第06课 两点间的距离及点到直线的距离（导学案）新四年级数学暑假自学课（青岛版五四制·新教材）

第06课 两点间的距离及点到直线的距离 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标 认识两点之间的距离，理解两点之间线段最短的基本性质，能准确区分线段、射线、直线三种连线方式。 巩固垂线相关知识，理解点到直线的距离的含义，掌握测量点到直线距离的方法。 能运用两条距离的相关性质，解决生活中修路、选址等实际问题，规范完成距离测量类作图题。 2、重难点 重点：掌握两点之间线段最短，理解点到直线的距离是垂线段的长度，会测量两种距离。 难点：区分两点间距离和点到直线的距离，分清线段本身和线段长度的概念差异。 模块二 预习引导 一、两点间的距离 1、基本性质 连接两点可以画出无数条线，包括曲线、折线、线段，其中两点之间线段最短。 2、概念定义 连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离。 3、关键提醒 距离指的是线段的长度，不是这条线段本身；两点之间有且只有一条线段。 二、点到直线的距离 1、基本性质 从直线外一点向已知直线画线段，可以画出无数条线段，其中垂线段最短。 2、概念定义 从直线外一点到这条直线所画的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 3、测量方法 先用三角尺画出直线外一点到已知直线的垂线； 再用直尺测量出这条垂线段的长度，这个数值就是点到直线的距离。 三、两种距离对比区分 两点间距离：两个点之间，最短连线是线段，距离为线段长度。 点到直线的距离：一个点和一条直线之间，最短连线是垂线段，距离为垂线段长度。 四、本课易错点 混淆线和长度：距离是长度，不是线段、垂线段这条图形本身。 测量点到直线距离时，没有画垂线，直接斜着测量线段，导致结果错误。 生活应用题不会灵活运用最短原理，不会根据距离知识设计最短路线。 五、知识回顾验算 可以通过作图验证：分别画出两点间不同连线、点到直线不同线段，直观对比长短，牢记最短规律，巩固距离相关概念。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．体育课上，同学们在练习跳远。测量跳远成绩时，应该测量（    ）。 A．脚后跟到起跳线的直线距离 B．脚后跟到起跳线的垂直线段的长度 C．脚尖到起跳线的距离 D．身体重心到起跳线的距离 2．下图是小亮跳远时留下的脚印，A点是他脚后跟落入沙坑时的位置，用（    ）的长度来表示他这一次跳远的成绩比较合适。 A．线段AB B．线段AC C．线段AD D．线段AE 3．根据安徽省“四好农村路”建设要求，政府计划要从西湖镇的点A修一条乡道通往G330国道，下图设计的四条道路中最短的是（    ）。 A．道路AB B．道路AC C．道路AD D．道路AE 4．四名同学投沙包，（    ）投得最远。 A．小明 B．小东 C．小李 D．小杰 5．测量跳远成绩时，要把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度。其中的数学道理是（    ）。 A．点到直线的距离 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 6．公路旁有四条小路均可通往小刚家。已知四条小路的长度分别是210米、120米、152米、135米，其中有一条小路与公路是垂直的。这条小路的长度是（    ）。 A．120米 B．135米 C．152米 D．210米 二、填空题 7．公路边上有3条小路通往小乐家，它们的长度分别是、、，其中有一条小路与公路垂直，那么这条小路的长度是( )m。 8．探测队员在沙漠中迷失了方向，水和食物即将耗尽，急需前往离他们最近的绿洲补充水和食物。从携带的简易地图上，能看到周围有A、B、C三个绿洲。 他们应前往( )绿洲，理由是：________。 9．元旦班级联欢会，乐乐和他的好朋友玩抢椅子游戏，四人站在正方形边框的线上，椅子放在正中间，( )的站位最有利。 10．如图，一只老虎追赶一只狐狸，狐狸慌不择路掉进了河里，狐狸想要游最短的路线上岸，又不被老虎抓住，应选择路线是从点( )到点( )（填字母）。 11．同学们站在起掷线后原地投掷沙包，落地点到起掷线的距离为有效成绩。如图是三个同学投掷沙包轨迹和落地点示意图，( )的有效成绩最好。( )有效成绩最差。 12．如图，小丽、小兰和小敏三位同学早晨同时从家出发去学校，如果她们行走的速度相同，最先到达学校的是( )。 13．下图中，从点A到直线BE的线段中，最短的线段是线段( )。 14．从小明家到某条地铁线有三条小路可以走，它们的长度分别是880米、720米、950米，其中一条小路与这条地铁线垂直，这条小路的长度是( )米。 三、作图题 15．按要求画图。    (1)请你画一条从蘑菇房到小木房最近的路。 (2)请你画一条从小木房通向小河最近的路。 16．下面是王叔叔的小院，他现在站在水缸位置取水，取好水后去汽车修理房，将水倒进汽车水缸内，再开车到门前小路上。请你画出王叔叔最近的行走路线。 17．小马想去河边喝水，请你设计几条不同的路线，想一想哪条是最短的，并把它们画出来。 我发现：________________________________________________。 18．在民生路和北京路之间有一座公园，为了方便市民前往公园，市政部门准备从民生路和北京路各修一条通向公园的路，怎样修这两条路最近？请画出来。 四、解答题 19．体育课上，老师带大家玩夺旗游戏，下面这种站位公平吗？试着在图上画一画，如果不公平，对谁有利？为什么？ 小明      小华   小军        小丽 20．体育课上，老师带大家做抢凳子游戏，下面的这种站位公平吗？如果不公平，对谁最有利？为什么？ 21．黄霏霏站在A点起跳，落地后的情况如图所示。 （1）裁判员会以（    ）脚落地点（    ）来确定她的立定跳远成绩。 （2）具体怎样测量，请在图上画出你的想法。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06课 两点间的距离及点到直线的距离 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标 认识两点之间的距离，理解两点之间线段最短的基本性质，能准确区分线段、射线、直线三种连线方式。 巩固垂线相关知识，理解点到直线的距离的含义，掌握测量点到直线距离的方法。 能运用两条距离的相关性质，解决生活中修路、选址等实际问题，规范完成距离测量类作图题。 2、重难点 重点：掌握两点之间线段最短，理解点到直线的距离是垂线段的长度，会测量两种距离。 难点：区分两点间距离和点到直线的距离，分清线段本身和线段长度的概念差异。 模块二 预习引导 一、两点间的距离 1、基本性质 连接两点可以画出无数条线，包括曲线、折线、线段，其中两点之间线段最短。 2、概念定义 连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离。 3、关键提醒 距离指的是线段的长度，不是这条线段本身；两点之间有且只有一条线段。 二、点到直线的距离 1、基本性质 从直线外一点向已知直线画线段，可以画出无数条线段，其中垂线段最短。 2、概念定义 从直线外一点到这条直线所画的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 3、测量方法 先用三角尺画出直线外一点到已知直线的垂线； 再用直尺测量出这条垂线段的长度，这个数值就是点到直线的距离。 三、两种距离对比区分 两点间距离：两个点之间，最短连线是线段，距离为线段长度。 点到直线的距离：一个点和一条直线之间，最短连线是垂线段，距离为垂线段长度。 四、本课易错点 混淆线和长度：距离是长度，不是线段、垂线段这条图形本身。 测量点到直线距离时，没有画垂线，直接斜着测量线段，导致结果错误。 生活应用题不会灵活运用最短原理，不会根据距离知识设计最短路线。 五、知识回顾验算 可以通过作图验证：分别画出两点间不同连线、点到直线不同线段，直观对比长短，牢记最短规律，巩固距离相关概念。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．体育课上，同学们在练习跳远。测量跳远成绩时，应该测量（    ）。 A．脚后跟到起跳线的直线距离 B．脚后跟到起跳线的垂直线段的长度 C．脚尖到起跳线的距离 D．身体重心到起跳线的距离 【答案】B 【分析】测量跳远成绩时，应该量从同学脚后跟（落地点）到起跳线（直线）的垂直距离比较准确。因为点到直线所有连线中，垂直线段最短，即垂线段最短。 【详解】A．脚后跟到起跳线的直线距离，即点到直线的所有连线，有很多条，所以不能用来作为成绩测量标准，不符合题意； B．脚后跟（落地点）到起跳线（直线）的垂直线段的长度即垂线段，所以能作为成绩测量标准，符合题意； C．测量脚尖到起跳线的距离，不符合跳远测量规则，因为落地时脚尖通常不是离起跳线最近的部位，所以不能用来作为成绩测量标准，不符合题意； D．身体重心没法直接找到，无法准确测量，所以不能用来作为测量成绩标准，不符合题意。 2．下图是小亮跳远时留下的脚印，A点是他脚后跟落入沙坑时的位置，用（    ）的长度来表示他这一次跳远的成绩比较合适。 A．线段AB B．线段AC C．线段AD D．线段AE 【答案】C 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。由题意得，只需要找到哪条线段与起跑线互相垂直即可。 【详解】由图可知，只有线段AD与起跳线垂直，其余三条线段（线段AB、线段AC、线段AE）与起跳线相交，所以用线段AD的长度来表示小亮这一次跳远的成绩比较合适。 3．根据安徽省“四好农村路”建设要求，政府计划要从西湖镇的点A修一条乡道通往G330国道，下图设计的四条道路中最短的是（    ）。 A．道路AB B．道路AC C．道路AD D．道路AE 【答案】C 【分析】直线外一点到这条直线所有点的连线中，垂线段最短；据此解答。 【详解】根据分析： 根据安徽省“四好农村路”建设要求，政府计划要从西湖镇的点A修一条乡道通往G330国道，下图设计的四条道路中最短的是道路AD。 4．四名同学投沙包，（    ）投得最远。 A．小明 B．小东 C．小李 D．小杰 【答案】B 【分析】投沙包的成绩按落点到投掷线（图中最下方底线）的垂直距离计算，落点离底线越远，投得越远。 【详解】根据连线对应： 小东的沙包落在最靠上（离底线最远）的位置，垂直距离最大，因此投得最远；其余同学的沙包落点都比小东的更靠近底线，距离更近。 5．测量跳远成绩时，要把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度。其中的数学道理是（    ）。 A．点到直线的距离 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】A 【分析】由题目，可知根据“直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫这点到直线的距离。”这一定义，解释其中的数学道理。 【详解】把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度，即利用了点到直线的距离原理。 6．公路旁有四条小路均可通往小刚家。已知四条小路的长度分别是210米、120米、152米、135米，其中有一条小路与公路是垂直的。这条小路的长度是（    ）。 A．120米 B．135米 C．152米 D．210米 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离垂线段最短，由此进行解答即可。 【详解】因为这条小路与公路是垂直的，垂线段最短。 210＞152＞135＞120 这条小路的长度是120米。 二、填空题 7．公路边上有3条小路通往小乐家，它们的长度分别是、、，其中有一条小路与公路垂直，那么这条小路的长度是( )m。 【答案】113 【分析】从直线外一点到已知直线的所有线段中，垂线段最短，垂直于公路的小路就是垂线段，长度一定是三条小路里最短的，比较三个长度即可。 【详解】113＜135＜208 所以这条小路的长度是113m。 8．探测队员在沙漠中迷失了方向，水和食物即将耗尽，急需前往离他们最近的绿洲补充水和食物。从携带的简易地图上，能看到周围有A、B、C三个绿洲。 他们应前往( )绿洲，理由是：________。 【答案】 B 从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短 【分析】根据直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短，结合题目信息判断即可。 【详解】由分析得出，B绿洲离探测队员最近，走的路程最短；理由为：直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短。 9．元旦班级联欢会，乐乐和他的好朋友玩抢椅子游戏，四人站在正方形边框的线上，椅子放在正中间，( )的站位最有利。 【答案】亮亮 【分析】直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短，据此过正中间的椅子作正方形四条边的垂线段，哪个人的站位在垂线段上则最有利。 【详解】 如图： 四人站在正方形边框的线上，椅子放在正中间，亮亮的站位最有利。 10．如图，一只老虎追赶一只狐狸，狐狸慌不择路掉进了河里，狐狸想要游最短的路线上岸，又不被老虎抓住，应选择路线是从点( )到点( )（填字母）。 【答案】 A D 【分析】狐狸要想不被老虎抓住，不能逃向老虎所在的岸边，应向对岸逃去。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。由图可知，AD是这条垂线段。 【详解】如图，一只老虎追赶一只狐狸，狐狸慌不择路掉进了河里，狐狸想要游最短的路线上岸，又不被老虎抓住，应选择路线是从点A到点D。 11．同学们站在起掷线后原地投掷沙包，落地点到起掷线的距离为有效成绩。如图是三个同学投掷沙包轨迹和落地点示意图，( )的有效成绩最好。( )有效成绩最差。 【答案】 小军 小力 【分析】沙包落地点到起掷线的距离为有效成绩，并不是连线的长短，由图可知，小华掷沙包的有效成绩是3格，小军掷沙包的成绩是3格多，小力掷沙包的成绩是2格，据此判断。 【详解】2格＜3格＜3格多 所以小军的有效成绩最好，小力有效成绩最差。 12．如图，小丽、小兰和小敏三位同学早晨同时从家出发去学校，如果她们行走的速度相同，最先到达学校的是( )。 【答案】小兰 【分析】速度相同的情况下，谁走的路程最短，谁就最先到达学校。从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短。 【详解】小兰家到学校的线段是垂直线段，所以小兰走的路程最短，速度相同时小兰用时少，最先到达学校的是小兰。 13．下图中，从点A到直线BE的线段中，最短的线段是线段( )。 【答案】AC/CA 【分析】判断从点A到直线BE的最短线段，要依据“点到直线的距离，垂线段最短”，观察图形能发现线段AC与直线BE垂直（有直角符号标识），因此AC是这些线段里最短的一条。 【详解】点到直线的垂线段最短，图中AC垂直于BE，所以从点A到直线BE最短的线段是AC。 14．从小明家到某条地铁线有三条小路可以走，它们的长度分别是880米、720米、950米，其中一条小路与这条地铁线垂直，这条小路的长度是( )米。 【答案】720 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。已知小明家到某条地铁线三条小路的长度，其中一条小路与这条地铁线垂直，要想找到这条小路的长度是多少米，根据点到直线的距离，通过比较这三条小路的长度，找到长度最短的那条小路的长度，就是要找的小路的长度。 【详解】根据分析可知， 950米＞880米＞720米 所以从小明家到某条地铁线有三条小路可以走，它们的长度分别是880米、720米、950米，其中一条小路与这条地铁线垂直，这条小路的长度是720米。 三、作图题 15．按要求画图。    (1)请你画一条从蘑菇房到小木房最近的路。 (2)请你画一条从小木房通向小河最近的路。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）两点之间线段最短，从蘑菇房到小木房画一条线段即可。 （2）点到直线垂直线段最短，从小木房到小河画一条垂直线段即可。 【详解】（1） （2） 16．下面是王叔叔的小院，他现在站在水缸位置取水，取好水后去汽车修理房，将水倒进汽车水缸内，再开车到门前小路上。请你画出王叔叔最近的行走路线。 【答案】图见详解 【分析】根据两点之间，线段最短，所以连接水缸和汽车修理店两地。根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂线段和斜线，垂线段最短。把门前小路边看作一条直线，依据垂线段最短，作出汽车修理店到直线的垂线段即可。 【详解】如图： 17．小马想去河边喝水，请你设计几条不同的路线，想一想哪条是最短的，并把它们画出来。 我发现：________________________________________________。 【答案】图见详解 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短 【分析】小马现在的位置可以看作一点，河边可以看作直线。分别连接一点和直线上的点，可以设计出多条不同的路线。根据从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，从小马现在的位置到河边作垂线，这条路线是最短的。 【详解】 （答案不唯一） 我发现：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 18．在民生路和北京路之间有一座公园，为了方便市民前往公园，市政部门准备从民生路和北京路各修一条通向公园的路，怎样修这两条路最近？请画出来。 【答案】从代表公园的点，分别向民生路、北京路作垂线段，这两条垂线段就是要修的最近的路。 见详解 【分析】直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段的长度最短，因此修垂直于两条道路的小路就是最近的方案。从代表公园的点，分别向民生路、北京路作垂线段，这两条垂线段就是要修的最近的路，画图时标出直角符号即可。 【详解】答：从代表公园的点，分别向民生路、北京路作垂线段，这两条垂线段就是要修的最近的路。 四、解答题 19．体育课上，老师带大家玩夺旗游戏，下面这种站位公平吗？试着在图上画一画，如果不公平，对谁有利？为什么？ 小明      小华   小军        小丽 【答案】见详解 【分析】要判断站位是否公平，需依据 “点到直线的距离” 这一数学概念，即从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短。在夺旗游戏里，旗子可看作直线外一点，同学们的站位在同一条直线上，谁离旗子的距离（垂线段长度）最短，谁就更有利。 【详解】这种站位不公平，对小军最有利。因为四个人在一条直线上，旗到这条直线的垂直线段是最近的路线，而小军刚好在垂足的位置，所以小军离旗子最近，对小军最有利。（言之有理即可） 20．体育课上，老师带大家做抢凳子游戏，下面的这种站位公平吗？如果不公平，对谁最有利？为什么？ 【答案】不公平，理由见解析 【分析】要判断站位是否公平，需依据 “点到直线的距离” 这一数学概念，即从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短。在抢凳子游戏里，凳子可看作直线外一点，同学们的站位在同一条直线上，谁离凳子的距离（垂线段长度）最短，谁就更有利。 【详解】从这种站位不公平，对园园最有利。因为四个人在一条直线上，凳子到这条直线的垂直线段是最近的路线，而园园刚好在垂足的位置（如图），所以园园离凳子最近，对园园最有利。 21．黄霏霏站在A点起跳，落地后的情况如图所示。 （1）裁判员会以（    ）脚落地点（    ）来确定她的立定跳远成绩。 （2）具体怎样测量，请在图上画出你的想法。 【答案】（1）右；C （2）图见详解过程 【分析】（1）应测跳远时起跑线与身体接触沙坑最后落脚点之间的垂直长度； （2）垂线段最短指的是从直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。根据垂线段的性质，即可解答。 【详解】（1）裁判员会以右脚落地点C来确定她的立定跳远成绩。 （2）作图如下： 【点睛】此题考查了垂线段的特征和性质，要熟练掌握。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $