专题04平行线的性质与判定复习讲义(知识梳理+19大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

专题04平行线的性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解：平行线的概念，明确同一平面内两条直线的位置关系。 2.牢记：平行公理及其推论，掌握平行线基本事实。 3.掌握：平行线的判定方法，熟练运用三类角判定两直线平行。 4.熟记：平行线的性质，理清平行条件与平行性质的区别。 5.区分：平行线判定与性质的逻辑关系，避免概念混淆。 1.识别：复杂图形中的同位角、内错角、同旁内角，找准平行条件。 2.运用：平行线判定与性质，进行角度计算和几何推理。 3.推理：书写简单几何步骤，养成有理有据的答题习惯。 4.分析：几何综合题型，学会结合相交线知识综合解题。 1.掌握：平行线判定、角度计算等基础必考题型。 2.规范：几何解题步骤与几何语言，减少答题失分。 3.突破：判定与性质混用易错点，提升做题准确率。 4.衔接：相交线、命题证明内容，夯实几何综合学习基础。 题型01.平面内两直线位置关系 题型02.用直尺.三角板画平行线 题型03.平行公理的应用 题型04.平行公理推论的应用 题型05.反证法证明中的假设 题型06.用反证法证明命题 题型07.同位角.内错角.同旁内角 题型08.同位角相等.两直线平行 题型09.同垂于一直线的两直线平行 题型10.两直线平行.同位角相等 题型11.内错角相等.两直线平行 题型12.两直线平行.内错角相等 题型13.同旁内角互补.两直线平行 题型14.两直线平行.同旁内角互补 题型15.由平行线性质探究角的关系 题型16.由平行线性质求角的度数 题型17.平行线性质的应用 题型18.由平行线性质于判定求角度 题型19.由平行线性质于判定证明 解答题6题 知识点01:基础认知・抓根本 核心定义：同一平面内永不相交的两条直线，互为平行线。 两种关系：同一平面内，直线只存在相交、平行两类位置关系。 知识点02.核心概念：三线八角（识别基础） 两条直线被第三条直线（截线）所截，形成 8 个角，核心三类： 同位角：在截线的同旁，被截两直线的同一侧，呈 “F” 型 内错角：在截线的两侧，被截两直线之间，呈 “Z” 型 同旁内角：在截线的同旁，被截两直线之间，呈 “U” 型 知识点03:平行线的判定（由角定线） 知识点04:拓展判定方法（2 条） 平行于同一直线的两条直线互相平行。 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 知识点04:平行线的性质（由线定角） 知识点05.判定与性质的核心区别（必考点） 1.逻辑方向：判定是「角的关系→线的平行」，性质是「线的平行→角的关系」 2.因果关系：判定中角是因、平行是果；性质中平行是因、角是果 3.核心作用：判定用于证明两直线平行，性质用于计算角度、证明角相等 / 互补 4.绝对禁忌：严禁因果倒置，不能用性质证平行，也不能用判定求角度 . 题型01.平面内两直线位置关系 【典例】在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 【跟踪专练1】在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为________． 【跟踪专练2】在同一平面内有2026条直线，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是________． 题型02.用直尺.三角板画平行线 【典例】如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是___________． 【跟踪专练1】数学课上老师要求同学们利用三角板和直尺过点作已知直线的平行线，下图是甲、乙的作图过程．关于两人的作图下列判断正确的是（    ） A．甲的作图正确，依据是“内错角相等，两直线平行” B．甲的作图不正确 C．乙的作图正确，依据是“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行” D．乙的作图不正确 【跟踪专练2】数学课上老师要求同学们利用三角板和直尺过点P作已知直线l的平行线，如图是甲、乙的作图过程．下列说法正确的是___________；（填序号） ①甲的作图正确，依据是“内错角相等，两直线平行” ②甲的作图不正确 ③乙的作图正确，依据是“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行” ④乙的作图不正确 题型03.平行公理的应用 【典例】已知直线，则三点______同一条直线上．（填“一定在”“不一定在”或“一定不在”） 【跟踪专练1】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【跟踪专练2】如图是一个工业机械臂调整场景，是操作台的基准轴线，点A，B，M，N，P在同一平面内．当，且时，可判定机械臂与在同一条直线上，判定依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 题型04.平行公理推论的应用 【典例】在同一平面内，若，则b与c的关系为（    ） A．平行或重合 B．平行或垂直 C．垂直 D．相交 【跟踪专练1】在同一平面内有4条互不重合的直线，，，，如果，，，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【跟踪专练2】如图，，，，，则为（   ） A． B． C． D． 题型05.反证法证明中的假设 【典例】用反证法证明：中，，则，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（   ） A．都不为0 B．只有一个为0 C．至少有一个为0 D．都为0 题型06.用反证法证明命题 【典例】用反证法证明命题“若，则”时，应假设 _____． 【跟踪专练1】证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【跟踪专练2】用反证法证明．已知：和是直线被直线截出的同位角，分别交于点M、N，． 求证：． 证明：假设________________，过点M作直线，使得 根据________________，可得到________________， 又因为，与________________矛盾， 故假设不成立，所以 题型07.同位角.内错角.同旁内角 【典例】如图，直线b，c被直线a所截，若，则的同位角等于______度． 【跟踪专练1】如图，下列各组角中是同位角的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪专练2】如图，两直线a，b被直线l所截，则下列条件中不能证明的是（    ）    A． B． C． D． 题型08.同位角相等.两直线平行 【典例】如图，工人师傅通过移动角尺在工件上画出直线，其中的道理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【跟踪专练1】如图，三角形ABC中，点D在BC的延长线上，以点C为端点画射线CE，要使，还需要添加一个条件，这个条件可以是______． 【跟踪专练2】如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的有（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 题型09.同垂于一直线的两直线平行 【典例】在同一平面内，有三条直线a、b、c，如果，，则a__________c． 【跟踪专练1】如图，，那么三点在同一条直线上．根据_____． 【跟踪专练2】在同一平面内有2025条直线，，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 题型10.两直线平行.同位角相等 【典例】平面内，直线m与两条平行线n、p相交，若m与n的夹角为65°，则m与p的夹角为______． 【跟踪专练1】如图，直线，被直线所截，且，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，交于点，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型11.内错角相等.两直线平行 【典例】如图，补充一个条件，使成立，这个条件可以是______． 【跟踪专练1】如图(1)，在中， ，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中[图]，当 _____________时，． 【跟踪专练2】如图，①，②，③，④．可以判定的条件有（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 题型12.两直线平行.内错角相等 【典例】如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角的度数为，第二次拐角的度数为________． 【跟踪专练1】如图，直线，直线分别交、于点E、F，平分，若，则__________． 【跟踪专练2】在南海海域巡航任务中，我国海警船在某观察点A处，发现其北偏东的方向B处，有一艘不明船只，我国另外一艘处于C处的海警船也发现了其北偏西方向的B处的不明船只，此时C处在A处的南偏东，则两艘海警船与不明船只的连线夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 题型13.同旁内角互补.两直线平行 【典例】如图，下列条件能判断的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，因为，，所以______，所以____________，理由是_________． 【跟踪专练2】若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 题型14.两直线平行.同旁内角互补 【典例】如图，直线与直线，分别交于点，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线、被直线所截，且．若，则的大小为______． 【跟踪专练2】如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交于点，若，则（    ）（用含的代数式表示） A． B． C． D． 题型15.由平行线性质探究角的关系 【典例】将一张等宽的纸片按如图1所示的方式折叠后再展开，得到图2，则图2中的与之间一定满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是___________． 【跟踪专练2】如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 题型16.由平行线性质求角的度数 【典例】如图，梯子的各条横档互相平行，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知，直线分别交、于点、，平分，若，则的度数为________． 【跟踪专练2】如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，第一次沿着折叠，第二次沿着折叠，若，设的度数为，则的度数为______度（用含的代数式表示）． 题型17.平行线性质的应用 【典例】如图，安装某管道，需经过两次拐弯，若要求拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，第一次拐弯处的，那么第二次拐弯处的________． 【跟踪专练1】在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的．如图，已知，轨枕的俯视图是矩形，为保证两条钢轨平行，只需要确保（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（    ） A． B． C． D． 题型18.由平行线性质于判定求角度 【典例】如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一种路灯维护工程车的工作示意图如图所示，已知工作篮底部与支撑平台平行，若，，则的度数为______． 【跟踪专练2】如图，已知，点，分别在，上，点在的上方，点在与之间，连接，，．连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（） A． B． C． D． 题型19.由平行线性质于判定证明 【典例】如图，，则下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，CE平分，ED平分，，下列结论：①EC平分；②；③；④，其中正确结论是______． . 【跟踪专练2】如图，E在线段的延长线上，，，，连接交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确结论的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答题】 1．综合与探究 问题情境：在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线在生活中的应用． (1)初步探究：如图1是路灯维护工程车的工作示意图，其中为固定升降梯，为活动升降梯，伸缩可调整工作台高度，为液压连杆，工作台．当时，则的度数为___________． (2)深入探究：如图2是一种路灯的示意图，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求出与所成锐角的度数； (3)拓展延伸：在图2的基础上，只改变和的度数，观察度数的变化．探究之间的数量关系，并说明理由． 2．高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，，垂足为A，，有同学认为在这种情况下，与的和是个定值．下面是小林同学计算的度数的过程，请你将解答过程补充完整． 解：如图②，过点B作，因为（已知）， 所以_______（_______），所以_______（_______）， 因为（已知），所以（_______）， 因为，所以， 所以，所以_______． 即：与的和是个定值． 3．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：如图，已知，，平分，证明：． 解：平分， ___________，（___________） ， （___________） ______________________（___________）， （___________）， ， ， （___________）． 4．如图，点C在上，，，请说明平分． 解：理由如下： ， ________（两直线平行，同位角相等）， ________（________）． ， ∴________， ∴CE平分（角平分线的定义）． 请你补全上述说理过程． 5．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______； (4)一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 6．如图1是一种躺椅，图2是其结构示意图，前支架与椅背平行，扶手与前支架和椅背分别交于点、，底座与前支架和椅背分别交于点、，点在后支架上．已知． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)当前支架与后支架恰好垂直，且时，人躺着最舒服，求此时扶手与后支架的夹角的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04平行线的性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解：平行线的概念，明确同一平面内两条直线的位置关系。 2.牢记：平行公理及其推论，掌握平行线基本事实。 3.掌握：平行线的判定方法，熟练运用三类角判定两直线平行。 4.熟记：平行线的性质，理清平行条件与平行性质的区别。 5.区分：平行线判定与性质的逻辑关系，避免概念混淆。 1.识别：复杂图形中的同位角、内错角、同旁内角，找准平行条件。 2.运用：平行线判定与性质，进行角度计算和几何推理。 3.推理：书写简单几何步骤，养成有理有据的答题习惯。 4.分析：几何综合题型，学会结合相交线知识综合解题。 1.掌握：平行线判定、角度计算等基础必考题型。 2.规范：几何解题步骤与几何语言，减少答题失分。 3.突破：判定与性质混用易错点，提升做题准确率。 4.衔接：相交线、命题证明内容，夯实几何综合学习基础。 题型01.平面内两直线位置关系 题型02.用直尺.三角板画平行线 题型03.平行公理的应用 题型04.平行公理推论的应用 题型05.反证法证明中的假设 题型06.用反证法证明命题 题型07.同位角.内错角.同旁内角 题型08.同位角相等.两直线平行 题型09.同垂于一直线的两直线平行 题型10.两直线平行.同位角相等 题型11.内错角相等.两直线平行 题型12.两直线平行.内错角相等 题型13.同旁内角互补.两直线平行 题型14.两直线平行.同旁内角互补 题型15.由平行线性质探究角的关系 题型16.由平行线性质求角的度数 题型17.平行线性质的应用 题型18.由平行线性质于判定求角度 题型19.由平行线性质于判定证明 解答题6题 知识点01:基础认知・抓根本 核心定义：同一平面内永不相交的两条直线，互为平行线。 两种关系：同一平面内，直线只存在相交、平行两类位置关系。 知识点02.核心概念：三线八角（识别基础） 两条直线被第三条直线（截线）所截，形成 8 个角，核心三类： 同位角：在截线的同旁，被截两直线的同一侧，呈 “F” 型 内错角：在截线的两侧，被截两直线之间，呈 “Z” 型 同旁内角：在截线的同旁，被截两直线之间，呈 “U” 型 知识点03:平行线的判定（由角定线） 知识点04:拓展判定方法（2 条） 平行于同一直线的两条直线互相平行。 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 知识点04:平行线的性质（由线定角） 知识点05.判定与性质的核心区别（必考点） 1.逻辑方向：判定是「角的关系→线的平行」，性质是「线的平行→角的关系」 2.因果关系：判定中角是因、平行是果；性质中平行是因、角是果 3.核心作用：判定用于证明两直线平行，性质用于计算角度、证明角相等 / 互补 4.绝对禁忌：严禁因果倒置，不能用性质证平行，也不能用判定求角度 . 题型01.平面内两直线位置关系 【典例】在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条不重合直线的位置关系，需明确垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，根据基础定义即可判断选项． 【详解】解：在同一平面内，两条不重合的直线，若没有交点则为平行，若有一个交点则为相交， 又由于垂直是相交的特殊情况，不能作为单独的位置关系分类， 则同一平面内两条不重合的直线的位置关系只有平行或相交． 【跟踪专练1】在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为________． 【答案】在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，注意数形结合思想的运用．根据在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交即可得到答案． 【详解】在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 故答案为：在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 【跟踪专练2】在同一平面内有2026条直线，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是________． 【答案】 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：与后续直线的位置关系以4为周期循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导出一般性规律，与后续直线的位置关系以4为周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 题型02.用直尺.三角板画平行线 【典例】如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是___________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据和是三角板中的同一个角，得，根据平行线的判定，即可解答． 【详解】解：过直线外一点，画已知直线的平行线的方法：一“落”：把三角尺的一边落在已知直线上．二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边．三“推”：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点．四“画”：沿三角尺过已知点的边画直线． ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【跟踪专练1】数学课上老师要求同学们利用三角板和直尺过点作已知直线的平行线，下图是甲、乙的作图过程．关于两人的作图下列判断正确的是（    ） A．甲的作图正确，依据是“内错角相等，两直线平行” B．甲的作图不正确 C．乙的作图正确，依据是“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行” D．乙的作图不正确 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：由平行线的判定， 可知甲的作图正确，依据是“内错角相等，两直线平行”； 乙的作图也正确，但依据是“同位角相等，两直线平行”，并非“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”． 【跟踪专练2】数学课上老师要求同学们利用三角板和直尺过点P作已知直线l的平行线，如图是甲、乙的作图过程．下列说法正确的是___________；（填序号） ①甲的作图正确，依据是“内错角相等，两直线平行” ②甲的作图不正确 ③乙的作图正确，依据是“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行” ④乙的作图不正确 【答案】① 【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：由平行线的判定，可知甲的作图正确，依据是“内错角相等，两直线平行”；乙的作图也正确，但依据是“同位角相等，两直线平行”，并非“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”． 题型03.平行公理的应用 【典例】已知直线，则三点______同一条直线上．（填“一定在”“不一定在”或“一定不在”） 【答案】一定在 【分析】根据平行公理的推论，即经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断三点的位置关系． 【详解】解：已知，，且与都经过点， 由平行公理可得与为同一条直线， 即三点一定在同一条直线上． 【跟踪专练1】如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【详解】解：由题意可知，当时，；当时， ， 点，，在同一直线上 其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【跟踪专练2】如图是一个工业机械臂调整场景，是操作台的基准轴线，点A，B，M，N，P在同一平面内．当，且时，可判定机械臂与在同一条直线上，判定依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：当时，；时，， 根据“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”就可以确定点N，P，M在同一直线上． 题型04.平行公理推论的应用 【典例】在同一平面内，若，则b与c的关系为（    ） A．平行或重合 B．平行或垂直 C．垂直 D．相交 【答案】A 【分析】本题考查了平行线公理的推论：平行于同一直线的两条直线平行．根据此性质即可判断． 【详解】解：若，则或b，c重合； 故选：A． 【跟踪专练1】在同一平面内有4条互不重合的直线，，，，如果，，，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行可得到结论． 【详解】解：∵， ∴     又∵ ∴ 【跟踪专练2】如图，，，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．设，，则，，，，过点作，过点作，根据平行线的性质可得，，再根据平行公理推论可得，，根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：设，，则，， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型05.反证法证明中的假设 【典例】用反证法证明：中，，则，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反证法：反证法的第一步是假设结论的否定． 【详解】解：∵结论是， ∴反证法第一步应假设． 故选：C． 【跟踪专练1】用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，找出原结论的否定即可． 【详解】解：∵ 反证法第一步需假设原结论不成立，原命题结论为， ∴ 结论的否定为，即第一步应假设． 【跟踪专练2】用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（   ） A．都不为0 B．只有一个为0 C．至少有一个为0 D．都为0 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤； 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 【详解】解：反证法的第一步是假设结论的反面成立，即假设结论不成立的情况． 在这个问题中，结论是“a， b 中至少有一个为0”，其反面就是“a， b 都不为0”． 故选：A． 题型06.用反证法证明命题 【典例】用反证法证明命题“若，则”时，应假设 _____． 【答案】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：用反证法证明“若，则”时，应假设． 故答案为： 【点睛】本题考查了反证法的概念，理解反证法的概念是解题的关键． 【跟踪专练1】证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【答案】C 【分析】本题考查了反证法“假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法”，熟记定义是解题关键．根据反证法的定义即可解答． 【详解】解：由证明过程可知，证明方法是反证法， 故选：C． 【跟踪专练2】用反证法证明．已知：和是直线被直线截出的同位角，分别交于点M、N，． 求证：． 证明：假设________________，过点M作直线，使得 根据________________，可得到________________， 又因为，与________________矛盾， 故假设不成立，所以 【答案】，同位角相等，两直线平行，；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据反证法证明的基本思路，平行线的判定和性质，求解即可． 【详解】解：证明：假设，过点M作直线，使得， 根据同位角相等，两直线平行，可得到， 又因为，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 矛盾， 故假设不成立，所以． 题型07.同位角.内错角.同旁内角 【典例】如图，直线b，c被直线a所截，若，则的同位角等于______度． 【答案】 110 【分析】先找出的同位角，然后根据邻补角定义求解即可． 【详解】解：如图，的同位角为， ∵， ∴， 即的同位角等于． 【跟踪专练1】如图，下列各组角中是同位角的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】同位角是两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同侧的角，据此定义判断即可． 【详解】解：A、观察图形可知，和无公共边，即它们没有截线，因此构不成同位角，故选项A不符合题意； B、观察图形可知，和无公共边，即它们没有截线，因此构不成同位角，故选项B不符合题意； C、观察图形可知，和无公共边，即它们没有截线，因此构不成同位角，故选项C不符合题意；   D、观察图形可知，和有公共边，即它们有截线，且满足这两个角都在截线的右侧，都在被截直线的上方，因此和是同位角，故选项D符合题意． 【跟踪专练2】如图，两直线a，b被直线l所截，则下列条件中不能证明的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，由同位角相等，两直线平行可以判定，故此选项不符合题意； B、，由内错角相等，两直线平行可以判定，故此选项不符合题意； C、，不可以判定，故此选项符合题意； D、，由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行可以判定，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定和对顶角相等．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两条被截直线平行． 题型08.同位角相等.两直线平行 【典例】如图，工人师傅通过移动角尺在工件上画出直线，其中的道理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 【详解】解：∵角尺的两直角边相互垂直，成角，在移动过程中保持不变， ∴其中的道理是同位角相等，两直线平行． 【跟踪专练1】如图，三角形ABC中，点D在BC的延长线上，以点C为端点画射线CE，要使，还需要添加一个条件，这个条件可以是______． 【答案】或或 【详解】解：根据平行线的判定方法， 当时，； 当时，； 当时，； 故添加条件可以是：或或. 【跟踪专练2】如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的有（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可．解答本题的关键是明确平行线的判定方法． 【详解】解：， ，不能得到，故①不符合题意； ， ，故②符合题意； ，， ， ，故③符合题意； ， ，不能得到，故④不符合题意； 故选：B． 题型09.同垂于一直线的两直线平行 【典例】在同一平面内，有三条直线a、b、c，如果，，则a__________c． 【答案】/平行于 【分析】本题考查的是同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，由平行线的判定方法可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，，那么三点在同一条直线上．根据_____． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题主要考查了垂直的性质，熟练掌握“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”是解题的关键．根据垂直的性质，判断三点共线的依据． 【详解】解：因为 ，，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 所以 ，， 三点在同一条直线上． 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【跟踪专练2】在同一平面内有2025条直线，，如果，依此类推，那么与的位置关系是（   ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为， ∵， ∴， 故选：B． 题型10.两直线平行.同位角相等 【典例】平面内，直线m与两条平行线n、p相交，若m与n的夹角为65°，则m与p的夹角为______． 【答案】 【分析】根据两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，因此可推出直线m与p的夹角等于m与n的夹角． 【详解】解：已知，直线与平行线、相交． 根据平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等， 可得直线与的夹角等于直线与的夹角． 因为直线与的夹角为，所以直线与的夹角为. 【跟踪专练1】如图，直线，被直线所截，且，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据对顶角相等求出，再根据平行线的性质可得到的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 【跟踪专练2】如图，交于点，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，结合角平分线的定义可得，进而即可求解 【详解】解：， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 题型11.内错角相等.两直线平行 【典例】如图，补充一个条件，使成立，这个条件可以是______． 【答案】（或或） 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定方法作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：（或或） 【跟踪专练1】如图(1)，在中， ，边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中[图]，当 _____________时，． 【答案】或 【分析】分与第一次平行和与第二次平行两种情况，根据平行线的判定方法可得答案． 【详解】解：当与第一次平行时， ， 当与第二次平行时， ， 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图，①，②，③，④．可以判定的条件有（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【详解】解：①，（同位角相等，两直线平行）； ②，（内错角相等，两直线平行）； ③由无法判断两直线是否平行； ④，（同旁内角互补，两直线平行）． 题型12.两直线平行.内错角相等 【典例】如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角的度数为，第二次拐角的度数为________． 【答案】 【分析】由题意可知，即可得解． 【详解】解：∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴， 又∵的度数为， ∴第二次拐角的度数为． 【跟踪专练1】如图，直线，直线分别交、于点E、F，平分，若，则__________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，，再结合角平分线的定义求解即可． 【详解】解：，， ，， 平分， ， 【跟踪专练2】在南海海域巡航任务中，我国海警船在某观察点A处，发现其北偏东的方向B处，有一艘不明船只，我国另外一艘处于C处的海警船也发现了其北偏西方向的B处的不明船只，此时C处在A处的南偏东，则两艘海警船与不明船只的连线夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 题型13.同旁内角互补.两直线平行 【典例】如图，下列条件能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，由此即可求解． 【详解】解：A、，则，不符合题意； B、，则，符合题意； C、，则，不符合题意； D、，则，不符合题意； 故选：B ． 【跟踪专练1】如图，因为，，所以______，所以____________，理由是_________． 【答案】 同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行，据此即可解答． 【详解】解：因为，， 所以， 所以，理由是同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：；；；同旁内角互补，两直线平行． 【跟踪专练2】若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、不能推出，不符合题意； B、不能推出，不符合题意； C、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； D、不能推出，不符合题意； 故选：C． 题型14.两直线平行.同旁内角互补 【典例】如图，直线与直线，分别交于点，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，根据两直线平行，同旁内角互补，得． 【跟踪专练1】如图，直线、被直线所截，且．若，则的大小为______． 【答案】/度 【详解】解：， ， ∵ ， ． 【跟踪专练2】如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交于点，若，则（    ）（用含的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用平行线和折叠性质求出，再通过同旁内角互补求出． 【详解】解：根据题意可知，， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 题型15.由平行线性质探究角的关系 【典例】将一张等宽的纸片按如图1所示的方式折叠后再展开，得到图2，则图2中的与之间一定满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算．根据平行可得出，再根据折叠可得，由此即可得出． 【详解】解：如图： 由翻折可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据角平分线的定义求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案． 【详解】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 题型16.由平行线性质求角的度数 【典例】如图，梯子的各条横档互相平行，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ∵梯子的各条横档互相平行， ， ∵， ． 【跟踪专练1】如图，已知，直线分别交、于点、，平分，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】先由，可得，易求，而是的角平分线，从而可求，又，可知，即可求． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，第一次沿着折叠，第二次沿着折叠，若，设的度数为，则的度数为______度（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】由平行线的性质可知，根据邻补角的定义可知，根据折叠的性质可知，所以可得，根据平行线的性质可知，根据折叠的性质可知． 【详解】解：， ， ， ， ， 由折叠可知， , ， ， 由折叠可知． 题型17.平行线性质的应用 【典例】如图，安装某管道，需经过两次拐弯，若要求拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，第一次拐弯处的，那么第二次拐弯处的________． 【答案】140 【分析】根据平行线的性质直接求解． 【详解】解：由平行线的性质得： ∠B=∠C=140°． 故答案为：140． 【点睛】本题考查平行线的性质，关键在于掌握两直线平行，内错角相等． 【跟踪专练1】在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的．如图，已知，轨枕的俯视图是矩形，为保证两条钢轨平行，只需要确保（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行的判定定理，结合已知，分析得出需满足的角度关系，从而确定两条钢轨平行的条件． 【详解】解：根据平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行， ， 只需要确保，此时， 两条钢轨平行． 【跟踪专练2】请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过作，由平行线的性质得，，可得，即可求解；理解题意，能熟练利用平行线的性质求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 过作， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 故选：B． 题型18.由平行线性质于判定求角度 【典例】如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是对顶角的性质，平行线的判定与性质，先证明，可得，再利用平行线的性质进行求解即可. 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 故选：C 【跟踪专练1】一种路灯维护工程车的工作示意图如图所示，已知工作篮底部与支撑平台平行，若，，则的度数为______． 【答案】155 【分析】根据题意过点作直线，则，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图所示： 设工作篮底部所在直线为，支撑平台所在直线为，则， 过点作直线，则， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴． 【跟踪专练2】如图，已知，点，分别在，上，点在的上方，点在与之间，连接，，．连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则，令，则，由平行线的性质，可得，，，由即可得出结果． 【详解】解：令，则，令，则， ∴， 过点作，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ， 过点作，则， ∵，， ∴，， ∴． 题型19.由平行线性质于判定证明 【典例】如图，，则下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可判断，，，即可得出答案． 【详解】证明：，， ，故A选项不符合题意； ， ， ， ， ，故B选项不符合题意； ， ，故C选项不符合题意； 无法证出，故D 选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，等角的补角相等，熟练掌握相关性质是解题关键． 【跟踪专练1】如图，，CE平分，ED平分，，下列结论：①EC平分；②；③；④，其中正确结论是______． . 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义．根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，平分，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∴，故④正确； 综上，①②③④都正确． 故答案为：①②③④． 【跟踪专练2】如图，E在线段的延长线上，，，，连接交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确结论的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到，等量代换得到，求得平分；故②正确；根据题意列方程得到，故③正确；设，，得到，根据角平分线的定义即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分，故②正确； ∵的余角比大， ， ∵， ∴， ∴，故③正确； 设，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的有4个，即选项A符合题意． 【解答题】 1．综合与探究 问题情境：在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线在生活中的应用． (1)初步探究：如图1是路灯维护工程车的工作示意图，其中为固定升降梯，为活动升降梯，伸缩可调整工作台高度，为液压连杆，工作台．当时，则的度数为___________． (2)深入探究：如图2是一种路灯的示意图，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求出与所成锐角的度数； (3)拓展延伸：在图2的基础上，只改变和的度数，观察度数的变化．探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)；理由见解析 【分析】（1）过点B作，根据平行线的性质求出，根据角度间的关系求出，根据平行线的性质求出结果即可； （2）过点E作，根据平行线的性质求出，根据角度间的关系求出，根据平行线的性质求出； （3）根据解析（2）的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点B作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 过点E作，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，，垂足为A，，有同学认为在这种情况下，与的和是个定值．下面是小林同学计算的度数的过程，请你将解答过程补充完整． 解：如图②，过点B作，因为（已知）， 所以_______（_______），所以_______（_______）， 因为（已知），所以（_______）， 因为，所以， 所以，所以_______． 即：与的和是个定值． 【答案】；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义； 【分析】根据平行线的性质填写即可． 【详解】解：如图②，过点B作， 因为（已知）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知）， 所以（垂直的定义）， 因为， 所以， 所以， 所以． 即：与的和是个定值． 3．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：如图，已知，，平分，证明：． 解：平分， ___________，（___________） ， （___________） ______________________（___________）， （___________）， ， ， （___________）． 【答案】；角平分线的定义；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行 【分析】证明得，推出，即可得证． 【详解】证明：平分， ，（角平分线的定义） ， （等量代换） （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 4．如图，点C在上，，，请说明平分． 解：理由如下： ， ________（两直线平行，同位角相等）， ________（________）． ， ∴________， ∴CE平分（角平分线的定义）． 请你补全上述说理过程． 【答案】见解析 【详解】解：理由如下： ， （两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）． ， ∴， ∴平分（角平分线的定义）． 5．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______； (4)一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）先证明，根据平行线的性质可得，结合已知等量代换得出，即可得证； （2）过点作，可得，根据平行于同一条直线的两直线平行可得，得到，即可得证； （3）过的顶点作平行线，即过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解； （4）过点作，得到，再求出，最后根据得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点作， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示，过点作， ， 工作篮底部与支撑平台平行，即， ， ， ， ； （4）解：如图所示，过点作， ， ， ， 底部支架与吊线平行，即， ， ， ． 6．如图1是一种躺椅，图2是其结构示意图，前支架与椅背平行，扶手与前支架和椅背分别交于点、，底座与前支架和椅背分别交于点、，点在后支架上．已知． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)当前支架与后支架恰好垂直，且时，人躺着最舒服，求此时扶手与后支架的夹角的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，对顶角相等，得出，即可证明； （2）根据垂直的定义可得，根据平行线的性质可得，再根据平角的定义，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $