专题05等腰三角形期末复习讲义(19大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

专题05等腰三角形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握等腰三角形、等边三角形定义，分清图形特征 2.熟记等腰三角形性质、判定定理，理解等边对等角、三线合一 3.牢记等边三角形性质与判定方法，掌握特殊角度规律 4.分清等腰三角形边角关系、轴对称相关特点 1.灵活运用性质计算边长、角度，解决边角换算问题 2.依据条件判定等腰、等边三角形，熟练完成几何证明 3.巧用三线合一简化线段、角度推理计算 4.掌握分类讨论思想，处理边长、顶角底角多解题型 5.结合全等知识，综合推导复杂几何问题 1.选择填空快速判型、算角度，基础题目稳稳得分 2.证明题逻辑严谨，定理运用准确，书写格式规范 3.攻克多解计算、线段证明、角度推导高频题型 4.规避分类遗漏、边角对应出错等常见失分点 5.熟练应对等腰三角形综合题型，提升解题正确率 题型01.等腰三角形的定义 题型02.找出图中的等腰三角形 题型03.等边对等角 题型04.三线合一 题型05.大(小)边对大(小)角定理 题型06.由等角对等边证等腰三角形 题型07.由等角对等边证边相等 题型08.由等角对等边求边长 题型09 .等腰三角形性质与判定综合 题型10.等边三角形的性质 题型11.等边三角形的判定 题型12.等边三角形的判定和性质 题型13.线段垂直平分线的性质 题型14.线段垂直平分线的判定 题型15.作已知线段的垂直平分线 题型16.作垂线 题型17.作等腰三角形 题型18.由外心位置判三角形形状 题型19.最短路径问题 知识点01:等腰三角形核心知识速查表 知识点02.基本概念 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两边叫腰，另一边叫底边。 等边三角形：三边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 重要前提：必须满足三角形三边关系：任意两边之和 > 第三边；腰长 > 底边的一半。 等腰三角形的高.中线.角平分线 知识点03:等腰三角形的性质 性质 内容 几何语言 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点04:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点05:线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2..性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 .性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 3.尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。 题型01.等腰三角形的定义 1．已知三边长，且满足，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及绝对值和偶次方的非负性，由题意得：，求出即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴此三角形一定是底边和腰不相等的等腰三角形， 故选：C 2．若等腰三角形其中的两条边长分别为a，b，且a，b满足，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边关系，分类讨论是解题的关键．根据非负数的性质得出的值，根据等腰三角形的定义以及三角形三边关系求得三角形的三边长，进而求得周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得 ∵为等腰三角形其中两边长， 当4为等腰三角的腰时，另外两边长为， ∵， ∴不能构成三角形， 当8为等腰三角形的底时，另外两边长为，能构成三角形， ∴此三角形的周长为． 故答案为：． 3．如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质及三角形三边关系，设，，由是边上的中线，得到，分两种情况：当的周长比的周长大6时，当的周长比的周长大6时，建立二元一次方程组求解，再利用三角形三边关系检验即可求解，掌握三角形三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设，，是边上的中线， ， 分两种情况： 当的周长比的周长大6时， ， 解得：， 的三边长分别为12，12，6， ， 能组成三角形； 当的周长比的周长大6时， 即， 解得：， 的三边长分别为8，8，14； ， 能组成三角形； 综上所述：的长为6或14． 故选：C． 4．如图，把等腰Rt和等腰Rt放在一起，三点在一条直线上，其中，点在上，连接交于点．若，则的面积为（   ） . A．27.9 B．28.7 C． D． 【答案】A 【分析】证明，得到，推出，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵等腰直角和等腰直角，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为. 题型02.找出图中的等腰三角形 5．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰的等腰三角形得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 6．如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可． 【详解】解：如图所示： 以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合． 因此出现等腰三角形的点P的位置有4个． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法． 7．如图，在中，，的平分线相交于点D，过点D作直线，交于E，交于F，图中等腰三角形的个数共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质进行推导是解决问题的关键．根据，可得是等腰三角形，根据角平分线的定义可得，得到是等腰三角形，再利用平行线的性质可得，得到是等腰三角形，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵的平分线相交于点D， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴共有5个等腰三角形：． 故选：C． 题型03.等边对等角 8．一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为，则它的底角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和进行计算即可，题目明确给出顶角为，不需要分类讨论． 【详解】解：． 9．如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（   ）度 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质．由作法得：，根据等腰三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：由作法得：， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A 10．如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，与边交于点，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（在边上），连接．若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】或或 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，根据折叠的性质得到，，，设，分别表示出和，再根据是等腰三角形，分3种情况讨论，列出关于的方程，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∵将向下折叠，使与重合， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； 综上所述，的度数为或或． 11．在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接、、，且，若是等腰三角形，， (1)求证． (2)求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质即可得出结论； （2）通过论证可得，结合 ，，即可得出结论. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴. 题型04.三线合一 12．如图，在中，，是边的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，是边的中点， ∴，即， ∵， ∴． 故选：A 13．如图，在中，，是边上的高，点E，F是的三等分点，若的面积为12，则图中阴影部分的面积是_________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三线合一定理，三角形中线的性质，根据三线合一定理得到，则由三角形中线平分三角形面积可得；可证明，则根据图形面积之间的关系可得． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，，，于点E，若，且的周长为8，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答． 【详解】 解：∵，且的周长为8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 15．如图，已知，，，． (1)求证：； (2)若为的中点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵为的中点， ∴， ∴是的中线， ∴． 题型05.大(小)边对大(小)角定理 16．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______． 【答案】8，8 【分析】从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案． 【详解】解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x， 则有x+4×2=20， 解得：x=12， 此时，三角形的三边长为4，4，12， ∵4+4＜12， ∴不可以组成三角形； 若等腰三角形的底边为4，设腰长为x， 则有2x+4=20， 解得：x=8， ∵4+8＞8， ∴可以组成三角形； ∴三角形的另两边的长分别为8，8． 故答案为：8，8． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键． 17．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称、三角形的边角关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先利用轴对称的性质、三角形的边角关系可得点与点重合，再根据轴对称的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是上一点， ∴点关于直线的对称点在上， 设点关于直线的对称点为点， 如图1，假设点在（不含点）上，连接， 由轴对称的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，这与不符， ∴假设不成立，即点不在（不含点）上； 如图2，假设点在（不含点）上，连接， 同理可得：点不在（不含点）上； ∴点与点重合， ∴与关于直线对称，点的对应点是点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 18．已知a，b满足． (1)求的值； (2)若a，b为等腰三角形的边长，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为12 【分析】（1）先根据完全平方式将转化为 ，再根据偶次方的非负性求出a，b，再进一步求值即可； （2）在（1）的基础上，分两类讨论：当a为腰时，当b为腰时，分别计算，并且注意能否组成三角形． 【详解】（1）原式： ∴， ∴ （2）分两种情况讨论： ①当为腰时，则为底，三边分别为5、5、2， ∴的周长为； ②当为腰时，则为底，三边分别为5、2、2， 不符合三角形三边的关系，舍去； 综上所述，的周长为12． 【点睛】本题考查利用完全平方公式求值，等腰三角形的定义，三角形三边不等关系，解题关键是利用完全平方式将代数式转化为两个偶次方的和为零问题． 题型06.由等角对等边证等腰三角形 19．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项B符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：B． 20．如图，中，、分别平分、，，，，则的周长_________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由角平分线的定义得出，结合平行线的性质得出，推出，同理，即可得解． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，     同理， ∵， 则的周长． 故答案为：． 21．如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以． 【详解】解：延长交于，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 22．如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 题型07.由等角对等边证边相等 23．在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理． 【详解】解：A. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意；     B. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵， ∴， ∴， ∴，则为等腰三角形，故该选项正确，符合题意； D. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 24．在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，，则的周长为______． 【答案】22 【分析】利用平行和角平分线的定义可得到，所以可得，同理可得，所以的周长即为，可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证得， ∴ ， 即的周长为22， 25．如图所示三角形纸片中，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为． 再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为，若，则的周长为，则长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，根据等角对等边可得，折叠的性质得，，，再根据的周长为，可得到关于的方程，求解即可．熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵三角形纸片中，， ∴， ∵将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为． 再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， 即， ∴， 即长为． 故选：B． 26．如图，在中，，，和的角平分线、交于点O，，垂足为点D，且与交于点G． (1)求和的度数； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）首先，根据三角形的内角和定理及垂直的定义求出，，，再根据角平分线的性质求出，，最后，再根据外角的性质求出的度数； （2）首先，根据垂直的定义及三角形的内角和求出，然后，再由（1）知，运用“等角对等边”知识可知． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∵为的外角， ∴； （2）证明：在中，，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 题型08.由等角对等边求边长 27．如图，在中，、的平分线交于O点，过O点作交、于点E、F．当，时，的长为___________． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到，，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵、的平分线交于O点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：3． 28．如图，在中，，和的平分线分别交于点，，，相交于点． （1）若，则的度数为______； （2）若，，则的值为______． 【答案】 13 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，与角平分线有关的三角形的内角和定理，平行线的性质： ①由角平分线得到，由三角形的内角和定理得到，再对运用内角和定理即可求解； ②根据题意证明，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：①和的平分线分别交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵和的平分线分别交于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：13． 29．如图，在中，平分，交于点D，点E在上，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由三角形内角和定理求出，得到，即可推出； （2）由角平分线和平行线的性质得到，推出，然后由等角对等边求解即可． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴． ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 题型09 .等腰三角形性质与判定综合 30．如图所示，在中，平分，平分，，过点，若，，则的周长是________．    【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质得出等腰三角形，进而将三角形的周长进行转化． 因为平分，所以；又因为，所以，从而可得，故．同理可得，．由此的周长，代入数值即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 同理可得，． ∵的周长． ∵， ∴的周长． 故答案为：． 31．如图，在中，，，点在边上（点与，不重合），作，与边相交于点．若是等腰三角形，则度数为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，分情况讨论：①；②；③以的等腰三角形不存在；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则， ①如图，，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∴； ②如图，，即是等腰三角形， ∴， ∴； ③∵D不与B、C重合，， ∴以的等腰三角形不存在； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 32．如图，在中，已知，的平分线交于点E，，点D在上，那么图中等腰三角形的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据，可得是等腰三角形，，再由，可得，即是等腰三角形，最后根据平分，，可得是等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴图中有3个等腰三角形． 33．如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，得，因为，，所以，则，而，可根据“”证明，得，即可解答； （2）由全等三角形的性质得，由，得，而，可根据“”证明，得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ，分别平分，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的长是6． 题型10.等边三角形的性质 34．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，根据等边三角形的性质可知，根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ． 故选：C． 35．如图，在等边中，于点是线段上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为______． 【答案】6 【分析】连接，利用等边三角形的性质得到，，，进而证明，得到，再求出线段的最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得：，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴线段的最小值，即为线段的最小值， 又∵F为线段上一动点，， ∴点F与点D重合时，最小， ∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为，即线段的最小值为． 36．如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合“”进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，然后求出结果即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ， ， 即， 在 中   ， ∴； （2）解：是等边三角形， ， 又由（）得， ． 题型11.等边三角形的判定 37．若三条边的长分别为m，n，p，且，则这个三角形为（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是非负数的性质、等边三角形的判定，根据非负数的性质列出算式，求出m，n，p的关系，根据等边三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，，， 则， ∴这个三角形是等边三角形， 故选：C． 38．若a、b、c是的三边，且满足，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据，，分别提取公因式即可得到，，再根据，，得到，，据此即可判定该三角形的形状． 【详解】解：，， ，， 又、b、c是的三边， ，， ，， ，， ， ∴该三角形是等边三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解． 39．已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，见解析 【分析】（1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵a，b，c是的三边长， ∴，，， ∴ ． ； （2）解：∵且，， ∴且， ∴且，即， ∴是等边三角形． 题型12.等边三角形的判定和性质 40．下列三角形中，不一定是等边三角形的是（   ） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于的三角形 C．一边上的高也是该边上的中线的三角形 D．有一个外角等于的等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，准确分析判断是解题的关键；根据等边三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、三个角都相等的三角形是等边三角形，故A不符合题意； B、有两个角等于的三角形是等边三角形，故B不符合题意； C、一条边上的高也是这条边的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故C符合题意； D、有一个外角等于的等腰三角形，则其相邻的内角为，有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，故D不符合题意； 故选：C． 41．已知中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的值最大时，的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，三角形的内角和等知识，综合性强．作点B关于的对称点H，连接．可以得到，，即可得到当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时，进而得到．求出，根据和关于对称，求出，进而求出，，根据即可求出． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接． 则，，， 此时， ∴当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时， ∵，， ∴， 由题意得和关于对称， ∴，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 42．在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到，，即可得到结论； （2）证明，得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）知是等边三角形，， ，， ， ， , ， ， ， ， ． 题型13.线段垂直平分线的性质 43．如图，在中，，，，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，，直线交于点，连接，则的周长等于（     ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与直角三角形周长计算，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等，将周长转化为已知边长之和是解题的关键． 由作图知是的垂直平分线，得，将的周长转化为计算． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴ 的周长为： ． 故选：A． 44．如图，在中，平分，线段的垂直平分线交于点E，交于点F．若，的周长为15，，则的长度为________． 【答案】3 【分析】连接，证明，再由线段垂直平分线的性质及周长条件即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； ∵的周长为15， ∴， ∴， 即， ∴． 45．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长，求出，分割法求面积，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵，的周长为18， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型14.线段垂直平分线的判定 46．到三角形三个顶点距离都相等的点是（   ） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行作答即可． 【详解】解：∵到三角形三个顶点距离都相等的点， ∴该点是三角形的三边垂直平分线的交点， 故选：B 47．如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【答案】60 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，，，则可证明，故当B、P、E三点共线时，有最小值，由等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，点，分别是、的中点， ，，， ∴垂直平分， ， ， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ， ， ． 48．如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 题型15.作已知线段的垂直平分线 49．如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，作直线交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．线段垂直平分直线 B．点O不是线段的中点 C．直线垂直平分线段 D．直线垂直但不平分线段 【答案】C 【分析】利用基本作图（作线段垂直平分线）进行判断． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴，， 即直线垂直平分线段． 50．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②作直线交于点，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理． 由作图可知垂直平分，即，根据等边对等角及三角形内角和定理求出，同理可得，即可求出的度数． 【详解】解：由作图可知垂直平分， ∴ ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 故答案为：． 51．如图，在中． (1)作边的垂直平分线，分别与相交于点D、E（尺规作图，保留痕迹）． (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质： （1）根据尺规作线段的垂直平分线的步骤进行作图即可； （2）线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得，等量代换可得． 【详解】（1）解：边的垂直平分线如图： （2）解：如图，连接， 是边的垂直平分线， ， ， 即的周长为14． 题型16.作垂线 52．如图，在中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接，交于点．若的周长为，则的长为（    ） A．14 B．12 C．7 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由作法可知，垂直平分，则，再结合的周长，得出，即可求解． 【详解】解：由作法可知，垂直平分， ， 的周长为， ， ， ， 故选：D 53．如图，的周长为20，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线，交边于点D，连接，则的周长为______． 【答案】12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，正确理解线段垂直平分线的作图及线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据的周长为20，可得，根据作图可知垂直平分，再由线段垂直平分线的性质得到，即可求得答案． 【详解】的周长为20， ， ， 由已知作图可知垂直平分， ， 的周长． 故答案为：12． 54．如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，当，时，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为14 【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质； （1）根据题意作线段的垂直平分线，即可求解； （2）根据垂直平分线的性质可得，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：为的中垂线， ， ，， 的周长 ． 题型17.作等腰三角形 55．如图，在中，，根据作图痕迹，可知（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵AB=AC， ∴． 由作图痕迹可知BC=BD， ∴． ∴． 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据作图痕迹得出BC=BD是解答本题的关键． 56．问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高． 作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接；③延长交于点．线段即为的高． 判定为高的依据是________． 【答案】三线合一 【分析】本题主要考查了尺规作图、等边三角形的判定与性质，由尺规作图可知是等边三角形，由等边三角形的性质可知，可证平分，根据等腰三角形的三线合一定理可证为的高． 【详解】解：分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分， (三线合一)， 是的高． 故答案为：三线合一． 57．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法） 已知：线段，，求作：等腰，使其腰长，顶角．    【答案】见解析． 【分析】①作；②以点A为圆心，线段为半径画弧，在的两边上分别截取；③连接．则就是所求的等腰三角形． 【详解】解：如图所示，即为所求．    【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角的基本尺规作图及等腰三角形的概念． 题型18.由外心位置判三角形形状 58．如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握外心的形成和性质是本题突破的关键，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于，那么这个三角形一定是钝角三角形， 故选：C． 59．如图，点是的外心，且，则________． 【答案】 【分析】根据点是的外心，可得，从而，再利用三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵点为的外心， ∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的外心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的外心位置是解题的关键． 60．如图，点为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用外心的性质，得到OA是∠BAC的平分线，OA=OC，利用等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质计算即可． 【详解】∵为的外心，，， ∴OA是∠BAC的平分线， ∴， ∵，∴， ∴， ∵为正三角形， ∴， ∴， 又∵为的外角， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形外心的意义，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上性质并灵活计算是解题的关键． 题型19.最短路径问题. 61．某大学的四幢学生公寓恰好在同一条直线上，依次记为A，B，C，D，现要在这四幢学生公寓之间建立一个便民服务站，使得四幢学生公寓到这个便民服务站的距离之和最短，则便民服务站应建在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的实际应用，解题的关键是掌握该定理． 利用两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：设服务站的位置为点P，四幢公寓的位置分别为点A，B，C，D，所求为的最小值，可将距离之和分组为，根据“线段上任意一点到两端点的距离之和等于线段长度，线段外任意一点到两端点的距离之和大于线段长度”可知：当点P在线段上时，最小，最小值为；同理，当点P在线段上时，最小，最小值为； 为了使总距离之和最小，点P必须同时在线段和线段上，因为A，B，C，D，在同一直线上依次排列，线段在线段内，所以点P的位置应在线段上，即B和C之间（可包含端点）， 故选：B． 62．如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是______． 【答案】/20度 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，由线段垂直平分线的性质得到，，从而得出，即当、、、四点共线时，周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ∵，， ∴， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即周长最小，如图， ， ， ，， ，， ，， ， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题等知识，得出当、、、四点共线时，周长最小是解题关键． 63．如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【答案】10 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边关系的应用，如图，连接，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接． ∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵， ∴的最小值为10． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05等腰三角形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握等腰三角形、等边三角形定义，分清图形特征 2.熟记等腰三角形性质、判定定理，理解等边对等角、三线合一 3.牢记等边三角形性质与判定方法，掌握特殊角度规律 4.分清等腰三角形边角关系、轴对称相关特点 1.灵活运用性质计算边长、角度，解决边角换算问题 2.依据条件判定等腰、等边三角形，熟练完成几何证明 3.巧用三线合一简化线段、角度推理计算 4.掌握分类讨论思想，处理边长、顶角底角多解题型 5.结合全等知识，综合推导复杂几何问题 1.选择填空快速判型、算角度，基础题目稳稳得分 2.证明题逻辑严谨，定理运用准确，书写格式规范 3.攻克多解计算、线段证明、角度推导高频题型 4.规避分类遗漏、边角对应出错等常见失分点 5.熟练应对等腰三角形综合题型，提升解题正确率 题型01.等腰三角形的定义 题型02.找出图中的等腰三角形 题型03.等边对等角 题型04.三线合一 题型05.大(小)边对大(小)角定理 题型06.由等角对等边证等腰三角形 题型07.由等角对等边证边相等 题型08.由等角对等边求边长 题型09 .等腰三角形性质与判定综合 题型10.等边三角形的性质 题型11.等边三角形的判定 题型12.等边三角形的判定和性质 题型13.线段垂直平分线的性质 题型14.线段垂直平分线的判定 题型15.作已知线段的垂直平分线 题型16.作垂线 题型17.作等腰三角形 题型18.由外心位置判三角形形状 题型19.最短路径问题 知识点01:等腰三角形核心知识速查表 知识点02.基本概念 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两边叫腰，另一边叫底边。 等边三角形：三边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 重要前提：必须满足三角形三边关系：任意两边之和 > 第三边；腰长 > 底边的一半。 等腰三角形的高.中线.角平分线 知识点03:等腰三角形的性质 性质 内容 几何语言 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点04:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 知识点05:线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2..性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 .性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 3.尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。 题型01.等腰三角形的定义 1．已知三边长，且满足，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 2．若等腰三角形其中的两条边长分别为a，b，且a，b满足，则这个等腰三角形的周长为________． 3．如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 4．如图，把等腰Rt和等腰Rt放在一起，三点在一条直线上，其中，点在上，连接交于点．若，则的面积为（   ） . A．27.9 B．28.7 C． D． 题型02.找出图中的等腰三角形 5．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 6．如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 7．如图，在中，，的平分线相交于点D，过点D作直线，交于E，交于F，图中等腰三角形的个数共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型03.等边对等角 8．一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为，则它的底角为（   ） A． B． C． D．或 9．如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（   ）度 A． B． C． D． 10．如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，与边交于点，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（在边上），连接．若是等腰三角形，则的度数为________． 11．在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接、、，且，若是等腰三角形，， (1)求证． (2)求证． 题型04.三线合一 12．如图，在中，，是边的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．如图，在中，，是边上的高，点E，F是的三等分点，若的面积为12，则图中阴影部分的面积是_________． 14．如图，在中，，，于点E，若，且的周长为8，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 15．如图，已知，，，． (1)求证：； (2)若为的中点，求证：． 题型05.大(小)边对大(小)角定理 16．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______． 17．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 18．已知a，b满足． (1)求的值； (2)若a，b为等腰三角形的边长，求的周长． 题型06.由等角对等边证等腰三角形 19．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．，， B． C．， D． 20．如图，中，、分别平分、，，，，则的周长_________． 21．如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 22．如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 题型07.由等角对等边证边相等 23．在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 24．在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，，则的周长为______． 25．如图所示三角形纸片中，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为． 再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为，若，则的周长为，则长为（    ）    A． B． C． D． 26．如图，在中，，，和的角平分线、交于点O，，垂足为点D，且与交于点G． (1)求和的度数； (2)求证：． 题型08.由等角对等边求边长 27．如图，在中，、的平分线交于O点，过O点作交、于点E、F．当，时，的长为___________． 28．如图，在中，，和的平分线分别交于点，，，相交于点． （1）若，则的度数为______； （2）若，，则的值为______． 29．如图，在中，平分，交于点D，点E在上，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型09 .等腰三角形性质与判定综合 30．如图所示，在中，平分，平分，，过点，若，，则的周长是________．    31．如图，在中，，，点在边上（点与，不重合），作，与边相交于点．若是等腰三角形，则度数为_____． 32．如图，在中，已知，的平分线交于点E，，点D在上，那么图中等腰三角形的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 33．如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 题型10.等边三角形的性质 34．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 35．如图，在等边中，于点是线段上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为______． 36．如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求． 题型11.等边三角形的判定 37．若三条边的长分别为m，n，p，且，则这个三角形为（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 38．若a、b、c是的三边，且满足，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 39．已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 题型12.等边三角形的判定和性质 40．下列三角形中，不一定是等边三角形的是（   ） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于的三角形 C．一边上的高也是该边上的中线的三角形 D．有一个外角等于的等腰三角形 41．已知中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的值最大时，的度数为______． 42．在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 题型13.线段垂直平分线的性质 43．如图，在中，，，，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，，直线交于点，连接，则的周长等于（     ） A．7 B．8 C．9 D． 44．如图，在中，平分，线段的垂直平分线交于点E，交于点F．若，的周长为15，，则的长度为________． 45．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 题型14.线段垂直平分线的判定 46．到三角形三个顶点距离都相等的点是（   ） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 47．如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 48．如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 题型15.作已知线段的垂直平分线 49．如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，作直线交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．线段垂直平分直线 B．点O不是线段的中点 C．直线垂直平分线段 D．直线垂直但不平分线段 50．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②作直线交于点，连接．若，则的度数为___________． 51．如图，在中． (1)作边的垂直平分线，分别与相交于点D、E（尺规作图，保留痕迹）． (2)若，求的周长． 题型16.作垂线 52．如图，在中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接，交于点．若的周长为，则的长为（    ） A．14 B．12 C．7 D．6 53．如图，的周长为20，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线，交边于点D，连接，则的周长为______． 54．如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，当，时，求的周长． 题型17.作等腰三角形 55．如图，在中，，根据作图痕迹，可知（    ） A． B． C． D． 56．问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高． 作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接；③延长交于点．线段即为的高． 判定为高的依据是________． 57．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法） 已知：线段，，求作：等腰，使其腰长，顶角．    题型18.由外心位置判三角形形状 58．如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 59．如图，点是的外心，且，则________． 60．如图，点为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型19.最短路径问题. 61．某大学的四幢学生公寓恰好在同一条直线上，依次记为A，B，C，D，现要在这四幢学生公寓之间建立一个便民服务站，使得四幢学生公寓到这个便民服务站的距离之和最短，则便民服务站应建在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 62．如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是______． 63．如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $