第05课 垂直（导学案）新四年级数学暑假自学课（青岛版五四制·新教材）

第05课 垂直 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标 在认识相交、平行的基础上，理解两条直线互相垂直的含义，认识垂线、垂足，理清平行、普通相交、垂直三者的关系。 掌握过直线上一点、过直线外一点画已知直线垂线的规范方法，能借助三角尺准确画出垂线。 理解垂线段最短的性质，知道点到直线的距离含义，能结合生活实例判断垂直现象，解决简单几何实际问题。 2、重难点 重点：理解互相垂直的定义，掌握垂线的画法，明确垂足的概念。 难点：区分普通相交和垂直（垂直是特殊的相交），理解垂线段最短以及点到直线的距离含义。 模块二 预习引导 一、相交与垂直的关系 同一平面内两条直线分为平行和相交两类，垂直是一种特殊的相交。普通相交：两条直线相交，夹角不是直角；互相垂直：两条直线相交，夹角都是直角。 补充衔接：平行永不相交，垂直一定相交，垂直属于相交的特殊情况。 二、垂直相关核心定义 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，两条直线的交点叫做垂足。 关键要点：判断两条直线是否垂直，只需要看相交形成的角是不是直角，和直线摆放方向无关。 三、垂线的两种标准画法（三角尺作图） 1. 过直线上一点画垂线 一合：三角尺一条直角边与已知直线完全重合； 二移：移动三角尺，让直角顶点对准直线上的已知点； 三画：沿着三角尺另一条直角边画出直线，这条线就是已知直线的垂线。 2. 过直线外一点画垂线 一合：三角尺一条直角边贴合已知直线； 二移：平移三角尺，让另一条直角边经过直线外指定的点； 三画：沿直角边画线，画出对应垂线。 四、垂线段的重要特征 从直线外一点到这条直线，可以画出无数条线段，其中垂线段最短； 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离。 五、本课常见易错点 易错混淆：误以为垂直和相交是并列关系，牢记垂直属于特殊相交； 作图失误：画垂线忘记标注直角符号，作图不标准； 概念误区：距离指垂线段的长度，不是垂线段这条线本身。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．在同一平面内，过直线外一点，可以画（    ）条直线与已知直线垂直。 A．1 B．2 C．4 D．无数 2．把一张长方形纸对折再对折，完全展开后，两条折痕的位置关系是（    ）。 A．互相平行 B．可能互相垂直，也可能互相平行 C．互相垂直 D．相交但不垂直 3．明明在本子上画了三条直线a、b、c，其中a∥b且a⊥c，那么b与c的位置关系是（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．任意相交 D．不能确定 4．把一张长方形纸按如图所示的方式对折两次后展开，两条折痕（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 5．走廊墙壁上挂着一块“安全出口”指示牌（如图），下面的方法（    ）不能验证指示牌是否挂正。 A．看指示牌上、下或左、右两条线段是否分别平行 B．看指示牌上方的边框是否与墙壁边线平行 C．量一下指示牌上方绳子的长度是否相等 D．将直角三角尺的直角顶点对准绳子与指示牌的交点，一条直角边与指示牌重合，看另一条直角边是否与绳子重合 6．某工程队计划把河水引到水池A中，如图所示，CD为河岸，他们先过水池边缘的E点作河岸CD的垂线EB，然后沿线段EB开渠，可以节省人力，这样做法的数学依据是（    ）。 A．从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短 B．两点间所有连线中线段最短 C．过直线外一点有唯一的一条直线和已知直线平行 D．两条平行线之间的距离处处相等 二、填空题 7．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使得OC⊥OD，如果∠AOC＝40°，那么∠BOD的度数为( )。 8．在一个长方形中，有( )对互相平行的边，有( )组互相垂直的边。 9．直角三角形的两条直角边互相( )，长方形对边互相( )。 10．在如图的三条直线中( )⊥( )，理由是( )。 11．如下图，线段BF与直线m互相( )（填“平行”或“垂直”），点A与直线m的连线中，最短的线段是( )。 12．下面各组线中，互相平行的是( )，互相垂直的是( )。（填序号） 13．在同一平面内互相垂直的两条直线( )相交，相交的两条直线( )垂直。（填“一定”、“可能”、“不可能”） 14．当钟表上显示时间为5时整，时针与分针的较小夹角是( )角；当钟表上显示时间为6时整，时针与分针的夹角是( )角；9时整，时针与分针的指针相互( )。（填“平行”或“垂直”） 三、作图题 15．过图中的点A画直线BC的垂线和平行线。 16． （1）以p点为角的顶点画一个30°的角。 （2）过p点画已知直线的垂线。 17．画一画。 过A点画已知直线的平行线和垂线。 18．以点O为顶点，射线OP为一条边，先画一个70°的角；再从B点画OP边的垂线。 四、解答题 19．某小区有一块长方形的花园，内有一座凉亭（如图）。 （1）小玲的前面有两条小路到达凉亭，分别长18米、12米。其中一条小路与花园长边是垂直的，这条小路长（    ）米，在图中画出这条小路。 （2）小区物业计划从凉亭位置再修一条到达花园短边的小路，怎么修最短呢？请在图中画下来。 20．菜园在明明家的东北面，小河在他家北面（如图）。爸爸想从家修一条路到菜园，再从河边修条水渠到菜园。请你帮明明设计一下，并说明理由。 理由1： 理由2： 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05课 垂直 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标 在认识相交、平行的基础上，理解两条直线互相垂直的含义，认识垂线、垂足，理清平行、普通相交、垂直三者的关系。 掌握过直线上一点、过直线外一点画已知直线垂线的规范方法，能借助三角尺准确画出垂线。 理解垂线段最短的性质，知道点到直线的距离含义，能结合生活实例判断垂直现象，解决简单几何实际问题。 2、重难点 重点：理解互相垂直的定义，掌握垂线的画法，明确垂足的概念。 难点：区分普通相交和垂直（垂直是特殊的相交），理解垂线段最短以及点到直线的距离含义。 模块二 预习引导 一、相交与垂直的关系 同一平面内两条直线分为平行和相交两类，垂直是一种特殊的相交。普通相交：两条直线相交，夹角不是直角；互相垂直：两条直线相交，夹角都是直角。 补充衔接：平行永不相交，垂直一定相交，垂直属于相交的特殊情况。 二、垂直相关核心定义 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，两条直线的交点叫做垂足。 关键要点：判断两条直线是否垂直，只需要看相交形成的角是不是直角，和直线摆放方向无关。 三、垂线的两种标准画法（三角尺作图） 1. 过直线上一点画垂线 一合：三角尺一条直角边与已知直线完全重合； 二移：移动三角尺，让直角顶点对准直线上的已知点； 三画：沿着三角尺另一条直角边画出直线，这条线就是已知直线的垂线。 2. 过直线外一点画垂线 一合：三角尺一条直角边贴合已知直线； 二移：平移三角尺，让另一条直角边经过直线外指定的点； 三画：沿直角边画线，画出对应垂线。 四、垂线段的重要特征 从直线外一点到这条直线，可以画出无数条线段，其中垂线段最短； 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离。 五、本课常见易错点 易错混淆：误以为垂直和相交是并列关系，牢记垂直属于特殊相交； 作图失误：画垂线忘记标注直角符号，作图不标准； 概念误区：距离指垂线段的长度，不是垂线段这条线本身。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．在同一平面内，过直线外一点，可以画（    ）条直线与已知直线垂直。 A．1 B．2 C．4 D．无数 【答案】A 【分析】同一平面内，过直线外一点，作已知直线的垂线，点到直线的垂线只有一条，据此解答。 【详解】在同一平面内，过直线外一点，可以画1条直线与已知直线垂直。 2．把一张长方形纸对折再对折，完全展开后，两条折痕的位置关系是（    ）。 A．互相平行 B．可能互相垂直，也可能互相平行 C．互相垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】在同一平面内不相交的两条直线互相平行，在同一平面内相交成直角的两条直线互相垂直；根据题意，如果把一张长方形纸两次对折的方向相同，则对折后展开的图形如图，两条折痕互相平行；如果把一张长方形纸两次对折的方向不同，则对折后展开的图形如图，则两条折痕互相垂直。据此解答。 【详解】根据分析可知： 把一张长方形纸对折再对折，完全展开后，两条折痕的位置关系是，可能互相垂直，也可能互相平行。 3．明明在本子上画了三条直线a、b、c，其中a∥b且a⊥c，那么b与c的位置关系是（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．任意相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据题意可知直线a∥b，直线a⊥c。依据在同一平面内，垂直于平行线中一条直线的直线必垂直于另一条直线的性质，可推导出直线b与直线c的位置关系。据此作答。 【详解】根据分析可知，因为a∥b且a⊥c，所以b⊥c，即直线b与c互相垂直。 4．把一张长方形纸按如图所示的方式对折两次后展开，两条折痕（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据平行和垂直的概念：在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线；两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。分析对折后折痕之间的位置关系，得出结论即可。 【详解】第一次对折是沿着垂直于长方形纸的长边进行的，形成一条垂直的折痕；第二次对折是沿着平行于长方形纸的长边进行的，形成一条水平的折痕。当纸张展开之后，垂直的折痕在纸张的中心相交，形成直角，因此这两条折痕是互相垂直的。具体如下所示： 因此两条折痕互相垂直。 5．走廊墙壁上挂着一块“安全出口”指示牌（如图），下面的方法（    ）不能验证指示牌是否挂正。 A．看指示牌上、下或左、右两条线段是否分别平行 B．看指示牌上方的边框是否与墙壁边线平行 C．量一下指示牌上方绳子的长度是否相等 D．将直角三角尺的直角顶点对准绳子与指示牌的交点，一条直角边与指示牌重合，看另一条直角边是否与绳子重合 【答案】A 【分析】指示牌本身对边平行，若指示牌挂正，它的水平边框会和水平的墙壁边线平行，水平边框也会和竖直的悬挂绳子垂直。我们只需逐个判断方法是否有效即可。 【详解】A．无论指示牌挂得歪还是正，它自身的对边都是平行的，因此观察自身对边是否平行，完全无法判断指示牌有没有挂正，这个方法无效。 B．如果指示牌上方边框和墙壁边线平行，说明指示牌边框是水平的，代表指示牌挂正了，这个方法可以验证。 C．如果两根绳子长度相等，那么连接绳子下端的指示牌上边一定是水平的，说明指示牌挂正了，这个方法可以验证。 D．用三角尺直角可以验证是否垂直，如果垂直说明指示牌挂正了，这个方法可以验证。 6．某工程队计划把河水引到水池A中，如图所示，CD为河岸，他们先过水池边缘的E点作河岸CD的垂线EB，然后沿线段EB开渠，可以节省人力，这样做法的数学依据是（    ）。 A．从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短 B．两点间所有连线中线段最短 C．过直线外一点有唯一的一条直线和已知直线平行 D．两条平行线之间的距离处处相等 【答案】A 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。 【详解】工程队从E点向河岸CD作垂线EB开渠，目的是让水渠长度最短，节省人力，这正是利用了垂线段最短的性质。选项A符合题意，正确。 二、填空题 7．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使得OC⊥OD，如果∠AOC＝40°，那么∠BOD的度数为( )。 【答案】50°/130° 【分析】先求∠AOD 的度数，利用平角∠AOB减去∠AOD即可求得，射线OD可能在射线OC的左侧，也可能在射线OC的右侧，因此需要分两种情况进行讨论。 【详解】因为点O在直线AB上，所以∠AOB＝180°，因为 OC⊥OD，所以∠COD＝90°。 情况一：当射线OD在射线OC的右侧时，即射线OC在∠AOD内部，∠AOD＝∠AOC＋∠COD ，40°＋90°＝130°，∠BOD＝∠AOB－∠AOD，180°－130°＝50°。 情况二：当射线OD在射线OC的左侧时，即射线OA在∠COD内部，∠AOD＝∠COD－∠AOC，90°－40°＝50°，∠BOD＝∠AOB－∠AOD，180°－50°＝130° 综上所述，∠BOD 的度数为 50°或 130°。 8．在一个长方形中，有( )对互相平行的边，有( )组互相垂直的边。 【答案】 /两 /四 【分析】在同一个平面内不相交的两条直线互相平行，两条直线相交成直角，也说这两条直线互相垂直，据此解答。 【详解】在一个长方形中，有对互相平行的边，有组互相垂直的边。 9．直角三角形的两条直角边互相( )，长方形对边互相( )。 【答案】 垂直 平行 【分析】在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。 【详解】直角三角形的两条直角边互相垂直，长方形对边互相平行。 10．在如图的三条直线中( )⊥( )，理由是( )。 【答案】 a b 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直 【分析】先观察图中直线所成角的度数，判断可能是垂直关系的直线，计算未知角的度数。利用平角为，直线a和直线b相交所成角的度数等于180°减去60°和30°，如果这个角为，那么这两条直线垂直。 【详解】直线a和b的夹角为 ，因此，理由为：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 11．如下图，线段BF与直线m互相( )（填“平行”或“垂直”），点A与直线m的连线中，最短的线段是( )。 【答案】 垂直 AD/DA 【分析】在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条线互相平行；当两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。由图可知，线段BF与直线m相交成直角，所以线段BF与直线m互相垂直；点A与直线m的连线中，只有线段AD与直线m垂直，所以最短的线段是AD。 【详解】由分析可知，线段BF与直线m互相垂直，点A与直线m的连线中，最短的线段是AD。 12．下面各组线中，互相平行的是( )，互相垂直的是( )。（填序号） 【答案】 ② ③ 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。 在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。 【详解】互相平行的是②，互相垂直的是③。 13．在同一平面内互相垂直的两条直线( )相交，相交的两条直线( )垂直。（填“一定”、“可能”、“不可能”） 【答案】 一定 可能 【分析】根据题意，互相垂直的两条直线必然相交，因为垂直是相交的一种特殊情况，所以填“一定”；相交的两条直线不一定垂直，只有当相交角为90°时才垂直，所以填“可能”。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 在同一平面内互相垂直的两条直线一定相交，相交的两条直线可能垂直。 14．当钟表上显示时间为5时整，时针与分针的较小夹角是( )角；当钟表上显示时间为6时整，时针与分针的夹角是( )角；9时整，时针与分针的指针相互( )。（填“平行”或“垂直”） 【答案】 钝 平 垂直 【分析】根据对钟面的了解，一共分为12大格，每大格的夹角是30°，5时整的时针指向5，分针指向12，时针与分针之间相差5大格，用5×30°即可求出夹角是多少度，根据锐角小于90°，直角等于90°，钝角大于90°且小于180°，据此判断是什么角即可；6时整的时针指向6，分针指向12，时针与分针之间相差6大格，用6×30°即可求出夹角是多少度，根据平角等于180°，周角等于360°，据此判断是什么角即可；9时整，时针指向9，分针指向12，时针与分针之间相差3大格，用3×30°即可求出夹角是多少度，据此判断位置关系即可。 【详解】5×30°＝150°，夹角是钝角； 6×30°＝180°，夹角是平角； 3×30°＝90°，时针与分针的指针相互垂直。 当钟表上显示时间为5时整，时针与分针的较小夹角是钝角；当钟表上显示时间为6时整，时针与分针的夹角是平角；9时整，时针与分针的指针相互垂直。 三、作图题 15．过图中的点A画直线BC的垂线和平行线。 【答案】见详解 【分析】过点A作直线BC的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线BC，沿这直线BC滑动三角板，当另一直角边经过点A时，沿这条直角边画的直线就是过点A作的直线BC的垂线； 过点A作直线BC的平行线：把三角板的一边靠紧直线BC，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线BC重合的一边经过点A时，沿这条边画的直线就是过点A作的直线BC的平行线。 【详解】 16． （1）以p点为角的顶点画一个30°的角。 （2）过p点画已知直线的垂线。 【答案】见详解 【分析】（1）以p点为端点先画一条射线，用量角器的中心和射线的p点重合，零刻度线和射线重合，在量角器30°刻度线的地方点一个点；以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个30°的角； （2）用直角三角尺的一条直角边和已知直线重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和p点重合，过p点沿直角边向直线画垂线即可。 【详解】（1）（2）画图如下： （画图不唯一） 17．画一画。 过A点画已知直线的平行线和垂线。 【答案】见详解 【分析】（1）三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。 （2）用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿直角边向已知直线画直线即可。 【详解】 18．以点O为顶点，射线OP为一条边，先画一个70°的角；再从B点画OP边的垂线。 【答案】见详解 【分析】把量角器的中心点和射线OP的端点O重合，零度刻度线和射线OP重合，在量角器上找到70°的地方记一个点，从射线OP的端点O出发，通过新记的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是所要画的角； 三角尺的一条直角边和射线OP重合，然后平移三角板，让其另一条直角边与B点重合，连接B点和三角板的直角顶点，画出的线段就是从B点画OP边的垂线，标上垂直符号即可； 【详解】 四、解答题 19．某小区有一块长方形的花园，内有一座凉亭（如图）。 （1）小玲的前面有两条小路到达凉亭，分别长18米、12米。其中一条小路与花园长边是垂直的，这条小路长（    ）米，在图中画出这条小路。 （2）小区物业计划从凉亭位置再修一条到达花园短边的小路，怎么修最短呢？请在图中画下来。 【答案】（1）图见详解；12；（2）图见详解 【分析】（1）根据点到直线的所有线段中垂线段最短，那条与花园长边垂直的小路是 12 米。因为长方形的长边与此小路成直角，直接量得的较短距离就是 12 米；另一条 18 米的小路则是斜向通往凉亭的。 （2）要从凉亭到花园的短边走最短路，应画出从凉亭垂直于短边的路径。这条垂直线段就是所需的新小路。 【详解】（1）（2）如图： （1）12＜18 小玲的前面有两条小路到达凉亭，分别长18米、12米。其中一条小路与花园长边是垂直的，这条小路长（12）米。 20．菜园在明明家的东北面，小河在他家北面（如图）。爸爸想从家修一条路到菜园，再从河边修条水渠到菜园。请你帮明明设计一下，并说明理由。 理由1： 理由2： 【答案】图见详解； 点与点之间，线段最短，这样明明家到菜园的距离最短（答案不唯一） 点与直线之间，垂线段最短，这样从河边到菜园的距离最短（答案不唯一） 【分析】线段：直线上任意两点之间的一段叫做线段；连接两点的线段的长度叫做两点间的距离；两点之间，线段最短； 过直线外一点作垂线：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离；过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线；据此解答。 【详解】如图： 理由1：点与点之间，线段最短，这样明明家到菜园的距离最短。（答案不唯一） 理由2：点与直线之间，垂线段最短，这样从河边到菜园的距离最短。（答案不唯一） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $