第04课 连续求一个数的几分之几是多少（导学案）新六年级数学暑假自学课（青岛版·新教材）

第04课 连续求一个数的几分之几是多少 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标 理解连续求一个数的几分之几是多少的实际意义，掌握这类问题的解题思路，明白题目中存在两个不同的单位“1”。 学会用双层线段图分析两步分数乘法应用题的数量关系，能分别用分步算式、综合分数连乘算式两种方式解题。 熟练掌握分数连乘的简便计算方法，养成先整体约分再计算的习惯，能准确解决生活中连续求分率的实际问题，规范答题并完成验算。 2、重难点 重点：掌握连续求一个数的几分之几是多少的解题方法，会列分数连乘综合算式解题，牢记两步乘法的解题逻辑。 难点：找准题目中先后两个不同的单位“1”，理清两个分率分别对应的标准量，区分前后两次对比的基准，避免混淆单位“1”。 模块二 预习引导 一、题型含义与核心算理 连续求一个数的几分之几是多少，属于两步分数乘法实际问题，是上一课一步分数乘法应用题的延伸。题目会连续给出两个分率，需要先后两次求一个数的几分之几，全程已知单位“1”，因此全程用乘法计算。 这类题目最大特点：含有两个不一样的单位“1”，第一个单位“1”是题目给出的原始总量，第二个单位“1”是第一步求出的中间量。 通用数量关系式：原始总量 × 第一个分率 × 第二个分率 = 最终所求数量 二、两种解题方法（课本要求全部掌握） 方法一：分步列式（适合基础薄弱，清晰看懂每一步含义） 第一步：找准第一个单位“1”，求出中间过渡量； 第二步：以上一步求出的中间量作为第二个单位“1”，求出最终结果。 方法二：综合连乘列式（做题首选，计算更简便） 直接用原始总量连续乘两个对应分率，列式一步到位，计算时可以把所有分子、分母放在一起一次性交叉约分，简化计算步骤。 三、双线线段图画图方法（本课必考画图题型） 区别于上一课单线线段图，连续求几分之几需要画双层线段图，画图步骤如下： 第层线段：画出整条线段，表示第一个单位“1”（原始总量），按照第一个分率平均分线段； 第二层线段：在第一步分出的部分线段基础上，再按照第二个分率再次平均分，标注出最终要求的部分； 举例：果园有60棵苹果树，梨树棵数是苹果树的，桃树棵数是梨树的，求桃树有多少棵？ 分步算式：60×=50（棵），50×=30（棵） 综合算式：60××=30（棵） 四、标准解题四步骤 找双单位1：先后圈出题目中两个不同的单位“1”，标注先后顺序； 辨分率含义：明确每一个分率分别对应哪一个单位“1”； 列对应算式：可分步计算，也可直接列分数连乘算式； 巧约分计算：分数连乘优先整体约分，最后算出最简结果。 五、高频易错点提醒 易错1：混淆两个单位“1”，把第二个分率依旧对应原始总量，这是本课最常见错误； 易错2：分数连乘计算时只两两约分，不会整体一次性约分，计算量大且容易出错； 易错3：分不清一步乘法和连续两步乘法，看到两个分率就盲目相加或相减，混淆分数加减法和分数乘法应用题。 六、应用题验算方法 逆向分步验算：用最终结果先除以第二个分率，算出中间量；再用中间量除以第一个分率，看结果是否等于题目最开始的原始总量，数值一致则解题正确。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．如图：，正确列式是（    ）。 A． B． C． D． 2．明明一家准备今年春节去广西北海旅游，爸爸计划筹备6300元的旅游费用。其中，爸爸承担总费用的，明明用压岁钱承担的费用是爸爸的，妹妹承担的是明明的，其余的由妈妈承担。请你算一算，妹妹应承担（    ）元。 A．105 B．210 C．525 D．700 3．根据下图，红红列出了算式48××，她想用这个算式解决的问题是（    ）人数。 A．航模社团 B．编程社团 C．天文社团 D．编程和天文社团一共 4．一堆沙子重45吨，第一次运走了总数的，第二次运走了第一次的，第二次运走了（    ）。 A．15吨 B．75吨 C．9吨 D．27吨 5．一个温室大棚的面积是480平方米，其中一半种各种蔬菜，菠菜地的面积占蔬菜地的，菠菜地有（    ）平方米。 A．40 B．60 C．80 D．100 6．《庄子·天下》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思就是：一根一尺长的木棍，今天取它的一半，即，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……这样取下去，永远也取不完。照这样推算，第四天截取的长度占最初木棒长度的（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 7．鹅的孵化期是30天，鸡的孵化期是鹅的，家鸽的孵化期是鸡的，家鸽的孵化期是( )天。 8．一本故事书共120页，小明第一天看了全书的，第二天看了第一天的。小明第二天看了________页。 9．如果蓝鲸的寿命是80年，鲨鱼的寿命是蓝鲸的，海豚的寿命是鲨鱼的，那么海豚的寿命是( )年。 10．受空气阻力等因素的影响，乒乓球从一定高度自由落下，弹起的高度约是落下高度的。如果一个乒乓球从90厘米高的地方自由落下，第二次弹起的高度是( )厘米。 11．小明看一本120页的书，第一天看了全书的，第二天看了第一天的。第3天应该从( )页开始看。 12．学校购来800本课外读物，把其中的分给六年级学生；其中六一班分得，六一班分得课外读物( )本。 13．一根15.6米长的绳子，第一次被用掉全长的，第二次用掉的长度是第一次的，用了两次之后，这根绳子还剩( )米。 14．跳绳队进行训练，小丽一分钟跳了200下，小明一分钟跳的数量是小丽的，小林跳的数量是小明的，小林一分钟跳了( )下。 三、计算题 15．看图列式计算。 16．看图列综合算式并计算。 四、解答题 17．“传播安全文化，宣传安全知识”学校举办安全知识竞赛，获得三等奖的有42人，获得二等奖的是获得三等奖的。获得一等奖的人数是获得二等奖的，获得一等奖的有多少人？ 18．读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气。淘气最近在看《红星照耀中国》，这本书共450页，他第一天看了全书的，第二天看了第一天的，第二天看了多少页？ 19．灰汤华天酒店食堂有大米4.8吨，第一天用了，第二天用的是第一天的，第二天用了多少吨？ 20．有一块园林的面积是平方米，其中果园的面积占园林的，草莓地面积占果园的，草莓地面积有多少平方米？画图表示解决问题的过程。 21．新雅小区新建一批楼房，其中两居室有240套，三居室的套数是两居室的，一居室的套数是三居室的，新雅小区一居室有多少套？ 22．节约用水，从点滴做起。月如家一季度用水120吨，计划二季度的用水量是一季度的。实际上，二季度的用水量比原计划节约。求月如家二季度实际用水多少吨？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04课 连续求一个数的几分之几是多少 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标 理解连续求一个数的几分之几是多少的实际意义，掌握这类问题的解题思路，明白题目中存在两个不同的单位“1”。 学会用双层线段图分析两步分数乘法应用题的数量关系，能分别用分步算式、综合分数连乘算式两种方式解题。 熟练掌握分数连乘的简便计算方法，养成先整体约分再计算的习惯，能准确解决生活中连续求分率的实际问题，规范答题并完成验算。 2、重难点 重点：掌握连续求一个数的几分之几是多少的解题方法，会列分数连乘综合算式解题，牢记两步乘法的解题逻辑。 难点：找准题目中先后两个不同的单位“1”，理清两个分率分别对应的标准量，区分前后两次对比的基准，避免混淆单位“1”。 模块二 预习引导 一、题型含义与核心算理 连续求一个数的几分之几是多少，属于两步分数乘法实际问题，是上一课一步分数乘法应用题的延伸。题目会连续给出两个分率，需要先后两次求一个数的几分之几，全程已知单位“1”，因此全程用乘法计算。 这类题目最大特点：含有两个不一样的单位“1”，第一个单位“1”是题目给出的原始总量，第二个单位“1”是第一步求出的中间量。 通用数量关系式：原始总量 × 第一个分率 × 第二个分率 = 最终所求数量 二、两种解题方法（课本要求全部掌握） 方法一：分步列式（适合基础薄弱，清晰看懂每一步含义） 第一步：找准第一个单位“1”，求出中间过渡量； 第二步：以上一步求出的中间量作为第二个单位“1”，求出最终结果。 方法二：综合连乘列式（做题首选，计算更简便） 直接用原始总量连续乘两个对应分率，列式一步到位，计算时可以把所有分子、分母放在一起一次性交叉约分，简化计算步骤。 三、双线线段图画图方法（本课必考画图题型） 区别于上一课单线线段图，连续求几分之几需要画双层线段图，画图步骤如下： 第层线段：画出整条线段，表示第一个单位“1”（原始总量），按照第一个分率平均分线段； 第二层线段：在第一步分出的部分线段基础上，再按照第二个分率再次平均分，标注出最终要求的部分； 举例：果园有60棵苹果树，梨树棵数是苹果树的，桃树棵数是梨树的，求桃树有多少棵？ 分步算式：60×=50（棵），50×=30（棵） 综合算式：60××=30（棵） 四、标准解题四步骤 找双单位1：先后圈出题目中两个不同的单位“1”，标注先后顺序； 辨分率含义：明确每一个分率分别对应哪一个单位“1”； 列对应算式：可分步计算，也可直接列分数连乘算式； 巧约分计算：分数连乘优先整体约分，最后算出最简结果。 五、高频易错点提醒 易错1：混淆两个单位“1”，把第二个分率依旧对应原始总量，这是本课最常见错误； 易错2：分数连乘计算时只两两约分，不会整体一次性约分，计算量大且容易出错； 易错3：分不清一步乘法和连续两步乘法，看到两个分率就盲目相加或相减，混淆分数加减法和分数乘法应用题。 六、应用题验算方法 逆向分步验算：用最终结果先除以第二个分率，算出中间量；再用中间量除以第一个分率，看结果是否等于题目最开始的原始总量，数值一致则解题正确。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．如图：，正确列式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】这里先把科技书的数量看作单位“1”。由图可以看出科技书有125本，把科技书平均分成5份，故事书占4份，所以故事书是科技书的，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法”，即用科技书的数量×，求出故事书的数量，列式为125×；再把故事书的数量看作单位“1”，把故事书平均分成2份，文艺书占1份，所以文艺书是故事书的，求文艺书的数量，用故事书的数量×，得到文艺书的数量，列式为125××。 【详解】根据线段图，可以看出故事书是科技书的，文艺书是故事书的，科技书有125本，求文艺书的数量。需要先以科技书为单位“1”算出故事书数量，再以故事书为单位“1”算出文艺书数量，对应列式为125××。 故答案为：A 2．明明一家准备今年春节去广西北海旅游，爸爸计划筹备6300元的旅游费用。其中，爸爸承担总费用的，明明用压岁钱承担的费用是爸爸的，妹妹承担的是明明的，其余的由妈妈承担。请你算一算，妹妹应承担（    ）元。 A．105 B．210 C．525 D．700 【答案】B 【分析】将总费用看作单位“1”，总费用×爸爸的对应分率＝爸爸承担的费用；将爸爸承担的费用看作单位“1”，爸爸承担的费用×明明的对应分率＝明明承担的费用；再将明明承担的费用看作单位“1”，明明承担的费用×妹妹对应分率＝妹妹承担的费用。 【详解】6300××× ＝4725×× ＝525× ＝210（元） 妹妹应承担210元。 故答案为：B 3．根据下图，红红列出了算式48××，她想用这个算式解决的问题是（    ）人数。 A．航模社团 B．编程社团 C．天文社团 D．编程和天文社团一共 【答案】C 【分析】观察可知，把参加航模社团的人数看作单位“1”，参加编程社团的人数是参加航模社团人数的，把参加编程社团的人数看作单位“1”，参加天文社团的人数是参加编程社团人数的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算可知，48×表示的是参加编程社团的人数，再乘，表示的是参加天文社团的人数。据此解答。 【详解】48×表示的是参加编程社团的人数，再乘，表示的是参加天文社团的人数。 故答案为：C 4．一堆沙子重45吨，第一次运走了总数的，第二次运走了第一次的，第二次运走了（    ）。 A．15吨 B．75吨 C．9吨 D．27吨 【答案】C 【分析】根据部分量＝总量×对应分率，求出第一次运走的吨数，再根据部分量＝总量×对应分率求出第二次运走的吨数即可解答。第一次的总量是这堆沙子的吨数，第二次的总量是第一次运走的沙子的吨数。 【详解】45 ＝27 ＝9（吨） 第二次运走了9吨。 故答案为：C 5．一个温室大棚的面积是480平方米，其中一半种各种蔬菜，菠菜地的面积占蔬菜地的，菠菜地有（    ）平方米。 A．40 B．60 C．80 D．100 【答案】A 【分析】先用温室大棚的面积乘，就是蔬菜地的面积；再用蔬菜地的面积乘，就是菠菜地的面积，据此解答。 【详解】480×× ＝240× ＝40（平方米） 菠菜地有40平方米。 故答案为：A 6．《庄子·天下》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思就是：一根一尺长的木棍，今天取它的一半，即，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……这样取下去，永远也取不完。照这样推算，第四天截取的长度占最初木棒长度的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原长1尺看作单位“1”，第一天取它的一半为：1×＝（尺），取走一半剩下一半，则取走的长度和剩下的长度是一样的，则第一天剩下的长度是尺；第二天取第一天剩下长度的一半，把第一天剩下的尺当作单位“1”，则第二天取的长度为：×＝（尺）；第三天取第二天剩下长度的一半，第二天剩下的长度是尺，以第二天剩下的尺为单位“1”，则第三天取的长度为：×＝（尺）；第四天取第三天剩下长度的一半，第三天剩下的长度是尺，所以第四天取的长度为：×＝（尺）。用尺除以1尺，即可求出第四天截取的长度占最初木棒长度的几分之几。 求一个数的几分之几是多少，用乘法计算； 求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。 【详解】1×＝（尺） ×＝（尺） ×＝（尺） ×＝（尺） ÷1＝ 即第四天截取的长度占最初木棒长度的。 故答案为：D 二、填空题 7．鹅的孵化期是30天，鸡的孵化期是鹅的，家鸽的孵化期是鸡的，家鸽的孵化期是( )天。 【答案】14 【分析】已知鸡的孵化期是鹅的，把鹅的孵化期看作单位“1”，单位“1”已知，用鹅的孵化期乘，求出鸡的孵化期； 已知家鸽的孵化期是鸡的，把鸡的孵化期看作单位“1”，单位“1”已知，用鸡的孵化期乘，求出家鸽的孵化期。 【详解】30×× ＝21× ＝14（天） 8．一本故事书共120页，小明第一天看了全书的，第二天看了第一天的。小明第二天看了________页。 【答案】30 【分析】小明第一天看了全书的，用全书的页数120页乘可得第一天看的页数，第二天看了第一天的，用第一天看的页数乘可得第二天看的页数。 【详解】 ＝30（页） 小明第二天看了30页。 9．如果蓝鲸的寿命是80年，鲨鱼的寿命是蓝鲸的，海豚的寿命是鲨鱼的，那么海豚的寿命是( )年。 【答案】45 【分析】把蓝鲸的寿命看作单位“1”，鲨鱼的寿命是蓝鲸的，鲨鱼的寿命＝蓝鲸的寿命×，再把鲨鱼的寿命看作单位“1”，海豚的寿命是鲨鱼的，海豚的寿命＝鲨鱼的寿命×，则海豚的寿命＝蓝鲸的寿命××。 【详解】80×× ＝70× ＝45（年） 10．受空气阻力等因素的影响，乒乓球从一定高度自由落下，弹起的高度约是落下高度的。如果一个乒乓球从90厘米高的地方自由落下，第二次弹起的高度是( )厘米。 【答案】40 【分析】将开始落下的高度看作单位“1”，开始落下的高度×弹起的高度对应分率＝弹起的高度；再将弹起的高度看作单位“1”，弹起的高度×第二次弹起对应分率＝第二次弹起的高度。 【详解】90×× ＝60× ＝40（厘米） 第二次弹起的高度是40厘米。 11．小明看一本120页的书，第一天看了全书的，第二天看了第一天的。第3天应该从( )页开始看。 【答案】41 【分析】第一天看了全书的，单位“1”是全书的页数，即120页的，单位“1”已知，用乘法；第二天看了第一天的，把第一天看的页数看作单位“1”，即第一天看的页数的，单位“1”已知，用乘法。求出前两天总页数后，第三天应从下一页开始，即两天看的页数之和加1。 【详解】120×＋120××＋1 ＝30＋10＋1 ＝41（页） 小明看一本120页的书，第一天看了全书的，第二天看了第一天的。第3天应该从41页开始看。 12．学校购来800本课外读物，把其中的分给六年级学生；其中六一班分得，六一班分得课外读物( )本。 【答案】40 【分析】把学校购来课外读物的总本数看作单位“1”，六年级学生分得其中的，单位“1”已知，用总本数乘，求出六年级分得的本数； 已知其中六一班分得，把六年级分得的本数看作单位“1”，单位“1”已知，用六年级分得的本数乘，求出六一班分得的本数。 【详解】800×× ＝200× ＝40（本） 六一班分得课外读物40本。 13．一根15.6米长的绳子，第一次被用掉全长的，第二次用掉的长度是第一次的，用了两次之后，这根绳子还剩( )米。 【答案】7.8// 【分析】将绳子长度看作单位“1”，绳子长度×第一次用掉的对应分率＝第一次用掉的长度；再将第一次用掉的长度看作单位“1”，第一次用掉的长度×第二次用掉的对应分率＝第二次用掉的长度，绳子长度－第一次用掉的长度－第二次用掉的长度＝还剩下的长度，据此列式计算。 【详解】15.6×＝5.2（米） 5.2×＝2.6（米） 15.6－5.2－2.6＝7.8（米） 这根绳子还剩7.8米。 14．跳绳队进行训练，小丽一分钟跳了200下，小明一分钟跳的数量是小丽的，小林跳的数量是小明的，小林一分钟跳了( )下。 【答案】210 【分析】将小丽跳的下数看作单位“1”，小丽跳的下数×小明对应分率＝小明跳的下数；再将小明跳的下数看作单位“1”，小明跳的下数×小林对应分率＝小林跳的下数，据此列式计算。 【详解】200×× ＝240× ＝210（下） 小林一分钟跳了210下。 三、计算题 15．看图列式计算。 【答案】60××＝35（棵） 【分析】将杨树棵数看作单位“1”，柳树棵数是杨树的，杨树棵数×柳树对应分率＝柳树棵数；再将柳树棵数看作单位“1”，榆树棵数是柳树的，柳树棵数×榆树对应分率＝榆树棵数。 【详解】60×× ＝45× ＝35（棵） 16．看图列综合算式并计算。 【答案】18××＝4（人） 【分析】观察图形可知，六年级有18人，把六年级的人数看作单位“1”，六（1）班人数是六年级人数的，六（2）班的人数是六（1）班的，根据连续求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，列式为18××。 【详解】18×× ＝10× ＝4（人） 六年级（2）班有4人。 四、解答题 17．“传播安全文化，宣传安全知识”学校举办安全知识竞赛，获得三等奖的有42人，获得二等奖的是获得三等奖的。获得一等奖的人数是获得二等奖的，获得一等奖的有多少人？ 【答案】3人 【分析】首先把获得三等奖的人数看作单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，用三等奖人数乘求出二等奖人数；然后把获得二等奖的人数看作单位“1”，再用二等奖人数乘即可求出一等奖人数。 【详解】 （人） 答：获得一等奖的有3人。 18．读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气。淘气最近在看《红星照耀中国》，这本书共450页，他第一天看了全书的，第二天看了第一天的，第二天看了多少页？ 【答案】60页 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，用总页数乘求出第一天看的页数；再把第一天看的页数看作单位“1”，用第一天看的页数乘即可求出第二天看的页数。 【详解】 （页） 答：第二天看了60页。 19．灰汤华天酒店食堂有大米4.8吨，第一天用了，第二天用的是第一天的，第二天用了多少吨？ 【答案】吨 【分析】把大米的总质量看作单位“1”，第一天用了，第一天用的大米质量＝大米的总质量×，第二天用的是第一天的，第二天用的大米质量＝第一天用的大米质量×，据此解答。 【详解】4.8×× ＝1× ＝（吨） 答：第二天用了吨。 20．有一块园林的面积是平方米，其中果园的面积占园林的，草莓地面积占果园的，草莓地面积有多少平方米？画图表示解决问题的过程。 【答案】600平方米，画图见详解 【分析】将给出的长方形平均分成4份，则其中的3份即可表示果园的面积，再将果园的面积平均分成3份，其中的2份即可表示草莓地的面积； 求一个数的几分之几的问题可以用乘法解决，用果园的总面积1200乘果园面积占比即可求出果园的面积； 用求出的园林的面积乘草莓地的面积占比即可求出草莓地面积。 【详解】 （平方米） 答：草莓地面积有600平方米。 21．新雅小区新建一批楼房，其中两居室有240套，三居室的套数是两居室的，一居室的套数是三居室的，新雅小区一居室有多少套？ 【答案】64套 【分析】先把两居室楼房的套数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，用240×列式求出三居室的套数，再把三居室的套数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，用三居室的套数乘即可求出新雅小区一居室有多少套。 【详解】240×× ＝96× ＝64（套） 答：新雅小区一居室有64套。 22．节约用水，从点滴做起。月如家一季度用水120吨，计划二季度的用水量是一季度的。实际上，二季度的用水量比原计划节约。求月如家二季度实际用水多少吨？ 【答案】99吨 【分析】将一季度用水量看作单位“1”，一季度用水量×计划二季度用水量的对应分率＝计划二季度的用水量；再将计划二季度的用水量看作单位“1”，计划二季度的用水量×二季度实际用水量的对应分率＝二季度实际用水量。 【详解】120××（1－） ＝108× ＝99（吨） 答：月如家二季度实际用水99吨。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $