专题06 圆（4大考点）（山东专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 专题06圆汇编山东多地二模真题，覆盖垂径定理、切线、正多边形、弧长四大核心考点，注重几何直观与推理能力梯度设计。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|5|垂径定理综合、弧长计算|结合动态图形考查空间观念| |填空|5|圆心角计算、正多边形半径|融入函数背景体现应用意识| |解答|10|切线判定与性质、扇形面积|多问设计衔接推理与计算能力|

专题06 圆 4大考点概览 考点01垂径定理、圆心角、圆周角综合 考点02切线的性质与判定 考点03正多边形与圆 考点04弧长与扇形面积计算 垂径定理、圆心角、圆周角综合 考点01 1．（2026·山东德州·二模）如图，点是内部一点．若以为圆心，长为半径画弧，分别与射线，交于点，（点，均不与点重合），连接，，若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东菏泽·二模）如图，是的直径，是的弦．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（2026·山东聊城·二模）如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东济宁·二模）如图，内接于，连接并延长交于点D，若，，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东淄博·二模）如图，在半径为3的中，是直径，是弦，D是的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长为________． 6．（2026·山东菏泽·二模）如图，内接于，点是的中点，连接，并延长交于点，连接．若，则的度数为________． 切线的性质与判定 考点02 1．（2026·山东聊城·二模）如图，用刻度尺和一个锐角为的三角尺测量计算圆形工件的半径，如果测得，那么圆形工件的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东青岛·二模）已知：中，，以上一点为圆心，为半径作，分别交，，于点，，，平分． (1)求证：为的切线； (2)若，，则的半径为_____． 3．（2026·山东泰安·二模）如图，四边形内接于，为的直径，，交的延长线于点E． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为8.5，，求的长． 4．（2026·山东东营·二模）如图，在中，，是角平分线，是上一点，经过点、点的分别交，于点，点． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 5．（2026·山东聊城·二模）如图，内接于，是边上的高，过点A作射线交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求阴影部分的面积． 6．（2026·山东日照·二模）如图，在中，，，经过，两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 7．（2026·山东临沂·二模）如图，内接于，为的直径，平分交于点．连接，以为边作平行四边形． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 8．（2026·山东济南·二模）如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 9．（2026·山东济南·二模）如图，已知是的直径，，交于点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 10．（2026·山东菏泽·二模）如图，是的外接圆，点D在的延长线上，且满足． (1)求证：是的切线； (2)若是的平分线，，，求的半径． 11．（2026·山东聊城·二模）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 12．（2026·山东济宁·二模）如图，是的外接圆，是的直径，延长到点D，的平分线交于点E，过点E作的垂线，垂足为F，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 13．（2026·山东济南·二模）如图，是四边形的外接圆，点在上，过点作的切线交延长线于点，对角线，交于点，是的直径． (1)求证： (2)若，，求直径的长． 14．（2026·山东济南·二模）如图，点，在上，，点在的延长线上，过作的切线，切点为，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（2026·山东济南·二模）如图，与相切于点，直径的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 16．（2026·山东临沂·二模）如图，的顶点A，B，D在上，边与相切于点B，对角线经过圆心O，与交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，求的面积． 正多边形与圆 考点03 1．（2026·山东临沂·二模）如图，是边长为2的正六边形的外接圆，以点F为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．则反比例函数解析式为________． 3．（2026·山东济宁·二模）已知⊙O是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为3，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为______． 4．（2026·山东济南·二模）如图，正五边形边长为6，以A为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的周长为 _______．（结果保留） 弧长与扇形面积计算 考点04 1．（2026·山东济宁·二模）如图，内接于，连接并延长交于点D，若，，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东泰安·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上．连接并延长至点E，以A为圆心，为半径画弧，交射线于点F，弧经过格点D，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·二模）如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东青岛·二模）如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为_____． 5．（2026·山东济南·一模）如图，将⊙O沿弦折叠，恰经过圆O，若，则阴影部分的面积为_________． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 ☆4大考点概览 考点01垂径定理、圆心角、圆周角综合 考点02切线的性质与判定 考点03正多边形与圆 考点04孤长与扇形面积计算 考点01 垂径定理、圆心角、圆周角综合 (2026山东德州二模)如图，点O是∠BAC内部一点.若以O为圆心，OA长为半径画弧，分别与射 线BA 交于点M,N(点M,N M,N均不与点重合)，连接OM,0N,若∠B1C=45°，MW=V5 则线段OA的长度为() O B A, 2 B 2 C.1 D.2 【答案】C 【分析】先根据题意作出图形，再根据圆周角定理求出∠MON=90°，再根据勾股定理得出答案。 【详解】解：如图所示，根据题意可知OA=OM=ON, .∠BAC=45° .∠MON=2∠BAC=90°， Rt△MON MN=√2 在 中， 根据勾股定理，得MN2=ON2+OM2, 即N2y-20w 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得ON=1, 所以线段OA的长度是1， N B 2. (2026山东菏泽二模)如图，AB是O0的直径，CD是⊙0的弦.若∠DCB=45°，AB=2,则AD的 长为() D A.1 B.2 C② D.2V2 【答案】C 【分析】根据圆周角定理得到∠A=∠DCB=45°，证明△ADB是等腰直角三角形，再根据勾股定理进行计 算即可 【详解】解：由题意可得：∠A=∠DCB=45°， :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， ∴△ADB是等腰直角三角形， .AD=DB.AD2+DB2 AB2 AB=2, AD=√反 3.(2026山东聊城二模)如图，O0中，8=AC,∠4CB=75°，半径r=l,若将扇形80C国成-个圆 锥，则圆锥的底面圆的半径为() 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 1 A.12 B. 6 c. D.3 【答案】B 【分析】连接AB,先得到AB=AC,然后求出∠A的度数，再由圆周角定理求出∠BOC,最后根据扇形 BOC的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可. 【详解】解：连接AB, A AB=AC .AB=AC .∠ACB=75°=∠ABC .∠A=180°-∠ABC-∠ACB=30° ∴.∠BOC=2∠A=60° 设圆锥的底面圆的半径为X:则2x-60 180, 1 解得x=石 6 4.(2026山东济宁·二模)如图，△ABC内接于⊙0，连接A0并延长交⊙0于点D,若∠ABC=60°， AC=6,则劣弧CD的长为() 3/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 3 25 A.25 B.2π C. D.37 【答案】D 【分析】连接CD,CO,先根据“同弧所对的圆周角相等”得∠ADC=60°，再根据“直径所对的圆周角是 直角”得<ACD=90 CD=23 ,然后根据特殊角的三角函数值求出 ,接下来说明△COD是等边三角形， 最后根据弧长公式得出答案。 【详解】解：如图所示，连接CD,CO, ∠ABC=60°， .∠ADC=∠ABC=60° :AD是⊙O的直径， .∠ACD=90°， tan∠ADC= AC CD 即tan60°= 6 CD 解得 D=25 .CO=DO. .△COD是等边三角形， :∠C0D=60,D0=CD=2V5 60m×2V52√3 .CD的弧长180 3π 4/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 5.(2026山东淄博二模)如图，在半径为3的O0中，AB是直径，4C是弦，D是4C的中点， AC与 BD交于点E,若E是BD的中点，则AC的长为 D E B 【答案】4V2 【分析】连接D0,交4C于点F,根据垂径定理得出OD⊥AC?∠ABD=∠CBD, or-8C,进面证明 △DEF≌aBEC得出DF=CB,根据半径为3，得出BC=2,然后根据直径所对的圆周角是直角，得出 △ACB是直角三角形，勾股定理即可求解。 【详解】解：如图所示，连接DO,交AC于点F, D B :D是C 的中点， ∴.OD⊥AC,∠ABD=∠CBD,AF=FC, A0=OB. .OF-8c ,E是BD的中点， 5/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DE=EB, 又OD=OB, ∴.∠ABD=∠FDE, .∠FDE=∠EBC, 又LDEF=∠BEC, △DEF≌ABEC(ASA) .DF=CB, 0D-3BC-3 2 .BC=2, AB是直径， .∠ACB=90°， 4C=VAB2-BC2=16-27=4 ,点A是 6.(2026山东菏泽二模)如图，△1BC内接于O0, C的中点，连接B0,并延长交O0于点D, ⊙0 连接AD,若∠ACB=40°，则∠CBD的度数为 【答案】10°10度 【分析】根据题意可得AB=AC,则∠4CB=40°，进而根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ADB=∠ACB=4O°，求得∠ABD=90°-∠ADB=50°，根据∠CBD=∠ABD-∠ABC即可求解. BC 【详解】解：：点A是 的中点， .4B=AC .AB=AC, ,∠ABC=40°， .∠ACB=40°， 6/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AR-4B .∠ADB=∠ACB=40°， ,BD是直径， 、LBAD=90°， .∠ABD=90°-∠ADB=50°， ∴.∠CBD=∠ABD-∠ABC=50°-40°=10° 考点02 切线的性质与判定 1. (2026山东聊城二模)如图，用刻度尺和一个锐角为30°的三角尺测量计算圆形工件的半径，如果测 得AB=5Cm,那么圆形工件的面积是() A.25πcm2 B.50xcm2 C.100元cm2 D.75πcm2 【答案】D 【分析】设圆心为O,⊙0与刻度尺和三角尺分别相切于点A,C,连接OA,OB,OC,求出 ∠ABC=∠D+∠DEC=120:证明Ra01B≌R1a0CBHL),得到∠AB0=∠CB0-∠ABC=60,解直角 三角形求出】 1=55cm,然后利用圆的面积公式求解， 【详解】解：如图，设圆心O,⊙O与刻度尺和三角尺分别相切于点A,C,连接OA,OB,OC, 7/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O E 中 05101520253035 根据题意得，∠D=30°，∠DEC=90°， .∠ABC=∠D+∠DEC=120°， 由切线的性质得，∠OAB=∠OCB=90°， 又：OA=OC,OB=OB, RtAOABS≌RtAOCB(HL) ·∠AB0=∠CB0= 2 ∠ABC=60° :tan∠AB0=tan60°=OA AB· :3=0A 5 04=5v3cm ·圆形工件的面积是π×(53=75mcm 2.(2026山东青岛二模)已知：Rt△ABC中，∠C=90°，以AB上一点0为圆心，OA为半径作⊙0 分别交AC,BC,AB于点F,E,D,AE平分∠CAB, (1)求证：BC为⊙O的切线： (2)若AC=4,CE=3,则⊙0的半径为一 【答案】()见解析 .25 ②8 【分析】(1)连接OE,通过角平分线和等边对等角证明AC∥QE,再由平行线的性质证明OE⊥BC即可： 8/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)过点E作EG1LAB于点G,先证 R△ACE≌Ri△4GE(L),设O1=OE=/,则OG=4-T,然后 对Rt△OEG运用勾股定理建立方程求解. 【详解】(1)证明：连接OE, C B ,AE平分∠CAB, ∴.∠1=∠2， .OA=OE, ∠2=∠3 ∠1=∠3， ∴OE∥AC, .∠OEB=∠C=90°， ∴.BC⊥OE :OE是⊙0的半径， BC为⊙O的切线： (2)解：过点E作EG⊥AB于点G, C 3 2 B OG :AE平分∠CAB,∠C=90°， .'CE=EG=3, AE=AE, Rt△ACE≌Rt△AGE(HL) ∴AC=AG=4, 设0A=OE=r,则OG=4-r, 9/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EG2+0G=0E2, .32+(4-}=2 解利名 25 00的半径为8： 3.(2026山东泰安二模)如图。四边形1BCD内接于O0,MD为00的直径，BC=D,CE LAB交 AB的延长线于点E. E B (I)求证：CE为⊙O的切线： (2)若⊙0的半径为8.5，BC=8,求BE的长. 【答案】(1)见解析 (②BE=64 17 【分析】(1)连接OC,4C,首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得∠DAC=∠EAC,再证明 ∠DAC=∠OCA ∠EAC=∠OCA OC‖AE CE LAB,OC⊥CE 易得 ,进而证明 ”,结合 可知 即可证明结论： BE BC (2)首先证明BC=CD=8,再证明△EBC∽△CDA:由相似三角形的性质可得DC=AD,代入数值并 求解，即可获得答案， 【详解】(1)证明：连接OC,4C,如下图， 10/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D A .BC=CD ∠DAC=∠EAC, OC=0A, .∠DAC=∠OCA, ∠EAC=∠OCA, .OCI‖AE, CE⊥AB, ∴.OC⊥CE,又OC为⊙0的半径， :CE为⊙0的切线： (2)解：~BC=CDBC=8 ∴.BC=CD=8, ,AD为OO的直径，CE LAB, ∴∠CEB=∠ACD=90° :四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠CBE=∠D ∴.△EBC∽△CDA, BE BC BE 8 DCAD,即8=17， BE=64 17· 4.(2026山东东营二模)如图，在△ABC中，∠B=90°，AM是角平分线，O是AC上一点，经过点A、 点M的⊙O分别交AB,AC于点E,点F. 11/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)若CF=2,OA:OC=3:5,求AE的长， 【答案】()BC与⊙0相切，理由见解析 ,18 ②5 【分析】(1)利用等腰三角形OMA与角平分线证明AB‖OM,两直线平行同位角相等，从而得出答案： (2)连EF得直角三角形AEF,利用平行线性质得到对应角相等证明△AEF∽△OMC,根据相似比和等 量代换求解 【详解】(1)解：BC与O0相切，理由如下： 连接OM,如图， M :AM是角平分线， ∴.∠BAM=∠CAM, ...OA=OM .∠CAM=∠OMA, ∴.∠OMA=∠BAM, .AB‖OM. ∴.∠OMC=∠B=90°， ∴OM⊥BC, ,OM为⊙O的半径， BC与OO相切. 12/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：连接EF,如图， B ,AF为⊙O的直径， .∠AEF=∠B=90°， EF∥BC, .∠AFE=∠C, :∠0MC=90°， ·.△AEF△OMC, AE OM ·AF=0C OA:OC=3:5,OA=OF=OM, AE 0M=3 .20M0M+25 .OM=3, AE 3 65 18 :AB=5 5.(2026山东聊城二模)如图，△ABC内接于O0,AH是边BC上的高，过点A作射线AD交BC的延 长线于点D,且∠CAD=∠ABC B H D (1)求证：AD为⊙O的切线； ②若4B=2,2cD=v5D,0s∠CMH- 3,求阴影部分的面积. 13/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)见解析 π3v5 (2)24 【分析】(1)先根据圆周角定理以及三角形内角和的关系得到∠ACB+∠OAB=90°，再由角度的关系得 到∠OAB=∠CAH,进行等量代换，得到∠OAD=90°，由此可证切线： 先由ADAC26DB4,得到边长成比进而求解4C的长度，结合eos<C4HV 3,可求解AH,进而 可得∠ABH的度数，由圆周角定理即可求解∠AOC的度数，再由等边三角形的面积和扇形面积即可求解阴 影面积。 【详解】(1)证明：连接OA,OB,如图， B ..OA=OB :.LOAB=ZOBC, :∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°， .∠AOB=180°-2∠OAB ,∠AOB=2LACB, :2∠ACB=180°-2∠0AB,即2(24CB+∠04B)=180 .∠ACB+∠OAB=90°， ∠ACB+∠CAH=90°. ∴.∠OAB=∠CAH, .∠OAB+∠OAH=∠CAH+∠OAH,即∠BAH=∠OAC, :∠CAD=∠ABC,∠ABC+∠BAH=90°， .∠CAD+∠BAH=90° ∴.∠CAD+∠0AC=90°，即∠0AD=90°， .OA⊥AD 14/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,OA是⊙0的半径， .AD为⊙O切线。 (2)解：连接OA,OC,如图， ∠D=∠D,∠CAD=∠ABD, .△DAC△DBA, AD CD AC BD AD AB CD 3 由2CD=5AD,得AD2. AC3 ..AB 2, 由18=2，可得1C=5 在Rt△AHC中， cos∠CAH=H=AH-V5 AC3 3, ∴.AH=1, 由勾股定理可得HC=VAC2-AF=3-可=V2 在Rt△AHB中，AH=1,AB=2, sin∠ABH=AH-1 AB2,即∠ABH=30°， ∠AOC=2∠ABH=60°， .OA=OC, 则△AOC为等边三角形， :01=0C=4C=V5 15/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 o。的高为h AAOC .S.oic= ×ACxh= 33√5 2 4, 60πxV3 ∴.S扇形04C 360 2· _π3V5 8影24. 6.(2026山东日照二模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,⊙0经过B,C两点，与斜边 AB交于点E,连接CO并延长交AB于点M,交OO于点D,过点E作EF∥CD,交AC于点F. F (1)求证： EF是⊙O的切线： (②)若BM=42,tanZBCD=2,求DM的长， 【答案】()见解析 ②DM-2V5 【分析】(1)连接OE,延长EO,交⊙O于点P,连接PD,BD,根据直径所对的圆周角是直角求出 ∠DBE=4S°，得∠DPE=45°，∠DOE=90°，由EF∥CD可得∠FED=∠DOE=90°，从而可证明EF是 ⊙0的切线： (2)由tan∠BCD=得DB1nDB1 BM DM DB 1 F2得BC=2,即AC=2,证明ADBM∽AACM,得AMCM=AC=2,由 BM=4W5得4M=85 放可得B=12V ,由勾股定理求出AC=BC=12,得DB=6,由勾殷定理求 16/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DM 1 出CD=6V5,根据CM2求出DM=25即可. 【详解】(I)证明：连接OE,延长EO,交⊙O于点P,连接PD,BD,如图， D AC=BC,∠ACB=90°， “.△ABC是等腰直角三角形， ∠ABC=45°， ,CD是⊙O的直径， ∠CBD=90°， ∠DBE=∠CBD-∠ABC=90°-45°=45°， ∠EPD=∠DBE=45°， ∠DOE=2∠DPE=2×45°=90°， EF∥CD, .∠FEO=∠DOE=90°，即OE⊥EF, .OE是⊙0的半径， .EF是⊙O的切线： 2)解，“∠D8C=90,tam∠BCD Γ2 DB 1 ·BC2 17/23 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 BC=AC, DB 1 ·AC2’ :∠DMB=∠CMA,∠A=∠DBM, .△DBM△ACM, BM DM DB 1 ÷AM CM AC2 .BM=4V2 :4M=2BM=8V2 :AB=4M+BM=8N2+42=12W5 在等腰直角三角形ABC中，AC2+BC2=AB2, AC2+AC2=AB=(22, 解得，AC=12。 .AC=BC=12, 0g-c-6 在RtABDC中，CD=VBC2+DB2=V122+6=6N5 DM 1 又CM2' CM=2DM, 2DM+DM=CD=65, .DM=2V5 7.(2026山东临沂·二模)如图，△ABE内接于O0,AB为⊙0的直径，ED平分∠AEB交O0于点D. 连接AD,以AD,AB为边作平行四边形ABCD 18/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (①)求证：CD是⊙O的切线： (②)若AE=2' sin∠ADE=3,求BC的长. 【答案】(1)见解析 ②32 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定定理，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三 角函数的应用，勾股定理等知识点 (1)连接OD,BD,根据角平分线的定义和圆周角定理得到AD=BD,根据等腰三角形三线合一的性质 得到OD⊥AB,继而根据平行四边形的性质得到OD⊥CD,继而得证结论， 1 (2)根据圆周角定理得到sin∠ABE=si∠ADE=方，继而得到AB=6,根据勾股定理得到AD=3√反，继 BC=32 而根据平行四边形的性质得到 【详解】(1)证明：连接OD,BD, E 平分 .·ED ∠AEB ∴.∠AED=∠BED, .∠ABD=∠BAD, .AD=BD AB为圆O的直径，O为圆心， ∴.AO=B0 .OD⊥AB, :四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD 19/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OD⊥CD, .CD是⊙O的切线； (2)解：∠ABE=∠ADE, sin∠ABE=sin∠ADE=J 3 ~AB为⊙O的直径， ∠AEB=90°， :.在Rt△ABE中，AE=2 sin∠ABE=AE-1 AB3· 2=1 .AB 3' .AB=6, ∴.A0=OD=3, 六在Ra40D中，4D=VA02+0D=V3+3=32 :四边形ABCD是平行四边形， ÷BC=AD=3V2 8.(2026山东济南二模)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙0上一点，连接BC,点D在BA的延长线 上，点E在OB上，过点E作BD的垂线分别交DC的延长线于点F,交BC于点G,且∠F=2∠B G DA ò (I)求证：DF是OO的切线； (2)若AO=8,AD=OE=2,求EG的长. 【答案】()见解析 (2)2 【分析】(1)根据圆周角定理可得∠F=∠AOC,从而得到∠AOC+∠D=90°，即可解答： (2)证明△DOC∽△DFE,可得EF=16,FD=20,再证明FC=FG,即可解答. 20/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)证明：连接OC, G DA OE :∠F=2∠B∠AOC=2∠B .∠F=∠AOC, EF⊥BD, .∠F+∠D=90°， .∠AOC+∠D=90°， ∴.∠0CD=90° 又：OC是⊙0的半径， .DF是OO的切线。 (2)解：：A0=8,AD=0E=2, ∴.OC=8,OD=10,DE=12, :∠0CD=90°， :.CD=V102-82=6 :∠D=∠D,∠OCD=∠FED=90°， ∴.△DOC∽△DFE, OC OD CD 'EF FD ED· 8106 EF FD 12' ∴EF=16,FD=20, ...OC=OB. .∠OCB=∠B, ∠OCF=∠BEG=90° .∠OCB+∠GCF=∠B+∠BGE=90°. .∠FGC=∠BGE=LGCF, 21/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..FC=FG. .FG=FC=FD-CD=20-6=14 ∴.EG=EF-FG=16-14=2 9.(2026山东济南二模)如图，己知AB是OO的直径，BC⊥AB,BD⊥OC交O0于点D,CD的延 长线交BA的延长线于点E. B (1)求证：CD是⊙0的切线： (2)若BC=6,DE=4,求⊙0的半径长 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】(I)连接OD,可证OC是BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可知CD=CB,所以 可得∠CDB=∠CBD,由OB=OD,可证∠ODB=∠OBD,所以可得∠ODC=∠OBC=90°，从而可证CD 是⊙O的切线： (2)在△EBC中利用勾股定理可以求出BE=8,在△ODE中利用勾股定理可以求出的长度. 【详解】(1)证明：如图所示，连接OD, .·BC⊥AB .∠CBA=90°， BD⊥OC.OB=OD. :OC垂直平分BD, ..CD=CB .∠CDB=∠CBD 22/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OB=OD ∴.∠ODB=∠OBD :∠0DC=∠0BC=90°， 又：点D在⊙0上， .CD是OO的切线； (2)解：BC=6,DE=4,CD=CB, ∴.CE=10 在△BCE中，由勾股定理得BE=VBC-BC=Vi02-6=8, 设⊙0的半径为r, 在△ODE中，由勾股定理得OE2=OD2+DE2, ∴.(8-r）2=r2+42 解得：r=3, .⊙0的半径长为3 10.(2026山东菏泽·二模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC的延长线上，且满足∠CAD=∠B (1)求证：AD是⊙O的切线： ②若4C是∠BHD的平分线，c0sB= ,BC=6,求⊙0的半径. 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】(1)作直径AE,连接EC,利用直径得出直角，利用圆周角定理得出相等的角，最后等量代换 可得出结论： (2)根据相等的角得出相等的边，最后利用锐角三角函数求解. 【详解】(1)证明：如图，作直径AE,连接EC, 23/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ○ 则∠ACE=90°，所以∠E+∠EAC=90°， AC 因为<B和∠E所对的弧为AC 所以∠B=∠E, 又因为∠CAD=∠B. 所以∠CAD=∠E, 所以∠CAD+∠EAC=90°， 所以OA⊥AD, 因为OA是半径， 所以AD是⊙O的切线： (2)解：因为AC是∠BAD的平分线，∠CAD=∠B, 所以∠B=∠BAC, 所以BC=AC=6, 由(1)得∠B=∠E, 所以cosB=cosE=CE=4 AE5· 令CE=4x,AE=5x,则根据勾股定理AC=3x, 所以sinE=AC、3 AE5’ 则AE=AC=10, 所以⊙0的半径为5. 11.(2026山东聊城二模)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上异于A、B的点，连接AC、BC,点 D在BA的延长线上，且∠DCA=∠ABC,过点B作BE⊥DC,交DC的延长线于点E. 24/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⊙ (1)求证：DC是⊙O的切线： 1 (②若an∠ABC=2,BE=3求DA的长度. 【答案】(1)见解析 5 (②DA的长为4 【分析】(I)连接OC,由直径得到∠ACB=90°，然后由OC=OB,得到∠ABC=∠OCB,等量代换得 到∠DCA=∠OCB,求出∠OCD=90°即可证明： DA DC AC 1 (2)证明ADC4aDBC,得到DC=DB=BC2,设DA=x,则DC=2x,DB=4x'证明 DO_OC △DCOADEB, 得到D88E,求出x=4,即可得解。 【详解】(1)证明：连接OC,如图， D B 是 的直径， AB⊙O ∠ACB=90°， :∠0CB+∠0CA=90°， .OC=OB. .∠ABC=∠OCB, ∠DCA=∠ABC, ∴.∠DCA=∠OCB」 ∴.∠DCA+∠OCA=∠OCB+∠OCA=90°， 即∠0CD=90°， 25/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :OC是半径， .DC是⊙O的切线： (2)解：tan∠ABC= 2，∠ACB=90°， AC 1 BC2 :∠DCA=∠ABC,∠D=∠D, ∴ADCA△DBC, DA DC AC 1 DC DB BC 2 设DA=x,则DC=2x,DB=4x, ∴AB=DB-DA=4x-x=3x, 35 :D0=DA+A0=x+2x=2, 2B3 0C= 由(1)知OC1DC, BE⊥DC, ∴.∠OCD=∠BED=90°， .OC∥BE, ..ADCOADEB DO OC DBBE· 又BE=3, 5 3 即2 4x3 解得：x= 4 5 即DA的长为4 12.(2026山东济宁·二模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，延长AB到点D,∠CBD 的平分线交O0于点B,过点E作AD的垂线，垂足为F,连接CE. 26/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 0 E D (I)求证：EF为⊙O的切线： (2)若EF=3,CE=5,求⊙0的半径. 【答案】(1)证明见详解 .25 ②8 【分析】(1)连接OE,根据角平分线的定义和等边对等角可得∠BEO=∠EBF,即可判定OE∥AD,结 合EF⊥AD,即可求出结论， (2)过点E作BC的垂线，垂足为M,根据角平分线的性质定理可得FE=ME=3,结合直径所对的圆周 角为直角和勾股定理即可得BM2+9=(BM+4-25,求解得BM=9 4,进而可得半径 【详解】(1)解：连接OE,如图所示： B E D ,∠CBD的平分线交⊙O于点E,OB=OE, ·∠EBF=∠EBO,∠BEO=∠EBO. .∠BEO=∠EBF, ∴OE∥AD .EF L AD, ∴.OE⊥EF, 又OE为圆的半径， .EF为⊙O的切线， (2)解：过点E作BC的垂线，垂足为M,即∠BME=90°， 27/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 R 0 ,BE为∠FBC的角平分线，∠BME=∠BEF=90°，EF=3, .'FE=ME=3. BE=BM+ME=BM2+9 CE=5, .MC-EC-MB-5-3=4 .'BC=BM+MC=BM+4. ,BC是⊙O的直径， .∠BEC=90°. BE=BC2-EC2=(BM+4)-25 :BM2+9=(BM+4}-25 解得：BM=9 4 c04 25 4 o0的半径为8C=25 1 8… 13.(2026山东济南·二模)如图，⊙0是四边形ABCD的外接圆，点O在AB上，过点D作⊙O的切线 DF交BA延长线于点F,对角线AC,BD交于点E,CG是OO的直径. D G (1)求证： ∠ADF=∠ACD 28/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若CD=6, sin∠AED= 5,求直径CG的长. 【答案】()见解析 ②3 【分析】(I)连接OD,根据切线的性质得出∠ODF=90°，由题可知AB是OO的直径，得出 ∠ADB=90°，进而根据等角的余角相等以及同弧所对的圆周角相等，即可得证： (2)先证明△DAE∽△DGC得出'.∠AED=∠GCD,求得 in/GCD=DG_13 CG5,设DG=13x, CG=5x 根据勾股定理求得 =V3 ,即可求解 【详解】(1)解：如图，连接OD, D B 为 的切线， G FD⊙O .∠ODF=90° ∴.∠ADF+∠ADO=90 由题可知AB是⊙O的直径 .∠ADB=90° ∴∠AD0+∠ODB=90°， .∠ADF=∠ODB .·OD=OB .∠ODB=∠OBD AD=AD ∴.∠ACD=∠OBD, ·.∠ACD=∠ADF (2)连接DG 29/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 是 的直径， G .CG⊙0 .∠CDG=∠ADB=90° .CD=CD ∴DAE=∠DGC, ∴.△DAE△DGC, .∠AED=∠GCD. 在Rt△GCD中，∠CDG=90° sin∠GcD=DG-vI3 CG 5 设DG=i3xCG=5x DG2+CD2=CG 2,即i3x+6=(5 解得5 :CG=55 14.(2026~山东济南二模)如图，点A,B在⊙0上，∠A0B=90°，点C在0B的延长线上，过C作⊙0 的切线，切点为D,连接AD交OC于点E. D OE B (I)求证：CE=CD: (2)若OE=1,BC=2,求AE的长 【答案】（①）见解析： 30/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 @15的长为而 【分析】(I)连接OD,由CD是O0的切线，则OD⊥CD,即LODC=90°，所以LODE+LCDE=90°， 又∠A+∠AEO=90°，则∠AEO=∠CDE,从而可得∠CDE=∠CED,然后通过等角对等边可得CE=CD: (2)设O0的半径为r,则0A=0D=OB=,解得r=3或r=-1(舍去)，则OA=3, 在R1△10E中，由勾吸定理得4E=VOA+0E2=V3+P=i ,从而求解 【详解】(1)证明：如图，连接OD, D 0中E B :CD是⊙O的切线， .OD⊥CD,即∠ODC=90°， .∠ODE+∠CDE=90°， .OA=OD, .∠A=∠ODE. ∠AOB=90°， ∴.∠A+∠AE0=90°， .∠AEO=∠CDE, 又：∠AEO=∠CED. ,∠CDE=∠CED, ..CE=CD: (2)解：设⊙O的半径为r,则OA=OD=OB=r, 0E=1,BC=2, ..OC=OB+BC=r+2. :CE=0C-0E=(r+2)-1=r+1 由(I)知CD=CE, 31/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..CD=r+1, 在Rt△ODC中，由勾股定理得：OD2+CD2=OC2, ÷2+(0+=0+2 解得r=3或r=-1(舍去)， ∴.0A=3, 在Rt△A0E中，由勾股定理得：E=VOf+OP=V3+F=V而】 的长为0 15.(2026山东济南二模)如图，CD与⊙0相切于点C,直径AB的延长线交CD于点D,连接AC, BC D B (I)求证：∠BAC=∠BCD: (2)若tanA= 2,CD=6:求⊙0的半径. 【答案】(1)见解析 9 2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆的切线的性质，解直角三角形等，能够灵 活使用定理公式解三角形是解题的关键。 (I)连接OC,由CD是⊙O的切线，AB是⊙O的直径可推得∠ACO=∠BCD,即可证明结论： (②)先解直角三角形得am4=Cg={ CD BD CB 1 FAC2,由题意可以证得，△DCB∽△DAC,从而得AD-CD-AC2, 计算得AD=12,BD=3,根据AB=AD-BD即可求出答案. 【详解】(1)解：连接OC, 32/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 是 的切线， .CD ⊙0 ∴.OC⊥CD, .∠0CD=90°， .∠BCD+∠OCB=90°， :AB是⊙0的直径， ∠ACB=90°， ∴.∠AC0+∠OCB=90°， .∠ACO=∠BCD OA=OC, ∴∠CAB=∠ACO, .∠CAB=∠BCD: (2)∠ACB=90°，CD=6, .tanA=CB 1 AC 2, :∠BCD=∠A,∠D=∠D, ADCBADAC, CD BD CB 1 AD CD AC2· AD=2C0=2x6=12BD=CD=x6=3 2 2 ..AB=20B=AD-BD=12-3=9. 9 0B=2: 9 ⊙0的半径为2： 16.(2026山东临沂二模)如图，口ABCD的顶点A,B,D在O0上，边BC与⊙0相切于点B,对角线 AC经过圆心O,与⊙O交于点E,连接DE,BO. 33/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (①)求证：CD是⊙O的切线： (2)若⊙0的半径为4，求口ABCD的面积. 【答案】（①）见解析 ②245 【分析】连接OD,先证明 MDE≌CBO(ASA),再证明△0ED是等边三角形，求出∠D1E=∠AD0=30 ∠BC0=∠DAE=30°，可得∠BOC=∠AED=60°，由平行四边形的性质推出∠CDE=30°，可得 ∠CD0=∠CDE+∠ODE=90°，即可证明： (2)由1)知D1C=∠DCA=30°，∠CD0=90°，易证四边形4BCD是菱形，求出 D=4V3 ,得到 AB=BC=4 ,过点C作CG1AB交1B延长线于点G,易求∠C8G=60°，解直角三角形求出 CG=6 即可求解， 【详解】(1)证明：连接OD, D :口ABCD中，AD=BC,ADI‖BC, ∴∠DAE=∠BCO, ,对角线AC经过圆心O,即AE是⊙O的直径， .∠ADE=90°， ,BC与⊙O相切于点B, 34/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CB0=90° .∠ADE=∠CBO=90°， △ADE≌ACBO(ASA) .'.OB=DE. ..OD=OB=OE, ∴.OD=DE=OE, .△OED是等边三角形， ∴.∠ODE=∠OED=60° OA=OD,∠DOE=∠DAE+∠AD0=60°， ∴∠DAE=∠ADO=30°， ∴.∠BCO=∠DAE=30°， ..OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA, ,△ADE≌△CBO. .∠BOC=∠AED=60°. ∠OAB+∠0OBA=∠BOC=60°，即∠OAB=∠OBA=30°， ABCD中，CD‖AB, ∴∠DCA=∠OAB=30° :∠DCA+∠CDE=∠OED=60°， .∠CDE=30°. ∴.∠CDO=∠CDE+LODE=90° .CD是⊙O的切线： (2)解：由(1)知∠DAC=∠DCA=30°，∠CD0=90° .AD=CD. ∴.四边形ABCD是菱形， 0D=4, an∠DCAtan330=4W5 .CD= OD 4 35/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=BC=43 过点C作CG⊥AB交AB延长线于点G, D B G :CDI‖AB, ·.∠CBG=∠DCB 由(1)知∠DCA=∠BCA=30°， ·.LCBG=∠DCB=∠DCA+∠BCD=60°， ,CG=BC.sin∠CBG=4V3sin60°=6 .ABCD AB-CG=4V3×6=24V3 的面积为 考点03 正多边形与圆 1.(2026山东临沂·二模)如图，⊙0是边长为2的正六边形ABCDEF的外接圆，以点F为圆心，AF长 为半径画弧AE,则图中阴影部分的面积为() D 16 B.3 c费 D.3π 【答案】A ∠AOB= 360° =60° 【分析】如图，连接AO,根据题意得到OA=OE, 6 得到弓形AO的面积=弓形 36/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EO的面积，然后利用扇形面积公式求解. 【详解】解：如图，连接AO D :⊙0是边长为2的正六边形ABCDEF的外接圆， ∠AOB= 360° =60° ..OA=OE=OB, 6 ∴.aOAB是等边三角形， ..OA=AB=2, ,以点F为圆心，AF长为半径画弧AE, ∴.弓形AO的面积=弓形E0的面积， ∴.阴影部分的面积=S扇形OAB= 60m×2_2红 3603 2.(2026山东青岛·二模)如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数 y-（k>0x>0)的图象上，边B在r鞋上，点F在y轴上，已知B=25·则反比例函数解折式为 角 【答案】上-65 【分析】根据正六边形的性质得出B=AF=25,∠FA0=60°，则O1=5,0F=3,得出 F(0,3) 37/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 A5.0,连接PF,PA,推出EFP.*FAP.*ABP为等边三角，形得出P25,3). 据此求解即可， 【详解】解：，六边形ABCDEF为正六边形，AB=25, :B=4F=2V5∠F40=60° 04-4F-c0s60-3 OF=AF.sin60=3 :F(0,3).A(V5,0) 连接PF,PA ,六边形ABCDEF为正六边形， ÷.PE=PF=PA=PB,LEPF=∠FPA=∠APB=6O°， 、.△EFP,△FAP,△ABP为等边三角形， AF=PF=2√5 :P25,3 把P5到代入-：3= 25, k=65 解得： 反比例函数表达式为方、团 x. 3.(2026山东济宁·二模)已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，正六边形ABCDEF的边心距为3， 38/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将图中阴影部分的扇形OAC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 E D B 【答架1号万 【分析】根据边心距求得外接圆的半径，根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，计算圆锥的半径即可， 【详解】解：如下图，过点O作OG⊥AF,垂足为G,连接OF,OB,AB,BC, D 六边形 是正六边形， ABCDEF .△AOF,△AOB,BOC 是3个全等的等边三角形， 六∠A0C=120°，∠A0G= 2×60°=30° 正六边形的边心距为3，即OG=3, :∠OGA=90°，∠AOG=30° ..OA=2AG. 0-4G2=3,即0- 解得：0A=25, 设圆锥的半径为根据题意，得：2r=120xx25 180 39/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026山东济南二模)如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部 分的周长为 (结果保留π) B E D 18 【答案】5π+12 【分析】利用正多边形内角和定理以及弧长公式求解. .∠A=(5-2)×180°÷5=108 【详解】解： 108×π×618π ·BE的长度为180 5， 18 ·阴影部分的周长为5+12 考点04 弧长与扇形面积计算 1.(2026山东济宁·二模)如图，△ABC内接于⊙0，连接A0并延长交⊙0于点D,若∠ABC=60°， AC=6,则劣弧CD的长为() 2V5 A.25 B.2π C.3π D.3 【答案】D 【分析】连接CD,CO,先根据“同弧所对的圆周角相等”得∠ADC=60°，再根据“直径所对的圆周角是 40/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 直角”得 ∠ACD=90° CD=2V3 △COD 然后根据特殊角的三角函数值求出 接下来说明 是等边三角形， 最后根据弧长公式得出答案， 【详解】解：如图所示，连接CD,CO, ,∠ABC=60°， ∴.∠ADC=∠ABC=60°」 ,AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， .tan∠ADC= AC CD, 6 即tan60°= CD 解得CD=2V5 ,C0=D0, :△COD是等边三角形， ·∠C0D=60°，D0=CD=2N5 60π×2V32V3 ∴.CD的弧长180 3 D 2.(2026山东泰安·二模)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D都在格点上. 连接AC并延长至点E,以A为圆心，AE为半径画弧，交射线AB于点F,弧EF经过格点D,则扇形 AEF的面积是() 41/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 9 A. B.4π C.5π D.2 【答案】A 【分析】连接AD,先由勾股定理求解半径AD,再由△CAO为等腰直角三角形，确定圆心角的度数，最 后由扇形面积公式求解即可. 【详解】解：连接AD, E BF 由题意得， AE=AD=AB2+BD2=4+22=25 而由网格可得，△CAO为等腰直角三角形， ∴.∠CA0=45° 45x×255 一扇形AEF的面积 360 3. (2026山东聊城二模)如图，⊙0中，AB=AC,∠4CB=75 ,半径=L,若将扇形B0C围成一个圆 锥，则圆锥的底面圆的半径为() A 1 1 1 A.12 B. 6 c.i D. 3 42/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】B 【分析】连接AB,先得到AB=AC,然后求出∠A的度数，再由圆周角定理求出∠BOC,最后根据扇形 BOC的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可. 【详解】解：连接AB, A AB=AC .AB=AC .∠ACB=75°=∠ABC ∴.∠A=180°-∠ABC-∠ACB=30° ∴.∠B0C=2∠A=60° 设圆锥的底面圆的半径为x,则2=60 180, 1 解得x= 6· 4.(2026山东青岛·二模)如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲 线起点A行驶至终点B,过点A,B的两条切线相交于点C,机动车在从点A到点B行驶过程中转角为 若这段圆弧的半径OA=3m,a=60°，则图中危险区（阴影部分）的面积为一 B 转 转 弯 危 车 区道 【答案】 3v33 【分析】连接OC,根据切线的性质得到∠OAC=∠OBC=90°，利用四边形内角和求出∠AOB的度数， 43/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 通过解直角三角形求出AC的长，进而求出四边形OACB的面积，最后利用阴影部分面积等于四边形 OACB面积减去扇形AOB面积求解. 【详解】解：如图，连接OC, B 转 弯 0 车 道 ☒道 :CA,CB是圆的切线， .∠OAC=∠OBC=90°， a=60°， ∴.∠ACB=180°-au=120°， .∠A0B=360°-90°-90°-120°=60°， 60元×323元 .S扇形AOB= 3602 在Rt△AOC和Rt△BOC中， OB=OA 0C=0C, Rt△AOC≌RtABOC(HL) ∴.∠COB=∠COA=30°， AC=04xm2C04=3x 3 S.oc =S.woc =x3x 2 2, ÷5影=25.0c-S0形408=3V5-3 5.(2026山东济南一模)如图，将⊙0沿弦1B折叠，B恰经过圆0，若4B=45 则阴影部分的面 积为 44/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8 【答案】3元 【分析】过点O作OD⊥AB于点D,交劣弧AB于点E,由题意易得 OD=DE=OE=)0B,D=BD-=)4B=25,则有∠OBD=30°，然后根据特殊三角函数值及扇形面积 2 21 公式可进行求解阴影部分的面积， 【详解】解：过点O作OD⊥AB于点D,交劣弧AB于点E,如图所示： B 由题意可得：0D=DE=0E=0B,AD=5D=号4B=2V5, 2 2 :0D=0B ∴.∠OBD=30°， ÷∠D0B=609,OD=BD.tam30°=2，OB=BD c0s30°=4， ÷号形AB的面积为2x5ae-280m=2x60×r-2×5×25×2-16元 360 3π-4V5, ∴阴影部分的面积为2 2 3 8 故答案为：3元。 45/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 46/23