专题07等腰三角形复习讲义(知识梳理+19大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

专题07等腰三角形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握等腰三角形、等边三角形的定义，能识别图形。 2.牢记等腰三角形性质：等边对等角、三线合一。 3.掌握等腰三角形判定：等角对等边。 4.理解边角关系：大边对大角，小边对小角。 5.掌握等边三角形的性质（三边相等、三角均为 60°）与判定方法。 1.能利用性质、判定进行角度和边长的计算。 2.能规范书写证明过程，证明等腰三角形或线段相等。 3.能在复杂图形中识别等腰、等边三角形，结合全等知识解决问题。 4.能运用辅助线技巧解决线段和差等综合问题。 1.熟练解决基础计算、图形识别类题目。 2.突破 “三线合一”“等角对等边” 等中档证明题。 3.掌握等边三角形性质与判定的应用。 4.能应对等腰三角形与全等、平行线结合的综合题。 题型01.等腰三角形的定义 题型02.找出图中的等腰三角形 题型03.等边对等角 题型04.三线合一 题型05.大(小)边对大(小)角定理 题型06.由等角对等边证等腰三角形 题型07.由等角对等边证边相等 题型08.由等角对等边求边长 题型09 .等腰三角形性质与判定综合 题型10.等边三角形的性质 题型11.等边三角形的判定 题型12.等边三角形的判定和性质 题型13.线段垂直平分线的性质 题型14.线段垂直平分线的判定 题型15.作已知线段的垂直平分线 题型16.作垂线 题型17.作等腰三角形 题型18.由外心位置判三角形形状 题型19.最短路径问题 解答题9题 知识点01.基本概念 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两边叫腰，另一边叫底边。 等边三角形：三边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 重要前提：必须满足三角形三边关系：任意两边之和 > 第三边；腰长 > 底边的一半。 知识点02:等腰三角形的性质 性质 内容 几何语言 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点03:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点04:核心辨析与解题关键 1.性质 vs 判定 性质：由边相等推角相等（等边对等角）。 判定：由角相等推边相等（等角对等边）。 2.三线合一：仅在等腰三角形中成立,且是顶角平分线.底边中线.底边高三线重合。 3.分类讨论：遇到等腰三角形边长 / 角度问题时，需注意腰 / 底、顶角 / 底角的多种可能情况。 知识点05:线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2..性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 .性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 3.尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。作法： 1.分别以 A,B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于 C,D 两点； 2.作直线 CD，即为 AB 的垂直平分线。 题型01.等腰三角形的定义 【典例】如果等腰三角形的一个角等于，则它的底角等于（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练1】已知，一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的倍少度，则这个等腰三角形的顶角是________． 【跟踪专练2】一个等腰三角形，其中两条边长度的比是，其中一条边长度是，这个等腰三角形的周长最大可以是（   ）． A．18 B．24 C．45 D．60 题型02.找出图中的等腰三角形 【典例】如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（  ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【跟踪专练1】如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【跟踪专练2】如图，在中，，的平分线相交于点D，过点D作直线，交于E，交于F，图中等腰三角形的个数共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型03.等边对等角 【典例】如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点，在射线上，点，在射线上，满足，且，则的度数为______． 【跟踪专练2】如图，将一个底角大于的等腰三角形沿对称轴对折后，再沿剪掉一个的角，展开后得到如图所示的四边形．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 题型04.三线合一 【典例】如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 【跟踪专练2】如图，在中，，是边上的高，点E、F在上相异两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为（   ）． A．12 B．10 C．8 D．6 题型05.大(小)边对大(小)角定理 【典例】等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______． 【跟踪专练1】如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【跟踪专练2】已知a，b满足． (1)求的值； (2)若a，b为等腰三角形的边长，求的周长． 题型06.由等角对等边证等腰三角形 【典例】一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练1】如图，在中，平分，，则是______三角形．    【跟踪专练2】如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型07.由等角对等边证边相等 【典例】如图，中，、平分、且相交于点D，过D作直线平行于，交、于E、F，当的位置及大小变化时，线段和的大小关系（　 ） A． B． C． D．不能确定 【跟踪专练1】如图，在中，O是三条角平分线的交点，过点O作交于点D，交于点E，若，，则的周长为____________． 【跟踪专练2】如图，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 题型08.由等角对等边求边长 【典例】如图，一艘船从处出发，向正西方向航行69海里到达处，分别从A，B处望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离是______海里． 【跟踪专练1】在中，的平分线相交于，过点且，若，，则______． 【跟踪专练2】如图，△ABC的内角∠ABC及外角∠ACG的平分线交于点D，且过点D．若BE=9，CF=5，则EF=（　　　） A．6 B．5 C．4 D．3 题型09 .等腰三角形性质与判定综合 【典例】一个等腰三角形的两条边分别是9厘米、4厘米，它的周长是（    ）厘米． A．22 B．17 C．22或17 D．无法确定 【跟踪专练1】如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是______． 【跟踪专练2】如图，在直角三角形中，，，点是的中点，以为斜边作等腰直角三角形，连接，．有下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型10.等边三角形的性质 【典例】如图，过等边三角形的顶点A作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知在等边三角形中，是边上的高，，则________． 【跟踪专练2】如图，点、分别是等边边、上的点，已知，连接、交于点．则等于（    ） A． B． C． D． 题型11.等边三角形的判定 【典例】若a、b、c是三角形的三边长，且满足，则此三角形是______三角形． 【跟踪专练1】已知为三边的长，若，则的形状为__________ ． 【跟踪专练2】已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 题型12.等边三角形的判定和性质 【典例】由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，若衣架收拢，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是______． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，E为边中点，若平分，平分，，则的长为______． 【跟踪专练2】如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 题型13.线段垂直平分线的性质 【典例】三角形中，到三个顶点距离相等的点是（    ） A．三边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点 【跟踪专练1】如图，已知中，，分别作边的垂直平分线交于点P，分别交BC于点E和点F．则以下各说法中：①，②，③点P到点B和点C的距离相等，④．正确的说法是______________．(填序号) 【跟踪专练2】如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②若，则周长等于的长；③；④．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 题型14.线段垂直平分线的判定. 【典例】如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论： ①；②；③；④，其中正确的结论有_______．（填序号） 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 题型15.作已知线段的垂直平分线 【典例】观查下列作图痕迹，中，为边上的中线是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为________． 【跟踪专练2】已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型16.作垂线 【典例】如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：①分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点；②作直线．上述作法中满足的条作为___1.（填“”，“”或“”） 【跟踪专练1】如图，在直角中，，，，．按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；连接交与点；则______． 【跟踪专练2】如图，在中，，，分别以，两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，交于点，若，则的长度为（） A．6 B．7 C．8 D．9 题型17.作等腰三角形 【典例】如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则______． 【跟踪专练1】已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C．②以D为圆心，长为半径画，与交于点E，连接并延长，使的延长线交于点P，连接，则的度数为__________． 【跟踪专练2】如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，，则的周长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 题型18.由外心位置判三角形形状 【典例】如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【跟踪专练1】如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为___________． 【跟踪专练2】已知：如图，在中，边、的垂直平分线交于点．则下列结论一定成立的有（   ）个． ①．②点在的垂直平分线上．③④⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型19.最短路径问题 【典例】如图，在ABC中，AB＝AC，BC＝4，ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（    ） A．21 B．7 C．4 D．2 【跟踪专练1】某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．14 【解答题】 1．已知，，是的三条边长，且，，是正整数． (1)化简； (2)若为等腰三角形，且满足，求的周长． 2．如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 3．如图，是的角平分线，交于点，求证：是等腰三角形． 4．如图，在中，，，为中点，点在线段上，交于点，． (1)求度数； (2)求的周长． 5．如图，在中，，点分别在边上，连接交于点． (1)试判断与是否相等，并说明理由； (2)若平分，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长度． 6．如图，为等边三角形，延长到E，使，过C作，连接，求证：是等腰三角形．    7．如图，在中，，是边的中点，交于点，交于点，的平分线在内交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数． (2)若，，求，满足的关系式． 8．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 9．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07等腰三角形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握等腰三角形、等边三角形的定义，能识别图形。 2.牢记等腰三角形性质：等边对等角、三线合一。 3.掌握等腰三角形判定：等角对等边。 4.理解边角关系：大边对大角，小边对小角。 5.掌握等边三角形的性质（三边相等、三角均为 60°）与判定方法。 1.能利用性质、判定进行角度和边长的计算。 2.能规范书写证明过程，证明等腰三角形或线段相等。 3.能在复杂图形中识别等腰、等边三角形，结合全等知识解决问题。 4.能运用辅助线技巧解决线段和差等综合问题。 1.熟练解决基础计算、图形识别类题目。 2.突破 “三线合一”“等角对等边” 等中档证明题。 3.掌握等边三角形性质与判定的应用。 4.能应对等腰三角形与全等、平行线结合的综合题。 题型01.等腰三角形的定义 题型02.找出图中的等腰三角形 题型03.等边对等角 题型04.三线合一 题型05.大(小)边对大(小)角定理 题型06.由等角对等边证等腰三角形 题型07.由等角对等边证边相等 题型08.由等角对等边求边长 题型09 .等腰三角形性质与判定综合 题型10.等边三角形的性质 题型11.等边三角形的判定 题型12.等边三角形的判定和性质 题型13.线段垂直平分线的性质 题型14.线段垂直平分线的判定 题型15.作已知线段的垂直平分线 题型16.作垂线 题型17.作等腰三角形 题型18.由外心位置判三角形形状 题型19.最短路径问题 解答题9题 知识点01.基本概念 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两边叫腰，另一边叫底边。 等边三角形：三边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 重要前提：必须满足三角形三边关系：任意两边之和 > 第三边；腰长 > 底边的一半。 知识点02:等腰三角形的性质 性质 内容 几何语言 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点03:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点04:核心辨析与解题关键 1.性质 vs 判定 性质：由边相等推角相等（等边对等角）。 判定：由角相等推边相等（等角对等边）。 2.三线合一：仅在等腰三角形中成立,且是顶角平分线.底边中线.底边高三线重合。 3.分类讨论：遇到等腰三角形边长 / 角度问题时，需注意腰 / 底、顶角 / 底角的多种可能情况。 知识点05:线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2..性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 .性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 3.尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。作法： 1.分别以 A,B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于 C,D 两点； 2.作直线 CD，即为 AB 的垂直平分线。 题型01.等腰三角形的定义 【典例】如果等腰三角形的一个角等于，则它的底角等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题需分情况讨论已知角为底角或顶角的情况，理解题意是解决本题的关键． 利用等腰三角形两底角相等及三角形内角和为的性质计算底角度数即可． 【详解】解：分两种情况：当已知的角为底角时，等腰三角形底角即为； 当已知的角为顶角时，底角为， 综上，底角等于或． 故选C． 【跟踪专练1】已知，一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的倍少度，则这个等腰三角形的顶角是________． 【答案】或或 【分析】设其中一个内角为，表示出另一个内角为，分三种情况讨论：为顶角，为底角；为底角，为顶角；与均为底角，结合三角形内角和定理与等腰三角形两底角相等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设等腰三角形的一个内角为，则另一个内角为，分三种情况讨论： ① 当为顶角，为底角时，根据三角形内角和定理得：，解得，即顶角度数为； ② 当为底角，为顶角时，根据三角形内角和定理得：，解得，因此顶角度数为； ③ 当与均为底角时，根据等腰三角形两底角相等得：，解得，因此顶角度数为； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为或或． 【跟踪专练2】一个等腰三角形，其中两条边长度的比是，其中一条边长度是，这个等腰三角形的周长最大可以是（   ）． A．18 B．24 C．45 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形三边关系，分类讨论，是解题的关键． 根据等腰三角形两边之比为，设等腰三角形两边长为，（），若腰为，底边为，此时无法构成三角形．若腰为，底边为，可以构成三角形．此时三边为、、，当底边时，三角形周长为．当腰时， 周长为，即得． 【详解】解：∵等腰三角形两边之比为， ∴设等腰三角形两边长为，（）， 若腰为，底边为， 此时三边为、、， ∵， ∴无法构成三角形，三角形不存在． 若腰为，底边为， 此时三边为、、， ∵， ∴可以构成三角形． 当底边时，． 腰长为． ∴此时三角形周长为． 当腰时，， 底边长为， ∴此时周长为． ∴这个等腰三角形的周长最大可以是 故选：D． 题型02.找出图中的等腰三角形 【典例】如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（  ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】逐个画出图形，即可得到答案． 【详解】解：图①中，∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=72°， 以B为顶点，在△ABC内作∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBC=36°， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴△ABD是等腰三角形， 而∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∠ACB=72°， ∴∠ACB=∠BDC=72°， ∴△BDC是等腰三角形， 故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，故①符合题意； 图③中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°， 过A作AE⊥BC于E，如图： 则△ABE和△ACE是等腰直角三角形， 故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，故③符合题意； 图④中，∠BAC=108°，AB=AC，则∠B=∠C=36°， 以A为顶点，在△ABC内作∠BAF=72°，如图： 则△ABF和△ACF都是等腰三角形，故④符合题意； 图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形， 故②不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是分别画出图形，计算图中角的大小，用等边对等角判断等腰三角形． 【跟踪专练1】如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可． 【详解】解：如图所示： 以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合． 因此出现等腰三角形的点P的位置有4个． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法． 【跟踪专练2】如图，在中，，的平分线相交于点D，过点D作直线，交于E，交于F，图中等腰三角形的个数共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质进行推导是解决问题的关键．根据，可得是等腰三角形，根据角平分线的定义可得，得到是等腰三角形，再利用平行线的性质可得，得到是等腰三角形，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵的平分线相交于点D， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴共有5个等腰三角形：． 故选：C． 题型03.等边对等角 【典例】如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，点，在射线上，点，在射线上，满足，且，则的度数为______． 【答案】 【分析】设 ，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，依次推导 、、、、 的度数（用 表示），最后利用垂直定义和三角形内角和定理（或外角性质）建立方程求解即可． 【详解】解：设 在 中， 即 解得 故的度数为． 【跟踪专练2】如图，将一个底角大于的等腰三角形沿对称轴对折后，再沿剪掉一个的角，展开后得到如图所示的四边形．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边对等角和三角形内角和定理可得，再根据，即可得． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故选C． 题型04.三线合一 【典例】如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 由知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵D为边的中点， ∴，平分， 故选项A、B、D正确， 不一定成立， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的三线合一性质，关键是先利用等腰三角形底边上的中线平分顶角的性质求出的度数，再通过角的和差关系计算的度数． 【详解】解：∵在△中，，是的中点， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，是边上的高，点E、F在上相异两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为（   ）． A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与轴对称性质．先证明，得到是等腰三角形的对称轴，即可得到图中阴影部分的面积为． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴， ∴是等腰三角形的对称轴， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：D． 题型05.大(小)边对大(小)角定理 【典例】等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______． 【答案】8，8 【分析】从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案． 【详解】解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x， 则有x+4×2=20， 解得：x=12， 此时，三角形的三边长为4，4，12， ∵4+4＜12， ∴不可以组成三角形； 若等腰三角形的底边为4，设腰长为x， 则有2x+4=20， 解得：x=8， ∵4+8＞8， ∴可以组成三角形； ∴三角形的另两边的长分别为8，8． 故答案为：8，8． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键． 【跟踪专练1】如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 【跟踪专练2】已知a，b满足． (1)求的值； (2)若a，b为等腰三角形的边长，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为12 【分析】（1）先根据完全平方式将转化为 ，再根据偶次方的非负性求出a，b，再进一步求值即可； （2）在（1）的基础上，分两类讨论：当a为腰时，当b为腰时，分别计算，并且注意能否组成三角形． 【详解】（1）原式： ∴， ∴ （2）分两种情况讨论： ①当为腰时，则为底，三边分别为5、5、2， ∴的周长为； ②当为腰时，则为底，三边分别为5、2、2， 不符合三角形三边的关系，舍去； 综上所述，的周长为12． 【点睛】本题考查利用完全平方公式求值，等腰三角形的定义，三角形三边不等关系，解题关键是利用完全平方式将代数式转化为两个偶次方的和为零问题． 题型06.由等角对等边证等腰三角形 【典例】一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先利用三角形的内角和定理求解第三个角的大小，再判断即可． 【详解】解：由， ∴三角形中有两个角相等，是等腰三角形，故A符合题意； 由， ∴三角形不是等腰三角形，故B不符合题意； 由， ∴三角形不是等腰三角形，故C不符合题意； 由， ∴三角形不是等腰三角形，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，三角形的内角和定理的应用，熟记等腰三角形的判定方法是解本题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，平分，，则是______三角形．    【答案】等腰 【分析】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，根据等角对等边证明等腰三角形，先得出，结合平行线的性质得，进行角的等量代换，得出，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 则 ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 【跟踪专练2】如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以． 【详解】解：延长交于，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 题型07.由等角对等边证边相等 【典例】如图，中，、平分、且相交于点D，过D作直线平行于，交、于E、F，当的位置及大小变化时，线段和的大小关系（　 ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键． 由平行线的性质和角平分线的定义可得，则，同理可得，则，可得答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 即． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在中，O是三条角平分线的交点，过点O作交于点D，交于点E，若，，则的周长为____________． 【答案】10 【分析】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义等知识，先证明，同理可得，利用等量代换进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长． 故答案为：10． 【跟踪专练2】如图，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定即可得选项A正确；先根据三角形的外角性质可得，再根据平行线的性质即可得选项B正确；根据邻补角的定义求出，由此即可得选项C错误；根据等腰三角形的判定即可得选项D正确． 【详解】解：， ，则选项A正确； ，， ， ，则选项B正确； ， ， ， ，则选项C错误； ， ，则选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 题型08.由等角对等边求边长 【典例】如图，一艘船从处出发，向正西方向航行69海里到达处，分别从A，B处望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离是______海里． 【答案】69 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定，注意数形结合思想的应用是解题的关键．根据等腰三角形的判定和三角形外角的性质理可得到结论． 【详解】解：根据题意得：海里， ， ， ， 海里， 即从海岛到灯塔的距离是69海里， 故答案为：69． 【跟踪专练1】在中，的平分线相交于，过点且，若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，利用平行线的性质和角平分线的定义可得，即得，同理可得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，△ABC的内角∠ABC及外角∠ACG的平分线交于点D，且过点D．若BE=9，CF=5，则EF=（　　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可得∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，然后即可得到ED和DF的值，然后根据线段的和差即可求得EF的值. 【详解】解：∵△ABC的内角∠ABC， ∴∠EBD=∠DBC ∵EFBC， ∴∠EDB=∠DBC， ∴∠EBD=∠EDB， ∴DE=BE=9 同理：DF=CF=5， ∴EF=DE-DF=9-5=4. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识点，明确题意、掌握数形结合的思想是解答本题的关键. 题型09 .等腰三角形性质与判定综合 【典例】一个等腰三角形的两条边分别是9厘米、4厘米，它的周长是（    ）厘米． A．22 B．17 C．22或17 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边长的关系，掌握等腰三角形的定义和性质是解题的关键． 根据等腰三角形的定义和性质，分类讨论：当腰是9厘米，底是4厘米时，周长为22厘米；当腰是4厘米，底是9厘米时，根据三角形三边关系判定此种情况不符合题意，由此即可求解． 【详解】解：当腰是厘米，底是厘米，即等腰三角形的三边长为：厘米，厘米，厘米， ∴周长为（厘米）； 当腰是厘米，底厘米，即等腰三角形的三边长为：厘米，厘米，厘米， ∵，不能构成三角形， ∴此种情况不符合题意，舍去； ∴等腰三角形的周长为22厘米， 故选：A ． 【跟踪专练1】如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是______． 【答案】等腰三角形的三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 故答案为：等腰三角形的“三线合一”． 【跟踪专练2】如图，在直角三角形中，，，点是的中点，以为斜边作等腰直角三角形，连接，．有下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】由等腰直角三角形得到，，推出，然后得到，即可证明，得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∴ ∴ ∴ ∴，故③正确． 综上所述，正确的结论有3个． 题型10.等边三角形的性质 【典例】如图，过等边三角形的顶点A作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和平角的定义，先根据等边三角形的性质得出，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：A 【跟踪专练1】如图，已知在等边三角形中，是边上的高，，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了等边三角形的性质及等腰三角形三线合一定理，先利用等边三角形的性质得出，再由是边上的高，利用等腰三角形三线合一定理可得出点D是中点，即可求得的值． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵是边上的高， ∴， 故答案为：1． 【跟踪专练2】如图，点、分别是等边边、上的点，已知，连接、交于点．则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等边三角形的性质得，，再证明得到，则，然后根据三角形外角定理计算的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中 ∴， ∴， ∴． 题型11.等边三角形的判定 【典例】若a、b、c是三角形的三边长，且满足，则此三角形是______三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查偶次方的非负数的性质、绝对值的非负数的性质，根据非负数的性质求出a、b、c的关系，即可判定三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴这个三角形一定是等边三角形， 故答案为：等边． 【跟踪专练1】已知为三边的长，若，则的形状为__________ ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，对原式进行整理，得出，得到，因此三角形是等边三角形． 【详解】解：因为， 即， 即， 得：， 所以， 所以， 所以的形状为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【跟踪专练2】已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】将，进行因式分解，根据平方的非负性，即可得到，根据等边三角形的判定，即可求解； 本题考查了因式分解，平方的非负性，等边三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握因式分解． 【详解】解：∵ ∴，即：， ∴，且，即：，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：． 题型12.等边三角形的判定和性质 【典例】由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，若衣架收拢，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是______． 【答案】20 【分析】此题考查等边三角形，掌握等边三角形的判定和性质是解决本题的关键； 根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形进行分析解答即可． 【详解】连接， ，， 是等边三角形， ， 故答案为：20． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，E为边中点，若平分，平分，，则的长为______． 【答案】26 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，如图，在上截取，截取，证明，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，E为边中点， ∴， 如图，在上截取，截取， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为： 【跟踪专练2】如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，等边三角形的性质与判定等等，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，根据轴对称的性质可得，，，，则可得，进一步可得当点在一条直线上时，最小，即此时周长最小，最小值为，此时三角形是等边三角形，则根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小，利用面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵周长， ∴当点在一条直线上时，最小，即此时周长最小，最小值为，此时三角形是等边三角形， ∴， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小6， 故选C． 题型13.线段垂直平分线的性质 【典例】三角形中，到三个顶点距离相等的点是（    ） A．三边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等． 【详解】解：∵ 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ∴ 三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等． 【跟踪专练1】如图，已知中，，分别作边的垂直平分线交于点P，分别交BC于点E和点F．则以下各说法中：①，②，③点P到点B和点C的距离相等，④．正确的说法是______________．(填序号) 【答案】①②③ 【分析】先由三角形内角和定理得到，然后在中运用三角形内角和定理求解，判断①；根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，结合三角形内角和定理计算，判断②；连接、，根据线段垂直平分线的性质判断③；根据不一定是等腰三角形判断④． 【详解】解：如图： ∵ 垂直平分，垂直平分 ， ， ，故说法②正确； 垂直平分，垂直平分 ， ∵，同理， ∴，故①正确； 连接、 垂直平分，垂直平分 ， ，即点到点和点的距离相等，故③说法正确 不一定是等腰三角形 与的大小无法确定，故④说法错误， ∴说法正确的为①②③． 【跟踪专练2】如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接，则下列结论：①；②若，则周长等于的长；③；④．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识成为解题的关键． ①先证明，进而依据“”判定和全等得可判断①；②根据得，进而得是线段的垂直平分线，则，由此得，继而得周长为可判断②；③设的延长线交于点H，证明和是等腰直角三角形得，由此得是等腰直角三角形，则可判断③；④假设，根据得，再根据得，进而得是直角三角形，这与是任意三角形相矛盾，由此得假设是错误的，据此可判断④． 【详解】解：①∵在中，分别为边上的高， ∴， 在中，， 在中，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即结论①正确； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴周长为：， 故结论②正确； ③如图所示：设的延长线交于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故结论③正确； ④假设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，这与是任意三角形相矛盾， ∴假设是错误的，故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：B． 题型14.线段垂直平分线的判定. 【典例】如图，在△中，是钝角，以点为圆心、的长为半径画弧，再以点为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点，连接，延长交于点．下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，，证明垂直平分线段可得结论． 【详解】解：连接，． 由作图可知，， 垂直平分线段， ， ． 故选：C． 【跟踪专练1】已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论： ①；②；③；④，其中正确的结论有_______．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，根据即可求证，即可判断①；根据，可得垂直平分，即可判断②③；根据，即可判断④． 【详解】解：在和中， ， ∴，故①正确，符合题意； ∵，， ∴垂直平分， 即，故②③正确，符合题意； ，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　） A．105° B．115° C．120° D．130° 【答案】B 【分析】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，证明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三边关系可知，，即BE+EF的值最小为，通过证明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性质求出AE′B′即可． 【详解】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图： . 此时BE+EF最小． ∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°， ∴∠BAD＝∠B′AD＝25°， ∵BB′⊥AD， ∴∠AGB＝∠AGB′＝90°， 在△ABG和△AB′G中， ， ∴△ABG≌△AB′G（ASA）， ∴BG＝B′G， AB＝AB′， ∴AD垂直平分BB′， ∴BE＝BE′， 在△ABE′和△AB′E′中， ， ∴△ABE′≌△AB′E′（SSS）， ∴∠AE′B＝AE′B′， ∵AE′B′＝∠BAD+ AF′E′＝25°+90°=115°， ∴∠AE′B＝115°． 即当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为115°． 故选B． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置． 题型15.作已知线段的垂直平分线 【典例】观查下列作图痕迹，中，为边上的中线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】中线的定义为：对应顶点到对边中点的连线，所以需要首先找到AB的中点，利用的是线段垂直平分线的做法． 【详解】解：A选项：CD为AB边上的垂线，故错误； B选项：D点为线段AB与其垂直平分线的交点，所以D点为AB边的中点，所以CD为AB边上的中线，故正确； C选项：CD为∠ACB的角平分线，故错误； D选项：画图错误，不属于三角形中的三线，故错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是三角形中线段的画法，掌握尺规作图的方法是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图—作线段和作线段的垂直平分线，由作图知，，垂直平分线段，则，则由即可求得周长． 【详解】解：由作图知，，垂直平分， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：12． 【跟踪专练2】已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查五类基本尺规作图-作垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的作法是解决问题的关键． 根据题中要求，在上取一点，使得，根据，从而得到，即可得到本题的尺规作图是作线段的垂直平分线，结合选项即可得到答案． 【详解】解：在中，，在上取一点，使得， ， ，即作线段的垂直平分线， 故选：D． 题型16.作垂线 【典例】如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：①分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点；②作直线．上述作法中满足的条作为___1.（填“”，“”或“”） 【答案】＞ 【分析】作图方法为：以，为圆心，大于长度画弧交于，两点，由此得出答案． 【详解】解：∵， ∴半径长度， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法． 【跟踪专练1】如图，在直角中，，，，．按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；连接交与点；则______． 【答案】 【分析】本题考查垂线的基本作图，与三角形的高有关的计算． 根据基本作图，可得，利用三角形的面积计算即可． 【详解】解：根据题意，得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，，分别以，两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，交于点，若，则的长度为（） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】 本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再计算出，则利用含30度角的三角形三边的关系得到，所以，然后计算即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：D． 题型17.作等腰三角形 【典例】如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则______． 【答案】110°/110度 【分析】根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°，再根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°， ∵∠BCM=∠MAN+∠ABC， ∴∠BCM=110°． 故答案为：110° 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，三角形外角的性质，熟练掌握作一个角等于已知角的作法，三角形外角的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C．②以D为圆心，长为半径画，与交于点E，连接并延长，使的延长线交于点P，连接，则的度数为__________． 【答案】 【分析】由作法得，，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再计算出，然后计算即可． 【详解】解：由作法得，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． 【跟踪专练2】如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，，则的周长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【分析】本题考查了中垂线的性质，尺规作图，熟练掌握该知识点是解题的关键． 由题意得，垂直平分，，可推出，则的周长可转化为，问题可解． 【详解】解：由题意得，垂直平分，， ，， 的周长为：， 故选：A． 题型18.由外心位置判三角形形状 【典例】如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 【跟踪专练1】如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为___________． 【答案】/140度 【分析】根据三角形外心的性质，等腰三角形的性质，再结合三角形内角和定理计算即可． 【详解】点是的外心 是等腰三角形 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形外心的性质解题的关键． 【跟踪专练2】已知：如图，在中，边、的垂直平分线交于点．则下列结论一定成立的有（   ）个． ①．②点在的垂直平分线上．③④⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据线段垂直平分线的判定定理、外心的概念判断即可． 【详解】解：边、的垂直平分线交于点， ，①正确； ， 点在的垂直平分线上，②正确； 边、的垂直平分线交于点， 点是的外心， ，③正确； 不一定等于，④错误； 不一定是的平分线， 不一定等于，⑤错误； 故选：B． 题型19.最短路径问题 【典例】如图，在ABC中，AB＝AC，BC＝4，ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（    ） A．21 B．7 C．4 D．2 【答案】B 【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=14， 解得AD=7， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴CM+MD的最小值为7． 故答案为B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的三线合一是解答此题的关键． 【跟踪专练1】某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，将军饮马问题，理解将军饮马问题，正确添加辅助线是解题关键．连接，，先证明，，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为9． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵，当点A、M、D共线时取等号， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 故选：B． 【解答题】 1．已知，，是的三条边长，且，，是正整数． (1)化简； (2)若为等腰三角形，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形三边关系确定绝对值内的式子的正负性，然后去绝对值符号，合并同类项化简即可； （2）利用完全平方公式对已知式子进行变形，得到，的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论，结合三角形三边关系即可确定三角形的周长． 【详解】（1）解：，，是的三条边长，且，，是正整数． ，，， ， ； （2）解：， ， ， ，， ，， 为等腰三角形， 若腰长为，则三边长为，，，，故不能构成三角形； 若腰长为，则三边长为，，，可构成三角形， 的周长为． 2．如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据角的和差运算得到，结合已知条件即可利用证得结论； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，可知为等腰三角形，然后根据等边对等角、三线合一以及三角形内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵O点为中点， ∴． 3．如图，是的角平分线，交于点，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边证明等腰三角形，根据角平分线的定义以及平行线的性质得出，根据等角对等边即可得证． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 4．如图，在中，，，为中点，点在线段上，交于点，． (1)求度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质. （1）根据等腰三角形的性质可得，再由为的中点，可得平分，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵为的中点， ∴平分， ∴， 故度数为． （2）解∶∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 5．如图，在中，，点分别在边上，连接交于点． (1)试判断与是否相等，并说明理由； (2)若平分，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长度． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)16 【分析】（1）根据，即可证明结论； （2）过点F作于点G，求出，得出，证明； （3）在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：． 证明：∵， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：过点F作于点G，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上截取，连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．如图，为等边三角形，延长到E，使，过C作，连接，求证：是等腰三角形．    【答案】见解析 【分析】由等边三角形的性质，平行线的性质和已知条件可证明，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 7．如图，在中，，是边的中点，交于点，交于点，的平分线在内交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数． (2)若，，求，满足的关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1） 由垂直平分得，推出，再由平分得，从而，最后在中用内角和计算的度数． （2） 设，则，结合，用三角形内角和建立等式，推导与的关系式． 【详解】（1）解：是边的中点，， ， ． 平分， ， ． ，， ， 即， ． （2）解：由（1）知． ，， ， 即， ． 8．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． （2）首先求出，再证明，，然后根据面积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：∵的周长为18，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 【答案】（1）见解析；（2）24；（3） 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质是关键． （1）证明即可得证； （2）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解； （3）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为24． 故答案为：24； （3）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $