(24-25高二上·安徽黄山·期末)已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等差数列求出与，进而求出其等比中项. 【详解】等差数列中，由，公差，得， 所以与的等比中项为. 故选：D 2．(24-25高二下·安徽亳州·期末)已知数列满足，则（   ） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】B 【分析】根据题意，得，则. 【详解】根据题意，， 则，即， 即数列的奇数项和偶数项分别成公比为2的等比数列， 又，所以. 故选：B 3．(24-25高二上·安徽合肥庐江县庐江中学·期末)已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用韦达定理求出的值，利用对数的运算性质结合等比数列的性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为和是方程的两个根，由韦达定理可得， 又数列为各项均为正数的等比数列，所以，， 因此，. 故选：D. 4．(23-24高二下·安徽皖中名校联盟（合肥第八中学等）·期末)设数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．31 C．47 D．63 【答案】C 【分析】根据题意，当时，，两式相减化简得到，得到数列是等比数列，求得，即可求解. 【详解】因为数列的前项和为，且， 所以当时，， 两式相减得，即， 可得， 当时，可得，即，解得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，所以. 故选：C. 5．(23-24高二下·安徽滁州·期末)已知正项等比数列单调递增，，则（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式计算即可. 【详解】因为正项等比数列单调递增，所以，所以， 又，所以，所以， 故选B. 6．(24-25高二下·安徽蒙城第一中学·期末)正项等比数列中，，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据题意和等比数列的性质计算即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为数列为正项等比数列，所以， 由题， 则，所以， 所以. 故选：B 7．(24-25高二上·安徽六安叶集皖西当代中学·期末)已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为2的等差数列 C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】C 【分析】根据递推关系式，化简变形可得即可判断数列是公比为的等比数列. 【详解】∵， ∴， 既不是等比数列也不是等差数列； ∴， ∴数列是公比为的等比数列． 故选：C 二、多选题 8．(24-25高二下·安徽亳州·期末)已知数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为20 B．成等比数列 C．数列为单调递减数列 D．数列为单调递增数列 【答案】ABC 【分析】由二次函数的性质即可判断A；由求得通项公式，进而得出的值，即可判断B；根据增减数列的定义即可判断CD． 【详解】对于A，，当或5时，的最大值为20，故A正确； 对于B，，当时，， 所以也符合，所以数列的通项公式为， 所以，，所以成等比数列，故B正确； 对于C，，为等差数列，且， 所以数列为单调递减数列，故C正确； 对于D，，因为函数在上单调递减， 所以数列为单调递减数列，故D错误； 故选：ABC． 9．(24-25高二上·安徽县中联盟·期末)在公比为q的等比数列中，.记数列的前n项积为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则的最大项为 D．若，则的最小项为 【答案】AC 【分析】根据可得选项A正确；根据可得选项B错误；根据条件可得，，利用可得选项C正确；类比选项C，比较的大小可得选项D错误. 【详解】A.由题意得，， ∵，∴，解得，故A正确. B.由题意得，， ∵，，∴，即，故B错误. C.∵，，∴，故数列中的奇数项为负数，偶数项为正数， ∵，∴， ∴，， ∵，， ∴的最大项为，故C正确. D.∵，∴， ∵，∴， ∴，， ∵数列中的奇数项为负数，偶数项为正数，∴， ∵，， ∴当时，，此时，故D错误. 故选：AC. 10．(22-23高二下·安徽亳州第二完全中学·期末)已知等比数列的前项积为，公比，且，则（ ） A．当时，最小 B． C．存在，使得 D．当时，最小 【答案】BD 【分析】根据题意结合等比数列的性质以及单调性逐项分析判断. 【详解】对于选项B：因为，所以， 又因为，所以，故B正确； 对于选项A、D：因为， 所以，则， 又因为，可得， 则，故， 且，可知数列是单调递增数列， 当时，；当时，； 所以当时，最小，故选项A错误，选项D正确； 对于选项C：因为数列是单调递增数列，且当时，， 所以，故C错误. 故选：BD. 三、填空题 11．(24-25高二下·安徽·期末)已知等比数列满足，则____________. 【答案】 【分析】利用等比数列下标和的性质可得，从而可求解. 【详解】由题意得，所以. 故答案为：. 12．(24-25高二下·安徽滁州·期末)在等比数列中，，，则等于______． 【答案】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，因为等比数列中，，， 故， 则． 故答案为：． 13．(24-25高二上·安徽淮北第一中学·期末)数列满足，则__________． 【答案】 【分析】先证明数列是公比为2的等比数列，求出通项利用错位相减法求解即可 【详解】 ，即数列是公比为2的等比数列， 首先，所以， ， 而         ，两式相减得 ，解得： ， 所以原式等于 ， 故答案为：. 四、解答题 14．(24-25高二上·安徽宣城·期末)已知数列是各项均为正数的等比数列，且，是和的等差中项. (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前2025项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差中项公式与等比数列的通项公式即可求解； （2）利用裂项相消法结合对数运算公式求数列的前项和即可. 【详解】（1）设数列的公比为q，， 因为是和的等差中项， 所以，即， 因为,所以 解得，或（舍） 所以 （2）由知，则， 所以， 所以， 故的前2025项和 15．(24-25高二上·安徽太和中学·期末)已知等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，为数列的前项和，若，求正整数的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）设出等比数列的公比，结合已知列出方程组，即可求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可得解. 【详解】（1）设数列的公比为，则，解得，则， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知， 所以． 由，得，解得， 所以满足的正整数的值为10． 地 城 考点06 等比数列的前n项和 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设公比为，由可得，然后可得即可. 【详解】设等比数列的公比为，又， 所以， 所以. 故选：D. 2．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A． B．40 C．30或 D．或40 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质以及片段和，求出等比数列公比由前项和公式即可得解. 【详解】等比数列的公比为， 因为，且， ，，故， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得， 故选：B. 3．(24-25高二上·安徽合肥六校·期末)数列满足：，若，则数列的前10项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数列的前项和与通项的关系求出通项，再化简的通项，利用裂项相消法即可求得其前10项的和. 【详解】由，当时，； 当时，， 两式相减可得，即（）， 经检验，当时，上式符合，故， 所以， 所以. 故选：C. 二、多选题 4．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下： 已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时，使得要13步“雹程” C．当时， D．若，则的取值有6个 【答案】BCD 【分析】对于A，由数列的周期性可得；根据数列递推关系推导即可判断B；根据推导可得前10项为等比数列，，利用等比数列求和即可判断C；对于D，根据数列进行逆向推导即可取等的情况. 【详解】时，， 所以此时数列的周期为3，又，所以，故A错误； 时， ，所以使得经过了13步“雹程”故B正确； ，则，所以， 则，故C正确； 对于D， 所以的取值有6个，故D正确； 故选：BCD. 5．(24-25高二下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)给定数列，定义差分运算：．若数列满足，数列的首项为1，且，则（    ） A．存在，使得恒成立 B． C．对任意，总存在，使得 D．对任意，总存在，使得 【答案】AB 【分析】由已知求出、即可判断A；利用累加法结合错位相减法求和求出，即可判断B，结合数列的单调性判断C，求出及的范围判断D. 【详解】对于A，由，得， 则， 显然当时，恒成立，故A正确； 对于B：由，得， 当时， 即， 于是， 两式相减得， 因此，显然满足上式，则，故B正确； 对于C：由， 所以数列是递增数列，则有最小值，无最大值， 当时，不存在，使得，故C错误； 对于D，，由选项B得， 显然数列是递减数列，且 ， 因此当时，不存在，使得成立，故D错误. 故选：AB 三、填空题 6．(24-25高二下·安徽宣城·期末)已知是各项均为正数的等比数列，，，则_____. 【答案】9 【分析】由已知得及，代入问题化简计算即可． 【详解】由题设易知，公比，设， 是为首项，为公比的等比数列. 从而由得， 由得， ， 故答案为：9 四、解答题 7．(24-25高二下·安徽合肥百花中学等四校·期末)已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列前和公式求解即可得公差，从而可求得等差数列的通项公式； （2）利用等比数列前和公式，即可求解. 【详解】（1）设公差为，，， 即. （2）由（1）得，， ，是首项为8，公比为4的等比数列， 8．(24-25高二下·安徽合肥庐江县·期末)记数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)记，求 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）运用递推关系式构造出等比数列，分情况列出通项公式即可； （2）利用错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】（1）由，，可得，， 当时，由，可得， 相减可得，即， 上式对不成立， 则. （2）， ， 相减可得， 化简可得，对也成立， 则，. 9．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可求数列的通项公式； （2），利用错位相减法可求. 【详解】（1），即， 当时，，解得， 当时，， 即， 又数列单调递增，所以，即， 则，，时也符合， 所以. （2）， ， ， , 解得. 10．(24-25高二下·安徽阜阳临泉县·期末)实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．处理生活垃圾的主要方式有填埋方式和环保方式．去年某地产生的生活垃圾为100万吨，其中80万吨垃圾以填埋的方式处理，20万吨垃圾以环保的方式处理，预计每年生活垃圾的总量依次递增10%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加10万吨．已知用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100元/吨，用环保的方式处理生活垃圾的成本为500元/吨． (1)为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数n的表达式； (2)求从今年起，该地6年内处理生活垃圾的预算总和．(参考数据∶1.16≈1.77) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得从今年起每年用填埋的方式处理的垃圾总量，为每年生活垃圾的总量与每年用环保的方式处理的垃圾总量的差，又注意到从今年起每年生活垃圾的总量构成等比数列，今年起每年用环保的方式处理的垃圾总量构成等差数列，据此可得答案； （2）由（1）结合题目数据，参考数据可得答案. 【详解】（1）由题可得从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成公比为1.1的等比数列， 今年起每年用环保的方式处理的垃圾总量(单位:万吨)构成公差为10的等差数列， 今年起每年用填埋的方式处理的垃圾总量(单位:万吨)构成数列，满足. 则，，. （2）设6年内处理生活垃圾的预算之和为W，数列的前n项和为， 数列的前n项和为， 则， 所以（元） 11．(24-25高二下·安徽亳州·期末)已知数列的前项和为. (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求的最小值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与之间的关系化简结合等比数列定义即可证明； （2）由（1）得，化简得然后结合单调性解不等式即可. 【详解】（1）由① 时，得. 时：② ①②即.， 数列是首项为公比为的等比数列.. （2）由（1）得，， 所以， 则，单调递增，， n的最小值为. 12．(24-25高二上·安徽淮南第四中学·期末)已知等差数列的前n项和为，且， (1)求的通项公式和； (2)若，求数列的前n项和 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前项和为求得首项与公差，即可得数列的通项公式和； （2）由（1）得，通过裂项相消法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 则，解得，， 所以，. （2）由（1）可知：， 所以. 13．(24-25高二上·安徽蚌埠·期末)已知等差数列和正项等比数列，的前项和为，且，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）设的公差为，的公比为，利用题设条件列出方程组，求出基本量，写出通项公式即可； （2）利用错位相减法即可求得； （3）按照奇数项和偶数项分组求和即得. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 由，可得：， 解得，故， 由，可得：， 又，故，解得，故. （2）易知， ，① ② 由 ， 故. （3）因数列为等差数列，故数列也是等差数列，故 ， 又数列为等比数列，故数列也是等比数列，故 ， 故数列的前项和为. 14．(24-25高二上·安徽怀宁县高河中学·期末)已知数列的前n项和．若，且数列满足． (1)求证：数列是等差数列； (2)求证：数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由与的关系，仿写作差后求出数列的通项，再代入所给方程求出数列的通项即可； （2）等差与等比数列相乘求和，采用错位相减法，乘以等比数列的公比，再求和即可； （3）先证明数列为递减数列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可； 【详解】（1）由题意知， 当时，，所以． 当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以． 因为，所以， 所以，令，可得， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）知， 所以， 所以， 两式相减，可得 ， 所以，所以． （3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于． 因为， 所以，所以数列的最大项为和，且． 所以，即， 解得或，即实数的取值范围是． 15．(24-25高二下·安徽蒙城第一中学·期末)甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． (1)分别求，的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p． (2)记． （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）求的数学期望．（用n表示） 【答案】(1)，， (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）根据题意，表示“重复2次操作，甲手中恰有2张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片， 则，，， 表示“重复2次操作，甲手中恰有1张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲交换银色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换银色卡片，乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片， 乙交换金色卡片，则． 其中，故交换一次不会出现的情况，而， 操作两次甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，其概率为． （2）（ⅰ）由题意可得， ， 则，， 所以，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， （ⅱ）由（ⅰ）知，所以． 的所有可能取值为0，1，2， 其分布列为 0 1 2 P 从而． 16．(24-25高二下·安徽蒙城第一中学·期末)设正项等比数列，，且、的等差中项为． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项为，数列满足，为数列的前项和，求． 【答案】(1). (2) 【分析】（1）利用已知条件求出数列的公比，再利用等比数列的通项公式可求得； （2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解即可． 【详解】（1）解：设等比数列的公比为，则， 由题意可得，解得， 则. （2）解：由（1）得，则， 所以，数列为等差数列，所以，， 所以，， 则. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $