精品解析：山东聊城东昌中学等校2024－2025学年第一学期期末考试八年级数学试题

2024--2025学年第一学期期末考试 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 新能源汽车的推广使用，有助于削弱对传统石油等化石燃料的依赖，减少车辆排放物对环境造成的污染和降低温室气体的排放．如图，这是四款新能源汽车的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 可以用来说明“如果，则”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 4. 数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（ ） A. 嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B. 嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C. 两人的说法都正确 D. 两人的说法都错误 5. 小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（　　） A. 16小时、15小时 B. 8小时、8.5小时 C. 10小时、8.5小时 D. 8小时、9小时 6. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，中，，为边上一点，把沿翻折得到，（点与点对应），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 10. 如图，中，，，，D为边的中点，的垂直平分线l交于点E，若P为直线l上一动点，则的周长的最小值为（） A. 7 B. 10 C. 12 D. 14 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 若分式的值为0，则m的值是________． 12. 如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 13. 已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的平均数与方差的和为________． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 15. 如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 16. 如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 先化简，再代入求值：，其中． 19. 我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 初中部 a 85 b 高中部 85 c 100 160 （1）根据图示计算出a、b、c的值； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？ （3）计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 20. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 21. 如图，四边形中，，F为上一点，与交于点E，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 22. 如图，在中，，D为延长线上一点，于点E，交于点F，若．求证： （1）是等腰三角形． （2）． 23. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 24. 【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得的取值范围是___________． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． （4）如图3，是的中线，点，分别在，上，且．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024--2025学年第一学期期末考试 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 新能源汽车的推广使用，有助于削弱对传统石油等化石燃料的依赖，减少车辆排放物对环境造成的污染和降低温室气体的排放．如图，这是四款新能源汽车的标志，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查最简分式的概念，理解最简分式的概念是解题关键． 根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可． 【详解】解：A. ，不是最简分式，不符合题意； B. ，不是最简分式，不符合题意； C. ，分子与分母没有公因式，是最简分式，符合题意； D. ，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 3. 可以用来说明“如果，则”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反例的运用，理解反例的运用方法是解题的关键． 根据题意，代入计算即可求解． 【详解】解：“如果，则”， A、，则， ∴，则是假命题，符合题意； B、，则，条件不符合，无法验证，不符合题意； C、，则， ∴，则是真命题题，不符合题意； D、，则，条件不符合，无法验证，不符合题意； 故选：A ． 4. 数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（ ） A. 嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B. 嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C. 两人的说法都正确 D. 两人的说法都错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据题意，可利用判定两个三角形全等，从而判断两个三角形的对应角相等，对应边上的中线相等，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，嘉嘉与淇淇两名同学拼成的三角形全等， 则两个三角形的三个内角分别相等；两个三角形中长为的边上的中线相等． 故两人的说法都正确， 故选：C． 5. 小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（　　） A. 16小时、15小时 B. 8小时、8.5小时 C. 10小时、8.5小时 D. 8小时、9小时 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、众数的知识，理解并掌握众数和中位数的定义是解题关键．众数是一组数据中出现次数最多的数；将一组数据从小到大排列，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数即可． 【详解】解：根据题意，可知这一组数据中出现次数最多的数是8，即该组数据的众数为8； 将这组数据从小到大的顺序排列，处于第20，21位两个数分别为9，9， 所以，这组数据的中位数是． 故选：D． 6. 如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数． 【详解】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD， ∴∠1=∠BAE=40°， ∴△ABE中，∠B==70°， ∴∠AED=70°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 7. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， 故选：D． 8. 如图，中，，为边上一点，把沿翻折得到，（点与点对应），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，进而可得，再根据三角形外角定理可得的度数． 【详解】解：， ， 由翻折可知，又， ， ， ． 9. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 【答案】A 【解析】 【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形． 丙方案: 四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ， 即 （ASA） 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 10. 如图，中，，，，D为边的中点，的垂直平分线l交于点E，若P为直线l上一动点，则的周长的最小值为（） A. 7 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练理解轴对称的性质是解题的关键．连接，，由，点D是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据点F是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，当A、P、D三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】如图，在中，，，点D为边的中点，连接，， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴当A、P、D三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短． 故选：C． 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 若分式的值为0，则m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握当分式的分子等于0，且分母不等于0时，分式的值为0是解题的关键．根据分式的值为0的条件，可得且 ，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且 ， 解得： ． 故答案为： 12. 如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图和题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的平均数与方差的和为________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的计算，掌握求平均数和方差的公式是解题关键．根据题意可得出，，再根据平均数公式和方差公式求出另一组数据的方差和平均数，即可求解． 【详解】解：∵这组数据的平均数是4， ∴， ∴， ∴ 另一组数据的平均数 ； ∵这组数据的方差为3， ∴， ∴另一组数据的方差 ， ∴另一组数据，，，，的平均数与方差的和． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 【详解】关于的方程的最简公分母为：， ∵方程有增根， ∴， 解得：， 在方程两边同乘得：， 把代入方程得：， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，确定增根可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根． 15. 如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可． 【详解】∵是等边三角形，是中线， ∴平分；；故①②正确； ∵， 又， ∴， ∴， ∴ ∴，故③④正确， 综上其中正确的是①②③④． 16. 如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，． 【答案】2或5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及分类讨论思想；由可证明，从而得；分点E在射线上移动时及点E在射线上移动两种情况；求得，即可求得点E运动的时间． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； ②当点E在射线上移动时，， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； 综上所述，当点E在直线上移动或时，； 故答案为：2或5． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1并检验即可． 【小问1详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，解得， 时，， 故原方程的解为； 【小问2详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，解得， 当，， 故原方程无解． 18. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 初中部 a 85 b 高中部 85 c 100 160 （1）根据图示计算出a、b、c的值； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？ （3）计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】（1），， （2）初中部 （3）初中代表队 【解析】 【分析】本题考查数据的分析，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法是解题关键． （1）根据平均数、中位数、众数的意义及统计图进行计算； （2）比较两个队的平均数和中位数大小，然后可以作出判断； （3）根据方差的计算公式可以得到的值，再由方差的意义可以判断出哪个队的成绩较为稳定． 【小问1详解】 解：∵初中部5位同学的成绩是：， ∴平均分， 众数， ∵高中5位同学的成绩排序可得：70、75、80、100、100， ∴； 【小问2详解】 解：由表格知初中部和高中部的平均分相同，但是初中部的中位数高，故初中部决赛成绩较好． 【小问3详解】 解：， ∵， ∴初中代表队比较稳定． 20. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【答案】（1）30天 （2）225000元 【解析】 【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意列出方程，求解即可； （2）先计算出甲乙两队合作的天数，再计算费用即可． 【小问1详解】 解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得： ， 解得：x＝30． 经检验，x＝30是原分式方程的解． 答：这项工程的规定时间是30天． 【小问2详解】 该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（天）， 则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）． 答：该工程的费用为225000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答． 21. 如图，四边形中，，F为上一点，与交于点E，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，从而可证，可得，再根据平行四边形的判定即可得出结论； （2）由题意求得，根据平行四边形的性质可得，，从而求得，再利用勾股定理求得，再根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，在中，，D为延长线上一点，于点E，交于点F，若．求证： （1）是等腰三角形． （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 证明：过A作于H， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，可得，再证明，即可得结论； （2）过A作于H，证明，，可得，则，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用等腰三角形的三线合一进行证明是解本题的关键． 23. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 【答案】（1） 是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 24. 【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得的取值范围是___________． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． （4）如图3，是的中线，点，分别在，上，且．求证：． 【答案】（1）B （2）C （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）根据推出结论即可； （2）根据全等得出，由三边关系推出； （3）延长到，使，连接，根据等腰三角形性质求出； （4）延长到H，使得，连接，可证，得到，再在中，根据边长的关系即可证明． 【小问1详解】 解：（1）在和中， ， ； 【小问2详解】 由（1）可得：， ， 中，， 由三边关系得：， ； 【小问3详解】 延长到，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； 【小问4详解】 证明：如图所示，延长到H，使得，连接， 同理， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $