专题04 等腰三角形全章8大题型（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题04 等腰三角形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、等腰三角形的定义 题型二、根据等角对等边证明边相等 题型三、等腰三角形的性质和判定 题型四、等边三角形的性质 题型五、等边三角形的判定 题型六、等边三角形的判定和性质 题型七、线段垂直平分线的性质 题型八、 作垂线（尺规作图） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 等腰三角形(含等边三角形)的定义、性质、判定及综合应用 1.知识目标:准确理解和记忆等腰三角形的定义、相关概念(腰、底边、顶角、底角)，掌握等腰三角形的核心性质(等边对等角、三线合一)，理解等腰三角形的判定定理(等角对等边);掌握等边三角形的定义、性质(三边相等、三角均为60、三线合一)与判定定理，理解等边三角形是特殊的等腰三角形;能清晰区分等腰三角形与普通三角形、等边三角形的性质与判定的逻辑差异。2.技能目标:熟练运用等腰三角形的性质进行角度计算与线段证明，能灵活运用"三线合一"转化条件，解决含角平分线、中线、高的几何问题;能熟练运用等腰三角形的的判定定理证明三角形为等腰三角形，结合平行线、角平分线、全等三角形等知识推导边、角相等;能运用等边三角形的的性质与判定解决相关计算与证明问题;能规范书写几何证明步骤，标注每一步的定理依据;能结合尺规作图完成等腰。三角形的相关基础作图。 3.思维目标:培养几何直观与空间想象能力，能在复杂图形中快速识别等腰三角形的基本元素与经典模型;提升逻辑推理能力，构建"由边推角、由角证边”的完整逻辑链，清晰区分性质与判定的逆用逻辑;培养分类讨论思想，解决等腰三角形已知边长/角度的多解问题、含参数的等腰三角形问题;培养转化思想，将复杂几何问题转化为等腰三角形模型解决，掌握拐点、折线等问题的辅助线构造技巧。 1.题型分布:选择题和填空题一般考查等腰三角形的定义、性质的基础应用，如角度计算、边长取值范围、三线合一的识别，等边三角形的性质与判定的基础应用，属于基础必考题，难度较低;解答题通常以角度计算、几何证明为主，重点考查等腰三角形性质与判定的综合应用，常:结合角平分线、平行线、全等三角形等知识点，部分题目会涉及等腰三角形的多解问题、辅助线构造，以及等边三角形的综合证明，考查学生的逻辑推理与几何证明能力。2.命题趋势:近年来，对等腰三角形的考查越来越注重逻辑推理的规范性，对证明步骤的严谨性要求较高，严格区分性质与判定的使用场景;同时，等腰三角形的综合题(如结合角平分线、高线的角度模型，全等三角形的多步证明，动态几何中的等腰三角形存在性问题)出现频率持续增加，注重考查学生的几何建模与逻辑推理能力;另外，分类讨论思想的考查成为热点，等腰三角形的多解问题、含参数的边长/角度问题频繁出现，贴合新课标对学生思维严谨性的考查要求;部分题目会:结合生活实际，考查等腰三角形的稳定性、方案设计等应用问题，注重数学与生活场景的结合。 知识点01 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的定义 有两边相等的三角形是等腰三角形. 注意： (1) 等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角. (2) 等腰三角形的底角只能是锐角. 2. 等腰三角形的性质 性质定理1（等边对等角）：等腰三角形的两底角相等. 符号语言： 注意：(1)等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180°，两边之和大于第三边等.(2)在等腰三角形中，若没有指明腰和底边，顶角和底角，则要分类讨论，切勿漏解. 性质定理2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. 符号语言： ①∵平分且； ②∵且平分； ③∵平分且． 注意：“三线合一”中的”三线”是指底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线，不是腰上的中线、高和对应底角的平分线. 拓展延伸： (1) 等腰三角形两腰上的中线、高分别相等； (2) 等腰三角形两底角的平分线相等； (3) 等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等； (4) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 3. 中垂线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 4. 大边对大角 在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角较大. 符号语言： 知识点02 等腰三角形的判定 1. 等腰三角形的判定 判定依据 文字语言 符号语言 定义 有两边相等的三角形是等腰三角形 ∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形 判定定理（等角对等边） 有两个角相等的三角形是等腰三角形 在△ABC中，∵∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形 注意：适用”等角对等边”定理的前提条件是”在同一个三角形中”，且两条边应是这两个等角的对边. 2. 等腰三角形性质与判定的区别 条件 结论 用途 性质（等边对等角） 两边相等 这两边所对的角相等 用于证明角相等 判定（等角对等边） 两角相等 这两个角所对的边相等 用于证明边相等 3. 大角对大边 在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等，大角所对的边较大. 符号语言： 知识点03 等边三角形 1. 等边三角形的性质定理 性质 文字语言 符号语言 性质1 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60∘ ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60° 性质2 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合（三线合一），且三条中线、高、角平分线所在直线交于一点 在△ABC中，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC且BD=CD 2. 等边三角形的判定定理 判定依据 文字语言 符号语言 定义 三边都相等的三角形是等边三角形 ∵AB=BC=AC， ∴△ABC是等边三角形 判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形 在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 判定定理2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ∵AB=AC,∠B=60°（或∠A=60°或∠C=60°）， ∴△ABC是等边三角形 总结 等边三角形判定方法的选择 (1) 若已知三边关系，则选择用定义法； (2) 若已知三角关系，则选择用判定定理1； (3) 若已知是等腰三角形，则选择用判定定理2（这是判定一个三角形为等边三角形最常用的方法，注意先确定”等腰三角形”这一前提条件，再找一个60°角即可证明）. 题型一 等腰三角形的定义 解｜题｜技｜巧 1.核心定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫腰，第三边为底边;两腰的夹角是顶角，腰与底边的夹角是底角。 2.快速判定:看到边长有两组相等、角度有两组相等，可直接判定为等腰三角形。 3.识图标注:在图形中标记相等线段，区分腰、底边、顶角、底角，理清各元素对应关系。 4.结合性质:由定义得出两边相等后，可联动"等边对等角”进一步推导角度关系。 5.分类梳理:已知边长判断等腰三角形时，分情况区分腰和底边逐一分析。 【典例1】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，等腰三角形的定义；根据等腰三角形的定义得到或，再结合三角形的三边关系计算结果即可． 【详解】解：当为等腰三角形时， ∴或； 当时 满足， 在满足； 当时， 在中，，不满足条件，舍掉； ∴； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（   ） A．16 B．18 C．16或18 D．14或16 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，将两个全等的直角三角形拼成等腰三角形时，有两种可能的拼接方式：沿直角边或拼接，形成底边为或的等腰三角形，两腰均为斜边；或者沿斜边拼接，但此时无法形成三角形．根据分析求出周长即可． 【详解】解：①沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长． ②沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长． ③沿斜边拼接，但此时无法形成三角形． 综上，等腰三角形的周长为或， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期末）如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是__________． 【答案】/22厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系．熟练掌握三角形的三边关系确定第三边的长是解题的关键． 分两种情况讨论：当腰长为或当腰长为，根据三角形三边关系进行判断能否组成三角形，再求解三角形周长． 【详解】解：当腰长为，则三边为， 此时，不能组成三角形，舍去； 当腰长为，则三边为， 此时，能组成三角形，符合题意， ∴它的周长是， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确求出，的值是解题的关键． 先根据非负数的性质求出，的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：， ， ，， ，， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， 这个等腰三角形的周长； 当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能组成三角形； 综上所述：这个等腰三角形的周长为； 故答案为：． 题型二 根据等角对等边证明边相等 易｜错｜点｜拨 1.忽略前提条件:未强调“在同一个三角形中"，直接用“等角对等边”，逻辑不严谨。 2.找错对应边:混淆相等角所对的边，误判非对应边相等。 3.定理误用场景:在两个不同的三角形中，用“等角对等边”判定边相等，属于概念错误。 4.跳步推理:未先证明角相等，就直接得出边相等的结论，缺少关键推导过程。 5.与等边对等角混淆:分不清“等边对等角”和“等角对等边”的条件与结论，逻辑颠倒。 【典例2】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由中，与的平分线交于点，，易证得和都是等腰三角形，继而可得，又由的周长为：；即可得的周长等于与的和． 【详解】解：， ，， 中，与的平分线交于点， ，， ，， ，，故①正确； 与不一定相等，故②错误； ∵在中，和的平分线相交于点， ∴，， ， ，故③正确； 的周长为： ，故④正确； 综上，正确的有①③④． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有_______个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用，根据等腰三角形的判定方法，等角对等边，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴、为等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形共3个． 故答案为：3． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，． 求的周长． 解：BM平分， _______． ， （_______）． _______． （_______）． 同理可得_______． 周长 _______． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等角对等边；； 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，则可证明得到，同理可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：平分， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （等角对等边）． 同理可得． 周长 ． 题型三 等腰三角形的性质和判定 解｜题｜技｜巧 1.核心梳理:性质是“等边对等角”(由边等推角等)，判定是“等角对等边”(由角等推边等)，二者互为逆定理，应用时注意区分条件与结论。 2.三线合一应用:等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，遇到等腰三角形的角平分线、中线、高时，优先考虑用“三线合一"转化条件。 3.分类讨论:已知等腰三角形的一个内角(未说明顶角/底角)或一条边(未说明腰/底边)时，分情况讨论，再结合三角形内角和、三边关系验证解的合理性。 4.判定思路:证明三角形是等腰三角形，优先证明“两边相等”或“两角相等”，复杂图形可通过全等、平行线、角平分线先推导边/角相等，再判定。 【典例3】（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图， 在中，平分的周长为11，那么的长是_______．    【答案】7 【分析】本题考查平行直线的性质和等腰三角形的性质，先根据角平分线和平行直线的性质证明，从而到，再根据的周长进行换算，即可得到答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长等于11， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 【变式1】如图，已知在中分别平分和，过点作，分别交边于点和点，如果的周长等于，的周长等于，那么______．    【答案】 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质可知，，再根据等腰三角形的性质可知，即可解答． 【详解】解：∵分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵的周长等于， ∴， ∵的周长等于， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，，垂足为点，点在直线上，且，如果点绕点旋转后恰好与点重合，那么______度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．根据题意可得，由，，可得，结合，可推出，，再根据三角形的外角性质求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ，，，点在直线上， ， 又， ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质和判定，由等腰三角形性质和三角形内角和、外角的性质证明角相等是解题关键． （1）根据等腰三角形性质求出，再由直角三角形两锐角互余即可求出． （2）先根据等边对等角证明，等腰三角形三线合一和同角的余角相等证明，进而由，即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，即， ∴ （2）∵， ∴， ∵，AD为中线， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∴ 题型四 等边三角形的性质 解｜题｜技｜巧 1.核心性质牢记:等边三角形三边都相等，三个内角都相等，且每个内角都等于60;它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质(如三线合一)。 2.快速识别应用:看到“三边相等”三角相等”有一个角是60°的等腰三角形”，可直接判定为等边三角形，进而利用60°角、等边条件推导角度或线段关系。 3.“三线合一”强化:等边三角形任意一条角平分线、中线、高都互相重合，解题时可灵活转化条件，简化计算与证明。 4.角度推导技巧:结合60°角，可快速推出30°角、直角等特殊角，常与直角三角形、全等三角形综合解题。 5.综合模型运用:遇到含等边三角形的图形，优先标记60角和相等边，通过全等、平行线等知识进一步推导边、角关系。 【典例4】（24-25七年级下·上海虹口·期末）若线段是等边的中线，则的度数是________． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据是等边三角形，得，再结合三线合一的性质得，即可作答． 【详解】解：∴是等边三角形， ∴， ∵线段是等边的中线， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么________． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠性质和等边三角形性质．根据折叠性质可知：，，由等边性质可知，， 因为的周长比的周长小1cm，所以，结合即可求解． 【详解】解：由折叠性质可知：，， ∴的周长， 的周长， ∵在等边中，， ∴，， ∴，． 故答案为： 【变式2】（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么___________°． 【答案】85 【分析】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，先求解，再结合等边三角形与三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∴； ∵平行光线， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五 等边三角形的判定 解｜题｜技｜巧 1.核心判定定理:三边都相等的三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 2.条件快速匹配:看到等腰三角形且有一个内角为60，可直接判定为等边三角形;已知三角形三角相等，也可直接判定为等边三角形。 3.推导思路梳理:先证明三角形是等腰三角形，再证明其中一个内角为60，是判定等边三角形最常用的路径;也可通过证明三边相等或三角相等完成判定。 4.隐含条件挖掘:结合平行线、角平分线、全等三角形等知识，先推出边相等或角为60，再判定等边三角形。 5.判定后延伸应用:判定为等边三角形后，可直接利用其“三边相等、三角均为60”的性质，进一步解决角度计算、线段证明等问题。 【典例5】（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列命题中真命题的个数是（　　） ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三个内角相等的三角形是等边三角形 ③有一个内角是的三角形是等边三角形 ④有两个内角是的三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断和等边三角形的判定，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：“三边相等的三角形是等边三角形是真命题”，故①正确； “三个内角相等的三角形是等边三角形”是真命题，故②正确； “有一个内角是的三角形是等边三角形”是假命题，故③错误； “有两个内角是的三角形是等边三角形”是真命题，故④正确； 故选：C． 【变式1】如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定，如解析图中，当时，可证明此时是等边三角形，当时，是等腰三角形；再讨论讨论为等腰三角形时，符合题意的点D个数即可得到答案． 【详解】解：如图：当时，是等腰三角形； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明垂直平分，推出，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 题型六 等边三角形的判定和性质 易｜错｜点｜拨 1.混淆性质与判定的逻辑，已知条件和推导结论颠倒，推理逻辑出错。 2.误用判定定理:认为任意一个含60°的三角形就是等边三角形，忽略“等腰三角形”这一前提。 3.概念混淆:忘记等边三角形属于特殊等腰三角形，不会共用等腰三角形的相关结论。 4.滥用三线合一:在非等边、非等腰三角形中，强行使用三线合一的性质。 5.推理跳步:未完整列出判定条件就直接认定为等边三角形，或未判定就提前使用等边三角形性质。 6.角度计算失误，记错等边三角形内角度数，造成计算结果错误。 【典例6】如图，已知等腰三角形中，，腰上存在一点，连接，将三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上，则的度数的取值范围为（    ） A．； B．； C．； D． 【答案】C 【分析】题目主要考查折叠问题及等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，理解题意，得出为等边三角形是解题关键． 根据题意，分两种情况：当点A与点重合时，当点A与点F重合时，分别利用等边三角形的判定和性质，结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示： 当点A与点重合时， ∵三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上， ∴， ∵等腰三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点A与点重合时，， ∴； 当点A与点F重合时，如图所示： ∵三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上， ∴， ∵等腰三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点A与点F重合时，， 综上可得： 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是______米． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，解题关键是通过角度计算和梯子长度不变，判定为等边三角形． 连接，先计算出，结合梯子长度不变得到，判定是等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质，得出米，从而求出、两点间距离． 【详解】解：连接， ∵，， ∵． ∵梯子长度不变， ∴米， ∴是等边三角形， ∴米． 故答案为． 【变式2】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，，直线分别交、于点，平分交于点．如果，，即么的周长等于______． 【答案】18 【分析】由平行与平分的条件加上，可得是等边三角形，则可求得其周长． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为； 故答案为：18． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，角平分线的性质，得到等边三角形是解题的关键． 题型七 线段垂直平分线的性质 解｜题｜技｜巧 1.核心性质:线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等，可直接用来证明两条线段相等。 2.条件识别:看到线段垂直平分线、垂足、线上动点，优先连接该点与线段两端，构造相等线段。 3.辅助线做法:题目出现线段垂直平分线，常规辅助线为连接平分线上的点与线段两个端点。 4.综合运用:结合等腰三角形、全等三角形、三角形周长计算，利用线段相等进行等量代换。 5.逆向联想:若一点到线段两端距离相等，可联想到该点在线段的垂直平分线上。 【典例7】（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，边的垂直平分线相交于点，如果点在边上，那么___________°． 【答案】90 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理．由线段垂直平分线的性质，得到，，由等边对等角，得到，，再根据三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵边的垂直平分线相交于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：90． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是________． 【答案】/42度 【分析】如图，连接，根据线段垂直平分线性质得出，即可得，三角形内角和定理得出，则，根据，求出，证明，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵线段、的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，证明三角形全等是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，进一步证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故答案为： 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键． 【变式3】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键，由垂直平分，可得，则可求出的周长为，把的值代入即可求出． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为， ， ，解得， 底边的长为． 【变式4】（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理等知识．解题的关键是熟练运用垂直平分线的性质和判定，结合三角形内角和定理推导角度关系． （1）利用垂直平分线性质得，结合推出，进而证明D在的垂直平分线上． （2）连接得到，设角并结合求出相关角度，得出，再利用垂直平分线性质和角度关系证明． 【详解】（1）证明：∵l是的垂直平分线，点D在l上， ∴， ∵， ∴． ∴点D在的垂直平分线上． （2）证明：由（1）可知，由“等边对等角”， 设， ， ∴在中，， 在中，， 即， ∴，则， 即， ∵点E在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，则 题型八 作垂线（尺规作图） 解｜题｜技｜巧 1.明确作图分类:分为过直线上一点作垂线、过直线外一点作垂线，作图依据为线段垂直平分线的定义与性质，全程只用无刻度直尺和圆规。 2.统一作图思路:利用“到线段两端距离相等的点在垂直平分线上”，通过画弧确定两个公共点，两点连线即为所求垂线。 3.规范操作要点:画弧时保持圆规半径不变，保证交点位置准确;作图完成后必须标注垂足与直角符号。 4.痕迹保留要求:所有辅助圆弧都要完整保留，这是尺规作图的得分要点，不可擦除。 5.结合性质应用:作图后可结合线段垂直平分线性质，推导线段相等、角度垂直等结论。 【典例8】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，A、B两镇位于国道l的同侧，两镇距离国道分别有数公里．随着经济发展，过往车辆增多，政府规划在国道l上新建一座多功能加油站，既为车辆提供便利，又促进两镇资源互通．如果你是工程师，请解决以下规划问题： (1)公平选址：确定加油站位置P，使得加油站到A、B两镇的距离相等； (2)路径优化：从A镇前往B镇，需途径加油站加油．确定加油站位置Q，使得总路程最短：请分别作出上述两种情况下的加油站P、Q的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹并写出结论，不用证明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂线和线段垂直平分线的尺规作图，线段的尺规作图，线段垂直平分线的性质，轴对称最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交直线l于P，则点P即为所求； （2）过点A作于T，在上截取，连接交直线l于Q，则点Q即为所求． 【详解】（1）如图所示，点P即为所求； （2）解；如图所示，点Q即为所求； 【变式1】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 【答案】见解析 【分析】作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，即可得出结果． 【详解】解：作线段，作线段的垂直平分线，交于点，在射线上截取线段，使得，连接、，则即为所求 【变式2】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）尺规作图：如图，直线和相交于点O，M是上的一点， (1)过点M画出直线的垂线，垂足为点F． (2)过点M画出直线的平行线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）按照过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图法作图即可． （2）按照作一个角等于已知角的尺规作图法，过M点作，则直线平行于直线． 本题考查了基本的尺规作图，过直线外一点作已知直线的垂线和做一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·上海金山·期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别为和，则它的底边长是________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；本题应分为两种情况：①为底，为腰，②为底，为腰，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两边分别是和 应分为两种情况：①为底，为腰，则； ②为底，为腰，则构不成三角形； 它的底边长是 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____ ． 【答案】7 【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，从而可得，进而得到． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 3．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 4．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，，，然后证明出，即可得到； （2）首先求出，然后根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵是等腰三角形 ∴①如图，当时， ∴ ∴ ∴； ②如图，当时， ∴ ∴ ∴ ∴点O在上，即点O和点D重合，不存在，不符合题意； ③如图，当时， ∵ ∴垂直平分 ∴ 综上，的度数为或． 5．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 【答案】(1)55° (2)16 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，根据三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如果等腰三角形一边长为5，另一边长为10，那么它的周长是（    ） A．26 B．25 C．20 D．20或25 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系定理，掌握等腰三角形的性质、三角形三边关系定理、以及运用分类讨论思想是解题的关键．由于等腰三角形的底边与腰不能确定，故应分5为底边与10为底边两种情况进行讨论． 【详解】解：当腰长为5，底长为10时，，不能组成三角形， 当底边长为5时，腰长为10，，能组成三角形， ∴这个等腰三角形的周长为：． 故选：B． 2.在中，平分，，，，则的周长为___________．    【答案】11 【分析】先根据角的平分线的性质，平行线的性质，证明，再说明的周长为，即可得出结果． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 故的周长为， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据角的平分线的性质，平行线的性质，证明是本题的关键． 3．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接．如果，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，连接，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可得，利用三角形内角和定理可得，则可求出，进而得到，即． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O是各边垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为；． 4．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 【答案】120 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点． 先求，然后证明为等边三角形，再由平行线的性质得到，根据折叠的性质证明为等边三角形，再由角度和差计算求解． 【详解】解：如图： ∵在中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， ∴， 故答案为：120． 5．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是_____． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后等量代换得到的周长为，进而可得的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ，， 的周长为：， 的周长为：． 43．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：． 解：， （    ）， ， ． 即． （    ）， 在和中， ∵， （SSS）． （    ）， ， （    ）． 【答案】等边对等角，等角对等边，全等三角形的对应角相等，等腰三角形三线合一 【分析】根据等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：， （等边对等角）， ， ． 即． （等角对等边）， 在和中， ∵， （SSS）． （全等三角形的对应角相等）， ， （等腰三角形三线合一）． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，折叠的性质，垂直平分线的性质，先证明是等边三角形，根据垂直平分线的性质可得，在上时，取得最小值，进而根据三角形的周长公式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∵是折痕，点与点重合， ∴垂直平分， ∵点是线段上一点， ∴ ∴在上时，取得最小值， 即周长最小值为： 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，折叠的性质，注意分情况讨论． （1）根据中点定义得，再由折叠的性质得，可得答案； （2）根据折叠的性质得，再根据等边对等角得，然后根据平角定义和三角形内角和定义得，最后根据“内错角相等两直线平行”得出答案； （3）根据平行线的性质得，，进而得出，由折叠的性质得，可得，最后根据“等角对等边”得出答案； （4）先根据等腰三角形的对称性可知，进而说明，再分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：． ∵点D是的中点， ∴. 根据折叠的性质得， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：； （2）证明：根据折叠的性质得， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 根据折叠的性质得， ∴， ∴； （4）解：如图，连接，交于点， 由，根据等腰三角形的对称性可知是的高线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， 此时， 又∵，，， ∴，， ∴点、、重叠， ∵点在直线上方， ∴时，不符合题意． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质等知识． （1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·上海长宁·期末）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点． （1）由等边对等角得到，，则，再由三角形的外角性质即可求证； （2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到，再由外角性质得到，，然后再分类讨论即可； （3）分两种情况讨论，当时，由三线合一得到，，，设，则，可得垂直平分，则，然后根据外角性质表示出再由三角形内角和定理得到；当时，设，则，则，由，以及等腰三角形性质得到，在中由三角形内角和定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的“等角分割线”； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵是的“等角分割线”， ∴①，， 解得：； ②，， 解得：（舍去）， 综上：； （3）解：记的平分线与交于点， ①当时， ∵，平分， ∴，，， 设，则 ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， 综上：的度数为或． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、等腰三角形的定义 题型二、根据等角对等边证明边相等 题型三、等腰三角形的性质和判定 题型四、等边三角形的性质 题型五、等边三角形的判定 题型六、等边三角形的判定和性质 题型七、线段垂直平分线的性质 题型八、 作垂线（尺规作图） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 等腰三角形(含等边三角形)的定义、性质、判定及综合应用 1.知识目标:准确理解和记忆等腰三角形的定义、相关概念(腰、底边、顶角、底角)，掌握等腰三角形的核心性质(等边对等角、三线合一)，理解等腰三角形的判定定理(等角对等边);掌握等边三角形的定义、性质(三边相等、三角均为60、三线合一)与判定定理，理解等边三角形是特殊的等腰三角形;能清晰区分等腰三角形与普通三角形、等边三角形的性质与判定的逻辑差异。2.技能目标:熟练运用等腰三角形的性质进行角度计算与线段证明，能灵活运用"三线合一"转化条件，解决含角平分线、中线、高的几何问题;能熟练运用等腰三角形的的判定定理证明三角形为等腰三角形，结合平行线、角平分线、全等三角形等知识推导边、角相等;能运用等边三角形的的性质与判定解决相关计算与证明问题;能规范书写几何证明步骤，标注每一步的定理依据;能结合尺规作图完成等腰。三角形的相关基础作图。 3.思维目标:培养几何直观与空间想象能力，能在复杂图形中快速识别等腰三角形的基本元素与经典模型;提升逻辑推理能力，构建"由边推角、由角证边”的完整逻辑链，清晰区分性质与判定的逆用逻辑;培养分类讨论思想，解决等腰三角形已知边长/角度的多解问题、含参数的等腰三角形问题;培养转化思想，将复杂几何问题转化为等腰三角形模型解决，掌握拐点、折线等问题的辅助线构造技巧。 1.题型分布:选择题和填空题一般考查等腰三角形的定义、性质的基础应用，如角度计算、边长取值范围、三线合一的识别，等边三角形的性质与判定的基础应用，属于基础必考题，难度较低;解答题通常以角度计算、几何证明为主，重点考查等腰三角形性质与判定的综合应用，常:结合角平分线、平行线、全等三角形等知识点，部分题目会涉及等腰三角形的多解问题、辅助线构造，以及等边三角形的综合证明，考查学生的逻辑推理与几何证明能力。2.命题趋势:近年来，对等腰三角形的考查越来越注重逻辑推理的规范性，对证明步骤的严谨性要求较高，严格区分性质与判定的使用场景;同时，等腰三角形的综合题(如结合角平分线、高线的角度模型，全等三角形的多步证明，动态几何中的等腰三角形存在性问题)出现频率持续增加，注重考查学生的几何建模与逻辑推理能力;另外，分类讨论思想的考查成为热点，等腰三角形的多解问题、含参数的边长/角度问题频繁出现，贴合新课标对学生思维严谨性的考查要求;部分题目会:结合生活实际，考查等腰三角形的稳定性、方案设计等应用问题，注重数学与生活场景的结合。 知识点01 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的定义 有两边相等的三角形是等腰三角形. 注意： (1) 等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角. (2) 等腰三角形的底角只能是锐角. 2. 等腰三角形的性质 性质定理1（等边对等角）：等腰三角形的两底角相等. 符号语言： 注意：(1)等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180°，两边之和大于第三边等.(2)在等腰三角形中，若没有指明腰和底边，顶角和底角，则要分类讨论，切勿漏解. 性质定理2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. 符号语言： ①∵平分且； ②∵且平分； ③∵平分且． 注意：“三线合一”中的”三线”是指底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线，不是腰上的中线、高和对应底角的平分线. 拓展延伸： (1) 等腰三角形两腰上的中线、高分别相等； (2) 等腰三角形两底角的平分线相等； (3) 等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等； (4) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 3. 中垂线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 4. 大边对大角 在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角较大. 符号语言： 知识点02 等腰三角形的判定 1. 等腰三角形的判定 判定依据 文字语言 符号语言 定义 有两边相等的三角形是等腰三角形 ∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形 判定定理（等角对等边） 有两个角相等的三角形是等腰三角形 在△ABC中，∵∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形 注意：适用”等角对等边”定理的前提条件是”在同一个三角形中”，且两条边应是这两个等角的对边. 2. 等腰三角形性质与判定的区别 条件 结论 用途 性质（等边对等角） 两边相等 这两边所对的角相等 用于证明角相等 判定（等角对等边） 两角相等 这两个角所对的边相等 用于证明边相等 3. 大角对大边 在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等，大角所对的边较大. 符号语言： 知识点03 等边三角形 1. 等边三角形的性质定理 性质 文字语言 符号语言 性质1 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60∘ ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60° 性质2 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合（三线合一），且三条中线、高、角平分线所在直线交于一点 在△ABC中，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC且BD=CD 2. 等边三角形的判定定理 判定依据 文字语言 符号语言 定义 三边都相等的三角形是等边三角形 ∵AB=BC=AC， ∴△ABC是等边三角形 判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形 在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 判定定理2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ∵AB=AC,∠B=60°（或∠A=60°或∠C=60°）， ∴△ABC是等边三角形 总结 等边三角形判定方法的选择 (1) 若已知三边关系，则选择用定义法； (2) 若已知三角关系，则选择用判定定理1； (3) 若已知是等腰三角形，则选择用判定定理2（这是判定一个三角形为等边三角形最常用的方法，注意先确定”等腰三角形”这一前提条件，再找一个60°角即可证明）. 题型一 等腰三角形的定义 解｜题｜技｜巧 1.核心定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫腰，第三边为底边;两腰的夹角是顶角，腰与底边的夹角是底角。 2.快速判定:看到边长有两组相等、角度有两组相等，可直接判定为等腰三角形。 3.识图标注:在图形中标记相等线段，区分腰、底边、顶角、底角，理清各元素对应关系。 4.结合性质:由定义得出两边相等后，可联动"等边对等角”进一步推导角度关系。 5.分类梳理:已知边长判断等腰三角形时，分情况区分腰和底边逐一分析。 【典例1】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 【变式1】（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（   ） A．16 B．18 C．16或18 D．14或16 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·期末）如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是__________． 【变式3】（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是______． 题型二 根据等角对等边证明边相等 易｜错｜点｜拨 1.忽略前提条件:未强调“在同一个三角形中"，直接用“等角对等边”，逻辑不严谨。 2.找错对应边:混淆相等角所对的边，误判非对应边相等。 3.定理误用场景:在两个不同的三角形中，用“等角对等边”判定边相等，属于概念错误。 4.跳步推理:未先证明角相等，就直接得出边相等的结论，缺少关键推导过程。 5.与等边对等角混淆:分不清“等边对等角”和“等角对等边”的条件与结论，逻辑颠倒。 【典例2】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有_______个等腰三角形． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，． 求的周长． 解：BM平分， _______． ， （_______）． _______． （_______）． 同理可得_______． 周长 _______． 题型三 等腰三角形的性质和判定 解｜题｜技｜巧 1.核心梳理:性质是“等边对等角”(由边等推角等)，判定是“等角对等边”(由角等推边等)，二者互为逆定理，应用时注意区分条件与结论。 2.三线合一应用:等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，遇到等腰三角形的角平分线、中线、高时，优先考虑用“三线合一"转化条件。 3.分类讨论:已知等腰三角形的一个内角(未说明顶角/底角)或一条边(未说明腰/底边)时，分情况讨论，再结合三角形内角和、三边关系验证解的合理性。 4.判定思路:证明三角形是等腰三角形，优先证明“两边相等”或“两角相等”，复杂图形可通过全等、平行线、角平分线先推导边/角相等，再判定。 【典例3】（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图， 在中，平分的周长为11，那么的长是_______．    【变式1】如图，已知在中分别平分和，过点作，分别交边于点和点，如果的周长等于，的周长等于，那么______．    【变式2】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）已知在中，，，垂足为点，点在直线上，且，如果点绕点旋转后恰好与点重合，那么______度． 【变式3】如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 题型四 等边三角形的性质 解｜题｜技｜巧 1.核心性质牢记:等边三角形三边都相等，三个内角都相等，且每个内角都等于60;它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质(如三线合一)。 2.快速识别应用:看到“三边相等”三角相等”有一个角是60°的等腰三角形”，可直接判定为等边三角形，进而利用60°角、等边条件推导角度或线段关系。 3.“三线合一”强化:等边三角形任意一条角平分线、中线、高都互相重合，解题时可灵活转化条件，简化计算与证明。 4.角度推导技巧:结合60°角，可快速推出30°角、直角等特殊角，常与直角三角形、全等三角形综合解题。 5.综合模型运用:遇到含等边三角形的图形，优先标记60角和相等边，通过全等、平行线等知识进一步推导边、角关系。 【典例4】（24-25七年级下·上海虹口·期末）若线段是等边的中线，则的度数是________． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知在等边中，，点E、F分别在边、上，将沿翻折，点A正好落在边上的点D处，如果的周长比的周长小，那么________． 【变式2】（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么___________°． 题型五 等边三角形的判定 解｜题｜技｜巧 1.核心判定定理:三边都相等的三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 2.条件快速匹配:看到等腰三角形且有一个内角为60，可直接判定为等边三角形;已知三角形三角相等，也可直接判定为等边三角形。 3.推导思路梳理:先证明三角形是等腰三角形，再证明其中一个内角为60，是判定等边三角形最常用的路径;也可通过证明三边相等或三角相等完成判定。 4.隐含条件挖掘:结合平行线、角平分线、全等三角形等知识，先推出边相等或角为60，再判定等边三角形。 5.判定后延伸应用:判定为等边三角形后，可直接利用其“三边相等、三角均为60”的性质，进一步解决角度计算、线段证明等问题。 【典例5】（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列命题中真命题的个数是（　　） ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三个内角相等的三角形是等边三角形 ③有一个内角是的三角形是等边三角形 ④有两个内角是的三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式2】（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 题型六 等边三角形的判定和性质 易｜错｜点｜拨 1.混淆性质与判定的逻辑，已知条件和推导结论颠倒，推理逻辑出错。 2.误用判定定理:认为任意一个含60°的三角形就是等边三角形，忽略“等腰三角形”这一前提。 3.概念混淆:忘记等边三角形属于特殊等腰三角形，不会共用等腰三角形的相关结论。 4.滥用三线合一:在非等边、非等腰三角形中，强行使用三线合一的性质。 5.推理跳步:未完整列出判定条件就直接认定为等边三角形，或未判定就提前使用等边三角形性质。 6.角度计算失误，记错等边三角形内角度数，造成计算结果错误。 【典例6】如图，已知等腰三角形中，，腰上存在一点，连接，将三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上，则的度数的取值范围为（    ） A．； B．； C．； D． 【变式1】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是______米． 【变式2】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，，直线分别交、于点，平分交于点．如果，，即么的周长等于______． 题型七 线段垂直平分线的性质 解｜题｜技｜巧 1.核心性质:线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等，可直接用来证明两条线段相等。 2.条件识别:看到线段垂直平分线、垂足、线上动点，优先连接该点与线段两端，构造相等线段。 3.辅助线做法:题目出现线段垂直平分线，常规辅助线为连接平分线上的点与线段两个端点。 4.综合运用:结合等腰三角形、全等三角形、三角形周长计算，利用线段相等进行等量代换。 5.逆向联想:若一点到线段两端距离相等，可联想到该点在线段的垂直平分线上。 【典例7】（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，边的垂直平分线相交于点，如果点在边上，那么___________°． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是________． 【变式2】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 【变式3】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长． 【变式4】（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 题型八 作垂线（尺规作图） 解｜题｜技｜巧 1.明确作图分类:分为过直线上一点作垂线、过直线外一点作垂线，作图依据为线段垂直平分线的定义与性质，全程只用无刻度直尺和圆规。 2.统一作图思路:利用“到线段两端距离相等的点在垂直平分线上”，通过画弧确定两个公共点，两点连线即为所求垂线。 3.规范操作要点:画弧时保持圆规半径不变，保证交点位置准确;作图完成后必须标注垂足与直角符号。 4.痕迹保留要求:所有辅助圆弧都要完整保留，这是尺规作图的得分要点，不可擦除。 5.结合性质应用:作图后可结合线段垂直平分线性质，推导线段相等、角度垂直等结论。 【典例8】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，A、B两镇位于国道l的同侧，两镇距离国道分别有数公里．随着经济发展，过往车辆增多，政府规划在国道l上新建一座多功能加油站，既为车辆提供便利，又促进两镇资源互通．如果你是工程师，请解决以下规划问题： (1)公平选址：确定加油站位置P，使得加油站到A、B两镇的距离相等； (2)路径优化：从A镇前往B镇，需途径加油站加油．确定加油站位置Q，使得总路程最短：请分别作出上述两种情况下的加油站P、Q的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹并写出结论，不用证明） 【变式1】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知线段、．求作：，使，且，高． 【变式2】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）尺规作图：如图，直线和相交于点O，M是上的一点， (1)过点M画出直线的垂线，垂足为点F． (2)过点M画出直线的平行线． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·上海金山·期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别为和，则它的底边长是________． 2．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____ ． 3．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 4．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 5．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如果等腰三角形一边长为5，另一边长为10，那么它的周长是（    ） A．26 B．25 C．20 D．20或25 2.在中，平分，，，，则的周长为___________．    3．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接．如果，那么______． 4．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 5．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是，则的周长是_____． 43．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点在线段上，点在线段延长线上，且，，求证：． 解：， （    ）， ， ． 即． （    ）， 在和中， ∵， （SSS）． （    ）， ， （    ）． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________． 2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 4．（24-25七年级下·上海长宁·期末）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $