专题04 三角形（6大考点）（山东专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 山东各地二模三角形专题试题汇编，覆盖6大核心考点，以选择、填空、解答题呈现，突出解直角三角形实际应用与相似综合，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约12题|内角与外角、全等判定、勾股定理|结合正五边形、平行线等图形，考查基础计算| |填空|约8题|角平分线作图、线段垂直平分线应用|融入尺规作图，如折叠找点问题| |解答|约17题|解直角三角形（无人机/房屋测量）、相似综合（旋转探究）|解直角三角形题联系无人机测绘、灯塔导航等真实情境，相似题含动态旋转与跨学科（物理光反射）探究|

专题04 三角形 6大考点概览 考点01三角形的内角与外角 考点02角平分线、线段垂直平分线 考点03全等三角形 考点04直角三角形与勾股定理 考点05解直角三角形及实际应用 考点06 相似三角形综合 三角形的内角与外角 考点01 1．（2026·山东济南·二模）如图，在正五边形中，连接对角线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济宁·二模）如图，，点E为上一点，连接，的平分线交于点F，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·二模）如图，直线，直线与，分别相交于点，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东聊城·二模）如图，在一束平行光线中插入一张矩形纸板．如果光线与纸板左下方所成的是，则光线与纸板右上方所成的的度数是__________． 角平分线、线段垂直平分线 考点02 1．（2026·山东济南·二模）如图，在中，．按以下步骤作图： ①以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点，连接交线段于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点； ④分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点，连接并延长，交线段于点．若，则长为（   ） A． B．3 C． D．5 2．（2026·山东济宁·二模）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“有两尖田一段，其尖长不等，两大斜三十九步，两小斜二十五步，中广三十步．欲知其积几何？”其大意为：如图，在四边形中，步，步，步，则四边形的面积为（    ） A．820平方步 B．840平方步 C．860平方步 D．900平方步 3．（2026·山东聊城·二模）如图，在中，，，．在边上取一点，使，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点．分别以，为圆心，大于的长为半径作圆弧，交于，两点，连接，交于点，交于点，连接，则的长为__________． 4．（2026·山东青岛·二模）青岛浮山森林公园计划推进智慧园区改造，打造三角形生态监测区，为边上已布设的环境监测桩点位．现计划在监测区内部设置一处数据中转站，要求，且中转站到监测区两个入口B、C的距离相等，请作出符合要求的中转站． 全等三角形 考点03 1．（2026·山东济南·二模）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东临沂·二模）在中，作的平分线交于点D，作的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接，，得到四边形．若，则四边形的周长为（    ） A．12 B． C． D． 3．（2026·山东日照·二模）如图，在中，，过点作直线于点，分别是直线、边上的动点，且，则的最小值为______． 4．（2026·山东临沂·二模）如图，在中，，，点是斜边的中点，点是上一动点，则的最小值为____________． 直角三角形与勾股定理 考点04 1．（2026·山东东营·二模）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竹竿的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东泰安·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上．连接并延长至点E，以A为圆心，为半径画弧，交射线于点F，弧经过格点D，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东济南·二模）将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置．若，那么的度数是__________． 4．（2026·山东东营·二模）我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东方向走到B地，再沿北偏西方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距8千米，则A，C两地的距离为________千米．（结果保留根号） 5．（2026·山东滨州·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找一点，将沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹，用黑色签字笔描图．简要说明分析思路，示例第1步：作的垂直平分线；第2步：过点C作的垂线） (2)在（1）所作图形中，若，求的长． 解直角三角形及实际应用 考点05 1．（2026·山东济南·二模）数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组令一架无人机从河岸边的处，沿仰角方向飞行130米到达点处，然后无人机沿水平线方向继续飞行30米至处，测得此时河对岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上． (1)求无人机的飞行高度； (2)求的长．（结果精确到．参考数据：，，，， 2．（2026·山东临沂·二模）项目式学习 为深化数学知识与实际生活的关联，提升实践探究能力，某校项目学习小组选定某景区的房屋，开展房屋高的测量探究活动，活动报告如下： 项目主题 景区的房屋高的测量与计算 项目背景 如图1是景区的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．综合实践小组的同学围绕“景区的房屋高的测量与计算”开展项目学习活动．    测量工具 激光投线角度仪（高度忽略不计）、皮尺等 项目方案 如图2 1．在地面上C点测得房顶A的仰角为，此时地面上C点、房檐上E点、房顶上A点三点恰好共线． 2．由C点向房屋方向走到达D点时，测得屋檐E点的仰角为． 3．测得房屋的顶层横梁，EFCB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）． 参考数据 参考数据：，，， 任务 求房屋的高（结果精确到） … … 根据以上数据，计算的长． 3．（2026·山东聊城·二模）某校开展爱国主义教育活动，组织学生走进孔繁森纪念馆，学习并弘扬孔繁森精神．为将所学与实践相结合，该校某数学兴趣小组计划在参观学习之余，实地测量孔繁森塑像的高度，具体测量方案如下： 测量目的 孔繁森塑像的高度（精确到0.1米） 测量工具 平面镜、测角仪、米尺 测量过程 如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，小明先在点处安装测角仪，测得塑像顶端的仰角为．再从点处放置平面镜，然后小明从点处沿方向移动到点处，此时视线刚好在平面镜内看到塑像顶端的像，测得眼睛离地面高度． 测量数据 已知米，米，米，米，，． 参考数据 4．（2026·山东济宁·二模）【活动背景】某兴趣小组要测量公园里一个凉亭（如图①）的高度，经实地查看，同学们发现凉亭位于一个人工湖上，周围仅一条曲折的两侧带有栏杆的步道，设计了如下方案． 【测量工具】测角仪、皮尺． 【图纸设计】如图②，为凉亭，及为测角仪的支架，点C和处为测角仪的位置． 【方案设计】 要求一名同学在步道上正对凉亭站立，利用测角仪测得凉亭顶端的仰角，将测角仪向凉亭移动一段距离，再次测得凉亭顶端的仰角． 【方案评价】 测角仪在本方案中发挥了重要作用，其规范使用会使得结果更加精确． 【规范建议】 组员：测角仪的支架的高度要适当，避开两侧栏杆的影响． 组长：测角仪的支架的高度移动前后要确保高度相同． 教师：移动测角仪时要保证前后位置与凉亭顶端所在的直线在同一平面内． 【方案实施】 测量数据：测角仪的支架高度米，凉亭顶端的仰角分别为，，测量点D，之间的距离米，，，，，所有点在同平面内． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求凉亭的高度；（保留一位小数，参考数据：，，，，，） 【方案反思】 (2)在小组讨论决定测量方案时，某组员提出了“利用物体在阳光下的影子测量凉亭的高度”的方案没有被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 5．（2026·山东青岛·二模）团岛灯塔（游内山灯塔）是青岛历史最悠久的百年灯塔，被誉为胶州湾的“门柱”和“守望者”，是老青岛人记忆中每逢雾天“哞哞”作响的雾号“海牛”．它在2025年底刚迎来了发光125周年，其独特的文化象征和仍在运转的百年文物，让它格外有分量．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组借助百年灯塔开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔P北偏东方向 时，渔船航行至灯塔P南偏东方向的B处 时，渔船航行至灯塔P东南方向的C处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，，，，，）    (1)求渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离； (2)若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A． 6．（2026·山东泰安·二模）如图是一种架设在斜坡屋顶的吊篮装置，主要用于在斜坡屋顶作业时，提供安全的悬挂、升降作业平台，方便施工人员开展屋面检修、清洁等作业．已知斜坡的长度为，斜坡的坡角为，已知较短的竖直立柱高为，较长竖直立柱为，斜拉索与水平臂的夹角为．（参考数据：，，；计算结果精确到） (1)求两根立柱之间水平距离； (2)求较长竖直立柱的高度． 7．（2026·山东济南·二模）为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板长为，踏板与地面的坡比，支架长为，跑步机手柄为，且，到地面的高度为．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． (1)求到地面距离（结果精确到）； (2)该人身高为1.8米，通过尝试：当是身高0.8倍时，运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 8．（2026·山东济宁·二模）如图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图，已知入口宽米，门卫室外墙上的点处装有一盏灯，点与地面的距离为米，灯臂长为米（灯罩长度忽略不计），． (1)求点到地面的距离； (2)某搬家公司一辆总宽米，总高米的货车从该入口进入到点时，（，，在同一直线上）货车刚好与门卫室外墙保持米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：，结果精确到米） 9．（2026·山东聊城·二模）2026年春晚，武术节目《武BOT》精彩亮相，人形机器人与武术演员同台竞技，精准完成鲤鱼打挺、太极推手等高难度武术动作．如图为该节目某一精彩瞬间的几何示意图：机器人的一条腿垂直立于地面上，初始状态下，其另一条腿的小腿与大腿相互垂直．当小腿向上踢起至位置时，与恰在同一直线上．已知，，，． (1)求点到地面的距离； (2)求机器人的小腿从旋转至的位置时，点上升的竖直高度． [（1）（2）两问结果均保留至，参考数据：，] 10．（2026·山东济南·二模）某工厂在斜坡上安装一块广告牌，其侧面结构如图所示，斜坡与水平线的夹角，广告牌长为，与水平线的夹角，三个支撑杆固定该广告牌（点C，M，B在同一条直线上，且），其中． (1)求广告牌的端点D到水平线的高度； (2)求水平支撑杆的长度． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 11．（2026·山东济南·二模）如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得、、三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中，． (1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）； (2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 12．（2026·山东临沂·二模）【实验主题】大型滑梯滑道长度检测 【实验背景】某游乐场计划为大型滑梯更换耐磨防滑垫，由于滑梯落差很大（超过米），且滑道表面有弧度，工程人员无法直接使用软尺贴合测量，为此，项目组设计了一个“高度——角度辅助测量法”，利用三角函数间接计算滑道长度． 【实验原理】如图①，将滑梯的滑道简化为直角三角形的斜边，已知滑梯平台的垂直高度（固定值），滑道与水平地面的夹角．在中，利用正弦函数关系，可由和推算出滑道长度（即斜边的长）． 【实验数据与任务】已知该系列滑梯平台的垂直高度米． (1)【模型建立】设滑道长度（米），滑梯平台的垂直高度（米），坡角，请用含，的代数式表示； (2)【数据检测】工程师对两个不同坡度的滑梯进行了测量，数据如下表： 滑梯编号 坡角 标准滑道长度（米） 滑梯 滑梯 请通过计算判断：哪个滑梯的滑道长度不符合标准？（参考数据：） (3)【误差探究】工程师在现场测量时发现，滑梯底部并非直接着地，而是与水平地面有一个倾斜的缓冲坡道（如图②），若工程师在计算时，未考虑缓冲坡道的影响，仍错误地将滑梯主体的垂直高度按代入进行计算． 请分析：①由于缓冲坡道占据了一定高度，滑梯主体的实际垂直高度____________；（填“”“”或“”） ②这样计算出的滑道长度会比滑梯主体的真实长度____________．（填“偏大”或“偏小”） 相似三角形综合 考点06 1．（2026·山东日照·二模）【问题探究】 (1)在中，，过点作于点． ①如图1，若，求的值； ②如图2，点在的延长线上，连接并延长至点，连接，当时，求证：； (2)【问题解决】 为提升城市绿化品质，某市计划在新区建设一座生态公园．公园设计包含一片人工湖与多个休闲广场，其中一处广场形状为直角三角形区域（如图3），，，．为增强景观的连贯性，设计师计划在广场外选取一点，建造一座景观桥，满足．在点和点处设置游客休息区，并修建仿古长廊和小路，点在的延长线上，且，连接．经测算，当仿古长廊的长度最短时，成本最小，请你帮助设计师求出当仿古长廊最短时，小路的长度．（小路、仿古长廊、景观桥的宽度均忽略不计） 2．（2026·山东青岛·二模）已知：和如图①摆放（点与点重合），，，在同一直线上，，，，，．如图②，从图①位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．当点运动到点时，点与都停止运动．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，沿过的直线翻折，点与点重合？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)连接、．设面积为，求与的函数关系式； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使经过的中点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 3．（2026·山东日照·二模）问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，是和的中点，将绕点顺时针旋转． 猜想证明： (1)如图①，在旋转的过程中，当点，点在线段上，且点在的内部时，则线段与线段的数量关系为___________． (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在边上时，连接，试说明（1）的结论是否依然成立，若成立请加以证明；若不成立请说明理由； (3)问题解决：如图③，若，，连接，设所在直线与所在直线交于点，在旋转的过程中，当点在同一直线上时，在两点中的其中一点恰好是另一点与点构成的线段的中点，求的长． 4．（2026·山东临沂·二模）如图，在中，，，平分交于点D． (1)尺规作图：作交的延长线于点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 5．（2026·山东济宁·二模）问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直于地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． 【探究一】 (1)人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． 【探究二】 (2)如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． 【探究三】 (3)通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形 5大考点概览 考点01三角形的内角与外角 考点02角平分线、线段垂直平分线 考点03全等三角形 考点04直角三角形与勾股定理 考点05解直角三角形及实际应用 考点06 相似三角形综合 三角形的内角与外角 考点01 1．（2026·山东济南·二模）如图，在正五边形中，连接对角线，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，，根据三角形内角和定理得到，同理得到，计算即可得到答案． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ， 同理得到， ． 2．（2026·山东济宁·二模）如图，，点E为上一点，连接，的平分线交于点F，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，可先求出的度数，利用是的外角，可以求出，从而由角平分线的条件，得到，最后根据三角形内角和为求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 3．（2026·山东聊城·二模）如图，直线，直线与，分别相交于点，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·山东聊城·二模）如图，在一束平行光线中插入一张矩形纸板．如果光线与纸板左下方所成的是，则光线与纸板右上方所成的的度数是__________． 【答案】/20度 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴． 角平分线、线段垂直平分线 考点02 1．（2026·山东济南·二模）如图，在中，．按以下步骤作图： ①以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点，连接交线段于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点； ④分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点，连接并延长，交线段于点．若，则长为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】根据作图可知，平分，先证明，设，由相似三角形的性质列式求解得到，则，，由勾股定理得到，如图所示，过点P作于点，可证，得到，设，则，在中由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：根据作图可知，平分， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 整理得，， ∴， 解得，，（舍去）， ∴，，， 在中，， 在中，， 如图所示，过点P作于点， ∵，平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 2．（2026·山东济宁·二模）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“有两尖田一段，其尖长不等，两大斜三十九步，两小斜二十五步，中广三十步．欲知其积几何？”其大意为：如图，在四边形中，步，步，步，则四边形的面积为（    ） A．820平方步 B．840平方步 C．860平方步 D．900平方步 【答案】B 【分析】先连接，交于点O，可得是的垂直平分线，进而得出步，再根据勾股定理求出步，步，然后根据得出答案． 【详解】解：如图，连接，交于点O， ∵步，步，步， ∴是的垂直平分线， ∴步． 根据勾股定理，得步，步， ∴ （平方步）． 3．（2026·山东聊城·二模）如图，在中，，，．在边上取一点，使，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点．分别以，为圆心，大于的长为半径作圆弧，交于，两点，连接，交于点，交于点，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点作交于点，由勾股定理可得的长，证明，可得的长，根据作法可知，垂直平分，证明，可得的长，进而根据即可得解． 【详解】解：在中，，，， ， 如图，过点作交于点， ，， ， ，即， 解得， 由作法可知，，垂直平分， ，，，， ，， ， ，即， 解得， ． 4．（2026·山东青岛·二模）青岛浮山森林公园计划推进智慧园区改造，打造三角形生态监测区，为边上已布设的环境监测桩点位．现计划在监测区内部设置一处数据中转站，要求，且中转站到监测区两个入口B、C的距离相等，请作出符合要求的中转站． 【答案】见解析 【分析】过点作，作的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求， 全等三角形 考点03 1．（2026·山东济南·二模）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·山东临沂·二模）在中，作的平分线交于点D，作的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接，，得到四边形．若，则四边形的周长为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用角平分线的定义得，再由垂直平分线性质推出，，通过证明得到，最后根据的值求出四边形各边长度，进而算出周长． 【详解】解：设与交点为 ∵平分， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴，，且． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形的周长为． 3．（2026·山东日照·二模）如图，在中，，过点作直线于点，分别是直线、边上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过作，使，连接，可证，得到，即得，可知当点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，过作，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴的值最小为． 4．（2026·山东临沂·二模）如图，在中，，，点是斜边的中点，点是上一动点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】由动点最值问题-将军饮马模型解法作图分析求解，再由含直角三角形性质、全等三角形的判定与性质求出相关线段长即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，如图所示： ， ， 由动点最值问题-将军饮马模型可知，当点三点共线时，有最小值，为， 在中，，，则，， 点是斜边的中点， ， 在和中， ， ， ． 直角三角形与勾股定理 考点04 1．（2026·山东东营·二模）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竹竿的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先根据题意得到门框的宽、高和对角线的长度，再利用勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设竹竿的长为尺， ∵ 横放竹竿时比门框宽多尺， ∴ 门框的宽为尺， ∵ 竖放竹竿时比门框高多尺， ∴ 门框的高为尺， ∵ 斜放竹竿刚好顶住门框两个对角， ∴ 门框对角线长等于竹竿长尺， ∵ 门框是矩形，四个角为直角，根据勾股定理可得 ． 2．（2026·山东泰安·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上．连接并延长至点E，以A为圆心，为半径画弧，交射线于点F，弧经过格点D，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先由勾股定理求解半径，再由为等腰直角三角形，确定圆心角的度数，最后由扇形面积公式求解即可． 【详解】解：连接， 由题意得， 而由网格可得，为等腰直角三角形， ∴ ∴扇形的面积． 3．（2026·山东济南·二模）将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置．若，那么的度数是__________． 【答案】/度 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质得出，根据平行线的性质结合对顶角相等得出，进而可得出答案． 【详解】解：如图所示， ∵将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·山东东营·二模）我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东方向走到B地，再沿北偏西方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距8千米，则A，C两地的距离为________千米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作于点，利用含角的直角三角形与等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ， 由题意知：， 在中，， 在中，， ∴， ． 5．（2026·山东滨州·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找一点，将沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹，用黑色签字笔描图．简要说明分析思路，示例第1步：作的垂直平分线；第2步：过点C作的垂线） (2)在（1）所作图形中，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据折叠性质，作的平分线交于点即可．以点为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则点即为所求． （2）先可求得，由折叠可知，可得为直角三角形，设，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：∵在中，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴的长为3． 解直角三角形及实际应用 考点05 1．（2026·山东济南·二模）数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组令一架无人机从河岸边的处，沿仰角方向飞行130米到达点处，然后无人机沿水平线方向继续飞行30米至处，测得此时河对岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上． (1)求无人机的飞行高度； (2)求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1)无人机的飞行高度为 (2)的长为 【分析】（1）由题意可得，再代入数据计算即可； （2）过点作，垂足为，先求出，再在中，根据，求得的长，最后再求解即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，， ， ； 答：无人机的飞行高度为； （2）解：过点作于点， ， ， ，， ， ∴四边形为矩形， ，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 答：的长为． 2．（2026·山东临沂·二模）项目式学习 为深化数学知识与实际生活的关联，提升实践探究能力，某校项目学习小组选定某景区的房屋，开展房屋高的测量探究活动，活动报告如下： 项目主题 景区的房屋高的测量与计算 项目背景 如图1是景区的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．综合实践小组的同学围绕“景区的房屋高的测量与计算”开展项目学习活动．    测量工具 激光投线角度仪（高度忽略不计）、皮尺等 项目方案 如图2 1．在地面上C点测得房顶A的仰角为，此时地面上C点、房檐上E点、房顶上A点三点恰好共线． 2．由C点向房屋方向走到达D点时，测得屋檐E点的仰角为． 3．测得房屋的顶层横梁，EFCB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）． 参考数据 参考数据：，，， 任务 求房屋的高（结果精确到） … … 根据以上数据，计算的长． 【答案】米 【分析】根据题意得到，，，解求出的长，过作于，设，分别解和，求出和，再根据米，列式求出，进而可得答案． 【详解】解：房屋的侧面示意图，是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，， ， （米）， 如图，过作于，设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 米， ， 解得：（米）， （米）， 答：房屋的高约为米． 3．（2026·山东聊城·二模）某校开展爱国主义教育活动，组织学生走进孔繁森纪念馆，学习并弘扬孔繁森精神．为将所学与实践相结合，该校某数学兴趣小组计划在参观学习之余，实地测量孔繁森塑像的高度，具体测量方案如下： 测量目的 孔繁森塑像的高度（精确到0.1米） 测量工具 平面镜、测角仪、米尺 测量过程 如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，小明先在点处安装测角仪，测得塑像顶端的仰角为．再从点处放置平面镜，然后小明从点处沿方向移动到点处，此时视线刚好在平面镜内看到塑像顶端的像，测得眼睛离地面高度． 测量数据 已知米，米，米，米，，． 参考数据 【答案】塑像的高度约为5.0米 【分析】过点作，交于点，设米，根据三角函数求出长，证明，得到，求出x的值，进而可知的值． 【详解】解：过点作，交于点， 由题意得：米，， 设米， 米， 米， 在中，， （米）， 米， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， （米）， ∴塑像的高度约为5.0米． 4．（2026·山东济宁·二模）【活动背景】某兴趣小组要测量公园里一个凉亭（如图①）的高度，经实地查看，同学们发现凉亭位于一个人工湖上，周围仅一条曲折的两侧带有栏杆的步道，设计了如下方案． 【测量工具】测角仪、皮尺． 【图纸设计】如图②，为凉亭，及为测角仪的支架，点C和处为测角仪的位置． 【方案设计】 要求一名同学在步道上正对凉亭站立，利用测角仪测得凉亭顶端的仰角，将测角仪向凉亭移动一段距离，再次测得凉亭顶端的仰角． 【方案评价】 测角仪在本方案中发挥了重要作用，其规范使用会使得结果更加精确． 【规范建议】 组员：测角仪的支架的高度要适当，避开两侧栏杆的影响． 组长：测角仪的支架的高度移动前后要确保高度相同． 教师：移动测角仪时要保证前后位置与凉亭顶端所在的直线在同一平面内． 【方案实施】 测量数据：测角仪的支架高度米，凉亭顶端的仰角分别为，，测量点D，之间的距离米，，，，，所有点在同平面内． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求凉亭的高度；（保留一位小数，参考数据：，，，，，） 【方案反思】 (2)在小组讨论决定测量方案时，某组员提出了“利用物体在阳光下的影子测量凉亭的高度”的方案没有被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先得到四边形，是矩形，然后先解，再解即可； （2）由于凉亭位于人工湖上，其影子可能在水面上，无法准确测量影子的长度． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∵， ∴ 设，则， ∵ ∴ 解得 ∴ 答：凉亭的高度为． （2）解：因为凉亭位于人工湖上，其影子可能在水面上，无法准确测量影子的长度． 5．（2026·山东青岛·二模）团岛灯塔（游内山灯塔）是青岛历史最悠久的百年灯塔，被誉为胶州湾的“门柱”和“守望者”，是老青岛人记忆中每逢雾天“哞哞”作响的雾号“海牛”．它在2025年底刚迎来了发光125周年，其独特的文化象征和仍在运转的百年文物，让它格外有分量．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组借助百年灯塔开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔P北偏东方向 时，渔船航行至灯塔P南偏东方向的B处 时，渔船航行至灯塔P东南方向的C处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，，，，，）    (1)求渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离； (2)若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离为15海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 【分析】（1）根据速度及时间求出海里，设海里，根据方向角及三角函数列方程求出x的值即可； （2）先求出，利用三角函数求出海里，即可求出海里，得出从B到达码头A所用时间为2.375小时，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，从B处到C处的航行时间为小时， ∴（海里）， 如图，由题意得，，，，，， ∴，， ∴， 设海里，则海里， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离为15海里． （2）解：∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴从B到达码头A所用时间为（小时）， ∵到是3小时，而， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A． 6．（2026·山东泰安·二模）如图是一种架设在斜坡屋顶的吊篮装置，主要用于在斜坡屋顶作业时，提供安全的悬挂、升降作业平台，方便施工人员开展屋面检修、清洁等作业．已知斜坡的长度为，斜坡的坡角为，已知较短的竖直立柱高为，较长竖直立柱为，斜拉索与水平臂的夹角为．（参考数据：，，；计算结果精确到） (1)求两根立柱之间水平距离； (2)求较长竖直立柱的高度． 【答案】(1)两根立柱之间水平距离为米 (2)较长竖直立柱的高度为米 【分析】（1）如图：过点A作于点F，在中解直角三角形可得，再根据矩形的性质即可解答； （2）在中解直角三角形可得，进而得到，再在中可得，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点A作于点F， 在中，，， ， ∴． ∵四边形ADCF是矩形， ∴米． 答：两根立柱之间水平距离为米． （2）解：在中，，， ， ∴． ， 米． ∵四边形是矩形， 米， 在中，，， ． 米． 答：较长竖直立柱的高度为米． 7．（2026·山东济南·二模）为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板长为，踏板与地面的坡比，支架长为，跑步机手柄为，且，到地面的高度为．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． (1)求到地面距离（结果精确到）； (2)该人身高为1.8米，通过尝试：当是身高0.8倍时，运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 【答案】(1)到地面距离为； (2)此时支架与踏板之间夹角的度数为． 【分析】（1）过C作于G，由坡度坡角的关系求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）延长交于F，则，求出，由（1）得，然后求出的长即可；由锐角三角函数定义求出，再由（1）得，然后求出的度数即可． 【详解】（1）解：过作于， 踏板与地面的坡比，， ， ， ， 即到地面距离为； （2）解：延长交于， 则， 该人身高为1.8米，通过尝试是身高0.8倍运动起来更加舒服， ， 由（1）得：， ， 在中，， ， 由（1）得：， ． 此时支架与踏板之间夹角的度数为． 8．（2026·山东济宁·二模）如图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图，已知入口宽米，门卫室外墙上的点处装有一盏灯，点与地面的距离为米，灯臂长为米（灯罩长度忽略不计），． (1)求点到地面的距离； (2)某搬家公司一辆总宽米，总高米的货车从该入口进入到点时，（，，在同一直线上）货车刚好与门卫室外墙保持米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：，结果精确到米） 【答案】(1)米 (2)货车能安全通过，理由见解析 【分析】（1）过点M作于点N，在中，，进而求出长，利用平行线间的距离求解即可； （2）过点H作交于点P，过点作于点，易证明四边形是矩形，在中，，求出长，与货车高度作比较进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：米， 如图，过点M作于点N， ， 在中，， 米， 米， ， ， 点到地面的距离为米； （2）解：货车能安全通过，理由如下： 过点H作交于点P，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， 、、， ， ， 在中，， 米， ， 货车能安全通过． 9．（2026·山东聊城·二模）2026年春晚，武术节目《武BOT》精彩亮相，人形机器人与武术演员同台竞技，精准完成鲤鱼打挺、太极推手等高难度武术动作．如图为该节目某一精彩瞬间的几何示意图：机器人的一条腿垂直立于地面上，初始状态下，其另一条腿的小腿与大腿相互垂直．当小腿向上踢起至位置时，与恰在同一直线上．已知，，，． (1)求点到地面的距离； (2)求机器人的小腿从旋转至的位置时，点上升的竖直高度． [（1）（2）两问结果均保留至，参考数据：，] 【答案】(1)点到地面距离约 (2)点上升竖直高度约 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，构造出含特殊角的直角三角形，再利用平角定义和直角三角形内角和求出，在中用三角函数算出的长度，再用加上得到，最后由，得出的长度就是点到地面的距离； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，利用、、都与垂直，所以三者互相平行，先算出、，结合、得到、，在和中用三角函数分别算出、的长度，最后由点上升的竖直高度即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴即为点到地面的距离． 答：点到地面距离约． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 点上升竖直高度． 答：点上升竖直高度约． 10．（2026·山东济南·二模）某工厂在斜坡上安装一块广告牌，其侧面结构如图所示，斜坡与水平线的夹角，广告牌长为，与水平线的夹角，三个支撑杆固定该广告牌（点C，M，B在同一条直线上，且），其中． (1)求广告牌的端点D到水平线的高度； (2)求水平支撑杆的长度． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1)广告牌的端点D到水平线的高度约为米 (2)水平支撑杆的长度为米 【分析】（1）过点作于点，利用锐角三角函数求解； （2）判定出四边形为矩形，然后利用锐角三角函数求出相关线段的长度，最后利用线段的和差求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ， 在中，， ， ， 答：广告牌的端点D到水平线的高度约为米； （2）解：， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 在中，， ， ． 答：水平支撑杆的长度为米． 11．（2026·山东济南·二模）如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得、、三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中，． (1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）； (2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)遮蔽宽度为； (2)点下降的高度约为． 【分析】（1）由对称性可知，，根据正切的定义求出，即可得出答案； （2）过作于点，证明四边形是矩形，得出，分别求出，时，对应的值，然后相减即可求解． 【详解】（1）解：由对称性可知，， 在中，， ， ∵， ， ． 答：遮蔽宽度为； （2）解：如图，过点作于点． ，，， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，， 当时，； 当时，， ． 答：点下降的高度约为． 12．（2026·山东临沂·二模）【实验主题】大型滑梯滑道长度检测 【实验背景】某游乐场计划为大型滑梯更换耐磨防滑垫，由于滑梯落差很大（超过米），且滑道表面有弧度，工程人员无法直接使用软尺贴合测量，为此，项目组设计了一个“高度——角度辅助测量法”，利用三角函数间接计算滑道长度． 【实验原理】如图①，将滑梯的滑道简化为直角三角形的斜边，已知滑梯平台的垂直高度（固定值），滑道与水平地面的夹角．在中，利用正弦函数关系，可由和推算出滑道长度（即斜边的长）． 【实验数据与任务】已知该系列滑梯平台的垂直高度米． (1)【模型建立】设滑道长度（米），滑梯平台的垂直高度（米），坡角，请用含，的代数式表示； (2)【数据检测】工程师对两个不同坡度的滑梯进行了测量，数据如下表： 滑梯编号 坡角 标准滑道长度（米） 滑梯 滑梯 请通过计算判断：哪个滑梯的滑道长度不符合标准？（参考数据：） (3)【误差探究】工程师在现场测量时发现，滑梯底部并非直接着地，而是与水平地面有一个倾斜的缓冲坡道（如图②），若工程师在计算时，未考虑缓冲坡道的影响，仍错误地将滑梯主体的垂直高度按代入进行计算． 请分析：①由于缓冲坡道占据了一定高度，滑梯主体的实际垂直高度____________；（填“”“”或“”） ②这样计算出的滑道长度会比滑梯主体的真实长度____________．（填“偏大”或“偏小”） 【答案】(1) (2)滑梯的滑道不符合标准 (3)①，②偏大 【分析】（1）根据正弦的定义可得； （2）分别求出两个滑梯的垂直高度，把计算出来的结果与垂直高度米比较，可得滑梯不符合标准； （3）①滑梯底部并非直接着地，而是与水平地面有一个倾斜的缓冲坡道，所以滑梯主体的实际垂直高度； ②根据可知，，所以计算出的滑道长度会比滑梯主体的真实长度偏大． 【详解】（1）解：滑道长度（米），滑梯平台的垂直高度（米），坡角， ， ； （2）解：滑梯：，， 米， 故滑梯的滑道长度符合标准； 滑梯：，， 米， 故滑梯的滑道不符合标准； （3）①解：缓冲坡道占据了一定高度， 滑梯主体的实际垂直高度； ②， ， 这样计算出的滑道长度会比滑梯主体的真实长度偏大． 相似三角形综合 考点06 1．（2026·山东日照·二模）【问题探究】 (1)在中，，过点作于点． ①如图1，若，求的值； ②如图2，点在的延长线上，连接并延长至点，连接，当时，求证：； (2)【问题解决】 为提升城市绿化品质，某市计划在新区建设一座生态公园．公园设计包含一片人工湖与多个休闲广场，其中一处广场形状为直角三角形区域（如图3），，，．为增强景观的连贯性，设计师计划在广场外选取一点，建造一座景观桥，满足．在点和点处设置游客休息区，并修建仿古长廊和小路，点在的延长线上，且，连接．经测算，当仿古长廊的长度最短时，成本最小，请你帮助设计师求出当仿古长廊最短时，小路的长度．（小路、仿古长廊、景观桥的宽度均忽略不计） 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①证明，即可解答；②证明，可得，再证明，可得，即可求证； （2）过点E作交的延长线于点G，过点B作交于，过点D作交于点H，可得四边形为矩形，从而得到，根据，可得，再由，可得，根据为定值，且为定值，可得点E在直线上运动，且，当时，取得最小值，此时点E与点重合，即可求解． 【详解】（1）①解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明：∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图，过点E作交的延长线于点G，过点B作交于，过点D作交于点H， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为定值，且为定值， ∴点E在直线上运动，且， ∴当时，取得最小值，此时点E与点重合， ∴， ∴， 即当仿古长廊最短时，小路的长度为． 2．（2026·山东青岛·二模）已知：和如图①摆放（点与点重合），，，在同一直线上，，，，，．如图②，从图①位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．当点运动到点时，点与都停止运动．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，沿过的直线翻折，点与点重合？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)连接、．设面积为，求与的函数关系式； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使经过的中点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或． 【分析】（1）证明，求得，，连接，作于点，由题意得，根据等积法列式计算即可求解； （2）作于点，由题意得四边形是矩形，证明，求得； （3）证明，求得，，根据，据此计算即可求解； （4）连接，与交于点，作于点，证明是的中位线，求得，证明，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 连接，作于点， ∵沿过的直线翻折，点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：作于点， 当时，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得； （3）解：作于点， ∵，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∴； （4）解：连接，与交于点，作于点， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 是的中位线， ∴， 作于点， ∴，， ∴，， ∴，， 同理，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得或． 3．（2026·山东日照·二模）问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，是和的中点，将绕点顺时针旋转． 猜想证明： (1)如图①，在旋转的过程中，当点，点在线段上，且点在的内部时，则线段与线段的数量关系为___________． (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在边上时，连接，试说明（1）的结论是否依然成立，若成立请加以证明；若不成立请说明理由； (3)问题解决：如图③，若，，连接，设所在直线与所在直线交于点，在旋转的过程中，当点在同一直线上时，在两点中的其中一点恰好是另一点与点构成的线段的中点，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质得到点在同一直线上，则利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得，，即可求证； （2）连接，证明，则，即； （3）如图，当点在同一直线上，连接，先证明 ，继而得到，则，则，可得，故，即可求解；如图，当点O为中点时，，在中，由勾股定理得，则，而此时三点共线，故点B和点E重合，由点M是直线与直线的交点，得到三点重合，故此时的长为的长． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵和均为等边三角形，是和的中点， ∴，，即， ∴点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 同理，， ； （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图所示，连接， ∵均是等边三角形， ∴， ∵点O为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点在同一直线上，连接， ∵点O为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； ∵为等边三角形， ∴， ∵点O为中点，， ∴，， 如图，当点O为中点时，， ∵等边的边长为， ∴在中，， ∴， ∵此时三点共线， ∴点B和点E重合， 又∵点M是直线与直线的交点， ∴三点重合， ∴此时的长为的长， 即， 综上所述，此时的长为或． 4．（2026·山东临沂·二模）如图，在中，，，平分交于点D． (1)尺规作图：作交的延长线于点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得，由内错角相等，两直线平行作即可； （2）先求出，再求出，进而求出，得到，证明，得到，求出，再证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·山东济宁·二模）问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直于地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． 【探究一】 (1)人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． 【探究二】 (2)如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． 【探究三】 (3)通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长． 【答案】(1) (2)下移的距离为 (3)最小的镜子长为 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合（1）中证明过程求出看到部分人像的长度为时镜子的位置，再由（1）中结论求出看到全身像时镜子的位置，作差即可确定下移距离； （3）根据题意分析最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为，最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为，即可求解． 【详解】（1）解：成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ，， ， 则， ， ， ， 则， ， ，则， 即与之间的函数表达式为； （2）解：由成像原理作出看到部分人像的长度为的图形，过点作的平行线分别交于点，如图所示： ，， ， 即， ， ， 则， ， 由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示： 由（1）可知，， ， ， 即下移的距离为； （3）解：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度，如图： ∴， 最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度，如图： ∴， ∴最小的镜子长为． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $