专题02 方程（组）与不等式（组）（7大考点）（山东专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 山东多地二模方程与不等式专题汇编，涵盖7大核心考点，精选填空、选择、解答题，注重基础巩固与综合应用，适配中考二轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空/选择|基础题为主|分式方程求解、根的判别式、不等式性质|结合《九章算术》等文化素材，如“盈不足”问题| |解答题|综合题占比高|方程不等式应用、方案设计|融入科技（智能机器人）、健康（体重管理）等现实情境，如采购成本优化问题|

专题02 方程（组）与不等式（组） 7大考点概览 考点01分式方程求解 考点02一元二次方程根的判别式与根与系 考点03一元一次不等式（组）求解 考点04不等式的性质 考点05列方程（组） 考点06 整式方程（组）及不等式（组）综合应用 考点07 分式方程与不等式（组）综合应用 分式方程求解 考点01 1．（2026·山东聊城·二模）如果，那么x的值为________． 2．（2026·山东临沂·二模）分式方程的解___． 3．（2026·山东济南·二模）关于x的方程解为非负数，则的取值范围是___________. 4．（2026·山东临沂·二模）分式方程的解为____________． 一元二次方程根的判别式与根与系数的关系 考点02 1．（2026·山东济南·二模）若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东菏泽·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 3．（2026·山东济南·一模）若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东泰安·二模）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 5．（2026·山东临沂·二模）若a，b分别是关于x的方程的两个实数根，则的值是___． 6．（2026·山东日照·二模）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 7．（2026·山东菏泽·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数___________． 8．（2026·山东日照·二模）关于的一元二次方程的两个实数根为，设，则与方程根的判别式之间的数量关系是___________． 9．（2026·山东聊城·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 10．（2026·山东临沂·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是____________． 11．（2026·山东聊城·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则________． 12．（2026·山东德州·二模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 13．（2026·山东济宁·二模）已知方程的一个根是2，则方程的另一个根为____________． 一元一次不等式（组）求解 考点03 1．（2026·山东济南·二模）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 2．（2026·山东济南·二模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．    3．（2026·山东济宁·二模）计算及解不等式组： (1)． (2)解不等式组：． 4．（2026·山东济南·二模）解不等式组： 并写出它的所有整数解 5．（2026·山东青岛·二模）化简及解不等式组 (1)化简：． (2)解不等式组： 6．（2026·山东济南·二模）解不等式组，并求出它的所有整数解之和． 7．（2026·山东济南·二模）解不等式组，并写出它的非负整数解． 8．（2026·山东济南·二模）解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 9．（2026·山东青岛·二模）解不等式组、化简 (1)解不等式组，并求其最小整数解： (2)化简：． 10．（2026·山东聊城·二模）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解不等式组． 11．（2026·山东济南·二模）解不等式组：，并写出它所有的正整数解． 12．（2026·山东济南·二模）解不等式组 ，并写出该不等式组的正整数解． 13．（2026·山东济宁·二模）计算与解不等式组 (1)； (2)． 14．（2026·山东潍坊·二模）（1）计算： （2）解不等式组，并指出它的所有非负整数解． 不等式的性质 考点04 1．（2026·山东济南·二模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·二模）下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 列方程（组） 考点05 1．（2026·山东临沂·二模）我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一个问题，大意是：有人用银子买骆驼和马两种牲口，买10匹马的价钱和买6匹骆驼的价钱是一样的，但是每匹骆驼比每匹马贵8两银子，问一匹马、一匹骆驼各值多少两银子？设一匹马值x两，一匹骆驼值y两，则根据条件列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东聊城·二模）《九章算术》中有“盈不足”问题，原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？大意：众人一起买一件物品，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又少4钱．设人数为，物品价格为钱，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东临沂·二模）某商场今年1月份的营业额为100万元，3月份的营业额为169万元．若2、3月份营业额的月平均增长率相同．设月平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东德州·二模）《九章算术》中关于“盈不足术”的记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数几何？”其译文为：有几个人去买鸡，每人出钱，余钱；每人出钱，差钱．问有多少个人？小温同学根据题意，列出方程组，则方程组中表示的是（     ） A．鸡的数量 B．鸡的总价 C．每个人出的钱数 D．买鸡的人数 5．（2026·山东聊城·二模）《九章算术》中有一个“粟米问题”，大意是“今有粟米与稻米共重96斗，粟米与稻米的重量比为”．设粟米为x斗，稻米为y斗，下列所列二元一次方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 方程（组）及不等式（组）综合应用 考点06 1．（2026·山东青岛·二模）随着人工智能的发展，高性能芯片的需求越来越大，某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要2000元，购买颗型芯片和颗型芯片共需要1450元．则购买颗型芯片需要______元． 2．（2026·山东济南·二模）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份A或B食品的核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共6份，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 3．（2026·山东济南·二模）为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于月中旬举办“校园读书节”，现需采购两种图书．已知购买本种图书和本种图书共需元，购买本种图书比购买本种图书多元． (1)求两种图书的单价； (2)该校计划购买两种图书共本，且种图书的数量不超过种图书数量的一半，通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 4．（2026·山东东营·二模）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录，小亮周六进行了两组运动，第一组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示消耗热量千卡：第二组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示第二组运动消耗热量千卡． (1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ (2)小亮想设计一个分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量，每个深蹲用时秒，每个开合跳用时秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 5．（2026·山东济南·二模）为赋能乡村产业振兴，打造农产品产销一体化示范项目，某镇拟建，两类展位供当地农产品展览和销售．已知1个类展位的占地面积比1个类展位的占地面积多4平方米；5个A类展位和10个类展位的占地面积共260平方米．建类展位每平方米的费用为120元．建类展位每平方米的费用为100元． (1)求每个，类展位占地面积各为多少平方米？ (2)该镇拟建，两类展位共40个，且类展位的数量小于类展位数量的2倍，如何规划、两类展位的建设数量，才能使建造展位的总费用最少？最少为多少元？ 6．（2026·山东济南·二模）雪野湖景区纪念品店花费2400元购进雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣共100件．两种产品的成本价与销售价如下表所示： 产品名称 成本价（元/件） 销售价（元/件） 雪野鱼粉速食包 15 22 莱芜梆子文创钥匙扣 25 35 (1)求该店第一次购进雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣各多少件？ (2)五一假期临近，该店第二次购进这两种产品共120件．此次进货预算不超过2600元，且全部售完．进货时，雪野鱼粉速食包的成本价比原来提高了，莱芜梆子文创钥匙扣的成本价打九折，两种产品的售价保持不变．问：纪念品店此次购买雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣各多少件时，才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 7．（2026·山东济宁·二模）金秋时节，硕果飘香，某石榴种植基地采摘了一批优质石榴准备运往某地销售，经测算：用2辆A型车和1辆B型车载满石榴一次可运送100吨；用1辆A型车和2辆B型车载满石榴一次可运送80吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满石榴一次可分别运送多少吨？ (2)已知这批优质石榴共500吨，计划同时租用A型车和B型车一次运送完．为确保运输效率与安全，要求所有车辆都载满石榴，且A型车数量不超过B型车数量的2倍，若1辆A型车租金1000元/次，1辆B型车租金600元/次，设A型车租用x辆，求租车费用W与x之间的函数关系式，并写出最少租车费用和费用最少时的租车方案． 分式方程与不等式（组）综合应用 考点07 1．（2026·山东菏泽·二模）智能机器人产业发展迅猛，某公司研制出A、B两种搬运机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同．则A型机器人每小时搬运的材料为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·二模）为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：A型深海网箱与B型水下机器人．已知用180万元购买A型网箱的数量与用300万元购买B型机器人的数量相等，且B型机器人的单价比A型网箱的单价多40万元． (1)求A型网箱和B型机器人的单价； (2)若该海域计划共采购A，B两种单元共20个（两种单元均需采购），且采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的，则采购A单元多少个时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 3．（2026·山东济南·二模）2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍． (1)求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 4．（2026·山东聊城·二模）2026年是全民体重管理提升行动收官之年，某社区服务中心为推进全民健身，计划采购、两款智能体重管理健身设备，满足居民科学健身需求．已知款设备单价比款设备单价便宜240元，用48000元购买款设备的数量与用54000元购买款设备的数量相同． (1)求、两款健身设备的单价分别为多少元？ (2)该社区计划采购、两款设备共25台，要求款设备采购数量不超过款设备数量的2倍．请问采购款健身设备多少台时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 5．（2026·山东济南·二模）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，购买多少个篮球时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式（组） 7大考点概览 考点01分式方程求解 考点02一元二次方程根的判别式与根与系 考点03一元一次不等式（组）求解 考点04不等式的性质 考点05列方程（组） 考点06 整式方程（组）及不等式（组）综合应用 考点07 分式方程与不等式（组）综合应用 分式方程求解 考点01 1．（2026·山东聊城·二模）如果，那么x的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的求解，思路为将分式方程通过去分母转化为一元一次方程求解，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：对分式方程去分母， 两边同时乘以最简公分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验：当时， ，因此是原分式方程的解． 2．（2026·山东临沂·二模）分式方程的解___． 【答案】 【分析】按照解分式方程的步骤，去分母化为整式方程，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：原方程去分母得： 去括号得： 移项，合并同类项得： 系数化为得： 检验：将代入最简公分母得 故原方程的解为 3．（2026·山东济南·二模）关于x的方程解为非负数，则的取值范围是___________. 【答案】且 【分析】先解分式方程得到用表示的结果，再根据解为非负数得到，结合分式方程分母不为零得到，进而求出的取值范围． 【详解】解：原方程变形为：， 方程两边同乘，得， 整理得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∵方程的解为非负数，且分式分母不能为， ∴， 解得且． 4．（2026·山东临沂·二模）分式方程的解为____________． 【答案】 【分析】先去分母将其转化为整式方程，求解整式方程后，检验所得根是否满足原分式方程，即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 一元二次方程根的判别式与根与系数的关系 考点02 1．（2026·山东济南·二模）若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将已知根代入方程求出的值，再解一元二次方程得到另一个根． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 解得， ∴原方程为 ， 解得， ∴方程的另一个根为． 2．（2026·山东菏泽·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 3．（2026·山东济南·一模）若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的可能取值，再根据方程有两个实根要求判别式非负，筛选出符合条件的的值即可． 【详解】解：设方程两根为，， ∵方程两根互为相反数， ∴， 对于一元二次方程，由根与系数的关系得：， ∴， 解得：，即， ∵要使方程有两个实根， ∴判别式，即， 代入得：， ∴，即， ∵，， ∴． 4．（2026·山东泰安·二模）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 5．（2026·山东临沂·二模）若a，b分别是关于x的方程的两个实数根，则的值是___． 【答案】 【分析】根据是方程的根得到，根据根与系数的关系得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：、分别是关于的方程的两个实数根， ，， ， ． 6．（2026·山东日照·二模）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 7．（2026·山东菏泽·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数___________． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 8．（2026·山东日照·二模）关于的一元二次方程的两个实数根为，设，则与方程根的判别式之间的数量关系是___________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得到该一元二次方程的两根和与两根积，再分别计算和根的判别式，对比即可得到二者的数量关系． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项为， 由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 方程的根的判别式， 又， ． 9．（2026·山东聊城·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】2 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程中．，，． 又∵方程有两个相等的实数根． ∴． 展开整理得． 即． 解得． 10．（2026·山东临沂·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是____________． 【答案】且. 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围. 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，解得； 方程有实数根， ， 化简得； 解得； 综上，实数的取值范围为且. 11．（2026·山东聊城·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则________． 【答案】4 【分析】先利用完全平方公式将所求代数式变形，再根据根与系数的关系得到两根之和，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解：对所求代数式变形得： ，是一元二次方程的两个根， ∴ 将代入得： 12．（2026·山东德州·二模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】11 【分析】先利用一元二次方程根的定义，将用含的一次式表示，再利用根与系数的关系得到的值，最后代入代数式化简求值． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 13．（2026·山东济宁·二模）已知方程的一个根是2，则方程的另一个根为____________． 【答案】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得，设方程的另一个根为， 由根与系数的关系可知，两根之和满足 解得 即方程的另一个根为． 一元一次不等式（组）求解 考点03 1．（2026·山东济南·二模）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，0，1，2 【详解】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是． 整数解为，0，1，2． 2．（2026·山东济南·二模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．    【答案】，数轴表示见解析 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是：， 将解集在数轴上表示为：    3．（2026·山东济宁·二模）计算及解不等式组： (1)． (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解：解得： 解得： ∴ 4．（2026·山东济南·二模）解不等式组： 并写出它的所有整数解 【答案】；整数解为 【详解】解：由①得，， 由②得，  ， 去括号得， 移项合并得 ， 系数化为1得 ， ∴不等式组的解集为：， ∴整数解为 5．（2026·山东青岛·二模）化简及解不等式组 (1)化简：． (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把除法转化为乘法，可以同时算括号内的，得到，再分子分母约去和进行化简即可； （2）先算①式， 移项得，再进行合并同类项，系数化为1即可求得， 再算②式，去分母可得，再进一步求解即可得， 两个求公共部分为． 【详解】（1）解：原式＝ （2）， 由①得， ， ． 由②得，， ， ， ， ． 原不等式组解为． 6．（2026·山东济南·二模）解不等式组，并求出它的所有整数解之和． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解之和为 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ， 整数解为：，，，，， ∴整数解之和为： 7．（2026·山东济南·二模）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】，非负整数解为0，1 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为． 非负整数解为0，1． 8．（2026·山东济南·二模）解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 【答案】不等式组的解集是；非负整数解是0，1，2，3，4 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集是 ∴它的所有非负整数解是0，1，2，3，4． 9．（2026·山东青岛·二模）解不等式组、化简 (1)解不等式组，并求其最小整数解： (2)化简：． 【答案】(1)，其最小整数解为； (2) 【详解】（1）解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 其最小整数解为； （2）解： ． 10．（2026·山东聊城·二模）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解不等式组． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 在同一数轴上表示出不等式①②的解集： 不等式组的解集为． 11．（2026·山东济南·二模）解不等式组：，并写出它所有的正整数解． 【答案】不等式组的正整数解为1、2 【分析】分别求解不等式组中两个不等式的解集，求出两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，再在总解集中找出所有正整数即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 原不等式组的解为： 则不等式组的正整数解为：1、2． 12．（2026·山东济南·二模）解不等式组 ，并写出该不等式组的正整数解． 【答案】，正整数解为 【详解】解： ， 解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为；； 故该不等式组的正整数解为． 13．（2026·山东济宁·二模）计算与解不等式组 (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘法、负整数指数幂、零指数幂的法则化简，再计算加减即可； （2）先求出各不等式的解集，求出它们的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 14．（2026·山东潍坊·二模）（1）计算： （2）解不等式组，并指出它的所有非负整数解． 【答案】（1）；（2），0，1，2 【分析】本题考查了二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组等知识点，解不等式组的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，解第（1）小题的关键是求出各个部分的值． （1）求出每部分的值，再代入求出即可； （2）求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）原式 （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为0，1，2． 不等式的性质 考点04 1．（2026·山东济南·二模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴确定a、b、c的大小，然后利用绝对值的性质和不等式的基本性质，对每个选项逐一验证． 【详解】解：由数轴上可知：在和之间，即；在和之间，即；在和之间，即； A．∵，， ∴， ∴，故本选项正确，符合题意； B．不等式两边同时减去a，得到：，即． 但从数轴上看，矛盾，故本选项错误，不符合题意； C． ∵ ，不等式两边同时除以c，不等号方向不变，得到：． 但从数轴上看，矛盾，故本选项错误，不符合题意； D．∵ ，不等式两边同时除以a，不等号方向改变，得到：． 但从数轴上看，矛盾，故本选项错误，不符合题意； 2．（2026·山东济南·二模）下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A，∵ ，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴ ，A判断正确． 对于B，∵ ，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ ，B判断正确． 对于C，题目未说明的取值范围，当时，不等式两边乘后不等号方向改变，可得 ，当时，可得 ，因此 不一定成立，C判断错误． 对于D，∵ ，且 ，可得 ，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变， ∴ ，D判断正确． 综上，不正确的是C． 列方程（组） 考点05 1．（2026·山东临沂·二模）我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一个问题，大意是：有人用银子买骆驼和马两种牲口，买10匹马的价钱和买6匹骆驼的价钱是一样的，但是每匹骆驼比每匹马贵8两银子，问一匹马、一匹骆驼各值多少两银子？设一匹马值x两，一匹骆驼值y两，则根据条件列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设一匹马值两，一匹骆驼值两，根据题意得， ． 2．（2026·山东聊城·二模）《九章算术》中有“盈不足”问题，原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？大意：众人一起买一件物品，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又少4钱．设人数为，物品价格为钱，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设人数为，物品价格为钱， 根据题意得，． 3．（2026·山东临沂·二模）某商场今年1月份的营业额为100万元，3月份的营业额为169万元．若2、3月份营业额的月平均增长率相同．设月平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从1月到3月共经历两次月增长，根据月平均增长率的增长规律列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为， ∵1月份营业额为100万元， ∴2月份营业额为万元， ∵3月份营业额是在2月份的基础上增长得到， ∴3月份营业额为万元， 又已知3月份营业额为169万元， 因此可列方程． 4．（2026·山东德州·二模）《九章算术》中关于“盈不足术”的记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数几何？”其译文为：有几个人去买鸡，每人出钱，余钱；每人出钱，差钱．问有多少个人？小温同学根据题意，列出方程组，则方程组中表示的是（     ） A．鸡的数量 B．鸡的总价 C．每个人出的钱数 D．买鸡的人数 【答案】B 【分析】读懂题意理清量之间的关系，即可判断的意义． 【详解】解：设买鸡的人数为，若设鸡的总价为钱， ∵每人出9钱，余11钱，说明所有人出的总钱数比鸡价多11钱，可得， ∵每人出6钱，差16钱，说明所有人出的总钱数比鸡价少16钱，可得， 所得方程组与题目给出的方程组一致，因此表示鸡的总价． 5．（2026·山东聊城·二模）《九章算术》中有一个“粟米问题”，大意是“今有粟米与稻米共重96斗，粟米与稻米的重量比为”．设粟米为x斗，稻米为y斗，下列所列二元一次方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“今有粟米与稻米共重96斗，粟米与稻米的重量比为”列方程组即可． 【详解】解：设粟米为x斗，稻米为y斗， ∵今有粟米与稻米共重96斗， ∴， ∵粟米与稻米的重量比为， ∴， ∴ 方程（组）及不等式（组）综合应用 考点06 1．（2026·山东青岛·二模）随着人工智能的发展，高性能芯片的需求越来越大，某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要2000元，购买颗型芯片和颗型芯片共需要1450元．则购买颗型芯片需要______元． 【答案】 【分析】设购买颗型芯片需要元. 购买颗型芯片需要元，根据题意列出方程组，并求解即可． 【详解】解：设购买颗型芯片需要元. 购买颗型芯片需要元， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴购买颗型芯片需要元． 2．（2026·山东济南·二模）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份A或B食品的核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共6份，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 【答案】(1)应选用A种食品3份，B种食品2份 (2)应选用A种食品2份，B种食品4份 【分析】（1）设应选用A种食品x份，B种食品y份，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （2）设应选用A种食品m份，则选用B种食品份，根据题意列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围，设每份午餐的能量为，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，结合一次函数的性质求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设应选用A种食品x份，B种食品y份， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品3份，B种食品2份； （2）解：设应选用A种食品m份，则选用B种食品份， 根据题意得：， 解得：， 设每份午餐的能量为， 则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，此时． 答：应选用A种食品2份，B种食品4份． 3．（2026·山东济南·二模）为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于月中旬举办“校园读书节”，现需采购两种图书．已知购买本种图书和本种图书共需元，购买本种图书比购买本种图书多元． (1)求两种图书的单价； (2)该校计划购买两种图书共本，且种图书的数量不超过种图书数量的一半，通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1) 种图书单价为元，种图书单价为元 (2) 购买种图书本，种图书本 【分析】（）设种图书单价为元，种图书单价为元，根据购买本种图书和本种图书共需元，购买本种图书比购买本种图书多元，可列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （）设购买种图书本，则购买种图书本，根据种图书的数量不超过种图书数量的一半，可列出一元一次不等式，解不等式得到的取值范围，再根据总费用单价数量，结合的取值范围，即可得到答案． 【详解】（1）解：设种图书单价为元，种图书单价为元， 根据题意，列方程组得：， 解得：， 答：种图书单价为元，种图书单价为元； （2）解：设购买种图书本，则购买种图书本，总费用为元， 根据题意，列不等式：， 解得， ∵是正整数， ∴， 总费用表达式为：， ∵， ∴随的增大而增大， 当取最小值时，总费用最小， 此时种图书数量为(本)， (元)， 答：购买种图书本，种图书本时所需费用最少． 4．（2026·山东东营·二模）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录，小亮周六进行了两组运动，第一组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示消耗热量千卡：第二组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示第二组运动消耗热量千卡． (1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ (2)小亮想设计一个分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量，每个深蹲用时秒，每个开合跳用时秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 【答案】(1)小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量 (2)小亮安排个深蹲消耗的热量最多 【分析】（1）设小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量，根据题意列出方程组并求解即可； （2）设安排个深蹲，个开合跳，消耗的热量为千卡，根据题意可得，变形得．由题意可列不等式组，解得，容易得到，结合一次函数的增减性与的取值范围，判断的最大值，和对应的的值． 【详解】（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量， 根据题意可列方程： ， 解得， 答：小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量； （2）解：设安排个深蹲，个开合跳，消耗的热量为千卡， 根据题意，， ∴， ∵，且， ∴， 解得， ， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最大值． 答：小亮安排个深蹲消耗的热量最多． 5．（2026·山东济南·二模）为赋能乡村产业振兴，打造农产品产销一体化示范项目，某镇拟建，两类展位供当地农产品展览和销售．已知1个类展位的占地面积比1个类展位的占地面积多4平方米；5个A类展位和10个类展位的占地面积共260平方米．建类展位每平方米的费用为120元．建类展位每平方米的费用为100元． (1)求每个，类展位占地面积各为多少平方米？ (2)该镇拟建，两类展位共40个，且类展位的数量小于类展位数量的2倍，如何规划、两类展位的建设数量，才能使建造展位的总费用最少？最少为多少元？ 【答案】(1)每个类展位占地面积20平方米，每个类展位占地面积16平方米 (2)建设类展位14个，类展位26个时总费用最少，最少75200元 【分析】（1）设每个类展位占地面积为平方米，每个类展位占地面积为平方米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设建设类展位个，类展位个，根据题意列出一元一次不等式，求出，设建设展位的总费用为元，表示出由题意得，再结合一次函数的性质即可得出结果 【详解】（1）解：设每个类展位占地面积为平方米，每个类展位占地面积为平方米， 由题意得， 解得， 答：每个类展位占地面积20平方米，每个类展位占地面积16平方米； （2）解：设建设类展位个，类展位个， 由题意得， 解得， 设建设展位的总费用为元， 由题意得， ， 随增大而增大， 当时，，此时， 建设类展位14个，类展位26个时总费用最少，最少75200元． 6．（2026·山东济南·二模）雪野湖景区纪念品店花费2400元购进雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣共100件．两种产品的成本价与销售价如下表所示： 产品名称 成本价（元/件） 销售价（元/件） 雪野鱼粉速食包 15 22 莱芜梆子文创钥匙扣 25 35 (1)求该店第一次购进雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣各多少件？ (2)五一假期临近，该店第二次购进这两种产品共120件．此次进货预算不超过2600元，且全部售完．进货时，雪野鱼粉速食包的成本价比原来提高了，莱芜梆子文创钥匙扣的成本价打九折，两种产品的售价保持不变．问：纪念品店此次购买雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣各多少件时，才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)第一次购进雪野鱼粉速食包10件，莱芜梆子文创钥匙扣90件 (2)第二次购进雪野鱼粉速食包17件，购进莱芜梆子文创钥匙扣103件，最大利润为1381元 【分析】（1）设该店第一次购进雪野鱼粉速食包件，莱芜梆子文创钥匙扣件，根据“花费2400元购进雪野鱼粉速食包和莱芜梆子文创钥匙扣共100件”及表格成本价列方程组求解即可； （2）设第二次购进雪野鱼粉速食包件，则购进莱芜梆子文创钥匙扣件，根据“此次进货预算不超过2600元”列不等式求出m的值，设总利润为元，求出的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设该店第一次购进雪野鱼粉速食包件，莱芜梆子文创钥匙扣件， 根据题意得： 解得： 答：第一次购进雪野鱼粉速食包10件，莱芜梆子文创钥匙扣90件； （2）解：设第二次购进雪野鱼粉速食包件，则购进莱芜梆子文创钥匙扣件，由题意得：， 设总利润为元， 则， ， 随的增大而减小， 又取整数， 当时，， 莱芜梆子文创钥匙扣件数是， 答：第二次购进雪野鱼粉速食包17件，购进莱芜梆子文创钥匙扣103件，最大利润为1381元． 7．（2026·山东济宁·二模）金秋时节，硕果飘香，某石榴种植基地采摘了一批优质石榴准备运往某地销售，经测算：用2辆A型车和1辆B型车载满石榴一次可运送100吨；用1辆A型车和2辆B型车载满石榴一次可运送80吨． (1)1辆A型车和1辆B型车都载满石榴一次可分别运送多少吨？ (2)已知这批优质石榴共500吨，计划同时租用A型车和B型车一次运送完．为确保运输效率与安全，要求所有车辆都载满石榴，且A型车数量不超过B型车数量的2倍，若1辆A型车租金1000元/次，1辆B型车租金600元/次，设A型车租用x辆，求租车费用W与x之间的函数关系式，并写出最少租车费用和费用最少时的租车方案． 【答案】(1)1辆A型车载满一次可运送40吨，1辆B型车载满一次可运送20吨 (2)函数关系式为 （为满足的整数），最少租车费用为13000元，费用最少的租车方案为：租用A型车10辆，B型车5辆 【分析】（1）设1辆A型车载满一次可运送a吨，1辆B型车载满一次可运送b吨，依题意列出二元一次方程组，求出a，b的值即可； （2）由题意，得到，求出，且x为整数，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满一次可运送a吨，1辆B型车载满一次可运送b吨，依题意，得 ， 解得， 答：1辆A型车载满一次可运送40吨，1辆B型车载满一次可运送20吨． （2）解：由题意，得 ， ∵，且x为整数， ∴，且x为整数， 由，得W随着x的增大而减小， ∴当时，W取得最小值，为（元）， 此时B型车的数量为（辆）． 答：函数关系式为 （为满足的整数），最少租车费用为13000元，费用最少的租车方案为：租用A型车10辆，B型车5辆． 分式方程与不等式（组）综合应用 考点07 1．（2026·山东菏泽·二模）智能机器人产业发展迅猛，某公司研制出A、B两种搬运机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同．则A型机器人每小时搬运的材料为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“时间相等”建立等量关系，利用公式“时间=搬运总重量÷每小时搬运重量”列方程求解即可． 【详解】解：设A型机器人每小时搬运材料，则B型机器人每小时搬运材料，根据题意得， ， 解得， 检验：当时，，故是原方程的解， 即A型机器人每小时搬运材料． 2．（2026·山东济南·二模）为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：A型深海网箱与B型水下机器人．已知用180万元购买A型网箱的数量与用300万元购买B型机器人的数量相等，且B型机器人的单价比A型网箱的单价多40万元． (1)求A型网箱和B型机器人的单价； (2)若该海域计划共采购A，B两种单元共20个（两种单元均需采购），且采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的，则采购A单元多少个时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1)A型网箱的单价是60万元，B型机器人的单价是100万元 (2)采购A网箱15个投资总额最少，最少投资总额为1400万元 【分析】（1）先设A型网箱单价，结合价格差表示出B型机器人单价，依据花费金额÷单价=数量，利用两种器材购买数量相等列出分式方程，解方程并检验，求出两种器材单价即可． （2）先设购进A型网箱数量，表示出B型数量，根据数量之间不等关系列出一元一次不等式，求出自变量取值范围；再根据总价公式列出总投资的一次函数关系式，利用一次函数增减性，确定自变量取值，求出最少投资金额． 【详解】（1）解：设型网箱的单价是万元，则型机器人的单价是万元 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的根，且符合题意， ， 答：型网箱的单价是60万元，型机器人的单价是100万元． （2）设购买型网箱个，则购买型机器人个， ∵两种单元均需采购， ∴且， 故m的取值范围为的整数， ∵采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的， ∴， 解得：， 综上m的取值范围为的整数， 设投资总额为万元， 由题意得： ， ， 随的增大而减小， ∵m为正整数， ∴当，有最小值， 此时（万元）， 答：采购网箱15个时总投资总额最少，最少投资总额为1400万元． 3．（2026·山东济南·二模）2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍． (1)求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1)一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元 (2)购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元 【分析】（1）设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元，根据“花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍”列分式方程求解即可； （2）设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元，先求出a的取值范围，再求出的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：购买一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元； （2）解：设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元， 根据题意，得：， 解得，， ， ， 随的增大而减小， ∵，a为整数， 当时，取得最小值， 此时（万元）， 答：购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元． 4．（2026·山东聊城·二模）2026年是全民体重管理提升行动收官之年，某社区服务中心为推进全民健身，计划采购、两款智能体重管理健身设备，满足居民科学健身需求．已知款设备单价比款设备单价便宜240元，用48000元购买款设备的数量与用54000元购买款设备的数量相同． (1)求、两款健身设备的单价分别为多少元？ (2)该社区计划采购、两款设备共25台，要求款设备采购数量不超过款设备数量的2倍．请问采购款健身设备多少台时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】(1)款健身设备的单价为1920元，款健身设备的单价为2160元 (2)采购款健身设备16台时费用最低，最低50160元 【分析】（1）设款健身设备的单价为元，则款健身设备的单价为元，根据题意列出分式方程求解； （2）设采购款健身设备台，总费用元，根据题意列出不等式求出且为整数，然后表示出，利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设款健身设备的单价为元，则款健身设备的单价为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程解并符合题意． ， 答：款健身设备的单价为1920元，款健身设备的单价为2160元； （2）解：设采购款健身设备台，总费用元． 根据题意得，， 解得：且为整数． ， ， 随增大而减小， 当时，． 答：采购款健身设备16台时费用最低，最低50160元． 5．（2026·山东济南·二模）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，购买多少个篮球时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元 (2)当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低，为11040元 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； （2）解：设购买篮球a个，总费用为y元， 由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且a为整数， ∵，， ∴y随a增大而增大， ∴当时，y有最小值， 此时，元， 答：当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低，为11040元． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $