第11课 比的基本性质及应用（导学案）新六年级数学暑假自学课（青岛版·新教材）

第11课 比的基本性质及应用 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 理解并掌握比的基本性质，能依据比的基本性质正确化简整数比、小数比、分数比。 能够清晰区分化简比和求比值，会利用比的基本性质解决简单的实际问题。 2、重难点。 重点：掌握比的基本性质，熟练掌握三类不同比的化简方法。 难点：区分化简比和求比值的不同结果形式，灵活化简各类复杂的比。 模块二 预习引导 一、比的基本性质 1、性质内容： 比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变。 2、算理理解： 比的基本性质和商不变的性质、分数的基本性质本质相通，三者规律一致，都是同时乘除同一个非0数，结果大小保持不变，可结合旧知快速理解记忆。 二、三类比的化简方法 1、整数比化简：前项和后项同时除以它们的最大公因数，直到前后项只有公因数1，得到最简整数比。 2、小数比化简：先把前项和后项同时乘10、100……转化为整数比，再按照整数比的方法继续化简。 3、分数比化简：前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，去掉分母变成整数比，再化简为最简整数比。 三、化简比和求比值的区别 化简比最终结果是一个最简整数比，依旧保留比号形式；求比值最终结果是一个具体的数，可以是整数、小数或分数，没有比号。做题时一定要看清题目要求，避免答题格式出错。 四、本课验算方法 利用比值不变进行验算：分别算出原比和化简后比的比值，若两个比值相等，说明化简结果正确；也可以把最简比逆向还原，核对是否和原式一致。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．把5克盐溶入100克水中，盐与盐水的比是（    ）。 A．1∶19 B．1∶20 C．1∶21 D．21∶1 【答案】C 【分析】盐水的质量＝盐的质量＋水的质量，根据比的意义，写出盐和盐水的比，依据比的基本性质化简比。 【详解】5∶（5＋100） ＝5∶105 ＝（5÷5）∶（105÷5） ＝1∶21 盐与盐水的比是1∶21。 2．在6∶7中，如果前项加6，要使比值不变，后项应该（    ）。 A．加6 B．乘6 C．加7 D．乘7 【答案】C 【分析】求后项，运用比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的不为0的数，比值不变。 【详解】原比是6∶7，前项加6后，新的前项为6＋6＝12； 前项扩大为原来的2倍； 根据比的基本性质，后项也需要扩大为原来的2倍，新的后项为7×2＝14； 14－7＝7； 因此后项应该加7，或乘2。 3．甲班人数的调到丙班后，与乙班人数相等，则原来甲乙两班人数比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将甲班人数看作单位“1”，那么乙班人数是甲班的，根据比的意义写出甲乙两班人数对应分率的比，再根据比的基本性质化成最简整数比。 【详解】 所以原来甲乙两班人数比是7∶6。 4．，，a，b，c三数的大小关系是（    ）。 A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 两个比中都含有b，可以利用比的基本性质，将b对应的份数统一为它们的最小公倍数，从而得到a、b、c的比，进而比较三个数的大小。 【详解】a∶b＝3∶4＝9∶12，b∶c＝3∶2＝12∶8，所以a∶b∶c＝9∶12∶8。 即b＞a＞c。 5．人的头发的寿命约是3年，睫毛的寿命约为4个月，头发与睫毛的寿命比是（    ）。 A．4∶3 B．3∶4 C．9∶1 D．1∶9 【答案】C 【分析】根据题意，首先需要统一单位，1年＝12个月，所以3年换算成月是3×12，再用头发的寿命月数比睫毛的寿命月数，再根据比的基本性质化简比，据此解答。 【详解】统一单位：3年＝3×12＝36个月 36∶4＝（36÷4）∶（4÷4）＝9∶1 故答案为：C 6．中国结是中国传统文化的象征，代表着团结、幸福、平安。美术课上同学们编织中国结，要求流苏和结体的长度比是3∶2。选项中的四个比表示四个中国结的流苏和结体的比，不符合要求的是（    ）。 A． B．5.4dm∶3.6dm C．1.8dm∶1.2dm D．1.2dm∶8dm 【答案】D 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此化简各个选项的比，进而解答。 【详解】A．1dm∶dm ＝1∶ ＝（1×3）∶（×3） ＝3∶2 1dm∶dm符合要求。 B．5.4dm∶3.6dm ＝5.4∶3.6 ＝（5.4×10）∶（3.6×10） ＝54∶36 ＝（54÷18）∶（36÷18） ＝3∶2 5.4dm∶3.6dm符合要求。 C．1.8dm∶1.2dm ＝1.8∶1.2 ＝（1.8×10）∶（1.2×10） ＝18∶12 ＝（18÷6）∶（12÷6） ＝3∶2 1.8dm∶1.2dm符合要求。 D．1.2dm∶8dm ＝1.2∶8 ＝（1.2×10）∶（8×10） ＝12∶80 ＝（12÷4）∶（80÷4） ＝3∶20 1.2dm∶8dm不符合要求。 中国结的流苏和结体的比，不符合要求的是1.2dm∶8dm。 故答案为：D 二、填空题 7．1.75∶化简成最简整数比是( )，比值是( )。 【答案】 2∶1 2 【分析】化简比根据比的基本性质，求比值直接用前项÷后项即可。 【详解】＝0.875 1.75∶0.875＝（1.75×1000）∶（0.875×1000）＝1750∶875＝（1750÷875）∶（875÷875）＝2∶1 比值：2÷1＝2 1.75∶化简成最简整数比是2∶1，比值是2。 8．小时∶40分钟的最简整数比是( )，比值是( )。 【答案】 3∶4 /0.75 【分析】不同单位比需要先统一单位，再将前后项同时除以最大公因数得到最简整数比，最后用化简后比的前项除以比的后项得到比值。 【详解】1小时＝60分钟，因此小时＝30分钟 30分钟：40分钟 ＝（30÷10）：（40÷10） ＝3：4 3÷4＝＝0.75 9．（    ）（    ）（    ）（填小数）。 【答案】3；21；8；1.5 【分析】先算出是多少，再根据分数的基本性质、比的基本性质，分数与除法的关系得到答案。 【详解】 10．甲数的等于乙数的（甲数和乙数都不为0），那么甲数和乙数的比是( )。 【答案】4∶5 【分析】将甲数的等于乙数的转换为等积式：甲数×＝乙数×，假设等积式的结果为1，根据已知一个数的几分之几是多少，用除法，用1除以分率求出甲和乙，再根据比的意义（两个数相除又叫两个数的比）写出甲和乙的比，并利用比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变）进行化简。 【详解】根据题意：甲数×＝乙数×。假设这个等积式结果为1。 则： 甲： 乙： 甲数和乙数的比是。 11．1990至2023年末，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值由1.74万亿增72.4倍至126.06万亿。1990年和2023年国内生产总值的比是( )。 【答案】 【分析】两个数相除，又叫两个数的比；比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变，这叫做比的基本性质，利用比的基本性质化简比。先写出1990年和2023年国内生产总值的比为1.74∶126.06，再化简。 【详解】 12．“驴打滚”是我国传统特色小吃，一直深受人们的喜爱。张师傅在制作“驴打滚”时，每1.4千克黄豆面需要加入3.5千克糯米团，则黄豆面与糯米团的质量比是( )，比值是( )。 【答案】 2∶5 【分析】先根据题目给出的黄豆面和糯米团的质量，写出对应的质量比1.4∶3.5，再根据比的基本性质，将比的前项和后项同时乘10，化为整数比；再将比的前项和后项同时除以7，化为最简比；最后用最简比的前项除以后项，得到比值。 【详解】质量比：1.4∶3.5 ＝（1.4×10）∶（3.5×10） ＝14∶35 ＝（14÷7）∶（35÷7） ＝2∶5 比值：2÷5＝ 13．化成最简单的整数比是( )，比值是( )。如果的前项加上4.5，后项要加上( )才能使比值保持不变。 【答案】 6∶1 6 0.75/ 【分析】化简比根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；化简比直接用最简比的前项÷后项即可。最后一空，的前项加上4.5，根据比的基本性质先确定前项相当于乘几，后项也乘相同的数，再减去原来的后项就是后项要加上的数。 【详解】3∶0.5＝30∶5＝（30÷5）∶（5÷5）＝6∶1＝6÷1＝6 （3＋4.5）÷3 ＝7.5÷3 ＝2.5 0.5×2.5－0.5 ＝1.25－0.5 ＝0.75 化成最简单的整数比是6∶1，比值是6。如果的前项加上4.5，后项要加上0.75才能使比值保持不变。 14．柳老师一家自驾从金华到四川旅游，3小时行了270千米，汽车行驶的路程和时间的最简整数比是( )，比值是( )，这个比值表示( )。 【答案】 90∶1 90 汽车的速度 【分析】根据比的意义，用行驶的路程∶行驶的时间，即用270∶3再根据比的基本性质化简即可；比值是前项除以后项；据此求出比值；根据速度＝路程÷时间，比值表示的是汽车的速度，据此解答。 【详解】270∶3 ＝（270÷3）∶（3÷3） ＝90∶1 90∶1 ＝90÷1 ＝90 比值表示汽车的速度。 柳老师一家自驾从金华到四川旅游，3小时行了270千米，汽车行驶的路程和时间的最简整数比是90∶1，比值是90，这个比值表示汽车的速度。 三、计算题 15．化成最简整数比。 （1）    （2）    （3） 【答案】 （1）4∶5；（2）5∶6；（3）1∶15 【分析】根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变）化简。 【详解】（1） （2） （3） 16．化简比。 24∶32   1∶0.75   15∶     ∶    ∶2.8  ∶ 【答案】3∶4；4∶3；20∶1；4∶5；5∶6；7∶10； 【分析】（1）根据比的基本性质，把比的前项和后项同时除以8即可解答； （2）比的前项和后项同时乘4即可解答； （3）比的前项和后项同时乘即可化成最简比； （4）比的前项和后项同时乘12即可化成最简整数比； （5）比的前项和后项同时乘15即可化成最简整数比； （6）比的前项和后项同时乘35即可化成最简整数比。 【详解】； ； ； ； ； 四、解答题 17．在1分跳绳比赛中，小丽跳的个数比小兰多，小兰跳的个数比小云多，小丽、小兰、小云1分跳绳的个数比是多少？ 【答案】小丽、小兰、小云1分跳绳的个数比是121︰110︰100． 【分析】小兰跳的个数既跟小丽有关系，又跟小云有关系，把小兰跳的个数看作单位“1”，根据“小丽跳的个数比小兰多”得出小丽跳的个数是，根据“小兰跳的个数比小云多”得出小云跳的个数是，所以小丽、小兰、小云1分跳绳的个数比是，根据比的基本性质，三个数同时乘10与11的最小公倍数110，得出． 【详解】   答：小丽、小兰、小云1分跳绳的个数比是121︰110︰100． 18．饲养场养的鸡与鸭的只数比是9︰10，养的鸭与鹅的只数比是4︰3，饲养场养的鸡与鹅的只数比是多少？ 【答案】6︰5 【分析】已知饲养场养的鸡与鸭的只数比是9︰10，养的鸭与鹅的只数比是4︰3，根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变。据此解答即可。 【详解】9︰10＝18︰20 4︰3＝20︰15 鸡与鹅的只数比＝18︰15 ＝（18÷3）∶（15÷3） ＝6︰5 答：饲养场养的鸡与鹅的只数比是6︰5。 【点睛】本题考查比的基本性质，熟练运用比的基本性质是解题的关键。 19．一项工作甲单独做需6时完成，甲、乙合做需2时就可以完成，甲、乙两人的工作效率比是多少？ 【答案】   答：甲、乙两人的工作效率比是1︰2． 【详解】把这项工作总量看作单位“1”，甲的工作效率是，“甲、乙合做需2时就可以完成”说明甲、乙两人的工作效率和是，乙的工作效率，甲、乙两人工作效率比是． 20．有甲乙两个粮仓，如果甲粮仓运走存粮的三分之一，乙粮仓运走存粮的四分之三，那么两个粮仓剩下的粮食的质量相等，甲乙两个粮仓原有存粮的比是多少？ 【答案】3:8 【详解】略 21．王师傅3小时加工零件14个，李师傅4小时加工零件19个，王师傅和李师傅每时加工零件个数的最简整数比是多少？ 【答案】56:57 【详解】略 22．两块同样质量的铜锌合金，第一块合金中铜与锌的比是2︰5，第二块合金中铜与锌的比是1︰3．现将两块合金合成一块，求新合金中铜与锌的比． 【答案】15︰41 【详解】略 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11课 比的基本性质及应用 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 理解并掌握比的基本性质，能依据比的基本性质正确化简整数比、小数比、分数比。 能够清晰区分化简比和求比值，会利用比的基本性质解决简单的实际问题。 2、重难点。 重点：掌握比的基本性质，熟练掌握三类不同比的化简方法。 难点：区分化简比和求比值的不同结果形式，灵活化简各类复杂的比。 模块二 预习引导 一、比的基本性质 1、性质内容： 比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变。 2、算理理解： 比的基本性质和商不变的性质、分数的基本性质本质相通，三者规律一致，都是同时乘除同一个非0数，结果大小保持不变，可结合旧知快速理解记忆。 二、三类比的化简方法 1、整数比化简：前项和后项同时除以它们的最大公因数，直到前后项只有公因数1，得到最简整数比。 2、小数比化简：先把前项和后项同时乘10、100……转化为整数比，再按照整数比的方法继续化简。 3、分数比化简：前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，去掉分母变成整数比，再化简为最简整数比。 三、化简比和求比值的区别 化简比最终结果是一个最简整数比，依旧保留比号形式；求比值最终结果是一个具体的数，可以是整数、小数或分数，没有比号。做题时一定要看清题目要求，避免答题格式出错。 四、本课验算方法 利用比值不变进行验算：分别算出原比和化简后比的比值，若两个比值相等，说明化简结果正确；也可以把最简比逆向还原，核对是否和原式一致。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．把5克盐溶入100克水中，盐与盐水的比是（    ）。 A．1∶19 B．1∶20 C．1∶21 D．21∶1 2．在6∶7中，如果前项加6，要使比值不变，后项应该（    ）。 A．加6 B．乘6 C．加7 D．乘7 3．甲班人数的调到丙班后，与乙班人数相等，则原来甲乙两班人数比是（    ）。 A． B． C． D． 4．，，a，b，c三数的大小关系是（    ）。 A． B． C． D．无法确定 5．人的头发的寿命约是3年，睫毛的寿命约为4个月，头发与睫毛的寿命比是（    ）。 A．4∶3 B．3∶4 C．9∶1 D．1∶9 6．中国结是中国传统文化的象征，代表着团结、幸福、平安。美术课上同学们编织中国结，要求流苏和结体的长度比是3∶2。选项中的四个比表示四个中国结的流苏和结体的比，不符合要求的是（    ）。 A． B．5.4dm∶3.6dm C．1.8dm∶1.2dm D．1.2dm∶8dm 二、填空题 7．1.75∶化简成最简整数比是( )，比值是( )。 8．小时∶40分钟的最简整数比是( )，比值是( )。 9．（    ）（    ）（    ）（填小数）。 10．甲数的等于乙数的（甲数和乙数都不为0），那么甲数和乙数的比是( )。 11．1990至2023年末，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值由1.74万亿增72.4倍至126.06万亿。1990年和2023年国内生产总值的比是( )。 12．“驴打滚”是我国传统特色小吃，一直深受人们的喜爱。张师傅在制作“驴打滚”时，每1.4千克黄豆面需要加入3.5千克糯米团，则黄豆面与糯米团的质量比是( )，比值是( )。 13．化成最简单的整数比是( )，比值是( )。如果的前项加上4.5，后项要加上( )才能使比值保持不变。 14．柳老师一家自驾从金华到四川旅游，3小时行了270千米，汽车行驶的路程和时间的最简整数比是( )，比值是( )，这个比值表示( )。 三、计算题 15．化成最简整数比。 （1）    （2）    （3） 16．化简比。 24∶32   1∶0.75   15∶     ∶    ∶2.8  ∶ 四、解答题 17．在1分跳绳比赛中，小丽跳的个数比小兰多，小兰跳的个数比小云多，小丽、小兰、小云1分跳绳的个数比是多少？ 18．饲养场养的鸡与鸭的只数比是9︰10，养的鸭与鹅的只数比是4︰3，饲养场养的鸡与鹅的只数比是多少？ 19．一项工作甲单独做需6时完成，甲、乙合做需2时就可以完成，甲、乙两人的工作效率比是多少？ 20．有甲乙两个粮仓，如果甲粮仓运走存粮的三分之一，乙粮仓运走存粮的四分之三，那么两个粮仓剩下的粮食的质量相等，甲乙两个粮仓原有存粮的比是多少？ 21．王师傅3小时加工零件14个，李师傅4小时加工零件19个，王师傅和李师傅每时加工零件个数的最简整数比是多少？ 22．两块同样质量的铜锌合金，第一块合金中铜与锌的比是2︰5，第二块合金中铜与锌的比是1︰3．现将两块合金合成一块，求新合金中铜与锌的比． 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $