专题03 函数（7大考点）（山东专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 函数专题汇编涵盖7大核心考点，精选2026年山东多地二模真题，注重情境化设计与综合能力考查，适配中考复习冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|多题|一次函数应用（亲子骑车赛、新能源充电）、二次函数综合（图像翻折、动态几何）、反比例函数k的几何意义（面积计算）|情境融合科技（新能源汽车）与生活（共享电动车），解答题分层设计，从基础计算到跨考点综合（如二次函数与图形变换）|

专题03 函数 7大考点概览 考点01平面直角坐标系与点的坐标 考点02 函数图像与表达式 考点03一次函数的应用 考点04二次函数与图形综合 考点05 二次函数的应用 考点06 反比例函数k的几何意义 考点07 反比例函数与一次函数综合 平面直角坐标系与点的坐标 考点01 1．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ）． A． B．13 C．3 D． 2．（2026·山东济宁·二模）正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 3．（2026·山东日照·二模）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点从（为坐标原点）出发，以每秒的速度沿曲线向右运动，则在第2026秒时点的纵坐标为________． 4．（2026·山东临沂·二模）对于正整数x，规定函数，在直角坐标系中，将点中a，b分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中a，b均为正整数）．例如：点经过第1次运算得到的点，经过第2次运算得到点，经过第3次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈．按上述规定，将点经过第2026次运算后得到的点的坐标是___． 函数图像与表达式 考点02 1．（2026·山东临沂·二模）如图，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速运动．摩天轮上的一点自最低点点起，经过后，点的高度与的函数图像如图所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（    ）      A．当时，随的增大而增大 B．摩天轮的直径为 C．点离地面最高为 D．点离地面时，摩天轮运动了 2．（2026·山东临沂·二模）某实验小组研究某种液体的比热容随温度变化的规律，得到如图所示的比热容—温度图像．已知吸收热量计算公式为，其中为热量，为比热容，为物质质量，为温度变化量，下列判断正确的是（   ）． A．该液体的比热容随温度升高而减小 B．该液体在范围内比在范围内比热容变化慢 C．一定质量的该液体吸收相同的热量，时比时温度变化小 D．一定质量的该液体从升高至吸收的热量比从升高至吸收的热量少 3．（2026·山东菏泽·二模）如图①，在四边形中，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 4．（2026·山东济南·二模）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则慢车的速度为____，快车的速度为____． 5．（2026·山东济南·二模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有，两种品牌的共享电动车，图象反映了收费（元）与骑行时间（分钟）的关系，其中品牌共享电动车的收费方式对应，品牌共享电动车的收费方式对应．当骑行时间为25分钟时，品牌共享电动车比品牌共享电动车收费少__________元． 6．（2026·山东济南·二模）小王同学从家出发，步行到离家1200米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为_____分钟． 7．（2026·山东济南·二模）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则乙追上甲时，乙行驶了__________小时． 8．（2026·山东临沂·二模）某品牌电热水器水箱为长方体，底面积为，高为．水的初始温度为，通电加热时平均每小时升温．已知每立方米水升温可吸收焦耳的热量，假设热水器保温良好，忽略散热损失． (1)请写出水温与加热时间之间的关系式． (2)水温达到时自动断电，且一天内最长加热时间不超过，求时间的实际取值范围． (3)加热后，水箱中的水共吸收了多少焦耳的热量？ 一次函数的应用 考点03 1．（2026·山东济南·二模）黄河公园内有一条健身跑道，是市民健身休闲的好去处．周末，小明和爸爸参加了该公园举办的“亲子骑车赛”．两人所行路程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示．当爸爸到达终点时，小明距离终点还有____千米． 2．（2026·山东济宁·二模）在测浮力的实验中，将一长方体物体由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与物体下降的高度之间的关系如图所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)当物体下降的高度为时，求此刻该物体所受浮力的大小． 3．（2026·山东泰安·二模）为助力绿色低碳城市建设，高新园区新能源服务中心推行环保再生纸低碳打印服务，收取固定基础服务费，再按打印张数收取费用，总费用与打印张数成一次函数关系．已知打印环保再生纸20张，总费用为14元；打印环保再生纸30张，总费用为16元．设打印张数为x张，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)直接写出该项低碳打印的固定基础服务费和打印一张环保再生纸的费用； (3)某机关单位开展全民绿色低碳宣传活动，需要批量印制低碳环保宣传资料，本次打印预算经费为230元，在不超出预算的前提下，最多可以打印多少张环保再生纸宣传资料？ 4．（2026·山东聊城·二模）随着电池技术的革新，某款新型新能源汽车搭载了高效快充电池．此款电池在电量剩余不高于电池容量时充电模式为快充，充电功率保持恒定．快充模式下电池的总电量y（单位：）与快充时间x（单位：）满足一次函数关系．在快充模式下，某次充电过程中的数据如下：充电时间为1h时，电池的总电量为；充电时间为时，电池的总电量为． (1)求此次充电过程中，y与x之间的函数表达式； (2)若该汽车的电池总容量为，求此次充电过程能够使用快充模式的时间． 二次函数综合 考点04 1．（2026·山东德州·二模）已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D．或 2．（2026·山东青岛·二模）如图，抛物线与交于第四象限点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于，两点，且，分别为顶点．则下列结论的正确是（    ） A． B．当时， C．是等边三角形 D．是等腰直角三角形 3．（2026·山东青岛·二模）已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数t，；④．其中，正确结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 4．（2026·山东聊城·二模）已知二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②一元二次方程的两个根分别是和1；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤若点为对称轴上的任一点，则的最小值为．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形，，是图形上两点，若对于，，都有，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 6．（2026·山东青岛·二模）函数与的图象如图所示，结合图象分析下列结论： ①；②；③当时，两个函数的函数值都随的增大而增大；④当时，． 其中正确结论是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 7．（2026·山东滨州·二模）如图，已知抛物线，直线，下列判断中：①当或时，；②当或时，；③当时随x的增大而增大；④使的x的值有2个．其中正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点，且点在点的左侧，其中，．有下列结论： ①；②；③若，则； ④关于的一元二次方程无实根； ⑤点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，都有，则． 以上结论正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．（2026·山东菏泽·二模）如图，二次函数图象的对称轴是直线，若该图象与轴交点的纵坐标是2，与轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②方程中一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2026·山东济宁·二模）已知抛物线的对称轴为直线，与轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论正确的是（    ） A． B． C．方程有且只有一个实数根 D．若、、是抛物线上的三点，则 11．（2026·山东泰安·二模）平面直角坐标系中，抛物线（a为实数）． (1)当时，求此抛物线的顶点坐标； (2)已知点，是抛物线上两点，若对于，，都有，求a的取值范围； (3)在该平面直角坐标系中有一直线，当时，总有，求m的最大值． 12．（2026·山东临沂·二模）二次函数的图象与轴的交点为． (1)若点的坐标为，求该二次函数的表达式； (2)在（1）的条件下，若、在函数图象上，总有，求的取值范围； (3)判断二次函数的图象与轴正半轴是否一定有交点？ 13．（2026·山东济宁·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，抛物线顶点为点．点是抛物线上一动点，其横坐标为． (1)求该抛物线函数关系式，并直接写出点的坐标； (2)已知是直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值； (3)已知是点，点之间一动点（包含点，），抛物线在点和点之间的部分（包括，两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． 14．（2026·山东济南·二模）如图，O是坐标原点，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中． (1)求抛物线的表达式； (2)点D为抛物线上第一象限内一点，连接，与直线交于点E，若，求点D的坐标； (3)若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若P又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点N，连接、，．探究新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点．若存在，请直接写出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 15．（2026·山东聊城·二模）已知二次函数． (1)当时，求此函数图象的对称轴． (2)若该二次函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． (3)若，是此函数图象上的两点，是否存在常数n，使得只有一个解？若存在，求出a，n的值；若不存在，说明理由． 16．（2026·山东日照·二模）已知二次函数（为常数，）． (1)若，求证：该函数的图象与轴有两个交点； (2)若，求证：当时，； (3)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，求的取值范围． 17．（2026·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线在轴下方的一个动点，轴于点，轴于点，得到矩形． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点的横坐标为，当矩形是正方形时，求的值； (3)将抛物线向右平移（）个单位长度后，得到新抛物线，新抛物线与抛物线的对称轴交于点，直线与直线交于点，当时，求的值． 18．（2026·山东临沂·二模）已知抛物线，经过点． (1)求该抛物线的对称轴． (2)点 和 分别在抛物线 和上（A，B与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小． ②当时，若是一个与无关的定值，求a与b的值． 二次函数的应用 考点05 1．（2026·山东东营·二模）中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价________元，才能使每日利润最大． 2．（2026·山东青岛·二模）数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一．如图1，某水果种植户的温室大棚横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，点是抛物线的顶点，到的距离为．以点为原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，则的长为_____米． (3)大棚水果成熟后，种植户将其批发销售．已知每千克水果种植成本为2.5元，且物价部门规定该水果批发单价不得超过6元/千克，每天固定运营成本为80元．若每天该水果批发单价（元/千克）与每天批发销量（千克）满足关系式，请问批发单价定为多少时，种植户每天批发销售该水果获得的利润最大？最大利润为多少？ 反比例函数k的几何意义 考点06 1．（2026·山东临沂·二模）如图，在平面直角坐标系中，的面积为8，且，反比例函数的图象经过点C，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A为函数的图象上一点，连接，点B为的中点，将点B向右平移到函数图象上的点C处．若的面积为2，则k的值为（    ） A． B．4 C． D．6 3．（2026·山东聊城·二模）已知，原点O为正方形的中心，A，B，C，D均在坐标轴上，，反比例函数的图象与边交于点E，F，与边交于点H，G，连接，．若的面积为4，则k的值为________． 4．（2026·山东德州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点，点B在x轴上，，点C为的中点，若的面积为4，则k的值为________． 5．（2026·山东青岛·一模）如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为5，则________． 反比例函数与一次函数综合 考点07 1．（2026·山东日照·二模）给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么.则（     ） A．正确的命题有①② B．正确的命题有①②④ C．错误的命题有②③ D．错误的命题有②④ 2．（2026·山东菏泽·二模）如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，C为的中点，D为x轴上一动点，点与点B关于直线对称，则的最大值为___________． 3．（2026·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，A，B是直线上在第一象限内的两个点，，B点坐标为．以线段为斜边作，轴，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为_____． 4．（2026·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数y的图象的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求反比例函数表达式； (2)直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； (3)P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，请直接写出点E的坐标． 5．（2026·山东德州·二模）在平面直角坐标系中，存在直线和双曲线． (1)当时，直线和双曲线交于，两点，求，两点坐标； (2)①求证：直线必经过点； ②若直线与双曲线无交点，请直接写出的取值范围． 6．（2026·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线相交于点、点两点，点在轴的正半轴上，，为等边三角形，连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标及的面积； (3)在轴上是否存在点，使得以点A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2026·山东济南·二模）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值及点坐标； (2)点在轴上且在点左侧，若是以为底边的等腰三角形，求点坐标； (3)点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形面积为5时，求点的坐标． 8．（2026·山东济南·二模）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，的值； (2)点为反比例函数的图象上的点，若是以为斜边的直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，点为直线下方反比例函数图象上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴于点，连接．求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 9．（2026·山东菏泽·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 10．（2026·山东聊城·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接、． (1)求和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 11．（2026·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为，一次函数的图象与轴交于点，连接． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积． 12．（2026·山东济南·二模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，一次函数的图象经过点，交轴于点，交轴于点．为反比例函数图象上点右侧一动点，连接，将沿着的方向平移，的对应点为，的对应点为，连接． (1)求，的值； (2)如图1，若四边形的面积为6，求坐标； (3)如图2，连接，若，求的坐标． 13．（2026·山东济南·二模）正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点． (1)求m和k的值； (2)点B为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，过点B作x轴的垂线，交直线于点C，交x轴于点D． ①如图1，连接，当平分时，求的面积； ②如图2，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点B的坐标． 14．（2026·山东济南·二模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式： (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点是第四象限反比例函数图象上的一点，当的面积为6时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 7大考点概览 考点01平面直角坐标系与点的坐标 考点02 函数图像与表达式 考点03一次函数的应用 考点04二次函数与图形综合 考点05 二次函数的应用 考点06 反比例函数k的几何意义 考点07 反比例函数与一次函数综合 平面直角坐标系与点的坐标 考点01 1．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ）． A． B．13 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标规律. 利用规律求出和的值. 再代入计算即可得到结果． 【详解】解：在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标互为相反数，纵坐标相等， 又点与点关于轴对称， ，， ． 2．（2026·山东济宁·二模）正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 【答案】 【分析】首先求出，根据待定系数法，可得直线的解析式，然后求出，，，，得到点Q横纵坐标的规律，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 将代入，得 ∴直线的解析式是 将代入 ∴， ∴，， ∴， 同理可得，， ．．．．．．， ∴． ∴点的坐标是． 3．（2026·山东日照·二模）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点从（为坐标原点）出发，以每秒的速度沿曲线向右运动，则在第2026秒时点的纵坐标为________． 【答案】0 【分析】根据弧长公式得到的长为，则点走完需要的时间为秒，得到点P的纵坐标的周期性变化规律，据此解答即可． 【详解】解：的长为， 点以每秒的速度沿曲线向右运动， 则走完需要的时间为秒， 如图，作于点E，与交于点D， 在中，、， 则， ， 则， 第1秒时点P纵坐标为1， 第2秒时点P纵坐标为0， 第3秒时点P纵坐标为， 第4秒时点P纵坐标为0， 第5秒时点P纵坐标为1， 第6秒时点P纵坐标为0， 依次类推， 点P的纵坐标以1，0，，0四个数为一个周期依次循环， 则， 因此，在第2026秒时点P的纵坐标的值为0． 4．（2026·山东临沂·二模）对于正整数x，规定函数，在直角坐标系中，将点中a，b分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中a，b均为正整数）．例如：点经过第1次运算得到的点，经过第2次运算得到点，经过第3次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈．按上述规定，将点经过第2026次运算后得到的点的坐标是___． 【答案】 【分析】先依次计算点前几次运算后的结果，找出运算的循环周期，再计算2026除以周期的余数，根据余数确定最终结果． 【详解】解：初始点为， 第1次运算：横坐标为奇数，，纵坐标为偶数，，得到点； 第2次运算：横坐标为偶数，，纵坐标为偶数，，得到点； 第3次运算：横坐标为偶数，，纵坐标为偶数，，得到点； 可得规律：每次运算为一个循环，循环顺序为， ， 第次运算的结果与第次运算的结果相同，即为． 函数图像与表达式 考点02 1．（2026·山东临沂·二模）如图，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速运动．摩天轮上的一点自最低点点起，经过后，点的高度与的函数图像如图所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（    ）      A．当时，随的增大而增大 B．摩天轮的直径为 C．点离地面最高为 D．点离地面时，摩天轮运动了 【答案】C 【分析】根据函数图象逐一判断即可． 【详解】解：结合函数图象分析，当时，随的增大先增大后减小，按此规律循环变化，故选项A错误； ，，摩天轮的直径为，故选项B错误； 点离地面的高度最高为，故选项C正确； 点离地面时，摩天轮运动了的时间点有很多个，故选项D错误． 2．（2026·山东临沂·二模）某实验小组研究某种液体的比热容随温度变化的规律，得到如图所示的比热容—温度图像．已知吸收热量计算公式为，其中为热量，为比热容，为物质质量，为温度变化量，下列判断正确的是（   ）． A．该液体的比热容随温度升高而减小 B．该液体在范围内比在范围内比热容变化慢 C．一定质量的该液体吸收相同的热量，时比时温度变化小 D．一定质量的该液体从升高至吸收的热量比从升高至吸收的热量少 【答案】D 【分析】本题考查从图象中获取和分析数据． 根据图象是关于液体的比热容随温度变化的规律，以及，分析数据的变化规律，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A选项：由图象可知，该液体的比热容随温度升高而变大，故A选项错误； B选项：由图象可知，该液体的比热容在区间的图象比在区间的图象更陡峭，变化更快，故B选项错误； C选项：由图象可知，的该液体比的该液体比热容要小，根据，一定质量的该液体吸收相同热量，的该液体比的该液体温度变化大，故C选项错误； D选项：该液体在从升高至时的比热容小于从升高至时的比热容，根据，升高相同的温度，比热容越大，吸收热量越多，所以一定质量的该液体从升高至吸收的热量，比从升高至吸收的热量少，故D选项正确． 3．（2026·山东菏泽·二模）如图①，在四边形中，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】C 【分析】过点作于点，根据矩形的判定和性质得出相等的边，利用面积求出，假设未知数，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由图形可知， ∴， 设，则，， 由勾股定理， ∴， 解得， ∴， ∴． 4．（2026·山东济南·二模）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则慢车的速度为____，快车的速度为____． 【答案】 60 80 【分析】观察函数图象，得到快车和慢车的路程和时间，计算即可求解． 【详解】解：由图可知，A地和B地的距离为，慢车的时间为，当快车到达B地时，两车相距，即此时慢车的路程为， 慢车的速度为：； 快车的时间为：， 快车的速度为：． 5．（2026·山东济南·二模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有，两种品牌的共享电动车，图象反映了收费（元）与骑行时间（分钟）的关系，其中品牌共享电动车的收费方式对应，品牌共享电动车的收费方式对应．当骑行时间为25分钟时，品牌共享电动车比品牌共享电动车收费少__________元． 【答案】1 【分析】利用待定系数法，根据图象上的关键点坐标分别求解出和的函数表达式，需要注意的是是分段函数； 求解出当骑行时间为25分钟时，对应的和，再求解价格差． 【详解】解：是分段函数，由图可知， 当时，， 当时，设， 将，代入中， 可得， 解得， 当时，设， 所以； 是正比例函数图象，设， 将代入中， 可得， 解得， 所以的解析式为； 当时，， ， ． 6．（2026·山东济南·二模）小王同学从家出发，步行到离家1200米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为_____分钟． 【答案】3 【分析】由图象得出小王走完全程1200米用了12分钟．爸爸在小王出发4分钟后才出发，在小王到达终点（第12分钟）时，爸爸正好回到家．进而求出各自的速度，再利用行程问题求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，小王走完全程1200米用了12分钟．小王的速度（米/分钟） 爸爸在小王出发4分钟后才出发，在小王到达终点（第12分钟）时，爸爸正好回到家． 说明爸爸往返一共用了：（分钟）． 因为往返速度一样，所以爸爸单程（家到公园）用了：（分钟）． 爸爸的速度 （米/分钟） 设第一次相遇时小王走了分钟，依题意得： 解得：，． 设第二次相遇时小王走了分钟，依题意得：， 解得： 两人先后两次相遇的时间间隔为分钟． 7．（2026·山东济南·二模）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则乙追上甲时，乙行驶了__________小时． 【答案】 【分析】分别求出甲、乙的速度，再由两车相遇时，距离A城的距离相等建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙追上甲时，乙行驶了． 8．（2026·山东临沂·二模）某品牌电热水器水箱为长方体，底面积为，高为．水的初始温度为，通电加热时平均每小时升温．已知每立方米水升温可吸收焦耳的热量，假设热水器保温良好，忽略散热损失． (1)请写出水温与加热时间之间的关系式． (2)水温达到时自动断电，且一天内最长加热时间不超过，求时间的实际取值范围． (3)加热后，水箱中的水共吸收了多少焦耳的热量？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据水的初始温度为，通电加热时平均每小时升温列式即可； （2）根据水温达到时自动断电，且一天内最长加热时间不超过，即可求解； （3）根据每立方米水升温可吸收焦耳的热量，求解即可. 【详解】（1）解：∵水的初始温度为，平均每小时升温 ， ∴ ； （2）解：当 时， ， 解得： ∵一天内最长加热时间不超过 ， ∴ ，又 ， ∴； （3）解：∵水箱的容积为：，小时升温： ， ∴水箱中的水共吸收热量：. 一次函数的应用 考点03 1．（2026·山东济南·二模）黄河公园内有一条健身跑道，是市民健身休闲的好去处．周末，小明和爸爸参加了该公园举办的“亲子骑车赛”．两人所行路程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示．当爸爸到达终点时，小明距离终点还有____千米． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得对应函数的解析式． 根据爸爸的运动情况求得总路程为千米，根据图象可得小明分三段到达终点，，，到终点，先求得段的解析式，求得点坐标，再求得最后一段的解析式，再将代入，求解即可． 【详解】解：根据图象可得，爸爸始终匀速到达终点，小明分三段，，到终点到达终点， 设爸爸的函数解析式为，将点代入可得，即， 根据图象可得，当时，爸爸到达终点，此时千米，即跑道的总长度为千米， 设小明段的函数解析式为，将点，代入可得， ，解得，即， 将代入可得，即 设小明从到终点的函数解析式为：，将，代入可得， ，解得，即， 将代入得， （千米）， 则当爸爸到达终点时，小明距离终点还有千米． 2．（2026·山东济宁·二模）在测浮力的实验中，将一长方体物体由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与物体下降的高度之间的关系如图所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)当物体下降的高度为时，求此刻该物体所受浮力的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所在直线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）由图可知，物体未浸入水中时，弹簧测力计拉力等于物体重力，即，将代入直线的函数表达式求出此时拉力大小，利用求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，直线为一次函数图象，则设所在直线的函数表达式为， 将点、代入得： ， 解得：， 因此，所在直线的函数表达式为：； （2）解：由图可知，物体未浸入水中时，弹簧测力计拉力等于物体重力，即， 由（1）知，直线的函数表达式为：， 将代入表达式得：， 则， 答：当物体下降的高度为时，此刻该物体所受浮力的大小为． 3．（2026·山东泰安·二模）为助力绿色低碳城市建设，高新园区新能源服务中心推行环保再生纸低碳打印服务，收取固定基础服务费，再按打印张数收取费用，总费用与打印张数成一次函数关系．已知打印环保再生纸20张，总费用为14元；打印环保再生纸30张，总费用为16元．设打印张数为x张，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)直接写出该项低碳打印的固定基础服务费和打印一张环保再生纸的费用； (3)某机关单位开展全民绿色低碳宣传活动，需要批量印制低碳环保宣传资料，本次打印预算经费为230元，在不超出预算的前提下，最多可以打印多少张环保再生纸宣传资料？ 【答案】(1)． (2)该项低碳打印的基础服务费为10元，打印一张环保再生纸的价钱为0.2元． (3)最多可以打印1100张环保再生纸宣传资料． 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）根据（1）求得解析式的意义即可解答； （3）由题意可得，然后代入（1）所得的表达式求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为， ∵当时，；时， ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：该项低碳打印的基础服务费为10元，打印一张环保再生纸的价钱为0.2元． （3）解：当时， ， ∴最多可以打印1100张环保再生纸宣传资料． 4．（2026·山东聊城·二模）随着电池技术的革新，某款新型新能源汽车搭载了高效快充电池．此款电池在电量剩余不高于电池容量时充电模式为快充，充电功率保持恒定．快充模式下电池的总电量y（单位：）与快充时间x（单位：）满足一次函数关系．在快充模式下，某次充电过程中的数据如下：充电时间为1h时，电池的总电量为；充电时间为时，电池的总电量为． (1)求此次充电过程中，y与x之间的函数表达式； (2)若该汽车的电池总容量为，求此次充电过程能够使用快充模式的时间． 【答案】(1) (2)此次充电可使用快充模式的时间为 【分析】（1）设y与x的函数表达式为，将、代入即可求解； （2）计算，把代入（1）中的解析式可得答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为，将、代入， 得，解得， ． （2）解：电池总容量，快充上限，即． 令，则， 解得． 答：此次充电可使用快充模式的时间为． 二次函数综合 考点04 1．（2026·山东德州·二模）已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据抛物线的增减性判断的符号，再对不等式因式分解，分情况讨论求出不等式解集． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵当时，， ∴当时，随增大而减小， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴ ∴或 解得或． 2．（2026·山东青岛·二模）如图，抛物线与交于第四象限点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于，两点，且，分别为顶点．则下列结论的正确是（    ） A． B．当时， C．是等边三角形 D．是等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由抛物线的表达式可知，两个抛物线的对称轴分别为直线和直线，又，则点D，E水平距离为6，且，则A错误；易求得，令，解得，，结合图象可知，当时， ，则B错误；由已知得， ，点E到的距离为，则不是等边三角形，则C错误；由点，，点D到的距离为3，，易得为等腰直角三角形，则D正确． 【详解】解：由抛物线表达式可知，抛物线的对称轴为直线， 抛物线的对称轴为直线． 过点作x轴平行线分别交两条抛物线于B、C两点， 根据抛物线的对称性可得． 点D、E分别为两抛物线顶点，点D、E水平距离为， 所以，故错误，A选项错误； 因为抛物线与交于点， 将点A坐标代入可得， 解得． 令，即， 解方程可得，． 结合图象可知，当时，图象低于图象，即， 所以当时，错误，B选项错误； 由已知，点E的纵坐标为3，点A的纵坐标为， 所以点E到的距离为， 因为等边三角形三边相等且高与边的关系特殊， 所以不是等边三角形，C选项错误； 已知点，，， 点D到(平行于x轴)的距离为，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 则是等腰直角三角形，D选项正确． 3．（2026·山东青岛·二模）已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数t，；④．其中，正确结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的对称轴、与坐标轴交点、顶点性质等知识点，逐一判断各结论即可． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线，与x轴交于， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为，且，得， 把代入，得， 将代入得， ∵与y轴交点B在和之间， ∴，即，解得，故④正确； 判断①：当时，， ∵，且，得，开口向上，二次函数图象与x轴的两个交点之间的函数值小于0， ∴，故①正确； 判断②：当时，函数取得最小值，即顶点纵坐标为， 将，代入，得顶点纵坐标为， ∵， ∴，即， 两边同乘（，不等号方向不变），得，故②正确； 判断③：整理得， ∴的最小值为， 又∵， ∴当时，，不满足，故③错误， 综上所述，正确结论为①②④． 4．（2026·山东聊城·二模）已知二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②一元二次方程的两个根分别是和1；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤若点为对称轴上的任一点，则的最小值为．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】由对称轴可得出即可判断①，由对称轴直线和与轴的一个交点的坐标即可得判断②③，结合函数图象可判断④，求出，作点C关于对称的点，，当点B，P，C共线时，最小，此时，求出即可判断⑤． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误， ∵对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为， ∴与轴的一个交点的坐标为， ∴一元二次方程的两个根分别是和3；故②错误， ∴当时，，故③错误， 结合函数图象可知，当时，随的增大而增大；故④正确； 当时，则， ∴， 作点C关于对称的点， ∴， 当点B，P，C共线时，最小，此时， ∴， ∴的最小值为．故⑤正确． 综上：④⑤正确． 5．（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形，，是图形上两点，若对于，，都有，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】先求出翻折后图形G的分段解析式，计算对应的，再根据所在区间的位置分情况讨论，求出区间内的最大值，当时，一定成立；当时，不一定成立；当时，可使一定成立；当时，一定成立；综合四种情况即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形， ∴当时，图形的解析式为；当时，图形的解析式为，即图形的解析式为，其图像如图1所示： ∵二次函数， ∴二次函数关于直线对称， 下面我们来结合图象对的范围进行分类讨论： ∵， ∴当，即时，此时，都在二次函数的图象上，如图1所示， ∴将代入，得：， ∵当时，；当时，； ∴当时，，一定小于与中的较大值， ∵当时，；， 即当时，；， ∴当时，，即符合题意； 当，即时，此时，，点在二次函数的图象上，如图2所示， 此时，当时，取最大值为， 而当，，即此时对于，，不都有， ∴不符合题意； 当，即时，此时点在图象上， ∵， ∴点在二次函数的图象上，如图3所示， 此时，， 若对于，，都有，即， ∴，解得：或（舍去）， ∵， ∴符合题意； 当，即时，此时点，都在图象上，如图4所示： 此时在图象上随着的增大而增大， ∵， ∴， ∴符合题意； 综上：或． 6．（2026·山东青岛·二模）函数与的图象如图所示，结合图象分析下列结论： ①；②；③当时，两个函数的函数值都随的增大而增大；④当时，． 其中正确结论是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】①利用抛物线与轴交点和判别式的关系判断；②利用抛物线的对称性和对称轴公式求解参数；③分别分析两个函数的单调性，结合自变量范围判断；④先利用函数图象的上下位置得出不等式，再对不等式进行变形即可． 【详解】解：据图可知，的图象与轴没有交点， 则，即，故①错误； 据图可知，抛物线过点，， 两点纵坐标相同，则关于对称轴对称， 则抛物线的对称轴， 解得，故②正确； 抛物线的图象开口向下，且对称轴为， 则当时，的函数值随的增大而增大， 的函数值在实数范围内，始终随的增大而增大， 故③正确； 当，， 可得， ，即， 故④错误， 综上，正确的说法有②③． 7．（2026·山东滨州·二模）如图，已知抛物线，直线，下列判断中：①当或时，；②当或时，；③当时随x的增大而增大；④使的x的值有2个．其中正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据图象可得，当或时，；把和，分别代入，求值即可；计算，根据二次函数的性质，即可判断；根据，列出关于x的一元二次方程，根据根的判别式判断根的情况，即可判断． 【详解】解：①由图可知，两函数图象的交点是和，当或时，一次函数图象在二次函数图象的上方，则，即，故①正确； ②抛物线，直线， ， 当，； 当，； 当或时，，故②正确； ③抛物线，直线， ， ， 开口向下，对称轴是， 当时随x的增大而增大，故③正确； ④， 或， 当时，即， ， 此方程无解； 当时，即， ， 此方程有两个不相等的实数根； 使的x的值有2个，故④正确； 综上所述：正确的个数有4个． 8．（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点，且点在点的左侧，其中，．有下列结论： ①；②；③若，则； ④关于的一元二次方程无实根； ⑤点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，都有，则． 以上结论正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】由M、N两点可得出对称轴为直线，进而根据所给图像可以画出抛物线草图，即可判断①；根据对称轴可得到，进而代入特殊值得到，即可判断②；根据，即可判断③；将有无实根问题转化为和交点问题，即可判断④；由图像可知，当开口向上时，离对称轴越近，则越小，所以点或点有一个在顶点时，取最小值，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线经过和两点，且， ∴对称轴为直线， 抛物线草图如图， ∴，， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线， ∴， 由图像易得，当时，，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故③正确； 将可写成， ∴的实根可以看成和交点问题， ∵， ∴， ∴抛物线和直线有两个交点，即有两个不相等的实数根，故④错误； ∵， ∴两点的水平距离恒定为2， 由图像可知，当开口向上时，离对称轴越近，则越小， ∵总有， ∴点或点在顶点处时为临界点， 如在顶点，则时，或时，有最小值， ∴， ∴， ∴，故⑤正确． 综上，正确的有4个． 9．（2026·山东菏泽·二模）如图，二次函数图象的对称轴是直线，若该图象与轴交点的纵坐标是2，与轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②方程中一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵抛物线与轴的一个交点在点和之间，且对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴方程中一定有一个根在和之间， 故②错误； ③∵函数图象经过， ∴， 抛物线的顶点纵坐标为， ∵抛物线与轴的一个交点在点和之间， ∴当时，； 当时，， 解得， ∴， 即， ∵， ∴抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根， 故③正确； ④∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 综上，正确的选项有①③④，共3个． 10．（2026·山东济宁·二模）已知抛物线的对称轴为直线，与轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论正确的是（    ） A． B． C．方程有且只有一个实数根 D．若、、是抛物线上的三点，则 【答案】D 【分析】根据抛物线的图象、开口方向、对称轴、对称性、随的变化规律，依次作出判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向上可知，， 抛物线的对称轴为，因为，所以， 抛物线与轴的交点在负半轴，即时，， 所以，，不符合题意； B、抛物线的对称轴为，与轴正半轴的交点为， 根据抛物线的对称性可知，与轴的另一个交点为， 将代入抛物线解析式可得，①， 又因为抛物线的对称轴为，，代入①中，，整理得，， 即，不符合题意； C、将代入抛物线解析式可得，，即， 方程的根的判别式， 因为，， 所以， 所以，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、由抛物线图象可知，、在对称轴的左侧， 关于的对称点为， 在对称轴的左侧抛物线的随着的增大而减小， 因为，所以，符合题意． 11．（2026·山东泰安·二模）平面直角坐标系中，抛物线（a为实数）． (1)当时，求此抛物线的顶点坐标； (2)已知点，是抛物线上两点，若对于，，都有，求a的取值范围； (3)在该平面直角坐标系中有一直线，当时，总有，求m的最大值． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)或 (3)m最大值为9 【分析】（1）先把代入函数解析式，然后再化成顶点式即可解答； （2）先求得抛物线的对称轴为，易得点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为；然后分对称轴的左侧、对称轴的右侧、对称轴的之间三种情况，分别求得点到对称轴的距离的最小距离，再根据二次函数抛物线开口向上，到对称轴距离越大的函数值越大列不等式求解即可； （3）对已知条件变形可得，设函数，即开口向上的抛物线，要使时，，即和是方程 的两个根；把代入方程a的值，进而求得m的值，最后确定m的最大值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴顶点坐标为． （2）解：∵， ∴的对称轴为， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ①当对称轴在的左侧，即时，点到对称轴的最小距离为，要满足，解得：； ②当对称轴在的右侧，即时，点到对称轴的最小距离为，要满足，解得：； ③当对称轴在的内，即时，点到对称轴的最小距离为0，要不可能大于2，不符合题意； 综上，a的取值范围为 或． （3）解：当时，总有，即，整理得：， ∴， 设函数，即开口向上的抛物线，要使时，， 为了使m取的最大值，应有和是方程 的两个根． 将代入方程：，解得或． 当时，方程为，解得：和， ∴． 当时，方程为，解得：，此时． ∴m的最大值为9． 12．（2026·山东临沂·二模）二次函数的图象与轴的交点为． (1)若点的坐标为，求该二次函数的表达式； (2)在（1）的条件下，若、在函数图象上，总有，求的取值范围； (3)判断二次函数的图象与轴正半轴是否一定有交点？ 【答案】(1) (2) (3)二次函数的图象与轴正半轴一定有交点 【分析】（1）根据题意，由待定系数法求解即可； （2）由（1）中得到表达式，根据抛物线图象与性质得到当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合题意得到不等式求解即可； （3）根据抛物线与轴交点情况就是时对应的一元二次方程解的情况，先判断二次函数对应方程解的情况，再由求根公式求出一元二次方程的解，判断始终有一个根恒大于零即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴的交点为， ， 则，解得， 该二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知， ，对称轴为， 抛物线开口向下，则当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 当、在函数图象上，总有时，， 解得； （3）解：令，则， 即， ， 二次函数图象与轴有两个不相同的交点， ，且， 或， 当时，； 当时，； 综上所述，二次函数的图象与轴正半轴一定有交点． 13．（2026·山东济宁·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，抛物线顶点为点．点是抛物线上一动点，其横坐标为． (1)求该抛物线函数关系式，并直接写出点的坐标； (2)已知是直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值； (3)已知是点，点之间一动点（包含点，），抛物线在点和点之间的部分（包括，两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)0或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的表达式，过点P向轴作垂线，交于点，则，进而求出的长，利用求解即可； （3）由题意得，抛物线的对称轴为，分两种情况讨论：①当时：最低点为顶点，最高点为点；②当时：最低点为，最高点为，利用最高点与最低点的纵坐标之差为，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线得： ， 解得：， 该抛物线函数关系式为， 顶点坐标； （2）解：由题意得：， 将代入得：， ， 设直线的表达式为， 将点、代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 过点P向轴作垂线，交于点， ， ， ， ， 当时，有最大值，即最大值为； （3）解：由题意得：是点，点之间一动点， ， 抛物线的对称轴为， 分两种情况讨论： ①当时：最低点为顶点，最高点为点， 其纵坐标差为， 由题意得：， 解得：，符合题意； ②当时：点在对称轴的右侧，此时随的增大而增大， 最低点为，最高点为， 其纵坐标差为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为0或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象性质，灵活应用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． 14．（2026·山东济南·二模）如图，O是坐标原点，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中． (1)求抛物线的表达式； (2)点D为抛物线上第一象限内一点，连接，与直线交于点E，若，求点D的坐标； (3)若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若P又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点N，连接、，．探究新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点．若存在，请直接写出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为2 【分析】(1)理解题意，分别把代入，进行计算，即可得抛物线的表达式； (2)先得，再证明，运用，得，设点E的纵坐标为，则点D的纵坐标为，再分别求出直线的表达式为，直线的表达式为，整理得点，因为点D为抛物线上第一象限内一点，得，解得，即可作答； (3)先求出，再整理得平移后的抛物线的表达式为，因为点在，则，即，故，所以是等腰三角形，再结合解直角三角函数得，代入数值计算得，再运用换元法进行整理得，解得，平移后的抛物线的表达式为，求出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，分别把代入得 ，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由(1)得抛物线的表达式为，， 令，则， ∴， ∴， 如图1，分别过点E，D 作，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点E的纵坐标为 ，则点 D 的纵坐标为， 设直线的表达式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的表达式为 ， 把代入，得， ∴， ∴， 设 直线的表达式为， 把分别代入，得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 把代入，得 ， ∴，即点， ∵点D为抛物线上第一象限内一点，且， ∴， 整理得 ， ∴，， 此时的， 故，符合题意； 当时，， 此时， 当 时，， 此时， 综上所述，或； （3）解：存在，过程如下： 由(1)得，整理，得， ∵F为抛物线的顶点， ∴， ∵平移抛物线使得新顶点为，P又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点 N， 如图2，连接， 过点P作， ∴平移后的抛物线的表达式为， 把代入，得， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，则， ∴， 令， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，∴， ∴或， ∴(舍去)或， ∴， ∴平移后的抛物线的表达式为， 令，则， ∴，即， ∴，则， ∴新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为2． 【点睛】能得到抛物线的表达式为，根据题意正确做出辅助线，证得， 得到，能求得直线、的表达式，得出点，进而得到，整理得 ，，；能根据平移后的抛物线的表达式为，得出，即， 能根据， 得到， 进而得出平移后的抛物线的表达式为是本题解题的关键． 15．（2026·山东聊城·二模）已知二次函数． (1)当时，求此函数图象的对称轴． (2)若该二次函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． (3)若，是此函数图象上的两点，是否存在常数n，使得只有一个解？若存在，求出a，n的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)对称轴为直线 (2) (3)存在，，或， 【分析】（1）将代入，根据对称轴公式即可求解； （2）根据题意得出对称轴在范围内，即 ，进而可得； （3）分别求得，根据题意列出方程，分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 对称轴． ∴对称轴为直线． （2）解：二次函数 的对称轴为． 时y随x增大而减小，时y随x增大而增大， ∴对称轴在范围内，即 ，解得． （3）解：存在，理由如下 ，． 代入，得， ∵， ∴ 即 分情况讨论， ①当时，即，此时，解得： ②当时，原方程为关于的一元二次方程， ∵只有一解， ∴判别式，解得， 所以原方程为，即 即 解得： 综上所述；，或， 16．（2026·山东日照·二模）已知二次函数（为常数，）． (1)若，求证：该函数的图象与轴有两个交点； (2)若，求证：当时，； (3)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据当时，抛物线与x轴有两个交点，再结合解析式列式分析即可； （2）将代入二次函数中得到二次函数解析式，再结合二次函数的开口及对称轴得到函数的增减性，继而得证； （3）先根据解析式得，二次函数对称轴为直线，顶点坐标为，再对和进行分类讨论，即可解题． 【详解】（1）证明：，且， ， 该函数的图象与x轴有两个交点； （2）证明：当时，二次函数为， 二次函数开口向下，对称轴为， 时，随的增大而增大， 又时，，时，， 所以当时，； （3）解：， 二次函数对称轴为直线，顶点坐标为， 该函数的图象与x轴有两个公共点，，且， 当，二次函数图象开口向下时， ， 解得； 当，二次函数图象开口向上时， ， 解得； 综上所述，a的取值范围为或． 17．（2026·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线在轴下方的一个动点，轴于点，轴于点，得到矩形． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点的横坐标为，当矩形是正方形时，求的值； (3)将抛物线向右平移（）个单位长度后，得到新抛物线，新抛物线与抛物线的对称轴交于点，直线与直线交于点，当时，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)h的值为或 【分析】（1）待定系数法求解； （2）利用二次函数解析式求出抛物线与轴的交点坐标，确定的取值范围，然后利用正方形的性质列出方程求解； （3）利用待定系数法求出相关函数的解析式，求出相关点的坐标，然后利用相似三角形的判定和性质，列出方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线的函数表达式为， ∴时，， 解得：，， ∴，， ∵点是抛物线在轴下方的一个动点，点的横坐标为， ∴． 设， ∵轴于点，轴于点， ∴，， ∵矩形是正方形， ∴，即． 解得：，； （3）解：设与抛物线的对称轴交于点，直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的函数表达式为， ∴对称轴为直线， ∵对于直线，当时，， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位长度后，得到新抛物线， ∴抛物线的解析式为， 对于抛物线，当时，， ∴， 如图，当点在点上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（负值舍去）； 如图，当点在点下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）． 综上所述：的值为或． 18．（2026·山东临沂·二模）已知抛物线，经过点． (1)求该抛物线的对称轴． (2)点 和 分别在抛物线 和上（A，B与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小． ②当时，若是一个与无关的定值，求a与b的值． 【答案】(1)对称轴是直线 (2)①；②， 【分析】（1）由抛物线过点 及原点，得 ，故对称轴为 ； （2）①当 时，作差 ，故 ； ②由 得 ，因是一个与无关的定值，所以 为定值，必有 ，解得 ，进而 ． 【详解】（1）解：由题意得，即，所以 抛物线的对称轴是直线. （2）解：①由题意知，抛物线的解析式为，又 因为抛物线过原点，且点与原点不重合，所以 于是，故. ②由题意知，， 因为，所以，所以 因为两条抛物线均过原点，且，与原点都不重合，所以 故，即 于是， 因为是一个与无关的定值， 所以，得 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意， 所以，． 二次函数的应用 考点05 1．（2026·山东东营·二模）中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价________元，才能使每日利润最大． 【答案】8 【分析】设每件模型涨价元，每日利润为元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设每件模型涨价元，每日利润为元， 则， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值， 即每件模型应涨价8元，才能使每日利润最大． 2．（2026·山东青岛·二模）数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一．如图1，某水果种植户的温室大棚横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，点是抛物线的顶点，到的距离为．以点为原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，则的长为_____米． (3)大棚水果成熟后，种植户将其批发销售．已知每千克水果种植成本为2.5元，且物价部门规定该水果批发单价不得超过6元/千克，每天固定运营成本为80元．若每天该水果批发单价（元/千克）与每天批发销量（千克）满足关系式，请问批发单价定为多少时，种植户每天批发销售该水果获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)9 (3)批发单价定为6元时，种植户每天批发销售该水果获得的利润最大，最大利润为480元 【分析】（1）设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，平行设出过点的光线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，根据两个图象只有一个交点，得到，进而求出直线的解析式，进而求出点坐标，求出的长即可； （3）设种植户每天批发销售该水果获得的利润为，根据总利润等于总批发价减去总成本，列出二次函数关系式，求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，，，， ∴， 设抛物线的解析式为，把代入，得，解得， ∴； （2）解：∵，设直线的解析式为， 则，解得， ∴， ∵太阳光是平行光， ∴设过点的光线的解析式为， 联立，得， 由题意，两个图象只有一个交点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， 即：的长为米； （3）解：由题意，得：， ∴， 设种植户每天批发销售该水果获得的利润为， 则：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值为； 此时， 答：批发单价定为6元时，种植户每天批发销售该水果获得的利润最大，最大利润为480元. 反比例函数k的几何意义 考点06 1．（2026·山东临沂·二模）如图，在平面直角坐标系中，的面积为8，且，反比例函数的图象经过点C，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过C点作轴于，设根据的面积为8和勾股定理得到，，求得，根据反比例函数的图象经过点C，即可求出的值． 【详解】解：过C点作轴于，如图， 设 则 ∴ ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴． 2．（2026·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A为函数的图象上一点，连接，点B为的中点，将点B向右平移到函数图象上的点C处．若的面积为2，则k的值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】设，则，则，，再利用的面积为2，列式求解即可． 【详解】解：设点，点A为函数的图象上一点， 则，即， 又点B为的中点，则， 将点B向右平移到函数图象上的点C处， 所以，即， 所以点， 因为的面积为2， 所以，即， 整理得， 解得． 3．（2026·山东聊城·二模）已知，原点O为正方形的中心，A，B，C，D均在坐标轴上，，反比例函数的图象与边交于点E，F，与边交于点H，G，连接，．若的面积为4，则k的值为________． 【答案】 【分析】分别过点E、F作、，根据正方形的性质、等腰三角形的性质以及点的坐标和线段长的关系，确定点E、F的横坐标与k的关系，再根据的面积为4以及反比例函数中k的几何意义求出答案． 【详解】解：分别过点E、F作、， ∵点E，F都在反比例函数的图象上， ∴设，， 由于反比例函数图象在第一、三象限，， 点E，F都在第一象限， ，， ，，，， ∵四边形为正方形，点O为正方形的中心，， ，， ，， ，， ，， ，， 即，， ， 整理得， ， ， 将代入得， ， ， 即， 整理得， ， ， 解得， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形性质、等腰三角形性质、反比例函数中k的几何意义、三角形面积公式、点的坐标与线段长的关系，解题关键是反比例函数中k的几何意义与坐标和线段长之间的关系． 4．（2026·山东德州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点，点B在x轴上，，点C为的中点，若的面积为4，则k的值为________． 【答案】 【分析】利用三角形中线将面积进行转化，先求出的面积，再利用等腰三角形“三线合一”的性质，将的面积转化为与反比例函数k值直接相关的的面积，从而求出k的值． 【详解】解：∵点C为的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，过点A作交于点E， ∵， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴，即， ∵， ∴． 5．（2026·山东青岛·一模）如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为5，则________． 【答案】 【分析】由反比例函数的几何意义得，，，再根据即可求出k的值． 【详解】解：∵D，E在反比例函数的图像上且图像在第二象限， ∴，， ∵点A是双曲线上一点，且图像在第二象限， ∴， ∵， ∴，解得：． 反比例函数与一次函数综合 考点07 1．（2026·山东日照·二模）给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么.则（     ） A．正确的命题有①② B．正确的命题有①②④ C．错误的命题有②③ D．错误的命题有②④ 【答案】A 【分析】先确定出三个函数图象的交点坐标为，再结合图象分析函数与不等式关系求解即可． 【详解】解：∵当时，三个函数的函数值都是1， ∴三个函数图象的交点坐标为， ∴由对称性可知，和在第三象限的交点坐标为， ∴如果，那么，命题①正确； 如果，那么或，命题②正确； 如果，那么a无解，命题③错误； 如果，那么，命题④错误． 2．（2026·山东菏泽·二模）如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，C为的中点，D为x轴上一动点，点与点B关于直线对称，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】联立两个函数求得，求出，，由三角形的三边关系即可得到答案． 【详解】解：联立， 解得，， ， C为的中点， ． 连接，， 点与点B关于直线对称， ， ， ， 的最大值为． 3．（2026·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，A，B是直线上在第一象限内的两个点，，B点坐标为．以线段为斜边作，轴，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为_____． 【答案】/ 【分析】根据点A、B在过原点的直线上且，利用坐标与线段比例的关系求出点A的坐标；根据轴及，确定点C的横纵坐标与点A、B的关系，从而求出点C的坐标；最后将点C坐标代入反比例函数解析式求出k的值． 【详解】解：∵点A、B在直线上，且O、A、B三点共线， ∴点A、B的横、纵坐标成比例， ∵，点B的坐标为， ∴点A的横坐标为，纵坐标为， ∴点A的坐标为， ∵ 轴， ∴点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，即， ∵ 是以为斜边的直角三角形 ， ∴， ∴ ， ∵ 轴， ∴轴，即轴， ∴点C的横坐标与点A的横坐标相同，即， ∴点C的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴． 4．（2026·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数y的图象的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求反比例函数表达式； (2)直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； (3)P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点E的坐标为或 【分析】（1）把代入，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解； （2）连接，求出点C的坐标为，可得，设点D的坐标为，可得到，再由勾股定理求出m的值，即可求解； （3）设点E的坐标为，求出直线的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴的交点为， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴点， 把点代入得：； ∴． （2）解：如图，连接， 由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点D的坐标为， 设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （3）解：设点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或． 5．（2026·山东德州·二模）在平面直角坐标系中，存在直线和双曲线． (1)当时，直线和双曲线交于，两点，求，两点坐标； (2)①求证：直线必经过点； ②若直线与双曲线无交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，两点坐标为，或，． (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数恒过定点问题及一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握函数交点的求解方法、一次函数定点的证明方法及根的判别式的应用． 主要（1）将代入直线解析式，联立直线与反比例函数解析式，解方程组得交点坐标； （2）①将点代入直线解析式验证等式成立，证明直线恒过该点；②联立直线与反比例函数解析式，转化为一元二次方程，利用根的判别式小于0，求解的取值范围． 【详解】（1）解：当时，直线解析式为． 联立直线与双曲线方程： 消去得：， 两边同乘（）并整理：， 因式分解：， 解得，． 当时，；当时，． 故，两点坐标为，或，． （2）①证明：将代入直线， 即当时，恒成立． ∴ 直线必经过点． ②解：联立直线与双曲线方程： 消去得：， 两边同乘（）并整理：． ∵ 直线与双曲线无交点， ∴ 该一元二次方程无实数根，且． ∴ ， 即， 因式分解：， 解得． 故的取值范围是． 6．（2026·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线相交于点、点两点，点在轴的正半轴上，，为等边三角形，连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标及的面积； (3)在轴上是否存在点，使得以点A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【分析】（1）把的坐标为，代入中，求出的坐标为，再根据点在反比例函数的图象上，求出反比例函数的解析式即可； （2）延长与反比例函数的图象在第三象限交于点，设直线的解析式为，求出直线的解析式为，求出点的坐标为，即可得到答案； （3）根据题意求出，分当轴时和当时两种情况进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：把的坐标为，代入中， 的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：延长与反比例函数的图象在第三象限交于点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， 点的坐标为， ； （3）解：是，理由如下： 为等边三角形，点与点关于原点对称， ，， ， ， 当轴时， ，， ， 点的坐标为， 点的坐标为； 当时， 则，， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 综上，点的坐标为或． 7．（2026·山东济南·二模）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值及点坐标； (2)点在轴上且在点左侧，若是以为底边的等腰三角形，求点坐标； (3)点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形面积为5时，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)点坐标为或 【分析】本题考查一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出点坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数的表达式，联立比例函数和一次函数解析式即可求出点坐标； （2）设，根据利用坐标系中两点距离公式列方程求解即可； （3）分点在轴正半轴上和负半轴上两种情况，根据利用割补法表示四边形面积，即可列方程求解． 【详解】（1）解：将代入，得，即 将代入，得，即， 令，解得（舍），即 （2）解：设，由（1）知，， 则，， 是以为底边的等腰三角形 ，（舍） （3）解：在中，当时，，当时，， 即，设 如图，点在轴正半轴上， ，即． 如图，点在轴负半轴上， ，即 综上所述，点坐标为或 8．（2026·山东济南·二模）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，的值； (2)点为反比例函数的图象上的点，若是以为斜边的直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，点为直线下方反比例函数图象上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴于点，连接．求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)； 【分析】（1）把代入得，求得，再代入，即可求解； （2）过点作轴交轴于点，过点作交于点，交轴于点，设，根据勾股定理分别求得，根据勾股定理建立方程，即可求解． （3）设，得出，进而求得的表达式为，设的表达式为，把代入得，，进而求得，再根据三角形的面积公式得出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得， ，解得： 把代入得，，解得： （2）过点作轴交轴于点，过点作交于点，交轴于点， 设， 则，，，，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 是以为斜边的直角三角形 解得：（舍去）， （3）设 轴 把代入得， 设表达式为，把代入得， 设的表达式为，把代入得， 令得， 当时，有最大值 9．（2026·山东菏泽·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2)8 【分析】（1）待定系数法求解； （2）求出点的坐标，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：把点代入，得， 所以； 把代入，得，即， 把点，分别代入中， ， 解得，， 所以； （2）解：直线与y轴的交点坐标为， ． 10．（2026·山东聊城·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接、． (1)求和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（1）先将，代入求出m，a的值，继而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标，再根据代入数据表示面积即可． 【详解】（1）解：两函数图象相交于点， ， ， ， ， ，， 在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为． （2）解：由图象可知，的解集为：． （3）解：设直线与轴交于点，当时，， ， ． 11．（2026·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为，一次函数的图象与轴交于点，连接． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值，然后根据B的横坐标求出B的纵坐标，最后根据待定系数法求解即可； （2）先求出C的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． 点的横坐标为，且点在反比例函数的图象上， ∴ 点． 将点，代入， 得 解得 一次函数的解析式为； （2）解：在一次函数中，令，则， 点， ． ， ． 12．（2026·山东济南·二模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，一次函数的图象经过点，交轴于点，交轴于点．为反比例函数图象上点右侧一动点，连接，将沿着的方向平移，的对应点为，的对应点为，连接． (1)求，的值； (2)如图1，若四边形的面积为6，求坐标； (3)如图2，连接，若，求的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先将点A坐标代入正比例函数求出a，得到A点坐标；再将A点坐标分别代入反比例函数和一次函数，即可求解k和m的值； （2）由平移性质可知四边形是平行四边形，所以其面积等于以为底、对应高为参数的平行四边形面积，或者用坐标割补法表示面积；结合P在反比例函数上的坐标关系，联立方程求解P点坐标； （3）根据平移的坐标变换规律，用P点坐标表示出Q点坐标；先求出C点坐标，结合直线的斜率，构造所在的直角三角形，利用建立斜率关系或边长比例方程，联立Q点坐标满足的平移关系求解Q点坐标． 【详解】（1）解：（1）∵正比例函数经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴， ∵一次函数经过点， ∴， ∴． （2）∵沿方向平移得到， ∴且， ∴四边形为平行四边形， 连接， ∵平行四边形为面积为6， ∴的面积为3， ∴， ∵一次函数， ∴， 设， 则 ， 解得， ∴． （3）过点作，交的延长线于点， 过点作轴的平行线，过点和点，分别作，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵一次函数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴解析式：， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵在反比例函数上， ∴， 解得，（舍去） ∴． 【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征、正比例函数、反比例函数、一次函数的性质与解析式求解、平移的性质、平行四边形的面积计算等知识点，本题掌握函数图像与性质是解题的关键． 13．（2026·山东济南·二模）正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点． (1)求m和k的值； (2)点B为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，过点B作x轴的垂线，交直线于点C，交x轴于点D． ①如图1，连接，当平分时，求的面积； ②如图2，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点B的坐标． 【答案】(1)， (2)①10；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，设点，，其中，求出长，利用两点间距离公式求出长，最后利用求解即可； ②根据等腰三角形的性质的得到，设，则，求出、和长，利用列出等式，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， ， 将代入得：， 解得：； （2）①解：由题意得：轴， 如图，过点作于点， 平分， ， 由（1）知，， 设点，，其中， 、， ； ②解：由（1）知，， 是以为底的等腰三角形， ， 设，则，其中， 、、， ， ， 解得：或（舍去）， ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质、两点间距离公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14．（2026·山东济南·二模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点． (1)求这两个函数的解析式： (2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点是第四象限反比例函数图象上的一点，当的面积为6时，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）将点代入，可求函数解析式，从而求出，将点A、B代入,可求一次函数解析式； （2）连接，由O是AC的中点，可得的面积，设，根据的面积，求出t的值即可求M点坐标； （3）设，，根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， 将代入，得， ， ， 将点、代入，得 ， 解得， ； （2）解：连接，过作轴的平行线交直线于点 直线与反比例函数交于点， 、关于原点对称， ， 是的中点， 的面积为6， 的面积为3， ，， 直线的表达式为：， 设，则， ， ， ， 当时，解得：（舍去）或， ， 当时解得：（舍去）或， ， 综上所述：点的坐标为或； （3）解：存在点，理由如下： 设，， 当为对角线时， 解得， ； 当为对角线时，， 解得， ； 综上所述：点坐标为：或． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $