期末真题百练通关41大热考题型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦初中数学期末高频考点，以41类典型题型构建知识网络，覆盖统计与概率、代数运算、几何应用三大模块，通过真题训练强化数学思维与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计与概率|6题型20题|含统计图信息获取、频数频率计算、样本估计整体等|从基础数据处理到综合预测，培养数据意识与模型观念| |代数运算|25题型65题|涵盖分式运算与方程、因式分解应用、整式乘除等|按概念理解-运算技巧-实际应用递进，强化运算能力与推理意识| |几何应用|10题型20题|包括平行线性质判定、平移性质、角度计算等|从基本图形性质到综合证明，发展空间观念与几何直观|

期末真题百练通关（105题41大热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 从统计图中获取信息（共4小题） 题型二 根据数据描述求频数/频率（共2小题） 题型三 由样本估计整体（共2小题） 题型四 频率分布直方图（共3小题） 题型五 统计图综合（共3小题） 题型六 统计与预测（共3小题） 题型七 判断分式变形的正误（共4小题） 题型八 约分（共2小题） 题型九 分式的混合运算（共3小题） 题型十 分式加减的实际应用（共3小题） 题型十一 分式的化简求值问题（共3小题） 题型十二 解分式方程（共2小题） 题型十三 根据分式方程解的情况求参数（有解/无解/增根）（共3小题） 题型十四 根据分式方程解的情况求参数（正/负/整数解）（共3小题） 题型十五 实际问题与分式方程（共3小题） 题型十六 选用合适的方法分解因式（共2小题） 题型十七 因式分解在有理数简算中的应用（共2小题） 题型十八 因式分解的应用（整除问题）（共2小题） 题型十九 因式分解的应用（判断三角形形状）（共2小题） 题型二十 因式分解的应用（求代数式的值）（共2小题） 题型二十一 已知二元一次方程组的解求参数（共3小题） 题型二十二 已知二元一次方程组的解的情况求参数（共2小题） 题型二十三 同解问题（共2小题） 题型二十四 错解问题（共2小题） 题型二十五 二元一次方程组的特殊解法（共2小题） 题型二十六 实际问题与二元一次方程组（共3小题） 题型二十七 幂的混合运算（共3小题） 题型二十八 根据幂的混合运算结果求参数（共3小题） 题型二十九 利用整式相乘求参数的值（共3小题） 题型三十 已知多项式乘积不含某项求参数（共2小题） 题型三十一 求完全平方式中字母的系数（共2小题） 题型三十二 利用乘法公式进行计算（共2小题） 题型三十三 整式乘除的混合运算（共2小题） 题型三十四 与整式乘除有关的化简问题（共2小题） 题型三十五 利用科学记数法表示较小的数（共2小题） 题型三十六 几何问题中的角度计算（共2小题） 题型三十七 补全平行线的判定过程（共2小题） 题型三十八 利用平行线的性质求解（共3小题） 题型三十九 平行线的性质在实际生活的应用（共4小题） 题型四十平行线的判定与性质综合（共3小题） 题型四十一 利用平移的性质求解（共4小题） 题型一 从统计图中获取信息（共4小题） 1．（2026·广东深圳·模拟预测）为备战区级春季田径运动会，李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的5期集中训练．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图． 以下四个结论中错误的是（   ） A．5期“100米短跑”集训的时间共计是56天 B．第1~3期的测试中，李明始终比王华跑得快 C．在这5期集训期间，李明、王华两人在第2期的测试成绩最为接近 D．相邻两期的测试成绩作比较，李明在第3期的成绩较之他第2期进步最大 2．（25-26七年级下·山东聊城·阶段检测）体育老师对一班和二班学生参加体育兴趣小组的情况进行了统计（每人只能参加一个兴趣小组），并得到了如图所示的统计图，则下列说法一定正确的是（　　） A．一班和二班参加乒乓球兴趣小组的人数一样多 B．二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的 C．一班参加羽毛球兴趣小组的人数比二班参加羽毛球兴趣小组的人数多 D．二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多 3．（2026·浙江温州·模拟预测）相关部门对“十一”期间到杭州观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（   ） A．本次抽样调查的样本容量是750 B．本次抽样中选择公共交通出行的有375人 C．扇形统计图中，“其他”所对应的圆心角是 D．若“十一”期间到杭州观光的游客有5万人，则选择自驾出行的约有3万人 4．（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）下表记录了年我国新能源汽车销量，将此表的数据绘制成统计图，以下说法不正确的是（   ） 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 新能源汽车销量（万辆） 120.62 136.73 352.05 688.66 949.52 1286.60 A．绘制趋势图，以横坐标为年份，纵坐标为新能源汽车销量，能直观体现年份与销量的关联 B．绘制折线图，可以看出新能源汽车销量整体呈现上升的趋势 C．绘制条形图，各条形高度代表对应年份新能源汽车销量，能准确比较每年销量大小 D．根据数据表，可以确定2025年新能源汽车销量的准确数据 题型二 根据数据描述求频数/频率（共2小题） 5．（2026·浙江金华·二模）某商店一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表： 牙膏品牌 合计 售出支数 下列关于品牌牙膏销售量的说法中，错误的是（    ）． A．频数是 B．频率是 C．品牌的销售量占总销售量的 D．每卖出支牙膏，估计有支是品牌 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）某班40名同学参加了4月21日至5月10日期间，国家保密局和司法部举办的网络保密知识竞答活动，其中成绩不足70分出现的频率是0.25，成绩高于90分出现的频率是0.3，则成绩在之间（含70分和90分）的频数是（    ） A．0.45 B．16人 C．18人 D．20人 题型三 由样本估计整体（共2小题） 7．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）某地区七年级共有名男生．为了解这些男生的体重指数分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据，并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2500名男生中等级为正常的人数是________． 8．（25-26七年级下·重庆·期中）为了估计某湿地公园中某种候鸟的种群数量，科研人员在春季捕捉了40只这种候鸟，给它们戴上脚环后放回，一个月后再次捕捉200只这种候鸟，发现其中有8只带有脚环．假设在两次捕捉期间鸟群数量稳定且脚环未脱落，那么该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为________只． 题型四 频率分布直方图（共3小题） 9．（25-26八年级下·江苏常州·期中）已知一组数据的最大值是，最小值是，若取组距为，则这组数据应分成__________个组． 10．（24-25八年级上·北京·期末）小明同学统计了他所在小区居民每天早晨跑步的时间，并绘制了频数分布直方图．如图所示：①小明同学一共统计了74人；②每天早晨跑步不足30分钟的有14人；③每天早晨跑步分钟的人数最多；④每天早晨跑步分钟的人数最少．根据图中信息，上述说法中正确的是（   ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 11．（23-24七年级下·浙江台州·期末）为参加全校年级间的广播体操比赛，七年级准备从报名学生中挑选身高相差不大的30名同学参加．甲、乙两兴趣小组分别对报名学生的身高数据进行收集、整理与描述，绘制的身高频数分布直方图（每个分组包含左端点，不含右端点）如图所示． 请根据以上信息，回答下列问题． (1)报名学生共有_______人，其中身高大于或等于的频数为_______； (2)请补全乙组绘制的频数分布直方图； (3)若要挑选身高尽可能接近的30名同学参加比赛，请确定身高的范围，并说明理由． 题型五 统计图综合（共3小题） 12．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）保护环境人人有责，垃圾分类从我做起，某市环保部门为了解垃圾分类的实施情况，抽样调查了部分居民小区一段时间内的生活垃圾分类，对数据进行整理后绘制了如下两幅统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)在本次抽样调查中，一共有_____吨生活垃圾； (2)请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，_____；产生的其他垃圾所对应的扇形圆心角是_____度； (4)假设该城市每月产生的生活垃圾为4500吨，且全部分类处理，估计每月产生的有害垃圾多少吨． 13．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）书籍是人类进步的阶梯，我市开展了中小学“立体阅读”活动，现随机抽取部分参与者的成绩进行统计，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（A表示50～60分，B表示60～70分，C表示70～80分，D表示80～90分，E表示90～100分，每组含前一个边界值，不含后一个边界值）． 请结合图中提供的信息，解答下列各题： (1)本次共抽取了______名学生； (2)直接写出a的值，a＝______； (3)请通过计算补全频数分布直方图； (4)求扇形A的圆心角的度数； (5)若参加本次中小学“立体阅读”活动的学生共有2000人，大于等于90分为优秀，根据抽样调查的结果，请你估计获得优秀的学生有多少人？ 14．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）为了让学生更好地看到中国科技如何惊艳破圈，某校筹备“科技赋能，为祖国点赞”主题日活动．为了解学生的兴趣和爱好，随机抽取的部分学生中下发调查问卷．请根据统计图提供的信息，回答下列问题： “科技赋能，为祖国点赞”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） 设备检修暂停使用 (1)本次调查所抽取的学生____________人，并直接补全条形统计图； (2)扇形统计图中领域“”对应扇形的圆心角的度数为____________； (3)学校有600名学生参加本次活动，其中选择聆听、讲座的学生各有__________，__________； (4)在（3）的条件下，为确保听取讲座的每名学生都有座位，、两场报告分别需要安排在几号厅？ 题型六 统计与预测（共3小题） 15．（25-26七年级下·全国·单元测试）王小方开了一家服装店，专卖羽绒服，下表是去年一年各月的销售情况： 月份 一 二 三 四 五 六 销售量/件 120 90 40 10 6 4 月份 七 八 九 十 十一 十二 销售量/件 3 5 2 129 80 120 根据上表信息，解答下列问题： (1)计算各季度的销售情况，并用一个适当的统计图表示； (2)计算各季度的销售量在全年销售中所占的百分比，并用适当的统计图表示； (3)用一个适当的统计图表示各季度销售量的变化情况； (4)从这些统计图表中，你能得出什么结论？你能否针对经营决策向王小方提出建议？ 16．（2024·广东·模拟预测）某县为深入推进乡村产业发展，采购了甲，乙两种型号的包装机去同时包装水稻种子，某质检部门从两种型号包装机已包装好的产品中各随机抽取包测得实际质量（单位：），规定质量在为合格产品．将所得数据进行收集整理，部分信息如下： 信息一：记录甲型包装机中每包水稻种子实际质量与标准质量的差值如下： ，，，，， ，，，，，， 信息二：整理得甲型包装机中水稻种子质量的频数分布表如下：（每组均包含数据最小值，不包含最大值） 区间 A B C D E F 质量 频数 1 a 1 7 5 3 信息三：乙型包装机中水稻种子质量的频数分布直方图如图： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布表中__________，乙型包装机包装水稻种子的合格率为__________； (2)你认为哪种型号的包装机包装水稻种子的情况较好？请说明理由． (3)为了更快地包装水稻种子，县里准备再采购一批包装机，你认为还应收集什么信息来决定采购哪一款包装机呢？（列出一条即可） 17．（25-26七年级上·河南安阳·开学考试）学校为进一步丰富学生课余生活，成立了特色社团：合唱社团、书画社团、篮球社团、机器人编程社团、科学实验社团，并根据各社团报名情况绘制如下统计图．请根据图中提供的信息，完成下列问题． 特色社团报名人数统计图    特色社团报名人数统计图      (1)请将条形统计图和扇形统计图补充完整． (2)参与科技类社团（机器人编程+科学实验）的学生占调查总人数的_____． (3)从以上统计图数据可以看出，科技类社团学生参与度相对较高，请分析可能的原因． 题型七 判断分式变形的正误（共4小题） 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 19．（2025八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①___________；②___________； ③___________；④___________． 20．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）要使分式的值扩大到原来的4倍，则（　　） A．的值都扩大到原来的2倍 B．的值都扩大到原来的4倍 C．的值不变，的值扩大到原来的4倍 D．的值不变，的值扩大到原来的4倍 21．（2024七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（    ） A． B． C． D． 题型八 约分（共2小题） 22．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，，则分式的值为________． 题型九 分式的混合运算（共3小题） 24．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）化简的值为______ ． 25．（22-23九年级下·山东聊城·开学考试）化简的结果为______． 26．（2023·山东淄博·一模）化简的结果为______． 题型十 分式加减的实际应用（共3小题） 27．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 28．（24-25八年级下·江苏南京·期中）甲、乙两人两次同时在一家加油站加油，两次某种汽油的价格分别为每千克元和元（）．甲每次加入40升汽油，乙每次加入200元汽油． (1)若甲两次加油的平均单价为每千克元，乙两次加油的平均单价为每千克元．则： ； ． (2)请比较甲、乙两人的平均单价，判断哪一个更便宜，并说明你的理由． 29．（2025·浙江·三模）小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即． (1)请用含R和的式子表示及． (2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？ 题型十一 分式的化简求值问题（共3小题） 30．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中a从，，0，1，2中选取一个合适的数． 31．（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）先化简，再找一个你喜欢的数作为的值代入求值． 32．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． (2)，其中，满足． 题型十二 解分式方程（共2小题） 33．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 34．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) 题型十三 根据分式方程解的情况求参数（有解/无解/增根）（共3小题） 35．（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于x的分式方程 无解，则________ 36．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如果关于的方程有增根，那么增根是_____． 37．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）若解关于x的方程时，该方程有解，则m______（填满足条件）． 题型十四 根据分式方程解的情况求参数（正/负/整数解）（共3小题） 38．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 39．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 40．（20-21八年级下·陕西汉中·期末）若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为______． 题型十五 实际问题与分式方程（共3小题） 41．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． (1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 42．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）一艘轮船在相距100千米的甲、乙两港航行． (1)若轮船从甲港顺流航行到乙港所用的时间是从乙港到甲港逆流航行的时间的，水流的速度为10千米/小时，求船在静水中的速度．（注：逆水船速静水船速水速，顺水船速静水船速水速） (2)若船在静水中的速度为v千米/小时，水流的速度为a千米/小时（）．该船从甲港顺流航行到乙港，再从乙港逆流返回到甲港所需的时间为；若该船从甲港航行到乙港再返回甲港都处于静水航行，且所用时间为，试比较与的大小，说明理由． 43．（25-26八年级上·四川凉山·期末）2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计划生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ 题型十六 选用合适的方法分解因式（共2小题） 44．（2026七年级下·浙江·专题练习）因式分解 (1) (2) (3) (4)； 45．（2026七年级下·浙江·专题练习）将下列多项式进行因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) (5) 题型十七 因式分解在有理数简算中的应用（共2小题） 46．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）简便运算： (1) (2) 47．（24-25八年级下·江西抚州·期中）利用分解因式计算：． 题型十八 因式分解的应用（整除问题）（共2小题） 48．（2025·陕西咸阳·二模）求证：对于任意整数，多项式的值都能被16整除． 49．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）【观察】，，，…… 【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除． 【验证】 （1）若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除； （2）若设这个偶数为，试说明比大3的数与的平方差能否被3整除； 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除． 题型十九 因式分解的应用（判断三角形形状）（共2小题） 50．（22-23八年级下·江西景德镇·期末）阅读下列分解因式的过程：．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边满足，判断的形状 51．已知，，为的三边，且满足，试判定的形状． 题型二十 因式分解的应用（求代数式的值）（共2小题） 52．（21-22七年级下·湖南永州·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 53．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）已知， (1)求的值． (2)求的值． 题型二十一 已知二元一次方程组的解求参数（共3小题） 54．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）已知是方程的解，则等于________． 55．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是关于x，y的方程组的解，则_____． 56．（25-26七年级下·重庆永川·期中）若关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是_____________． 题型二十二 已知二元一次方程组的解的情况求参数（共2小题） 57．（25-26七年级下·重庆·期中）若关于和的方程组的解互为相反数，则______． 58．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）已知关于x、y的方程组的解满足，则k的值为________． 题型二十三 同解问题（共2小题） 59．（25-26七年级下·山东聊城·阶段检测）已知关于x，y的方程组与方程组同解，则_______． 60．（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）已知方程组的解是，则方程组的解为______． 题型二十四 错解问题（共2小题） 61．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）甲、乙两人同时解关于的方程组，甲解得正确结果为，乙因为抄错了，解得错误结果为，则的值应为________． 62．（24-25六年级下·上海·期末）若关于x，y的方程组的解被墨水遮挡住了一部分，请你根据已有信息求出k的值是______． 题型二十五 二元一次方程组的特殊解法（共2小题） 63．（25-26七年级下·云南玉溪·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． (1)解方程组． (2)猜想：下列关于、的方程组的解是什么？ 64．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)关于，的方程组的解_____； (2)若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____； (3)已知关于，的方程组，求，的值． 题型二十六 实际问题与二元一次方程组（共3小题） 65．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况． 66．（25-26七年级下·浙江台州·期中）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过10吨，则按每吨a元收费；若每月用水超过10吨，则超过部分按每吨b元收费（）． (1)已知小明家3月份用水12吨，交水费26元；4月份用水15吨，交水费35元．求a和b的值． (2)到了5月份，为了应对旱情，自来水公司调整了收费标准：超过10吨但不超过20吨的部分，每吨加收1元的污水处理费，超过20吨的部分每吨加收2元污水处理费．已知小明家5月份和6月份用水都超过20吨，且6月份的用水量比5月份多10吨．若这两个月的水费总和为192元，求小明家5月份和6月份各用水多少吨？ 67．（25-26七年级下·浙江金华·期中）2024年春晚名为《武BOT》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 2 360 信息二 型机器人每台每天可分拣快递22万件；型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买两种型号智能机器人（都有），费用恰好用完800万元，请写出所有符合情况的方案，并选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 题型二十七 幂的混合运算（共3小题） 68．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 69．（25-26八年级上·吉林长春·周测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 70．（25-26八年级上·吉林长春·周测）计算： (1) (2) (3) (4) 题型二十八 根据幂的混合运算结果求参数（共3小题） 71．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 72．（22-23七年级下·浙江金华·期中）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求m的值； (2)比较大小：若，，，则a，b，c的大小关系是什么？ 73．（22-23七年级下·浙江杭州·单元测试）若，试探究代数式与之间关系． 题型二十九 利用整式相乘求参数的值（共3小题） 74．（25-26七年级下·河北衡水·期中）若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 75．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知关于的等式恒成立，则__________． 76．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则的值为_____． 题型三十 已知多项式乘积不含某项求参数（共2小题） 77．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 78．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为__________． 题型三十一 求完全平方式中字母的系数（共2小题） 79．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）若是一个完全平方式，则的值是___________． 80．（25-26七年级下·浙江·期中）若，则________． 题型三十二 利用乘法公式进行计算（共2小题） 81．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 82．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）用乘法公式计算： (1)； (2)． 题型三十三 整式乘除的混合运算（共2小题） 83．（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 84．（24-25八年级上·广东汕头·期末）化简： (1)； (2) (3) 题型三十四 与整式乘除有关的化简问题（共2小题） 85．（24-25六年级下·全国·单元测试）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求代数式的值． （3）先化简，再求值：，其中，． 86．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）已知，，化简，并求当时，该代数式的值； （2）先化简，再求值：，其中，． 题型三十五 利用科学记数法表示较小的数（共2小题） 87．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）． 1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为______ronto克． 88．（24-25七年级下·山西晋中·期末）晋中市在市城区公园、游园、街道两旁栽种了30余万株月季，致力于打造“月季之城”．常见月季花粉的平均直径约为，将数据用小数可以表示为_________． 题型三十六 几何问题中的角度计算（共2小题） 89．（25-26七年级下·山西太原·期中）如图．直线与相交于点，，，．试判断与是否垂直，并说明理由． 90．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，直线与相交于点O，过点O作射线，且． (1)_______． (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 题型三十七 补全平行线的判定过程（共2小题） 91．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图所示，完成推理过程． ①（已知）， _____（_____）． ②（已知）， _____∥_____（______）． ③（已知）， （_____） ④（已知）， _____（_____）． 92．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）如图，如果，求证：；．观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（已知）， （________①__________）， ∴ 又∵（已知）， ∴____②_____（______③_________）， ∴（_________④_____________________）， 又∵（______⑤___________） ∴（___________⑥________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（_____________⑦___________）． 题型三十八 利用平行线的性质求解（共3小题） 93．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为______度． 94．（2026·重庆·一模）如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______． 95．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）一副三角板按如图所示放置，，则的度数为_____． 题型三十九 平行线的性质在实际生活的应用（共4小题） 96．（22-23八年级上·贵州遵义·阶段检测）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 97．（2023·四川绵阳·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 98．（23-24七年级下·河北邢台·阶段检测）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（    ） A． B． C． D． 99．（22-23七年级下·河北邢台·期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（    ）    A． B． C． D． 题型四十平行线的判定与性质综合（共3小题） 100．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 101．（25-26七年级下·吉林四平·阶段检测）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 102．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，与交于点，点、分别在、上，连结、，，． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)，，求的度数． 题型四十一 利用平移的性质求解（共4小题） 103．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 104．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，则有下列说法：①；②；③；④图中阴影部分的面积为，其中一定正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．①②③④ D．①③④ 105．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）小红的爸爸打算在院子里种上蔬菜，已知院落为东西长，南北宽为的长方形，为了行走方便，要修筑三条道路，东西方向两条，南北方向一条，南北方向道路垂直于东西方向道路（如图a），余下的部分要种上西红柿，设道路的宽为，爸爸打算让小红算一下，用于种菜的面积是多少？小红经过分析后，考虑可以直接求出用于种菜部分的面积，若从平移的角度看，只需把道路均平移到边上去（如图b）不难发现图b中的空白的面积． (1)请你帮小红求出空白部分的面积（用含x的代数式表示）； (2)当时，求种菜的面积． 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校开设了多元活动班，设置“绘画”、“剪纸”、“舞蹈”、“摄影”四类活动课程，每名学生从中选择并且只能选择其中一类参加，学校就报名情况对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了______名学生，在扇形统计图中，n的值是______； (2)请直接补全条形统计图； (3)扇形统计图中，“摄影”对应的圆心角度数为______°； (4)若该校共有2500名学生，请估计有多少名学生选择了“绘画”． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码． (1)对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码． (2)对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由． 5．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 6．（24-25七年级下·浙江温州·期末）某运输公司现有190吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ■ (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)第三次运输安排了5辆A货车，4辆B货车，运输物资共160吨．请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 7．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 8．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． $ 期末真题百练通关（105题41大热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 从统计图中获取信息（共4小题） 题型二 根据数据描述求频数/频率（共2小题） 题型三 由样本估计整体（共2小题） 题型四 频率分布直方图（共3小题） 题型五 统计图综合（共3小题） 题型六 统计与预测（共3小题） 题型七 判断分式变形的正误（共4小题） 题型八 约分（共2小题） 题型九 分式的混合运算（共3小题） 题型十 分式加减的实际应用（共3小题） 题型十一 分式的化简求值问题（共3小题） 题型十二 解分式方程（共2小题） 题型十三 根据分式方程解的情况求参数（有解/无解/增根）（共3小题） 题型十四 根据分式方程解的情况求参数（正/负/整数解）（共3小题） 题型十五 实际问题与分式方程（共3小题） 题型十六 选用合适的方法分解因式（共2小题） 题型十七 因式分解在有理数简算中的应用（共2小题） 题型十八 因式分解的应用（整除问题）（共2小题） 题型十九 因式分解的应用（判断三角形形状）（共2小题） 题型二十 因式分解的应用（求代数式的值）（共2小题） 题型二十一 已知二元一次方程组的解求参数（共3小题） 题型二十二 已知二元一次方程组的解的情况求参数（共2小题） 题型二十三 同解问题（共2小题） 题型二十四 错解问题（共2小题） 题型二十五 二元一次方程组的特殊解法（共2小题） 题型二十六 实际问题与二元一次方程组（共3小题） 题型二十七 幂的混合运算（共3小题） 题型二十八 根据幂的混合运算结果求参数（共3小题） 题型二十九 利用整式相乘求参数的值（共3小题） 题型三十 已知多项式乘积不含某项求参数（共2小题） 题型三十一 求完全平方式中字母的系数（共2小题） 题型三十二 利用乘法公式进行计算（共2小题） 题型三十三 整式乘除的混合运算（共2小题） 题型三十四 与整式乘除有关的化简问题（共2小题） 题型三十五 利用科学记数法表示较小的数（共2小题） 题型三十六 几何问题中的角度计算（共2小题） 题型三十七 补全平行线的判定过程（共2小题） 题型三十八 利用平行线的性质求解（共3小题） 题型三十九 平行线的性质在实际生活的应用（共4小题） 题型四十平行线的判定与性质综合（共3小题） 题型四十一 利用平移的性质求解（共4小题） 题型一 从统计图中获取信息（共4小题） 1．（2026·广东深圳·模拟预测）为备战区级春季田径运动会，李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的5期集中训练．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图． 以下四个结论中错误的是（   ） A．5期“100米短跑”集训的时间共计是56天 B．第1~3期的测试中，李明始终比王华跑得快 C．在这5期集训期间，李明、王华两人在第2期的测试成绩最为接近 D．相邻两期的测试成绩作比较，李明在第3期的成绩较之他第2期进步最大 【答案】C 【分析】根据条形统计图和折线统计图里的数据解答即可． 【详解】解：A、5期“100米短跑”集训的时间共计是：（天），故本项结论正确，不符合题意； B、第1~3期测试中，李明始终比王华跑得快，故本项结论正确，不符合题意； C、计算每期两人成绩的差值：第1期：秒；第2期：秒；第3期：秒；第4期：秒；第5期：秒；第5期差值最小，故本项结论错误，符合题意； D、，故李明第3期的成绩较之他第2期进步最大，结论正确，不符合题意． 2．（25-26七年级下·山东聊城·阶段检测）体育老师对一班和二班学生参加体育兴趣小组的情况进行了统计（每人只能参加一个兴趣小组），并得到了如图所示的统计图，则下列说法一定正确的是（　　） A．一班和二班参加乒乓球兴趣小组的人数一样多 B．二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的 C．一班参加羽毛球兴趣小组的人数比二班参加羽毛球兴趣小组的人数多 D．二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多 【答案】D 【分析】根据扇形统计图中各项目人数占总人数的百分比的意义求解即可． 【详解】解：A．因为两个班总人数不知道，所以一班和二班参加乒乓球兴趣小组的人数不一定相等，故不符合题意； B．二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的，故不符合题意； C．因为两个班的总人数不知道，所以一班参加羽毛球兴趣小组的人数与二班参加羽毛球兴趣小组的人数无法比较大小，故不符合题意； D．二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数占总人数的百分比均为，所以二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多，故符合题意 3．（2026·浙江温州·模拟预测）相关部门对“十一”期间到杭州观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（   ） A．本次抽样调查的样本容量是750 B．本次抽样中选择公共交通出行的有375人 C．扇形统计图中，“其他”所对应的圆心角是 D．若“十一”期间到杭州观光的游客有5万人，则选择自驾出行的约有3万人 【答案】D 【分析】根据条形统计图和扇形统计图中选择自驾出行的人数和所占比例，得到本次调查的样本容量，据此逐项计算即可． 【详解】解：本次抽样调查的样本容量是人，则A正确； 抽样中选择公共交通出行的人数为人，则B正确； “其他”所对应的圆心角是，则C正确； “十一”期间到杭州观光的游客选择自驾出行的人数为：万人，则D错误． 4．（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）下表记录了年我国新能源汽车销量，将此表的数据绘制成统计图，以下说法不正确的是（   ） 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 新能源汽车销量（万辆） 120.62 136.73 352.05 688.66 949.52 1286.60 A．绘制趋势图，以横坐标为年份，纵坐标为新能源汽车销量，能直观体现年份与销量的关联 B．绘制折线图，可以看出新能源汽车销量整体呈现上升的趋势 C．绘制条形图，各条形高度代表对应年份新能源汽车销量，能准确比较每年销量大小 D．根据数据表，可以确定2025年新能源汽车销量的准确数据 【答案】D 【分析】理解不同统计图的作用，以及明确历史数据只能用于趋势推测，不能确定未来的准确数值． 【详解】解：选项A：趋势图以年份为横轴、销量为纵轴，能直观展示年份与销量的关联关系及变化规律，该说法正确； 选项B：表格中年的销量持续增长，绘制折线图，可以看出新能源汽车销量整体呈现上升的趋势，该说法正确； 选项C：绘制条形图，各条形高度代表对应年份新能源汽车销量，能准确比较每年销量大小，该说法正确； 选项D：现有数据仅为至年的销量，年的销量受诸多不确定因素影响，无法根据现有数据确定其准确值，该说法错误，符合题意． 故选：D． 题型二 根据数据描述求频数/频率（共2小题） 5．（2026·浙江金华·二模）某商店一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表： 牙膏品牌 合计 售出支数 下列关于品牌牙膏销售量的说法中，错误的是（    ）． A．频数是 B．频率是 C．品牌的销售量占总销售量的 D．每卖出支牙膏，估计有支是品牌 【答案】C 【分析】利用频率频数总数量计算，再逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，牙膏的频数是，故A选项说法正确，不符合题意； B选项，牙膏的频数是，总销售量为，频率为，故B选项说法正确，不符合题意； C选项，牙膏的频率为，即销售量占总销售量的，故C选项说法错误，符合题意； D选项，牙膏的频率为，可得每卖出支牙膏，估计有支，故D选项说法正确，不符合题意． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）某班40名同学参加了4月21日至5月10日期间，国家保密局和司法部举办的网络保密知识竞答活动，其中成绩不足70分出现的频率是0.25，成绩高于90分出现的频率是0.3，则成绩在之间（含70分和90分）的频数是（    ） A．0.45 B．16人 C．18人 D．20人 【答案】C 【分析】利用所有分组的频率和为1，先求出成绩在分之间的频率，再根据频数总人数频率计算结果即可． 【详解】解：∵全班总人数为40，所有分组的频率和为1， ∴成绩在之间的频率为， ∴成绩在之间的频数为（人）． 题型三 由样本估计整体（共2小题） 7．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）某地区七年级共有名男生．为了解这些男生的体重指数分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据，并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2500名男生中等级为正常的人数是________． 【答案】1875 【分析】用总人数乘以样本中等级为正常的人数所占比例即可求解． 【详解】解：由题意可得，该地区七年级2500名男生中等级为正常的人数是：． 8．（25-26七年级下·重庆·期中）为了估计某湿地公园中某种候鸟的种群数量，科研人员在春季捕捉了40只这种候鸟，给它们戴上脚环后放回，一个月后再次捕捉200只这种候鸟，发现其中有8只带有脚环．假设在两次捕捉期间鸟群数量稳定且脚环未脱落，那么该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为________只． 【答案】1000 【分析】根据题意列方程求解种群数量即可. 【详解】解：设该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为只， ， 交叉相乘得： ， ∴， 解得：， 该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为只． 题型四 频率分布直方图（共3小题） 9．（25-26八年级下·江苏常州·期中）已知一组数据的最大值是，最小值是，若取组距为，则这组数据应分成__________个组． 【答案】 【分析】根据最大值减去最小值除以组距，即可得解． 【详解】解：， 这组数据应分成个组． 10．（24-25八年级上·北京·期末）小明同学统计了他所在小区居民每天早晨跑步的时间，并绘制了频数分布直方图．如图所示：①小明同学一共统计了74人；②每天早晨跑步不足30分钟的有14人；③每天早晨跑步分钟的人数最多；④每天早晨跑步分钟的人数最少．根据图中信息，上述说法中正确的是（   ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查直方图，从直方图中有效地获取信息是解题的关键．从直方图中有效地获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知：小明同学一共统计了（人）；故①正确； 每天早晨跑步不足30分钟的有（人）；故②错误； 每天早晨跑步30~40分钟的人数最多；故③正确； 每天早晨跑步0~10分钟的人数最少；故④正确； 故选C． 11．（23-24七年级下·浙江台州·期末）为参加全校年级间的广播体操比赛，七年级准备从报名学生中挑选身高相差不大的30名同学参加．甲、乙两兴趣小组分别对报名学生的身高数据进行收集、整理与描述，绘制的身高频数分布直方图（每个分组包含左端点，不含右端点）如图所示． 请根据以上信息，回答下列问题． (1)报名学生共有_______人，其中身高大于或等于的频数为_______； (2)请补全乙组绘制的频数分布直方图； (3)若要挑选身高尽可能接近的30名同学参加比赛，请确定身高的范围，并说明理由． 【答案】(1)63，14 (2)图见解析 (3)身高的范围应在，理由见解析 【分析】本题考查频数（率）分布直方图，从统计图中有效的获取信息是解题的关键． （1）将甲组绘制的频数分布直方图的频数相加可得总人数，将身高大于或等于的各组频数相加即可； （2）根据各组人数之和等于总人数可求出的人数； （3）取身高落在相邻分组且频数和接近于30即可． 【详解】（1）解：报名学生共有（人）， 其中身高大于或等于的频数为（人）， 故答案为：63，14； （2）乙组绘制的频数分布直方图中第1组频数为， 补全图形如下： （3）若要挑选身高尽可能接近的30名同学参加比赛，身高的范围应在，理由如下： 由甲组绘制的频数分布直方图知，的人数为（名），且这30名同学的身高落在相邻分组内，波动幅度小． 题型五 统计图综合（共3小题） 12．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）保护环境人人有责，垃圾分类从我做起，某市环保部门为了解垃圾分类的实施情况，抽样调查了部分居民小区一段时间内的生活垃圾分类，对数据进行整理后绘制了如下两幅统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)在本次抽样调查中，一共有_____吨生活垃圾； (2)请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，_____；产生的其他垃圾所对应的扇形圆心角是_____度； (4)假设该城市每月产生的生活垃圾为4500吨，且全部分类处理，估计每月产生的有害垃圾多少吨． 【答案】(1)200 (2)见详解 (3)25，54 (4)吨 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图的综合，求扇形统计图的圆心角，样本估计总体，补全条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用厨余垃圾的数量除以占比，得出一共有200吨生活垃圾； （2）运用200吨生活垃圾分别减去厨余垃圾的吨数，有害垃圾的吨数，其他垃圾的吨数，得出可回收垃圾的吨数，再补全条形统计图，即可作答． （3）运用可回收垃圾的吨数除以200，再乘，得出，结合其他垃圾的吨数除以，再乘上，得出产生的其他垃圾所对应的扇形圆心角； （4）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（吨）， ∴在本次抽样调查中，一共有200吨生活垃圾； （2）解：依题意，（吨）， 补全条形统计图： （3）解：依题意，， ∴， 则 ∴产生的其他垃圾所对应的扇形圆心角是度； （4）解：（吨）， ∴估计每月产生的有害垃圾吨． 13．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）书籍是人类进步的阶梯，我市开展了中小学“立体阅读”活动，现随机抽取部分参与者的成绩进行统计，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（A表示50～60分，B表示60～70分，C表示70～80分，D表示80～90分，E表示90～100分，每组含前一个边界值，不含后一个边界值）． 请结合图中提供的信息，解答下列各题： (1)本次共抽取了______名学生； (2)直接写出a的值，a＝______； (3)请通过计算补全频数分布直方图； (4)求扇形A的圆心角的度数； (5)若参加本次中小学“立体阅读”活动的学生共有2000人，大于等于90分为优秀，根据抽样调查的结果，请你估计获得优秀的学生有多少人？ 【答案】(1)50 (2)30 (3)图见解析 (4) (5)400人 【分析】本题考查频数分布直方图和扇形统计图的综合，解题的关键是能够根据图形中的数据，进行求解．（1）用E组的人数除以E所占的百分比即可求解；（2）用D的人数除以总人数即可求解；（3）用总人数减去A组人数，B组人数，D组人数，E组人数，即可求出C组人数；（4）用A组人数除以总人数再乘360度即可求解；（5）用优秀的人数所占的百分比乘2000即可求解． 【详解】（1）解：样本容量为：， 故答案为：50； （2）解：，即， 故答案为：30； （3）解：C组人数为（人）． 补全图形如下： （4）解：扇形A的圆心角度数为： ； （5）解：（人）． 答：估计获得优秀的学生有400人． 14．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）为了让学生更好地看到中国科技如何惊艳破圈，某校筹备“科技赋能，为祖国点赞”主题日活动．为了解学生的兴趣和爱好，随机抽取的部分学生中下发调查问卷．请根据统计图提供的信息，回答下列问题： “科技赋能，为祖国点赞”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） 设备检修暂停使用 (1)本次调查所抽取的学生____________人，并直接补全条形统计图； (2)扇形统计图中领域“”对应扇形的圆心角的度数为____________； (3)学校有600名学生参加本次活动，其中选择聆听、讲座的学生各有__________，__________； (4)在（3）的条件下，为确保听取讲座的每名学生都有座位，、两场报告分别需要安排在几号厅？ 【答案】(1)40；条形统计图见解析 (2) (3)90名；180名 (4)场报告安排在2号厅，场报告安排在1号厅 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图和用样本估计总体，从两个统计图上获得信息是解题的关键． （1）根据领域“A”人数为4人，所占百分比为，求出本次调查所抽取的学生人数为人，再求出领域“D”的人数即可； （2）先求出领域“”所占的百分比，再求出对应扇形的圆心角的度数即可； （3）先求出B、D领域在抽取样本中的比例，再求选择聆听、讲座的学生人数即可； （4）根据1号厅有200座，2号厅有100座，而讲座需要个座位，讲座需要180个座位，据此安排即可． 【详解】（1）解：根据题意得，领域“A”人数为4人，所占百分比为， 则本次调查所抽取的学生人数为人， 领域“D”的人数为人， 人数条形统计图为： 故答案为：40； （2）解：领域“”占本次调查所抽取的学生人数的百分比为：， 则领域“”对应扇形的圆心角的度数为， 故答案为：； （3）解： 选择聆听讲座的学生人数为：名， 选择聆听讲座的学生人数为：名； 故答案为：90名；180名； （4）解：由于1号厅有200座，2号厅有100座，而讲座需要个座位， 讲座需要180个座位， 因此，场报告安排在2号厅，场报告安排在1号厅． 题型六 统计与预测（共3小题） 15．（25-26七年级下·全国·单元测试）王小方开了一家服装店，专卖羽绒服，下表是去年一年各月的销售情况： 月份 一 二 三 四 五 六 销售量/件 120 90 40 10 6 4 月份 七 八 九 十 十一 十二 销售量/件 3 5 2 129 80 120 根据上表信息，解答下列问题： (1)计算各季度的销售情况，并用一个适当的统计图表示； (2)计算各季度的销售量在全年销售中所占的百分比，并用适当的统计图表示； (3)用一个适当的统计图表示各季度销售量的变化情况； (4)从这些统计图表中，你能得出什么结论？你能否针对经营决策向王小方提出建议？ 【答案】(1)一季度件  二季度件  三季度件  四季度件   见解析 (2)一季度  二季度  三季度  四季度   见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）先按季度汇总每月销售量，再选择合适的统计图直观呈现各季度销量； （2）计算各季度销量占全年销量的百分比，再选择合适的统计图展示占比关系； （3）选择能体现数据变化趋势的统计图来展示各季度销量的变化； （4）结合统计图表反映的销量规律，分析经营特点并提出合理建议． 【详解】（1）解：一季度：（件）； 二季度：（件）； 三季度：（件）； 四季度：（件）． 用条形图表示如答图①． ． （2）解：全年：（件）． 一季度：； 二季度：； 三季度：； 四季度：． 用扇形图表示如答图②． ． （3）解：用折线图表示如答图③． ． （4）解：羽绒服的销售具有明显的季节性，第四季度（冬季）销量最高，第一季度（冬末春初）次之，第二、三季度（春、夏）销量极低（答案不唯一）． 建议：① 冬季（第四季度）来临前，提前备足库存，确保货源充足； ② 春夏季（第二、三季度）可减少羽绒服进货量，同时可推出反季促销活动，清理库存； ③ 考虑拓展春夏季服装品类，降低单一品类季节性波动对店铺营收的影响（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了统计图的选择与应用、百分比计算，解题关键是根据不同的统计需求选择合适的统计图，结合数据规律分析经营策略． 16．（2024·广东·模拟预测）某县为深入推进乡村产业发展，采购了甲，乙两种型号的包装机去同时包装水稻种子，某质检部门从两种型号包装机已包装好的产品中各随机抽取包测得实际质量（单位：），规定质量在为合格产品．将所得数据进行收集整理，部分信息如下： 信息一：记录甲型包装机中每包水稻种子实际质量与标准质量的差值如下： ，，，，， ，，，，，， 信息二：整理得甲型包装机中水稻种子质量的频数分布表如下：（每组均包含数据最小值，不包含最大值） 区间 A B C D E F 质量 频数 1 a 1 7 5 3 信息三：乙型包装机中水稻种子质量的频数分布直方图如图： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布表中__________，乙型包装机包装水稻种子的合格率为__________； (2)你认为哪种型号的包装机包装水稻种子的情况较好？请说明理由． (3)为了更快地包装水稻种子，县里准备再采购一批包装机，你认为还应收集什么信息来决定采购哪一款包装机呢？（列出一条即可） 【答案】(1) 3 60 (2)甲型包装机情况较好，理由见解析 (3)还应收集两种型号包装机的包装效率（或采购成本、维护成本等）信息 【分析】本题考查了数据的收集与整理（含频数分布表、频数分布直方图的应用）、合格率的计算以及根据统计数据进行决策，解题的关键是从题干信息中准确提取样本容量、各区间频数等有效数据，结合合格区间定义计算相关指标，并基于数据对比做出合理判断． （1）求：利用甲型样本容量为20，用20减去频数分布表中其他区间频数之和；求乙型合格率：先确定合格区间，从直方图提取该区间频数之和，再除以20并转化为百分比； （2）比较包装机：先分别计算甲、乙合格率，再结合数据集中程度，通过合格率高低判断； （3）补充信息：围绕采购决策相关维度，如效率、成本、维护难度等提出合理信息． 【详解】（1）解：∵ 甲型包装机抽取样本容量为20，各区间频数满足， ∴ ，解得；   ∵ 合格区间为，即， 乙型对应区间为、、、， 频数和为 ∴ 乙型合格率为；   故答案为：3，60； （2）解：甲型包装机情况较好，理由如下：   ∵ 甲型合格区间频数为，其合格率为 又∵ 乙型合格率为60%，且，甲型数据更集中于合格区间   ∴ 甲型包装机情况较好；   答：甲型包装机包装水稻种子的情况较好，理由是甲型合格率（）高于乙型（），且数据更集中在合格区间． （3）解：采购决策需补充与使用相关的关键信息，如两种型号包装机的每小时包装数量（包装效率）；   答：还应收集两种型号包装机的包装效率（或采购成本、维护成本等）信息． 17．（25-26七年级上·河南安阳·开学考试）学校为进一步丰富学生课余生活，成立了特色社团：合唱社团、书画社团、篮球社团、机器人编程社团、科学实验社团，并根据各社团报名情况绘制如下统计图．请根据图中提供的信息，完成下列问题． 特色社团报名人数统计图    特色社团报名人数统计图      (1)请将条形统计图和扇形统计图补充完整． (2)参与科技类社团（机器人编程+科学实验）的学生占调查总人数的_____． (3)从以上统计图数据可以看出，科技类社团学生参与度相对较高，请分析可能的原因． 【答案】(1)见解析 (2) (3)科技类社团贴合时代发展，能满足学生的探索欲等(开放型答案,合理即可) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用，包括统计图的补充、百分比计算及数据解读．解题的关键是通过已知数据求出总人数，进而确定未知社团的人数和百分比，明确两种统计图的对应关系． （1）根据已知社团的人数和百分比求出总人数；用总人数减去已知社团人数得科学实验社团人数，补充条形统计图；用机器人编程社团人数除以总人数得其百分比，结合扇形统计图已知百分比补充扇形统计图． （2）计算机器人编程社团的百分比，加上科学实验社团的百分比，得到科技类社团占总人数的百分比． （3）结合科技类社团的特点，从学生兴趣、时代趋势等角度分析参与度高的原因． 【详解】（1）解：由扇形统计图知合唱社团人占，则总人数为人． 科学实验社团人数为人，在条形统计图中对应位置补充高度为的矩形． 机器人编程社团百分比为，在扇形统计图中补充“机器人编程社团()”． （2）解：科技类社团包括机器人编程和科学实验，占比为． 故答案为：． （3）解：可能的原因是科技类社团（机器人编程、科学实验）贴近现代科技发展趋势，能激发学生的探索兴趣和创新思维；或学校对科技类社团的宣传和支持力度较大等．（合理即可） 题型七 判断分式变形的正误（共4小题） 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 19．（2025八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①___________；②___________； ③___________；④___________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的三个符号（分子，分母，分式本身）任意改变其中两个不改变分式的值进行变形即可. 【详解】解：①； ②； ③； ④． 故答案为： ，，， 20．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）要使分式的值扩大到原来的4倍，则（　　） A．的值都扩大到原来的2倍 B．的值都扩大到原来的4倍 C．的值不变，的值扩大到原来的4倍 D．的值不变，的值扩大到原来的4倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的变化计算，准确的计算是解决本题的关键． 设，通过计算变化后的分式值，与原始值比较，即可判断． 【详解】解：设， A、∵的值都扩大到原来的2倍， ∴，不符合题意； B、∵的值都扩大到原来的4倍， ∴，符合题意； C、∵的值不变，的值扩大到原来的4倍， ∴，不符合题意； D、∵的值不变，的值扩大到原来的4倍， ∴，不符合题意； 故选B． 21．（2024七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查分式的基本性质的运用，注意当分子、分母为多项式时，要乘每一项．利用分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．把原分式的分子分母同乘10，再进一步计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 题型八 约分（共2小题） 22．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的约分，掌握分式约分的前提是分子分母有公因式，需先因式分解，注意符号变化和恒等变形是解题的关键． 逐个分析选项，判断分子分母是否有公因式，能否正确约分，注意符号变化和因式分解的正确性． 【详解】解：A、分母中与不是同类项，不能约去，A错误，不符合题意； B、， 原式，不等于，B错误，不符合题意； C、，不能约分，C错误，不符合题意； D、分母，，D正确，符合题意． 故选：D． 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，，则分式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的约分是解答此题的关键． 先化简分式，再将，代入求值即可． 【详解】解： 当，时， 原式， 故答案为：． 题型九 分式的混合运算（共3小题） 24．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）化简的值为______ ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，将分子和分母因式分解后约分，然后计算括号内减法，然后计算括号外除法即可． 【详解】 ． 故答案为：． 25．（22-23九年级下·山东聊城·开学考试）化简的结果为______． 【答案】/ 【分析】先把括号内通分合并，再约分化简．本题考查分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式及整式的运算法则． 【详解】解：原式， ， ． 故答案为：． 26．（2023·山东淄博·一模）化简的结果为______． 【答案】 【分析】先计算括号内的减法运算，再进行除法运算即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算顺序和法则是解题的关键． 题型十 分式加减的实际应用（共3小题） 27．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 【答案】(1)元千克，元千克 (2)购买乙种什锦糖较便宜，理由见解析 【分析】（1）设质量各为千克，，求出甲的售价，设总价各为元，求出乙的售价； （2）利用作差法，求出，利用非负数的意义判断差的符合，进而比较大小． 本题考查了分式的化简以及异分母分式相加减，掌握作差法比较大小是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克， 则售价为：元千克， 乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元， 则售价为：元千克， 答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克． （2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下： ． ，，， ． 甲的售价高于乙的售价， 购买乙种什锦糖较便宜． 28．（24-25八年级下·江苏南京·期中）甲、乙两人两次同时在一家加油站加油，两次某种汽油的价格分别为每千克元和元（）．甲每次加入40升汽油，乙每次加入200元汽油． (1)若甲两次加油的平均单价为每千克元，乙两次加油的平均单价为每千克元．则： ； ． (2)请比较甲、乙两人的平均单价，判断哪一个更便宜，并说明你的理由． 【答案】(1)， (2)乙的平均单价更便宜，见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，弄清平均价格是解本题的关键． （1）利用两次加油的价格以及购买的质量与钱数得出即可； （2）根据总钱数除以总千克数求出甲乙两人加油的平均价格，利用作差法比较即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，， （2）解：， ， ， ，， 即， 答：乙的平均单价更便宜． 29．（2025·浙江·三模）小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即． (1)请用含R和的式子表示及． (2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？ 【答案】(1) (2)①，；②，；③， 【分析】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． （1）先移项再通分得，再取倒数即可； （2）先将代入，再化简得，再根据，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，均为正整数， ∴①当时，则，； ②当时，则，； ③当时，则，． 题型十一 分式的化简求值问题（共3小题） 30．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中a从，，0，1，2中选取一个合适的数． 【答案】，当时，原式；（答案不唯一，或当时，原式） 【分析】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再从，，0，1，2中选取一个使原分式有意义的数代入计算即可． 【详解】解：原式， 根据分式有意义的条件可得，， 当时，原式． 当时，原式． 31．（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）先化简，再找一个你喜欢的数作为的值代入求值． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】先对分式分子分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分得到化简结果，再由分式中分母不能为，得到不能取的值后即可选择一个你喜欢的数作为的值代入求值． 【详解】解： ， 分式中分母不能为， ， 当时，原式．（答案不唯一） 32．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． (2)，其中，满足． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算与代数式求值，掌握先化简分式，再根据条件代入求值，注意分母不为零的限制是解题的关键． （1）先计算括号内的分式减法，通分后合并，再将除法转化为乘法，因式分解约分，最后根据分母不为零的条件选择合适的值代入求值； （2）先计算括号内的分式加减，通分合并后，将除法转化为乘法，因式分解约分，再根据绝对值与平方的非负性求出的值代入求值． 【详解】（1）解：原式 ． ∵，， ∴，， ∴． 当时，原式． （2）解：原式 ． ∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 题型十二 解分式方程（共2小题） 33．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：原方程可化为， 方程两边同乘以最简公分母，得， 展开，得． 解方程，得． 检验：当时，， 所以，原方程的根是． （2）解：原方程可化为． 方程两边同乘以最简公分母，得， 展开，得． 解方程，得． 检验：当时，， 所以，原方程的根是． 34．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入， ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解． 题型十三 根据分式方程解的情况求参数（有解/无解/增根）（共3小题） 35．（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于x的分式方程 无解，则________ 【答案】5 【分析】先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，即可求解． 【详解】解：， 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无意义， ∴． 36．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如果关于的方程有增根，那么增根是_____． 【答案】 【分析】先确定最简公分母为，增根是使分式方程的最简公分母为的未知数的值，即，解得． 【详解】解：方程两边都乘， 得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得． 37．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）若解关于x的方程时，该方程有解，则m______（填满足条件）． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法以及增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法以及增根的定义进行计算即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 该方程有解， ， ， 解得：， 故答案为． 题型十四 根据分式方程解的情况求参数（正/负/整数解）（共3小题） 38．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）关于的方程的解是非负数，那么的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为非负数列不等式求解，最后根据增根的约束条件得到不等式，即可求解． 【详解】解： ， 解得， ∵关于的方程的解是非负数 ∴， 解得， ∵是增根， ∴ ∴， ∴的取值范围是且． 39．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是根据分式方程解的情况求值，解题关键是熟练掌握解分式方程． 先解分式方程，再根据分式方程解为负数即可得解． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 该分式方程有解，且解为负数， ，， ，， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 40．（20-21八年级下·陕西汉中·期末）若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为______． 【答案】3，4，0 【分析】本题考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根据解为整数即可求得整数m的值． 【详解】解：方程两边乘以，得：， 整理得：； 由于方程有解，则，即， ∴； 由于方程有整数解，则， 解得：或或或， 当时，，此时方程无解； 综上，整数m的值为3，4，0． 题型十五 实际问题与分式方程（共3小题） 41．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． (1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 【答案】(1)每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元 (2)该航模店共获利润1050元 【分析】（1）设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元，根据购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个列出分式方程，据此求解即可； （2）分别计算出两种模型的销售额，减去成本，即可求解． 【详解】（1）解：设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元； （2）解：“天宫”模型数量：个， “神舟”模型数量：个， “天宫”模型销售额：元， “神舟”模型前个销售额：元， 剩下5个“神舟”模型打八折：元， ∴总销售额：元， 总成本为3000元，所以总利润：元． 42．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）一艘轮船在相距100千米的甲、乙两港航行． (1)若轮船从甲港顺流航行到乙港所用的时间是从乙港到甲港逆流航行的时间的，水流的速度为10千米/小时，求船在静水中的速度．（注：逆水船速静水船速水速，顺水船速静水船速水速） (2)若船在静水中的速度为v千米/小时，水流的速度为a千米/小时（）．该船从甲港顺流航行到乙港，再从乙港逆流返回到甲港所需的时间为；若该船从甲港航行到乙港再返回甲港都处于静水航行，且所用时间为，试比较与的大小，说明理由． 【答案】(1)千米/小时 (2)，理由见解析 【分析】（1）设船在静水的速度为x千米/时，则顺水中的速度为千米/时，逆水中的速度为千米/时，利用时间关系列方程，解方程，再进行检验得到x的值即可； （2）由时间等于路程除以速度可得：，，然后利用求差法比较大小即可． 【详解】（1）解：设船在静水中的速度为x千米/时，则 根据题意得， 解得，经检验是原方程的解， 答：船在静水的速度为50千米/时． （2）解：，， ， 因为，，， 所以， 即． 43．（25-26八年级上·四川凉山·期末）2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计划生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ 【答案】(1)主控芯片单价为元，传感器模块单价为元 (2)制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个 【分析】本题主要考查分式方程和二元一次方程组的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （1）设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片列分式方程求解即可； （2）设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则主控芯片单价为（元） 答：主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； （2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，根据题意得， 解得：， 则制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个， 答：制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个． 题型十六 选用合适的方法分解因式（共2小题） 44．（2026七年级下·浙江·专题练习）因式分解 (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）． 45．（2026七年级下·浙江·专题练习）将下列多项式进行因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解：； （5）解： 题型十七 因式分解在有理数简算中的应用（共2小题） 46．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）简便运算： (1) (2) 【答案】(1)4000 (2)4 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对算式进行变形简化． （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 47．（24-25八年级下·江西抚州·期中）利用分解因式计算：． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，平方差公式，将原式中24变形为，再利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 题型十八 因式分解的应用（整除问题）（共2小题） 48．（2025·陕西咸阳·二模）求证：对于任意整数，多项式的值都能被16整除． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，利用平方差公式把式子分解因式得到，据此可证明结论． 【详解】证明： ， 多项式的值都能被16整除． 49．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）【观察】，，，…… 【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除． 【验证】 （1）若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除； （2）若设这个偶数为，试说明比大3的数与的平方差能否被3整除； 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，掌握平方差公式法进行因式分解，是解题的关键： （1）根据题意，列式计算即可； （2）根据题意，利用平方差公式法进行因式分解即可； （3）根据题意，利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：（1）． ， 所以能被3整除． （2）， 所以能被3整除； （3）设这个数为n，比n大9的数为． ，所以能被9整除． 题型十九 因式分解的应用（判断三角形形状）（共2小题） 50．（22-23八年级下·江西景德镇·期末）阅读下列分解因式的过程：．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边满足，判断的形状 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）运用完全平方公式分解，再运用平方差公式进行分解即可； （2）运用乘法公式进行分组分解法分解因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， 因式分解为：， ， ， ，即， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查因式分解的知识，掌握乘法公式的运用，因式分解的方法是解题的关键． 51．已知，，为的三边，且满足，试判定的形状． 【答案】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形，理由见解析 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理、因式分解、等腰三角形的定义，熟练掌握这些性质是解题的关键．首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 则解得：或， 即为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形． 题型二十 因式分解的应用（求代数式的值）（共2小题） 52．（21-22七年级下·湖南永州·期中）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)，4； (2)-4a-2，1． 【分析】（1）运用完全平方公式分解因式，再合并同类项，化简后将a，b的值代入计算即可； （2）先提取公因式(2a+1) 分解因式，再合并同类项，化简后将a的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： =-4a-2， 当时，原式=-4-2=3-2=1． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，整式化简求值，解题的关键是掌握运用平方差公式和完全平方公式分解因式，把所求式子化简． 53．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）已知， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)168 (2)12 【分析】（1）根据题意，得，代入求解即可． （2）根据题意，得，变形代入求解即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：根据题意，得 题型二十一 已知二元一次方程组的解求参数（共3小题） 54．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）已知是方程的解，则等于________． 【答案】 【分析】把代入方程即可求解. 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：. 55．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知是关于x，y的方程组的解，则_____． 【答案】2 【分析】把代入方程组，求出的值，即可得出结果. 【详解】解：∵是关于x，y的方程组的解， ∴， ∴， ∴. 56．（25-26七年级下·重庆永川·期中）若关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是_____________． 【答案】 【分析】将代入二元一次方程组中，得到，①+②得，，可求得，即可求解． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解为， ∴， ∴①+②得，， ∴， ∴． 题型二十二 已知二元一次方程组的解的情况求参数（共2小题） 57．（25-26七年级下·重庆·期中）若关于和的方程组的解互为相反数，则______． 【答案】 【分析】根据相反数的定义，可得，即，先将代入第一个方程求出与的值，再代入第二个方程求解即可． 【详解】解：∵方程组的解，互为相反数， ，即， 将代入方程得，， 解得， ∴ ， 把，代入方程，得， 化简得， ， 解得． 58．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）已知关于x、y的方程组的解满足，则k的值为________． 【答案】2或−6 【分析】将两个方程相加整理得出．由得，因式分解进而求出k的值． 【详解】解： 由①②得， 即， 把代入， ∴， 整理得， 因式分解得， 解得，． ∴k的值为2或． 题型二十三 同解问题（共2小题） 59．（25-26七年级下·山东聊城·阶段检测）已知关于x，y的方程组与方程组同解，则_______． 【答案】81 【分析】先根据两个方程组的解相同重新组成方程组，并求出解，再将解代入求出a，b的值，进而求出代数式的值． 【详解】解：∵方程组与方程组同解， ∴， ，得， 将代入①，得， ∴方程组的解是． ∵两个方程组的解相同， ∴， 解得， ∴． 60．（25-26七年级下·福建泉州·阶段检测）已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】令，，则方程组变形为，结合题意可得方程组的解是，从而得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】解：令，，则方程组变形为， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴，， ∴，， ∴方程组的解为． 题型二十四 错解问题（共2小题） 61．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）甲、乙两人同时解关于的方程组，甲解得正确结果为，乙因为抄错了，解得错误结果为，则的值应为________． 【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程组解的运用，根据甲的解得到，根据乙的解得到，运用特殊解法得到，由此即可求解． 【详解】解：甲解得正确结果为，代入方程组， ∴， ∴由②解得，， 乙因为抄错了，解得错误结果为， ∴，即， ∴得，，即， ∴， 故答案为：7 ． 62．（24-25六年级下·上海·期末）若关于x，y的方程组的解被墨水遮挡住了一部分，请你根据已有信息求出k的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程，由题意可得，从而得出，将，代入可得，解关于的一元一次方程即可得解． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的一个解为的解， ∴， ∴， 将，代入可得， 解得：， 故答案为：． 题型二十五 二元一次方程组的特殊解法（共2小题） 63．（25-26七年级下·云南玉溪·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． (1)解方程组． (2)猜想：下列关于、的方程组的解是什么？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． （2）解：猜想：关于、的方程组的解是． 理由：观察例题和(1)中方程组的形式及解可得结论，验证如下， ， 得，， 所以，③， 将③，得④， ，得， 把代入③得，， 方程组的解是． 64．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)关于，的方程组的解_____； (2)若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____； (3)已知关于，的方程组，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题三个小题均使用换元法将原复杂方程组转化为简单的二元一次方程组求解，解出换元后的未知数后，再还原得到原问题的结果． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （2）设，， 则方程组可化为， ∵关于，的方程组的解是， ∴， 解得； （3）设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握整体代换、构造新元简化方程组是解题的关键． 题型二十六 实际问题与二元一次方程组（共3小题） 65．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况． 【答案】(1)m的值为80，n的值为60； (2)该商场可获利1100元； (3)该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 【分析】（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值； （2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论； （3）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 答：m的值为80，n的值为60； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴． 答：该商场可获利1100元； （3）解：设该商场当日售出A款足球a个，B款足球b个， 根据题意得：， 整理得：， 又∵a、b均为正整数， ∴或或或， ∴该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个； 答：该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 66．（25-26七年级下·浙江台州·期中）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过10吨，则按每吨a元收费；若每月用水超过10吨，则超过部分按每吨b元收费（）． (1)已知小明家3月份用水12吨，交水费26元；4月份用水15吨，交水费35元．求a和b的值． (2)到了5月份，为了应对旱情，自来水公司调整了收费标准：超过10吨但不超过20吨的部分，每吨加收1元的污水处理费，超过20吨的部分每吨加收2元污水处理费．已知小明家5月份和6月份用水都超过20吨，且6月份的用水量比5月份多10吨．若这两个月的水费总和为192元，求小明家5月份和6月份各用水多少吨？ 【答案】(1) (2)小明家5月份用水22.2吨，6月份用水32.2吨 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设小明家5月份用水吨，则6月份用水吨，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得方程组， 得， 故③， 把③代入①得， 故方程组的解为； （2）解：设小明家5月份用水吨，则6月份用水吨，， 根据题意得方程：， 解得：， 则6月份用水量为：（吨）． 答：小明家5月份用水22.2吨，6月份用水32.2吨． 67．（25-26七年级下·浙江金华·期中）2024年春晚名为《武BOT》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 2 360 信息二 型机器人每台每天可分拣快递22万件；型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买两种型号智能机器人（都有），费用恰好用完800万元，请写出所有符合情况的方案，并选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)符合条件的方案有三种：①购买A型1台，B型12台；②购买A型4台，B型8台；③购买A型7台，B型4台，购买A型智能机器人1台，B型智能机器人12台时，每天分拣快递的件数最多 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的特殊求解，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组． （1）设两种型号智能机器人的单价分别为，万元，根据题意，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购买两种型号智能机器人分别为，台，根据题意列出方程，再根据，为正整数，求解即可． 【详解】（1）解：设两种型号智能机器人的单价分别为，万元, 根据题意可得，，解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买两种型号智能机器人分别为，台， 由题意可得，， 化简可得，，即， 又∵，为正整数， ∴符合条件的，如下： ，，此时每天分拣快递的件数为（万件）； ，，此时每天分拣快递的件数为（万件）； ，，此时每天分拣快递的件数为（万件）； ∵， ∴，时，每天分拣快递的件数最多， 答：符合条件的方案有三种：①购买A型1台，B型12台；②购买A型4台，B型8台；③购买A型7台，B型4台，购买A型智能机器人1台，B型智能机器人12台时，每天分拣快递的件数最多． 题型二十七 幂的混合运算（共3小题） 68．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法的规则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意． 69．（25-26八年级上·吉林长春·周测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 70．（25-26八年级上·吉林长春·周测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算性质并正确应用符号法则． （1）先根据幂的乘方计算，再依据同底数幂乘法计算乘积． （2）分别用幂的乘方计算、积的乘方计算，再通过同底数幂乘法合并结果． （3）分别用幂的乘方计算，再进行同底数幂乘法运算． （4）分别用积的乘方计算，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二十八 根据幂的混合运算结果求参数（共3小题） 71．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【答案】①；②； 【分析】本题主要考查了积的乘方法则逆运算、幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则，熟练掌握积的乘方法则、同底数幂的乘法法则是解题关键． 知识迁移：结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可； 知识拓展：结合题意，根据幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：知识迁移： ①； ② ； 知识拓展： ， ， ， ， 解得：． 72．（22-23七年级下·浙江金华·期中）幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求m的值； (2)比较大小：若，，，则a，b，c的大小关系是什么？ 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方及其逆用，有理数大小比较，掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算； （2）把、、换算成同指数幂，再按照有理数大小比较方法进行比较． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 73．（22-23七年级下·浙江杭州·单元测试）若，试探究代数式与之间关系． 【答案】 【分析】由条件可得可得，而，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，掌握“利用幂的运算与逆运算进行变形”是解本题的关键． 题型二十九 利用整式相乘求参数的值（共3小题） 74．（25-26七年级下·河北衡水·期中）若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【答案】2 【分析】先把原式进行化简，再根据结果与x的取值无关列方程并解方程即可． 【详解】解： ∵多项式的结果与的取值无关， ∴含项的系数为0， 即， 解得：． 75．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知关于的等式恒成立，则__________． 【答案】7 【分析】首先，将多项式展开，然后，根据题意得到关于的方程组，最后，解方程组即可． 【详解】解：∵，关于的等式恒成立， ∴， 解得， ∴． 76．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则的值为_____． 【答案】12 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则展开等式左侧，对比等式两边同类项的系数得到和的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴． 题型三十 已知多项式乘积不含某项求参数（共2小题） 77．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据结果中不含x的一次项，即含x的一次项系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项， ∴，即． 78．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为__________． 【答案】－3 【分析】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 【详解】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 题型三十一 求完全平方式中字母的系数（共2小题） 79．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）若是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】 【分析】利用完全平方式的结构特征列式计算，即可确定出的值． 【详解】解：是一个完全平方式，且， 或 ， 解得或， 80．（25-26七年级下·浙江·期中）若，则________． 【答案】12 【分析】先计算，再通过对比等式两边对应项的系数求解的值． 【详解】解：， 又， ， ∴， 解得． 题型三十二 利用乘法公式进行计算（共2小题） 81．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项即可； （2）把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 82．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9409 (2)4 【分析】（1）原式化为，然后利用完全平方公式计算即可； （2）原式化为，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型三十三 整式乘除的混合运算（共2小题） 83．（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握乘法公式，整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项，完全平方和公式展开，再运用整式的加减运算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项，多项式除以单项式的计算方法展开，再运用整式的加减运算法则计算即可； （3）根据完全平方和公式，平方差公式展开，再运用整式的加减运算法则计算即可； （4）根据平方差公式，去括号展开，再运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 84．（24-25八年级上·广东汕头·期末）化简： (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）原式先运用平方差公式进行计算，再运用完全平方公式计算即可； （2）原式先计算中括号内的，然后再根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可； （3）原式先根据完全平方公式和平方差公式将括号再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 题型三十四 与整式乘除有关的化简问题（共2小题） 85．（24-25六年级下·全国·单元测试）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求代数式的值． （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），；（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据整式混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可； （2）先根据整式混合运算法则进行化简，然后整体代入求值即可； （3）先根据整式混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解：（1）， 当，时，原式． （2）， 因为，所以，所以原式． （3） ， 当，时，原式． 86．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）已知，，化简，并求当时，该代数式的值； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；0；（2）； 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，掌握混合运算的运算顺序是解本题的关键； （1）先计算整式的混合运算，再合并同类项，最后把代入化简后的代数式计算即可； （2）先计算整式的混合运算，最后把，代入化简后的代数式计算即可； 【详解】解：（1）因为，， 所以原式 ． 当时，原式． （2）原式 ． 当，时， 原式 ． 题型三十五 利用科学记数法表示较小的数（共2小题） 87．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）． 1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为______ronto克． 【答案】 【分析】运用科学记数法的运算法则解答即可． 【详解】一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克 故答案为． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示的数的除法运算，解题的关键是掌握用科学计数法表示数的运算方法． 88．（24-25七年级下·山西晋中·期末）晋中市在市城区公园、游园、街道两旁栽种了30余万株月季，致力于打造“月季之城”．常见月季花粉的平均直径约为，将数据用小数可以表示为_________． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法转化为小数，解题的关键在于掌握科学记数法还原规则，即把a的小数点向左移动n位． 将的小数点向左移动5位即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型三十六 几何问题中的角度计算（共2小题） 89．（25-26七年级下·山西太原·期中）如图．直线与相交于点，，，．试判断与是否垂直，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】根据对顶角相等可得，根据已知可得，得出，进而求得，根据，即可得出结论． 【详解】解：．理由如下： 因为， 所以． 因为， ， 所以 ． 所以． 因为，所以 ． 所以 ． 所以． 90．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，直线与相交于点O，过点O作射线，且． (1)_______． (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，对顶角相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）由对顶角相等即可求解； （2）根据，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 题型三十七 补全平行线的判定过程（共2小题） 91．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图所示，完成推理过程． ①（已知）， _____（_____）． ②（已知）， _____∥_____（______）． ③（已知）， （_____） ④（已知）， _____（_____）． 【答案】①；内错角相等，两直线平行 ②；同位角相等，两直线平行 ③同旁内角互补，两直线平行 ④；同位角相等，两直线平行 【分析】根据题意和平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：①（已知）， （内错角相等，两直线平行）． ②（已知）， （同位角相等，两直线平行）． ③（已知）， （同旁内角互补，两直线平行） ④（已知）， （同位角相等，两直线平行）． 92．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）如图，如果，求证：；．观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（已知）， （________①__________）， ∴ 又∵（已知）， ∴____②_____（______③_________）， ∴（_________④_____________________）， 又∵（______⑤___________） ∴（___________⑥________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（_____________⑦___________）． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定解答即可． 【详解】证明：∵（已知）， （对顶角相等）， ∴ 又∵（已知）， ∴（等式的性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（邻补角定义） ∴（等式的性质）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 题型三十八 利用平行线的性质求解（共3小题） 93．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为______度． 【答案】 【分析】过点作，可得，即得，又由平行线的推论得，得到，再根据平角的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 94．（2026·重庆·一模）如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】由题意得：，，则，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 95．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）一副三角板按如图所示放置，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中角的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． 根据，得出，从而求出． 【详解】解：根据题意可得：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三十九 平行线的性质在实际生活的应用（共4小题） 96．（22-23八年级上·贵州遵义·阶段检测）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据平行线的性质定理求解即可． 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ，， ， 故选：B． 97．（2023·四川绵阳·中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论． 【详解】解：水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 故选：B． 98．（23-24七年级下·河北邢台·阶段检测）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 99．（22-23七年级下·河北邢台·期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过B作，然后根据平行线的性质和垂线的定义即可得解 ． 【详解】解：如图，过B作，    ∵， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质和垂线的定义是解题关键． 题型四十平行线的判定与性质综合（共3小题） 100．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行可得答案； （2）先求出的度数，再证明，最后根据平行线的性质得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ； （2）解：， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 101．（25-26七年级下·吉林四平·阶段检测）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）首先根据得到，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （2）首先根据得到，进行角度转化得到进而得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 102．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，与交于点，点、分别在、上，连结、，，． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)，，求的度数． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据题意，结合图形，得到，利用同位角相等，两直线平行，证得结论； 根据题意，先计算出，再得到，利用两直线平行，内错角相等，得到结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 题型四十一 利用平移的性质求解（共4小题） 103．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，由平移性质可得，，可判断①；推出阴影部分的周长为三角形的周长可判断②；计算四边形的周长为，的周长为，作差可判断③；过A点作于H，利用面积法求出，根据列方程可解得，从而可判断④． 【详解】解：由平移性质可得，，故①不正确； 阴影部分的周长为，故②正确； 时，四边形的周长为， 的周长为：， 四边形的周长比三角形的周长多，故③不正确； 过A点作于H，如图， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 解得，故④正确， 故选：B． 104．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，则有下列说法：①；②；③；④图中阴影部分的面积为，其中一定正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质和判定， 根据平移的性质可解答①③；再根据解答④；最后根据各角之间的关系判断②即可． 【详解】解：根据平移的性质可知，，， ∴． 则①③正确； ∵， ∴． 则④正确； ∵， ∴． ∵，且， ∴． 则②不正确． 所以正确的有①③④． 故选：D． 105．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）小红的爸爸打算在院子里种上蔬菜，已知院落为东西长，南北宽为的长方形，为了行走方便，要修筑三条道路，东西方向两条，南北方向一条，南北方向道路垂直于东西方向道路（如图a），余下的部分要种上西红柿，设道路的宽为，爸爸打算让小红算一下，用于种菜的面积是多少？小红经过分析后，考虑可以直接求出用于种菜部分的面积，若从平移的角度看，只需把道路均平移到边上去（如图b）不难发现图b中的空白的面积． (1)请你帮小红求出空白部分的面积（用含x的代数式表示）； (2)当时，求种菜的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查长方形的面积公式，整式的混合运算，关键在于平移的性质推出b图中道路的宽和长． （1）如图b，根据平移的性质，东西方向的道路的长为，宽为，则面积为，南北方向道路的面积为，院子的面积为，则空白部分的面积为，然后计算即可； （2）根据（1）所推出的结论，把代入（1）所求出的表达式，即可推出结果． 【详解】（1）∵院落为东西长，南北宽为的长方形， ∴， ∵道路的宽为， ∴东西方向的道路的长为，宽为， ∴面积为， ∴南北方向道路的面积为， ∴空白部分的面积 ． （2）∵空白部分的面积为， ∴当时，空白部分的面积 =． 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校开设了多元活动班，设置“绘画”、“剪纸”、“舞蹈”、“摄影”四类活动课程，每名学生从中选择并且只能选择其中一类参加，学校就报名情况对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了______名学生，在扇形统计图中，n的值是______； (2)请直接补全条形统计图； (3)扇形统计图中，“摄影”对应的圆心角度数为______°； (4)若该校共有2500名学生，请估计有多少名学生选择了“绘画”． 【答案】(1)50，20； (2)见解析 (3)36 (4)750名 【分析】（1）利用剪纸的人数除以其所占的百分比即可得到结论，利用样本容量的意义，圆心角的计算解答即可． （2）根据计算补图即可． （3）根据圆心角等于所占百分比乘以周角，计算即可； （4）根据样本估计整体的思想计算即可． 本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角计算，样本容量的计算，样本估计总体，读懂统计图，熟练掌握圆心角，样本容量的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， 舞蹈的人数为． ， 故n的值为20． 故答案为：50，20． （2）解：根据前面计算，补图如下： （3）解：摄影所占圆心角为： 故答案为：36． （4）解：根据题意，得（人） 答：选择绘画的有750人． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件． (1)求和的值； (2)商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值． 【答案】(1)的值为15，的值为18 (2)的值为8 【分析】本题考查二元一次方程组与分式方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组与分式方程是解题的关键． （1）根据买10件，件，件，总价格为520元；买15件，件，件，总价格为505元，列出关于和的二元一次方程组即可得到答案； （2）根据用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多的等量关系列出分式方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题知：纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件， ∴， 解得：， ∴的值为15，的值为18； （2）由题可知：套装的定价为33元/套，套装的定价为38元/套， ∴可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴的值为8． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 【答案】(1)，； (2)，， (3)，． 【分析】（1）仿照材料解方程，归纳总结得到结果； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想的解为：，． 故答案为：， （2）解：由， 得， ∴， ∴， 由（1）中法规律得方程的解为：， ； （3）解：由， 得， ∴， ∴， ∴， ∴，或， 解得，． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码． (1)对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码． (2)对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)能，， 【分析】本题主要考查了分解因式，已知分解因式的结果求参数等等，正确理解题意是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得到，再计算出和的结果即可得到答案； （2）把提取公因式x得到，根据产生的密码为可得因式分解的结果为，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， 当，时，，， ∴这个六位数密码可以是； （2）解：， ∵当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为，， ∴因式分解的结果为， ∴， ∴． 5．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，乘法分配律的应用，解题关键是掌握整式的混合运算． （1）结合长方形的性质分别表示即可． （2）利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：，， ， ， ∴． （2）解： ， ， ∴， ∵， ∴． 6．（24-25七年级下·浙江温州·期末）某运输公司现有190吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ■ (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)第三次运输安排了5辆A货车，4辆B货车，运输物资共160吨．请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 【答案】(1)540 (2)A货车每辆每次可以运送物资20吨，B货车每辆每次可以运送物资15吨 (3)共有3种可行的运输方案：方案1：使用2辆A货车，10辆B货车；方案2：使用5辆A货车，6辆B货车；方案3：使用8辆A货车，2辆B货车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）根据第一、二次A，B两种货车使用数量比例相同，即可求出第二次运算防疫物资的质量； （2）设A货车每辆每次可以运送物资x吨，B货车每辆每次可以运送物资y吨，根据第一、三次运输记录的数据，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设使用m辆A货车，n辆B货车，根据要一次运输190吨防疫物资且每辆货车均满载，列出二元一次方程，求出自然数解，即可得出各运输方案． 【详解】（1）解：∵， ∴表格中被污渍盖住的数是（吨）， 故答案为：540． （2）解：设A货车每辆每次可以运送物资x吨，B货车每辆每次可以运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：A货车每辆每次可以运送物资20吨，B货车每辆每次可以运送物资15吨． （3）解：设使用m辆A货车，n辆B货车， 依题意得：， 整理得：， 又∵m、n均为自然数， ∴或或， ∴共有3种可行的运输方案： 方案1：使用2辆A货车，10辆B货车； 方案2：使用5辆A货车，6辆B货车； 方案3：使用8辆A货车，2辆B货车． 7．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）图1中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （2）图2中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （3）图3中，将路线的横向部分平移后总长度等于长方形的长，纵向部分平移后总长度为2(宽)米，相加得到路线总长． 【详解】（1）解：将图1中小路往左平移，直到E、F分别与A、B重合， 则平移后可得到草地是长为米，宽为米的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （2）解：将图2中将小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，则平移后可得到草地是长为(米)，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （3）解：将路线的横向部分平移，总长度为米； 将路线的纵向部分平移，总长度为(米)； ∴所走路线的长度为(米)． 8．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质和判定进行填写即可； （2）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可； （3）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可． 【详解】解：（1）过点作直线，使． 因为， 所以．（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以． （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 $