专题03 三角形全章15大题型（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题03 三角形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、构成三角形的条件 题型二、确定第三边的取值范围 题型三、三角形三边关系的应用 题型四、与角平分线有关的三角形内角和问题 题型五、三角形内角和定理的应用 题型六、三角形的外角的定义及性质 题型七、全等三角形的性质 题型八、用SSS证明三角形全等 （SSS） 题型九、全等的性质和SSS综合（SSS） 题型十、用SAS证明三角形全等 （SAS） 题型十一、全等的性质和SAS综合 （SAS） 题型十二、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 题型十三、 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 题型十四、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 题型十五、全等三角形综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的相关概念、性质、判定及综合应用 1.知识目标:准确理解和记忆三角形的定义、分类(按边/按角)、相关概念(顶点、边、内角、外角、中线、高线、角平分线);掌握三角形三边关系、内角和定理、外角性质，理解等腰三角形、直角三角形的特殊性质;了解全等三角形的定义、性质及判定定理(SSS、SAS、ASA、AAS). 2.技能目标:熟练运用三角形三边关系判断线段能否构成三角形、确定第三边的取值范围;能利用内角和定理、外角性质计算角度，结合角平分线、高线解决相关角度问题;能运用全等三角形的判定定理证明三角形全等，并利用全等性质推导边、角相等;能规范书写几何证明步骤，标注每一步的定理依据。 3.思维目标:培养几何直观与空间想象能力，能在复杂图形中识别三角形的基本元素;提升逻辑推理能力，构建"由边推角、由角证边"的完整逻辑链;培养分类讨论思想，解决等腰三角形、含参数三角形的多解问题;培养转化思想，将复杂几何问题转化为三角形模型解决。 1.题型分布:选择题和填空题一般考查对不等式基本概念、性质的理解，一元一次不等式(组)的基础解法，以及解集在数轴上的规范表示，属于基础必考题，难度较低;解答题通常分为两类，一类是纯解不等式(组)的计算题，要求严格规范书写解题步骤，标注变形依据;另一类是结合购物、行程、工程等生活背景的应用题，或与方程、几何图形结合的综合题，重点考查学生的建模能力和综合运用知识的能力。 2.命题趋势:近年来，对一元一次不等式(组)的考查越来越注重实际应用，常以生活中的方案选择、最值优化、费用预算等场景为背景，要求学生通过列不等式(组)解决实际问题，贴合新课标对数学应用能力的要求;同时，对不等式性质的灵活运用、含参数的不等式(组)解集讨论，也成为考查热点，注重对学生逻辑推理能力和分类讨论思想的考查;另外，与元一次方程、二元一次方程组、几何图形的边长/面积计算结合的综合题出现频率持续升高，需要学生具备跨知识点综合运用的能力。 知识点1 三角形的有关概念 ★三角形三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 第三边长度的范围：两边之差<第三边<两边之和 示例：（2425七年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 ★三角形的分类 （1） 按角分类 （2）按边分类 示例：（2425七年级下·上海宝山·期末）一个三角形三个内角的度数之比为，则该三角形应为______三角形．（按角分） ★与三角形有关的线段 1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，此顶点和垂足之间的线段叫作三角形（此边上）的高. 【提示】 (1) 一个三角形有三条高，但并不一定都在三角形的内部. (2) 三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线. 2. 三角形的中线：连接三角形一个顶点及其对边中点的线段叫作三角形（此边上）的中线. 【提示】 (1) 一个三角形有三条中线，并且都在三角形内部，它们相交于一点. (2) 三角形的中线是一条线段. 3. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形（此角）的角平分线. 【提示】 (1) 一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点. (2) 三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线，注意二者的区别. 总结：三角形的角平分线、中线、高都是线段，三角形的三条角平分线、中线都在三角形内部，并且交于一点.三角形的三条高不一定都在三角形内部，三条高所在直线交于一点. 示例：（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段_______的长度． 知识点2 三角形的内角和 ★三角形的内角和 三角形的内角和等于180°. 【提示】 (1) 根据三角形内角和定理可知，一个三角形的三个内角中最多有一个直角或一个钝角； (2) 在三角形中已知两个角可求第三个角；在直角三角形中，已知其中一个锐角可求另一个锐角. ★三角形的外角及其性质 1. 三角形一个内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作三角形（与此内角相邻）的外角. 2. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3. 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 4. 三角形的外角和等于360°. 知识点3 全等三角形的概念与性质 ★全等三角形的定义及表示 1. 定义：是全等形的两个三角形叫作全等三角形（经过平移、旋转、翻折后，能够完全重合）. 2. 表示方法：和是全等三角形，记作 【方法总结】 找对应边、对应角的方法 (1) 最长边对应最长边，最短边对应最短边，最大角对应最大角，最小角对应最小角； (2) 公共角、对顶角通常是对应角，公共边通常是对应边； (3) 对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角； (4) 根据书写规范，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上. ★全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2. 如果两个三角形都与第三个三角形全等，那么这两个三角形全等（三角形全等的传递性）. 知识点4 三角形全等的判定 ★判定1： "边边边"公理（SSS） 三边对应相等的两个三角形全等（简记为"边边边"或"SSS"）. ★判定2： "边角边"公理（SAS） 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简记为"边角边"或"SAS"）. 【提示】在找这三个元素时，一定要记准是两边和它们的夹角，而不是其中一边的对角. ★判定3： "角边角"公理（ASA） 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简记为"角边角"或"ASA"）. ★判定4： "角角边"定理（AAS） 两角对应相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简记为"角角边"或"AAS"）. 判定两个三角形全等时，要根据已知条件灵活选择判定方法，然后找出缺少的条件，再进行证明. 题型一 构成三角形的条件 解｜题｜技｜巧 1.核心规则:任意两边之和大于第三边，简化判断:只需验证较短两边之和>最长边。 2.已知两边，求第三边范围:两边之差〈第三边<两边之和。 3.多条线段选三边组合:逐一筛选，按上述规则排查。 4.含参数题型:列不等式组，求解参数取值范围。 【典例1】（2425七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 【变式1】（2425七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【变式2】已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 题型二 确定第三边的取值范围 解｜题｜技｜巧 1.牢记公式:两边之差〈第三边〈两边之和。 2.先算出已知两边的和与差，直接套公式写范围。 3.遇等腰三角形，结合腰、底分类讨论，再限定范围。 【典例2】（2425七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式1】已知三角形的两条边长分别为3和4，那么该三角形的第三条边长可能是（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【变式2】（2425七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是_______． 题型三 三角形三边关系的应用 解｜题｜技｜巧 1.快速判定:只需检验较短两边之和大于最长边，即可判断能否构成三角形。 2.求边长范围:套用结论:两边之差〈第三边〈两边之和。 3.取值筛选:限定边长为整数时，在取值范围内逐个筛选。 4.等腰三角形:分情况讨论腰长与底边长，再结合三边关系验证。 5.化简含边长的代数式:利用三边关系判断式子正负，再去绝对值。 【典例3】（2324七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形的两条边长分别为3和8，且第三边的长为整数，那么第三边的长的最小值是______． 【变式1】一个不等边三角形的两边分别为和，第三边的长度为奇数，则满足条件的三角形共有______个． 【变式2】（2425七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题 解｜题｜技｜巧 1.先用三角形内角和180°，求出基础角的度数。 2.利用角平分线定义，将大角均分，得到两个相等小角。 3.结合内角和、外角性质，在小三角形中逐步推导角度。 4.遇双角平分线模型，熟记常用角度结论，简化计算。 5.复杂题型分步标注已知角，理清角与角之间的数量关系。 【典例4】（2425七年级下·上海宝山·期末）已知在中，，，的平分线交于点，那么 ______． 【变式1】（2425七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°． 【变式2】（2425七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 题型五 三角形内角和定理的应用 解｜题｜技｜巧 1.核心依据:三角形三个内角和为180°，已知两角可直接求第三个角。 2.比例题型:按比例设未知数，列方程求解各角度数。 3.结合特殊三角形:直角三角形两锐角互余，等腰三角形两底角相等。 【典例5】（2425七年级下·上海普陀·期末）已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2425七年级下·上海长宁·期末）在中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 【变式2】（2425七年级下·上海宝山·期末）三角形中最大角是最小角的4倍，则最小角的取值范围是_______． 【变式3】（2425七年级下·上海松江·期末）如图，已知中，，．绕点顺时针旋转，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是______． 【变式4】（2425七年级下·上海·期末）如图，在中，是的平分线，且． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 题型六 三角形的外角的定义及性质 解｜题｜技｜巧 1.识别外角:三角形一边与另一边延长线组成的角，外角和相邻内角互为邻补角。 2.核心性质:外角等于不相邻的两个内角之和;外角大于任意一个不相邻内角。 3.角度计算:已知内角求外角，直接用180°相减;或利用内角和间接推导。 4.大小比较:判断角的大小时，优先用“外角大于不相邻内角”快速判断。 【典例6】（2425七年级下·上海·期末）如图，在中，点D在边上，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2425七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则______． 【变式2】（2425七年级下·上海长宁·期末）已知的三个外角度数之比为，那么三个外角中最大角的度数是___________． 【变式3】（2425七年级下·上海宝山·期末）如图，中，，则_______ 题型七 全等三角形的性质 解｜题｜技｜巧 1.找准对应关系:先看图形、标记或字母顺序，确定对应顶点、对应边、对应角。 2.核心性质:全等三角形对应边相等，对应角相等，直接用来求边长、角度。 3.延伸应用:全等三角形的周长、面积、对应中线、角平分线、高线也全部相等。 4.书写规范:表示全等时，顶点字母按对应顺序书写，方便快速找对应元素。 【典例7】（2425七年级下·上海崇明·期末）下列命题中原命题和逆命题都为真命题的是（　　） A．全等三角形对应角相等 B．等腰三角形的两个底角相等 C．直角三角形中有两个锐角 D．对顶角相等 【变式1】（2425七年级下·上海松江·期末）如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为__________． 【变式2】（2425七年级下·上海松江·期末）如图，已知与全等，那么__________． 题型八 用SSS证明三角形全等 （SSS） 解｜题｜技｜巧 1.定理牢记:三边分别对应相等的两个三角形全等，简写为SSS。 2.找准三组对应边:结合图形、字母顺序标记对应边，逐一核对相等关系。 3.条件补齐:缺少相等边时，利用公共边、线段和差推导边长相等。 4.书写格式:先列出三组边相等条件，再得出全等结论，标注依据(SSS)。 【典例8】（2425七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是___________．（只需写出一种情况） 【变式1】（2425七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【变式2】（2425七年级下·上海金山·期末）如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 题型九 全等的性质和SSS综合（SSS） 解｜题｜技｜巧 1.先梳理思路:先用SSS证三角形全等，再用全等性质推边、角相等。 2.补齐条件:巧用公共边、线段和差，凑齐三组对应相等的边。 3.锁定对应元素:按字母顺序、图形位置确定对应边与对应角。 4.分步书写:先列边相等条件证全等(标注SSS)再写边角相等结论。 【典例9】（2425七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，E是AD上一点，，，请填写理由，说明． 【变式1】（2425七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，是等边三角形，点O是的中点，．求证：． 【变式2】如图，在中，D在边上，E在延长线上，且，，请填写理由说明． 解：因为（已知）， 所以（    ）． 又因为（已知）， 所以（    ）． 即． 所以（    ）． 在和中， 所以（    ）． 得（    ）． 所以（    ）． 题型十 用SAS证明三角形全等 （SAS） 解｜题｜技｜巧 1.定理要点:两边及其夹角对应相等，两三角形全等，简写SAS。 2.定位条件:先找两组对应相等的边，再确认相等的角必须是这两组边的夹角。 3.补全条件:借助公共角、对顶角、角的和差，推出夹角相等。 4.步骤书写:依次列出两组边、一组夹角相等，再判定全等并标注依据(SAS)。 【典例10】（2425七年级下·上海·期末）如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【变式1】（2425七年级下·上海普陀·阶段检测）如图，已知，，，证明．    【变式2】（2324七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知是等边三角形，D为边上一点，以为边向形外作等边三角形、联结 (1)试说明的理由； (2)如果，试说明的理由． 题型十一 全等的性质和SAS综合 （SAS） 解｜题｜技｜巧 1.解题思路:先利用已知条件，凑齐两边及其夹角，用SAS证明全等;再借助全等性质推导边、角相等。 2.补全条件:巧用公共角、对顶角、角/线段和差，补齐相等的边与夹角。 3.对应关系:结合字母顺序、图形位置，确定对应边和对应角。 4.书写规范:分步列式，证完全等后标注依据SAS，再推导后续结论。 5.综合拓展:结合平行线、三角形内角和等知识，完成计算与证明。 【典例11】（2425七年级下·上海宝山·期末）在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是_______． 【变式1】（2425七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点E，使，连接．如果，的周长比的周长大2，那么___． 【变式2】（2425七年级下·上海·期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______． 【变式3】（2425七年级下·上海崇明·期末）已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．那么的度数为_________； 【变式4】（2425七年级下·上海静安·期末）如图，已知在四边形中，，E为的中点，连接，，，，，求的长度． 【变式5】（2425七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 题型十二 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 解｜题｜技｜巧 1.分清定理:ASA是两角及其夹边对应相等;AAS是两角及其中一角的对边对应相等，二者均可证全等。 2.梳理思路:先凑齐角、边条件，用ASA/AAS证全等，再利用全等性质推导边、角相等。 3.补充条件:借助公共角、对顶角、平行线性质、邻补角，推出角相等;利用公共边、线段和差得到边相等。 4.图形简化:复杂图形标记相等的角和边，快速匹配定理所需条件。 【典例12】（2425七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是___________． 【变式1】（2425七年级下·上海·期末）如图，已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，．求证： (1)； (2)． 【变式2】（2425七年级下·上海·期末）如图所示，已知，顶点分别与顶点 对应，，，垂足分别是点．求证：． 证明：∵，顶点分别与顶点 对应， ∴_____（全等三角形对应边相等），（              ）， ∵，， ∴_____（              ）， 在和中， ∵， ∴（      ）， ∴（全等三角形对应边相等）． 【变式3】（2425七年级下·上海普陀·期末）如图，已知：、相交于点，，，、是上的两点，且．求证：．    证明：， （___________）． 在和中， （___________）． （___________）． ， ． ． 【变式4】（2425七年级下·上海浦东新·期末）命题：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为______． (2)结合图形，补全此命题的已知和求证． 已知：如图，①______， 平分交于点D， ②______． 求证：③______． (3)此命题是______命题．（填“真”或“假”） 【变式5】（2425七年级下·上海·期末）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型十三 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 解｜题｜技｜巧 1.先梳理已有条件，区分已知相等的边、角，再结合SSS、SAS、ASA、AAS分析缺项。 2.按定理匹配:已知两边，可补第三边(SSS)或夹角(SAS);已知一边一角，优先补角或夹边;已知两角，只需补一组任意对应边。 3.优先选用隐含条件:公共边、公共角、对顶角，简化作答。 4.多解题型分类列举，结合图形排除不合理条件。 5.写完条件后，反向验证能否推出全等，避免无效答案。 【典例13】（2425七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2425七年级下·上海静安·期末）在和中，已知，，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是______． 【变式2】（2425七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是________（填写一个即可）． 题型十四 灵活选用判定方法证全 等（全等三角形的判定综合） 解｜题｜技｜巧 1.先标注已知相等的边、角，结合图形梳理已有条件，再匹配SSS、SAS、ASA、AAS. 2.条件匹配思路:已知两角，优先补一组对应边(ASA/AAS);已知两边，补第三边(SSS)或夹角(SAS);已知一边一角，就近补角或夹边。 3.挖掘隐含条件:公共边、公共角、对顶角、平行线带来的等角、线段/角的和差关系。 4.复杂图形拆分观察，锁定目标三角形，不被多余线条干扰。 5.证完全等后，可结合全等性质继续推导边、角关系。 【典例14】（2425七年级下·上海宝山·期末）下列说法正确的是（   ） ①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ③两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式1】（2425七年级下·上海长宁·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．两个等边三角形全等 B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 【变式2】（2425七年级下·上海金山·期末）下列说法中，错误的是（） A．两个全等的三角形面积相等 B．成轴对称的两个三角形全等 C．成中心对称的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【变式3】（2425七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（   ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等 题型十五 全等三角形综合问题 解｜题｜技｜巧 1.整体梳理条件，标注图中相等的边、角，挖掘公共边、公共角、对顶角等隐含条件。 2.根据已有边、角组合，灵活选用SSS、SAS、ASA、AAS判定全等，避开SSA误区。 3.明确解题逻辑:先证全等，再利用全等性质推导边、角相等，进而求解角度、线段长度或证明平行、垂直。 【典例15】（2425七年级下·上海徐汇·期末）对于下列两个命题，判断正确的是（　　） 命题①：如果两个等腰三角形的底边和底边上的高对应相等，那么这两个等腰三角形全等； 命题②：如果两个等腰三角形的腰和腰上的高对应相等，那么这两个等腰三角形全等． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题； C．①②都是真命题 D．①②都是假命题． 【变式1】（2425七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】（2425七年级下·上海·期末）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为________． 【变式3】（2425七年级下·上海长宁·期末）根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化．数学实验课上，小颖、小亮位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作： (1)如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，求 ． 【变式4】（2425七年级下·上海静安·期末）如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． (1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2425七年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 2．（2425七年级下·上海松江·期末）已知中，，是边上的高，，那么的度数是________． 3．（2425七年级下·上海青浦·期末）如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是___________．（写出一个即可） 4．（2425七年级下·上海静安·期末）如图，已知中，，，，那么______． 5．（2425七年级下·上海长宁·期末）如图，已知中，，，点在边上，将沿直线翻折得到，如果直线与的一条边垂直，那么的度数是___________． 6．（2425七年级下·上海松江·期末）已知：如图，、、、四点在同一直线上，，，，和相交于点．求证：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2425七年级下·上海虹口·期末）如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 2．（2425七年级下·上海松江·期末）在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是__________． 3．（2425七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，将绕点A旋转α（）度后，点B所对应的点D在边上，如果平分，那么________度． 4．（2425七年级下·上海长宁·期末）已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 5．（2425七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2425七年级下·上海宝山·期末）如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是_______． 2．（2425七年级下·上海宝山·期末）已知，分别以、为边作和，且，，，连接与，、分别是与的中点． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则______； (3)如图，若，试探究与的数量关系，并给予证明． 3．（2425七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 4．（2425七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一、构成三角形的条件 题型二、确定第三边的取值范围 题型三、三角形三边关系的应用 题型四、与角平分线有关的三角形内角和问题 题型五、三角形内角和定理的应用 题型六、三角形的外角的定义及性质 题型七、全等三角形的性质 题型八、用SSS证明三角形全等 （SSS） 题型九、全等的性质和SSS综合（SSS） 题型十、用SAS证明三角形全等 （SAS） 题型十一、全等的性质和SAS综合 （SAS） 题型十二、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 题型十三、 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 题型十四、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 题型十五、全等三角形综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的相关概念、性质、判定及综合应用 1.知识目标:准确理解和记忆三角形的定义、分类(按边/按角)、相关概念(顶点、边、内角、外角、中线、高线、角平分线);掌握三角形三边关系、内角和定理、外角性质，理解等腰三角形、直角三角形的特殊性质;了解全等三角形的定义、性质及判定定理(SSS、SAS、ASA、AAS). 2.技能目标:熟练运用三角形三边关系判断线段能否构成三角形、确定第三边的取值范围;能利用内角和定理、外角性质计算角度，结合角平分线、高线解决相关角度问题;能运用全等三角形的判定定理证明三角形全等，并利用全等性质推导边、角相等;能规范书写几何证明步骤，标注每一步的定理依据。 3.思维目标:培养几何直观与空间想象能力，能在复杂图形中识别三角形的基本元素;提升逻辑推理能力，构建"由边推角、由角证边"的完整逻辑链;培养分类讨论思想，解决等腰三角形、含参数三角形的多解问题;培养转化思想，将复杂几何问题转化为三角形模型解决。 1.题型分布:选择题和填空题一般考查对不等式基本概念、性质的理解，一元一次不等式(组)的基础解法，以及解集在数轴上的规范表示，属于基础必考题，难度较低;解答题通常分为两类，一类是纯解不等式(组)的计算题，要求严格规范书写解题步骤，标注变形依据;另一类是结合购物、行程、工程等生活背景的应用题，或与方程、几何图形结合的综合题，重点考查学生的建模能力和综合运用知识的能力。 2.命题趋势:近年来，对一元一次不等式(组)的考查越来越注重实际应用，常以生活中的方案选择、最值优化、费用预算等场景为背景，要求学生通过列不等式(组)解决实际问题，贴合新课标对数学应用能力的要求;同时，对不等式性质的灵活运用、含参数的不等式(组)解集讨论，也成为考查热点，注重对学生逻辑推理能力和分类讨论思想的考查;另外，与元一次方程、二元一次方程组、几何图形的边长/面积计算结合的综合题出现频率持续升高，需要学生具备跨知识点综合运用的能力。 知识点1 三角形的有关概念 ★三角形三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 第三边长度的范围：两边之差<第三边<两边之和 示例：（2425七年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边的关系． 根据三角形三边之间的关系，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．2，2，3，最长的边为，，能组成三角形，符合题意； B．5，6，11，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； C．3，4，8，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； D．10，5，5，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． ★三角形的分类 （1） 按角分类 （2）按边分类 示例：（2425七年级下·上海宝山·期末）一个三角形三个内角的度数之比为，则该三角形应为______三角形．（按角分） 【答案】直角 【分析】根据三角形的内角和是，求得三个内角的度数即可判断． 此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形． 【详解】解：根据三角形的内角和定理，得 三角形的三个内角分别是，，． 故该三角形是直角三角形． 故答案为：直角． ★与三角形有关的线段 1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，此顶点和垂足之间的线段叫作三角形（此边上）的高. 【提示】 (1) 一个三角形有三条高，但并不一定都在三角形的内部. (2) 三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线. 2. 三角形的中线：连接三角形一个顶点及其对边中点的线段叫作三角形（此边上）的中线. 【提示】 (1) 一个三角形有三条中线，并且都在三角形内部，它们相交于一点. (2) 三角形的中线是一条线段. 3. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形（此角）的角平分线. 【提示】 (1) 一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点. (2) 三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线，注意二者的区别. 总结：三角形的角平分线、中线、高都是线段，三角形的三条角平分线、中线都在三角形内部，并且交于一点.三角形的三条高不一定都在三角形内部，三条高所在直线交于一点. 示例：（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段_______的长度． 【答案】 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴点B到直线的距离为线段的长， 故他应该测量线段的长； 故答案为：． 知识点2 三角形的内角和 ★三角形的内角和 三角形的内角和等于180°. 【提示】 (1) 根据三角形内角和定理可知，一个三角形的三个内角中最多有一个直角或一个钝角； (2) 在三角形中已知两个角可求第三个角；在直角三角形中，已知其中一个锐角可求另一个锐角. ★三角形的外角及其性质 1. 三角形一个内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作三角形（与此内角相邻）的外角. 2. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3. 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 4. 三角形的外角和等于360°. 知识点3 全等三角形的概念与性质 ★全等三角形的定义及表示 1. 定义：是全等形的两个三角形叫作全等三角形（经过平移、旋转、翻折后，能够完全重合）. 2. 表示方法：和是全等三角形，记作 【方法总结】 找对应边、对应角的方法 (1) 最长边对应最长边，最短边对应最短边，最大角对应最大角，最小角对应最小角； (2) 公共角、对顶角通常是对应角，公共边通常是对应边； (3) 对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角； (4) 根据书写规范，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上. ★全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2. 如果两个三角形都与第三个三角形全等，那么这两个三角形全等（三角形全等的传递性）. 知识点4 三角形全等的判定 ★判定1： "边边边"公理（SSS） 三边对应相等的两个三角形全等（简记为"边边边"或"SSS"）. ★判定2： "边角边"公理（SAS） 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简记为"边角边"或"SAS"）. 【提示】在找这三个元素时，一定要记准是两边和它们的夹角，而不是其中一边的对角. ★判定3： "角边角"公理（ASA） 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简记为"角边角"或"ASA"）. ★判定4： "角角边"定理（AAS） 两角对应相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简记为"角角边"或"AAS"）. 判定两个三角形全等时，要根据已知条件灵活选择判定方法，然后找出缺少的条件，再进行证明. 题型一 构成三角形的条件 解｜题｜技｜巧 1.核心规则:任意两边之和大于第三边，简化判断:只需验证较短两边之和>最长边。 2.已知两边，求第三边范围:两边之差〈第三边<两边之和。 3.多条线段选三边组合:逐一筛选，按上述规则排查。 4.含参数题型:列不等式组，求解参数取值范围。 【典例1】（2425七年级下·上海长宁·期末）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．3、5、9 C．3，6，9 D．3、7、9 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即可． 【详解】A．2，3，5：最小两边和为，等于最大边5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B．3，5，9：最小两边和为，小于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； C．3，6，9：最小两边和为，等于最大边9，不满足条件，不能组成三角形； D．3，7，9：最小两边和为，大于最大边9，满足条件，能组成三角形． 故选D． 【变式1】（2425七年级下·上海闵行·期末）在中，厘米，那么的长度有可能是（    ） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的边角关系， 根据三角形中“大角对大边”的性质，结合已知条件分析的可能长度． 【详解】解： 在中，，由大角对大边定理可知，的对边大于的对边，已知厘米，因此厘米， 所以只有D选项5.4厘米满足此条件． 故选：D． 【变式2】已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的不可能取得的值． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 题型二 确定第三边的取值范围 解｜题｜技｜巧 1.牢记公式:两边之差〈第三边〈两边之和。 2.先算出已知两边的和与差，直接套公式写范围。 3.遇等腰三角形，结合腰、底分类讨论，再限定范围。 【典例2】（2425七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：第三边， ∴第三边； 故选D． 【变式1】已知三角形的两条边长分别为3和4，那么该三角形的第三条边长可能是（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】设第三边长为x，根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得，再解不等式即可． 【详解】解：设第三边长为x，根据三角形的三边关系定理可得：， ， 观察选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，小于两边的和． 【变式2】（2425七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 题型三 三角形三边关系的应用 解｜题｜技｜巧 1.快速判定:只需检验较短两边之和大于最长边，即可判断能否构成三角形。 2.求边长范围:套用结论:两边之差〈第三边〈两边之和。 3.取值筛选:限定边长为整数时，在取值范围内逐个筛选。 4.等腰三角形:分情况讨论腰长与底边长，再结合三边关系验证。 5.化简含边长的代数式:利用三边关系判断式子正负，再去绝对值。 【典例3】（2324七年级下·上海杨浦·期末）如果一个三角形的两条边长分别为3和8，且第三边的长为整数，那么第三边的长的最小值是______． 【答案】6 【分析】设第三边长为x，根据题意，得即，故最小值为6，解答即可． 本题考查了矩形三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】设第三边长为x，根据题意，得即， 故最小值为6， 故答案为：6． 【变式1】一个不等边三角形的两边分别为和，第三边的长度为奇数，则满足条件的三角形共有______个． 【答案】5/五 【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形的三边关系进行求解，即可得到答案． 【详解】解：设第三边的长度为， 由三角形的三边关系可知，， 即第三边的取值范围为， 第三边的长度为奇数， 的取值可以有3、5、7、9、11，共5个， 满足条件的三角形共有5个， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【变式2】（2425七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题 解｜题｜技｜巧 1.先用三角形内角和180°，求出基础角的度数。 2.利用角平分线定义，将大角均分，得到两个相等小角。 3.结合内角和、外角性质，在小三角形中逐步推导角度。 4.遇双角平分线模型，熟记常用角度结论，简化计算。 5.复杂题型分步标注已知角，理清角与角之间的数量关系。 【典例4】（2425七年级下·上海宝山·期末）已知在中，，，的平分线交于点，那么 ______． 【答案】/105度 【分析】根据等腰三角形的性质得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解． 本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的定义；综合运用各种知识是解答本题的关键． 【详解】解：，， ， 又为的平分线， ， ． 故答案为：． 【变式1】（2425七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°． 【答案】56 【分析】题目主要考查角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据题意得出，再由角平分线确定，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与分别是外角和外角的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 【变式2】（2425七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 题型五 三角形内角和定理的应用 解｜题｜技｜巧 1.核心依据:三角形三个内角和为180°，已知两角可直接求第三个角。 2.比例题型:按比例设未知数，列方程求解各角度数。 3.结合特殊三角形:直角三角形两锐角互余，等腰三角形两底角相等。 【典例5】（2425七年级下·上海普陀·期末）已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和直角三角形的定义，求出每一个内角的度数是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出每一个内角度数即可判断． 【详解】解：选项A：，三个角相等，每个角为，均为锐角，无直角，不符合条件，排除． 选项B：，总份数为，对应角度分别为：，，存在90°角，且另两角之和为，符合条件． 选项C：，总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除． 选项D：总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除． 综上，正确答案为B． 故选：B． 【变式1】（2425七年级下·上海长宁·期末）在中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 设，则，根据列方程求出，，然后根据三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． ∴为直角三角形． 故选：A． 【变式2】（2425七年级下·上海宝山·期末）三角形中最大角是最小角的4倍，则最小角的取值范围是_______． 【答案】 【分析】考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理列出不等式是解题的关键． 因为是它的最小角，所以设最大角是，中的角是，则，又．列出不等式组，求解即可． 【详解】因为是它的最小角，所以设最大角是，中的角是，则，又． 由， 可得，即， 可得，即， 所以最小角的取值范围为． 故答案为：． 【变式3】（2425七年级下·上海松江·期末）如图，已知中，，．绕点顺时针旋转，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由旋转性质可知，，，，通过等边对等角可得，，最后由角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转性质可知，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】（2425七年级下·上海·期末）如图，在中，是的平分线，且． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由是的平分线可知，由得，等量代换可得到一组内错角相等，则结论可证； （2）由三角形内角和定理可推出，由平行的性质可知，再利用角平分线和平行线的性质，可得． 【详解】（1）证明：是的平分线， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， 且， 是的平分线， ， ． 题型六 三角形的外角的定义及性质 解｜题｜技｜巧 1.识别外角:三角形一边与另一边延长线组成的角，外角和相邻内角互为邻补角。 2.核心性质:外角等于不相邻的两个内角之和;外角大于任意一个不相邻内角。 3.角度计算:已知内角求外角，直接用180°相减;或利用内角和间接推导。 4.大小比较:判断角的大小时，优先用“外角大于不相邻内角”快速判断。 【典例6】（2425七年级下·上海·期末）如图，在中，点D在边上，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出的度数，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式1】（2425七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则______． 【答案】/25度 【分析】由三角形外角的性质得到，即可求出的度数． 本题考查角的计算，关键是掌握三角形的外角的性质． 【详解】解：， ， ，， ， ，， ． 故答案为：． 【变式2】（2425七年级下·上海长宁·期末）已知的三个外角度数之比为，那么三个外角中最大角的度数是___________． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角和为360度，结合比例关系，进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式3】（2425七年级下·上海宝山·期末）如图，中，，则_______ 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，先根据等腰三角形的性质得出，，设，则，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示出，即可列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，， 设， 则， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 即， 故答案为：． 题型七 全等三角形的性质 解｜题｜技｜巧 1.找准对应关系:先看图形、标记或字母顺序，确定对应顶点、对应边、对应角。 2.核心性质:全等三角形对应边相等，对应角相等，直接用来求边长、角度。 3.延伸应用:全等三角形的周长、面积、对应中线、角平分线、高线也全部相等。 4.书写规范:表示全等时，顶点字母按对应顺序书写，方便快速找对应元素。 【典例7】（2425七年级下·上海崇明·期末）下列命题中原命题和逆命题都为真命题的是（　　） A．全等三角形对应角相等 B．等腰三角形的两个底角相等 C．直角三角形中有两个锐角 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题的真假，全等三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的定义，逐一分析各选项的原命题和逆命题的真假，判断是否均为真命题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、原命题“全等三角形对应角相等”为真；逆命题“对应角相等的三角形全等”为假（如相似三角形不全等），故不符合题意； B、原命题“等腰三角形的两个底角相等”为真；逆命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”为真（根据等角对等边），故符合题意； C、原命题“直角三角形中有两个锐角”为真；逆命题“有两个锐角的三角形是直角三角形”为假（如锐角三角形有三个锐角），故不符合题意； D、原命题“对顶角相等”为真；逆命题“相等的角是对顶角”为假（如同位角可能相等但不是对顶角），故不符合题意； 综上，只有选项B的原命题和逆命题均为真命题， 故选：B． 【变式1】（2425七年级下·上海松江·期末）如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为__________． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，再由求出，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式2】（2425七年级下·上海松江·期末）如图，已知与全等，那么__________． 【答案】72 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边所对的角是对应角，由此即可得到答案． 【详解】解：∵与全等，和是对应边， ∴， 故答案为：72． 题型八 用SSS证明三角形全等 （SSS） 解｜题｜技｜巧 1.定理牢记:三边分别对应相等的两个三角形全等，简写为SSS。 2.找准三组对应边:结合图形、字母顺序标记对应边，逐一核对相等关系。 3.条件补齐:缺少相等边时，利用公共边、线段和差推导边长相等。 4.书写格式:先列出三组边相等条件，再得出全等结论，标注依据(SSS)。 【典例8】（2425七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是___________．（只需写出一种情况） 【答案】（或等） 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理；要运用“”来证明三角全等，根据条件，添加的条件需要使得三条边对应相等即可． 【详解】解：，， 要运用“”来证明， 可以添加的条件需要使得即可， 故添加的条件是：， 故答案为：． 【变式1】（2425七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）证明即可； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式2】（2425七年级下·上海金山·期末）如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）证明得出，，根据等边对等角可得，进而得出，根据等角对等边，即可得证； （2）证明得出平分，根据三线合一的性质，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴，即平分 ∴ 题型九 全等的性质和SSS综合（SSS） 解｜题｜技｜巧 1.先梳理思路:先用SSS证三角形全等，再用全等性质推边、角相等。 2.补齐条件:巧用公共边、线段和差，凑齐三组对应相等的边。 3.锁定对应元素:按字母顺序、图形位置确定对应边与对应角。 4.分步书写:先列边相等条件证全等(标注SSS)再写边角相等结论。 【典例9】（2425七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，E是AD上一点，，，请填写理由，说明． 【答案】见解答过程 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键． 由，根据“等边对等角”得，所以，则，由“等角对等边”证明，进而根据““证明≌，再根据全等三角形的对应角相等推导出，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明，于是得到问题的答案． 【详解】解：已知， 所以等边对等角， 又已知， 等式性质， 即， 等角对等边， 在与中， ， ≌， 全等三角形的对应角相等， 又已知， 等腰三角形的“三线合一”． 【变式1】（2425七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，是等边三角形，点O是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，由等边三角形的性质得到，根据线段中点的定义得到，则可证明得到，进而可证明． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 【变式2】如图，在中，D在边上，E在延长线上，且，，请填写理由说明． 解：因为（已知）， 所以（    ）． 又因为（已知）， 所以（    ）． 即． 所以（    ）． 在和中， 所以（    ）． 得（    ）． 所以（    ）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先根据条件证明 ，得到为等腰三角形，再通过证明，得到，得到为的平分线，然后利用等腰三角形三线合一的性质，证得． 【详解】解：因为（已知）， 所以（等边对等角）． 又因为（已知）， 所以（等式性质）． 即． 所以（等角对等边）． 在和中， ， 所以（）． 得（全等三角形对应角相等）． 所以（等腰三角形的三线合一）． 题型十 用SAS证明三角形全等 （SAS） 解｜题｜技｜巧 1.定理要点:两边及其夹角对应相等，两三角形全等，简写SAS。 2.定位条件:先找两组对应相等的边，再确认相等的角必须是这两组边的夹角。 3.补全条件:借助公共角、对顶角、角的和差，推出夹角相等。 4.步骤书写:依次列出两组边、一组夹角相等，再判定全等并标注依据(SAS)。 【典例10】（2425七年级下·上海·期末）如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据边角边证明，则； （2）由，，得，则． 【详解】（1）解：∵D是延长线上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的度数是． 【变式1】（2425七年级下·上海普陀·阶段检测）如图，已知，，，证明．    【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由得到，然后由平行线的性质得到，即可由证明全等． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（2324七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知是等边三角形，D为边上一点，以为边向形外作等边三角形、联结 (1)试说明的理由； (2)如果，试说明的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质证明即可； （2）由（1）的结论，再结合条件可证明平分，根据等边三角形的性质可证得． 【详解】（1）∵和为等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）由（1）可知， ∴， ∴， ∴，即平分， ∵为等边三角形， ∴． 题型十一 全等的性质和SAS综合 （SAS） 解｜题｜技｜巧 1.解题思路:先利用已知条件，凑齐两边及其夹角，用SAS证明全等;再借助全等性质推导边、角相等。 2.补全条件:巧用公共角、对顶角、角/线段和差，补齐相等的边与夹角。 3.对应关系:结合字母顺序、图形位置，确定对应边和对应角。 4.书写规范:分步列式，证完全等后标注依据SAS，再推导后续结论。 5.综合拓展:结合平行线、三角形内角和等知识，完成计算与证明。 【典例11】（2425七年级下·上海宝山·期末）在中，，D为的中点．则边上的中线的取值范围是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．延长到，使，连接，证明，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出结果即可． 【详解】解：延长到，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【变式1】（2425七年级下·上海青浦·期末）把的中线延长到点E，使，连接．如果，的周长比的周长大2，那么___． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据中线性质得，根据周长差可得，结合求出，再通过证明得出，进而可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∵，，（对顶角相等）， ∴， ∴． 故答案为：5． 【变式2】（2425七年级下·上海·期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______． 【答案】/105度 【分析】利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 【详解】解：个边长相等的正方形的组合图形，如图， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2425七年级下·上海崇明·期末）已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．那么的度数为_________； 【答案】/60度 【分析】由等边三角形的性质得出，，，证明，求出，进一步求得的度数． 【详解】解：∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式4】（2425七年级下·上海静安·期末）如图，已知在四边形中，，E为的中点，连接，，，，，求的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长交于F，可证明，得到，；再证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，延长交于F， ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5】（2425七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长至点E，使，连接，根据三角形中线定义得，进而依据判定得，，再由得，继而根据“大边对大角”得，由此即可得出结论． 【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十二 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 解｜题｜技｜巧 1.分清定理:ASA是两角及其夹边对应相等;AAS是两角及其中一角的对边对应相等，二者均可证全等。 2.梳理思路:先凑齐角、边条件，用ASA/AAS证全等，再利用全等性质推导边、角相等。 3.补充条件:借助公共角、对顶角、平行线性质、邻补角，推出角相等;利用公共边、线段和差得到边相等。 4.图形简化:复杂图形标记相等的角和边，快速匹配定理所需条件。 【典例12】（2425七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出即可． 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2425七年级下·上海·期末）如图，已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是判定，掌握等腰三角形“三线合一”的性质． （1）证明，得到，再由等腰三角形的性质解答即可； （2）根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴； （2）证明：由（1）得：，平分， ∴． 【变式2】（2425七年级下·上海·期末）如图所示，已知，顶点分别与顶点 对应，，，垂足分别是点．求证：． 证明：∵，顶点分别与顶点 对应， ∴_____（全等三角形对应边相等），（              ）， ∵，， ∴_____（              ）， 在和中， ∵， ∴（      ）， ∴（全等三角形对应边相等）． 【答案】，全等三角形对应角相等；，垂直定义；，，；． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直定义，根据全等三角形的判定与性质，垂直定义进行求证即可，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：证明：∵，顶点分别与顶点 对应， ∴（全等三角形对应边相等），（全等三角形对应角相等）， ∵，， ∴（垂直定义）， 在和中， ∵， ∴， ∴（全等三角形对应边相等） 故答案为：，全等三角形对应角相等；，垂直定义；，，；． 【变式3】（2425七年级下·上海普陀·期末）如图，已知：、相交于点，，，、是上的两点，且．求证：．    证明：， （___________）． 在和中， （___________）． （___________）． ， ． ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定是解题的关键．先根据平行线的性质得到，再证明即可证明，进而求解即可． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）． 在和中， ． （全等三角形的对应边相等）． ， ． ． 【变式4】（2425七年级下·上海浦东新·期末）命题：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为______． (2)结合图形，补全此命题的已知和求证． 已知：如图，①______， 平分交于点D， ②______． 求证：③______． (3)此命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等 (2)，平分交于， (3)真 【分析】（1）根据命题的结构，结合问题中，已知，结论，在结论前面加上那么即可． （2）结合图形，根据已知，结论，具体化写出来即可． （3）根据全等三角形的性质和判定证明即可得此命题是真命题． 本题考查了命题的结构：任何一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，以及判断命题的真假，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是分清命题的题设和结论部分． 【详解】（1）解：将此命题改写成“如果，那么”的形式为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等． 故答案为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等． （2）解：已知：如图，， 平分交于点， 平分交于， 求证：． 故答案为：，平分交于，． （3）解：此命题是真命题，理由如下： ∵， ，，， 平分，平分， ，， ， 又，， ， ， 全等三角形的对应角的平分线相等． 故答案为：真． 【变式5】（2425七年级下·上海·期末）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，同角的余角相等． （1）利用同角的余角相等求出，，根据证即可； （2）推出，求出，把代入求出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴. ∴； （2）解：∵， 由（1）得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十三 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 解｜题｜技｜巧 1.先梳理已有条件，区分已知相等的边、角，再结合SSS、SAS、ASA、AAS分析缺项。 2.按定理匹配:已知两边，可补第三边(SSS)或夹角(SAS);已知一边一角，优先补角或夹边;已知两角，只需补一组任意对应边。 3.优先选用隐含条件:公共边、公共角、对顶角，简化作答。 4.多解题型分类列举，结合图形排除不合理条件。 5.写完条件后，反向验证能否推出全等，避免无效答案。 【典例13】（2425七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，根据题意可证明，，再结合全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 添加条件，则，即，则可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，则可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，不可以利用证明，故C符合题意； 添加条件，则可利用证明，故D不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2425七年级下·上海静安·期末）在和中，已知，，请补充一组相等的边，使两个三角形全等，可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，添加可利用证明． 【详解】解：添加，证明如下： ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（2425七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是________（填写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 要使得．由条件可得到，，再加条件，可以用证明其全等． 【详解】解：添加条件； 即：， ， ， ， ， 在和中， 故答案为：（答案不唯一）． 题型十四 灵活选用判定方法证全 等（全等三角形的判定综合） 解｜题｜技｜巧 1.先标注已知相等的边、角，结合图形梳理已有条件，再匹配SSS、SAS、ASA、AAS. 2.条件匹配思路:已知两角，优先补一组对应边(ASA/AAS);已知两边，补第三边(SSS)或夹角(SAS);已知一边一角，就近补角或夹边。 3.挖掘隐含条件:公共边、公共角、对顶角、平行线带来的等角、线段/角的和差关系。 4.复杂图形拆分观察，锁定目标三角形，不被多余线条干扰。 5.证完全等后，可结合全等性质继续推导边、角关系。 【典例14】（2425七年级下·上海宝山·期末）下列说法正确的是（   ） ①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ③两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用全等三角形的判定方法，将各选项逐一证明判定即可． 【详解】解：①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是真命题，符合题意， 如图，在和中，，且是中线，且，则，理由如下： 延长，使得，连接，则， ， ， ， 同理可证， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， 又， ； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，是假命题，故不符合题意； 反例：如下图，在和中，，高， 但和不一定全等； ③两边和第三边上的高对应相等，不能判断两个三角形全等，理由如图： 在和中，，第三边上的高都是，两个三角形不全等，是假命题，故不符合题意； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，是真命题，故本选项符合题意； 如图，在和中，，且是中线，且，则，理由如下： 是中线， ， ， ， ， ， ， ， 则说法正确的是①④， 故选：A． 【变式1】（2425七年级下·上海长宁·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．两个等边三角形全等 B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定及等腰三角形、等边三角形相关概念，解题的关键是准确理解全等三角形的判定条件和性质． 根据全等三角形的判定条件，逐一分析各选项是否成立． 【详解】A．两个等边三角形全等：错误．等边三角形对应边相等且每个角均为，但若边长不同（如边长为2和3的等边三角形），则不全等； B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等：错误．等腰三角形仅腰长相等，但底边长度或顶角可能不同（如腰长均为5，底边分别为6和8的三角形），无法保证全等； C．面积相等的两个三角形全等：错误．面积相等仅说明面积数值相同，但形状和边长可以不同（如底4高3与底6高2的三角形面积均为6），不全等； D．成轴对称的两个三角形全等：正确．轴对称是几何变换中的全等变换，变换前后图形形状、大小完全一致，符合全等定义． 故选：D． 【变式2】（2425七年级下·上海金山·期末）下列说法中，错误的是（） A．两个全等的三角形面积相等 B．成轴对称的两个三角形全等 C．成中心对称的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【答案】D 【详解】本题考查全等三角形的判定和性质及对称变换的性质．根据全等三角形的性质和判定方法，逐一判断即可． 【分析】A．全等三角形形状、大小完全相同，面积必然相等，正确． B．轴对称属于全等变换，成轴对称的三角形经翻折后重合，故全等，正确． C．中心对称属于旋转变换（旋转180°），不改变图形形状和大小，故全等，正确． D．等边三角形仅保证内角均为60°且三边相等，但边长可能不同（如边长3与边长5的等边三角形不全等），因此不一定全等，错误． 故选：D． 【变式3】（2425七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（   ） A．两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 B．两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C．两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等 D．两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，需逐一分析各选项是否符合全等条件． 【详解】解：A．两角对应相等，且其中一组等角的对边相等，符合全等判定，正确，不符合题意； B．两边对应相等，但其中一组等边的对角相等，属于条件，无法唯一确定三角形（存在歧义情况），不能保证全等，错误，符合题意； C．两边分别相等且其中一组等边上的中线也相等的两个三角形全等，正确，不符合题意； D．两角对应相等，且一组等角的平分线相等，通过角平分线定理可推第三边相等，符合或全等判定，正确． 故选：B． 题型十五 全等三角形综合问题 解｜题｜技｜巧 1.整体梳理条件，标注图中相等的边、角，挖掘公共边、公共角、对顶角等隐含条件。 2.根据已有边、角组合，灵活选用SSS、SAS、ASA、AAS判定全等，避开SSA误区。 3.明确解题逻辑:先证全等，再利用全等性质推导边、角相等，进而求解角度、线段长度或证明平行、垂直。 【典例15】（2425七年级下·上海徐汇·期末）对于下列两个命题，判断正确的是（　　） 命题①：如果两个等腰三角形的底边和底边上的高对应相等，那么这两个等腰三角形全等； 命题②：如果两个等腰三角形的腰和腰上的高对应相等，那么这两个等腰三角形全等． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题； C．①②都是真命题 D．①②都是假命题． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定条件，命题，等腰三角形的性质；通过全等三角形的判定条件分析两个命题的真假．命题①中，底边和底边上的高对应相等，可根据确定三角形全等；命题②中，腰和腰上的高对应相等，但顶角可能互补，导致三角形不全等；由此判断即可． 【详解】解：命题①：等腰三角形的底边和底边上的高对应相等．底边上的高将底边平分，结合勾股定理可知两腰长必然相等．因此，两个等腰三角形的三边对应相等，全等成立，命题①为真． 命题②：等腰三角形的腰和腰上的高对应相等．例如，顶角为 和 的两个等腰三角形，腰长和腰上的高相等，但底边长度不同，不全等．因此，命题②为假． 综上，①为真命题，②为假命题， 故选：A． 【变式1】（2425七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． 则对于以下结论：①；②；③；④；其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②④；根据和判断③即可． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴；故④正确； ，， ， ， ， ，故③错误； 故选：C． 【变式2】（2425七年级下·上海·期末）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形： 如图作于H，由得，再证明得，即可解决问题． 【详解】解：如图作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（2425七年级下·上海长宁·期末）根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化．数学实验课上，小颖、小亮位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作： (1)如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，求 ． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据题意证明，即可求解； （2）根据（1）的证明同理得到，，根据折叠得到，设，则，由角平分线的定义得到，，，根据直角三角形两锐角互余即可得到，则得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：根据（1）的证明得到， ∴，，， ∴ 同理，，， ∵折叠， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边对等角，等角对等边的判定和性质，掌握中线的定义，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角和的性质是解题的关键． 【变式4】（2425七年级下·上海静安·期末）如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． (1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 【答案】(1)证明过程见解析； (2)当时，的长为；当时，的长为； (3)当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个． 【分析】本题考查等边三角形，等腰三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解图形的运动过程． （1）由等边三角形的性质和平行线的性质，可得角之间的关系和线段长度之间的关系，利用“”即可证得结论； （2）根据运动时间进行分类讨论，写出每种情况对应的线段长度即可； （3）根据题意可知，当或时，等腰三角形的个数大于3，写出对应的等腰三角形即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 根据点的运动过程可知，， ∴， 在和中， ， ∴ （2）解：根据题意可知，点从点到点所需时间为， 当时，， 当时，， 答：当时，的长为；当时，的长为． （3）解：当时，如图，有5个等腰三角形：、、、、， 当时，如图，有4个等腰三角形：、、、， 答：当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2425七年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边的关系． 根据三角形三边之间的关系，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．2，2，3，最长的边为，，能组成三角形，符合题意； B．5，6，11，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； C．3，4，8，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； D．10，5，5，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． 2．（2425七年级下·上海松江·期末）已知中，，是边上的高，，那么的度数是________． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，分情况讨论：当为锐角三角形时，当钝角三角形时，结合等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图①，当为锐角三角形时，； 如图②，当钝角三角形时，， 所以． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 3．（2425七年级下·上海青浦·期末）如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是___________．（写出一个即可） 【答案】（或或） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴即 又∵ 当时， 当时， 当时， 故答案为：或或． 4．（2425七年级下·上海静安·期末）如图，已知中，，，，那么______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，由等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，据此可证明，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2425七年级下·上海长宁·期末）如图，已知中，，，点在边上，将沿直线翻折得到，如果直线与的一条边垂直，那么的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．分三种情况：①，②和③，先求出，，再根据平行线的性质求出度数，然后根据折叠的性质可得，，最后根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：①如图1，当时， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴； ②如图2，当时， ∴， 由折叠的性质得：， ∴； ③如图3，当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 综上，的度数是或， 故答案为：或． 6．（2425七年级下·上海松江·期末）已知：如图，、、、四点在同一直线上，，，，和相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据平行线的性质和全等三角形的判定方法证明和，再根据全等三角形的性质定理即可得到结论． 【详解】证明：∵， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2425七年级下·上海虹口·期末）如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，根据已知条件得到，利用全等三角形的判定即可． 【详解】令和的交点为． 都是的角平分线 是和的公共角 故选：B． 2．（2425七年级下·上海松江·期末）在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是__________． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论，作出图形，是解题的关键． 作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在上时， ， 顶角为； ②点P在上时， ∵， ∴， 如图2，若为顶角， 则顶角； 如图3，若为底角， 取， 则顶角为， 综上所述，顶角为或或． 故答案为: 或或． 3．（2425七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，将绕点A旋转α（）度后，点B所对应的点D在边上，如果平分，那么________度． 【答案】 【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可得：，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 则在中，∵， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 4．（2425七年级下·上海长宁·期末）已知线段，且与不平行． (1)请你用直尺和圆规作出射线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)点在线段上，点在射线上．请你用直尺和圆规在（1）所作的图中作出点和点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (3)根据（2）中的作图痕迹，说明点和点符合题意． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图： （1）根据作一个角等于已知角的的作法画出射线，即可求解； （2）先作，连接，再作，即可求解； （3）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，点D，E即为所求； （3）解：由作法得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（2425七年级下·上海崇明·期末）（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）6；（3）133 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，即可得解； （2）证明，得出，，即可得解； （3）过点作于，过点作交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，，，，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴；    （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；    ∵，， ∴． 故答案为：6； （3）解：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（2）思路可证，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2425七年级下·上海宝山·期末）如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是_______． 【答案】/度 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．延长到点D，使得，连接，延长交于点，证明，得到,，进一步证明是等边三角形，得到，则平分，得到垂直平分，则，得到，则，即可求出． 【详解】解：延长到点D，使得，连接，延长交于点， ∵．， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 2．（2425七年级下·上海宝山·期末）已知，分别以、为边作和，且，，，连接与，、分别是与的中点． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则______； (3)如图，若，试探究与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)； (2)； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，证明≌，可得，，，根据、分别是与的中点，可得，即可证明，可得，，即可求得，即可解题． （）根据（）中结论即可求得的值，即可解题； （）根据（）中结论即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵、分别是与的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：同（1）可证，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：同（1）可证，， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．（2425七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，由垂线的性质可得．导角证明，则可利用证明． （2）由全等三角形的性质得到，证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：分别是的平分线， ． ， ． 又， ． 同理，． ． 在和中， ． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， 在和中， ， ． ． ， ． 4．（2425七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 【答案】(1)A (2)①，理由见解析；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）将绕点C顺时针旋转得到，得到，根据等边三角形的性质得到，推出点B，A，三点共线，于是得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到； ②设与交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，在上截取，得到是等边三角形，根据全等三角形的性质得到，于是得到． 【详解】（1）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接 ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， ∴最短， ∴点A为所求费马点； 故答案为：A； （2）①解：， 理由：∵与是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：设与交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $