专题04全等三角形的性质与判定期末复习讲义(19大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪教版五四制七年级数学下册

专题04全等三角形的性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.明晰全等三角形概念，熟记全等图形对应边、对应角关系 2.牢固掌握全等三角形五大判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 3.吃透全等三角形对应边相等、对应角相等核心性质 4.分清判定定理适用条件，规避边角位置误用误区 1.快速找准全等三角形对应顶点、对应边与对应角 2.依据已知条件灵活选取判定定理完成全等证明 3.利用全等性质推导边长、角度，求解相关线段与角度 4.掌握公共边、公共角、对顶角等隐含条件挖掘技巧 5.规范几何推理逻辑，完整书写证明过程 1.选择填空精准判定全等、快速换算边角数值，基础题不失分 2.证明题步骤严谨，定理依据标注规范，格式标准 3.熟练应对基础证明、线段角度计算类常规考题 4.避开 SSA 不能判定全等、对应关系错乱等易错点 5.突破图形变换类全等题型，综合解题稳步得分 题型01.图形的全等 题型02.全等三角形的概念 题型03.全等三角形的性质 题型04.尺规作图--作三角形 题型05.用SSS证明三角形全等 题型06.全等的性质和SSS综合应用 题型07.尺规作一个角等于已知角 题型08.过定点作已知直线的平行线 题型09.用SAS证明三角形全等 题型10.用SAS间接证明三角形全等 题型11.全等的性质和SAS综合应用 题型12.用ASA(AAS)证明三角形全等 题型13.全等性质和ASA(AAS)综合应用 题型14.添条件证全等 题型15.灵活选方法证全等 题型16.倍长中线模型 题型17.旋转模型 题型18.垂线模型 题型19.全等三角形综合问题 知识点01:全等形与全等三角形的概念 1.全等形：能够完全重合的两个图形，形状、大小都相同，位置可不同。 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。 3.对应元素 重合的顶点：对应顶点 重合的边：对应边 重合的角：对应角 表示方法：用符号 ≌ 表示，记作 △ABC △DEF；对应顶点必须写在对应位置。 4.全等变换：平移、旋转、轴对称翻折），变换前后图形全等。 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 如图（1），把△ABC沿BC所在直线向右平移一段距离，得到△DEF，则△ABC≅△DEF。 如图（2），把△ABC沿BC所在直线翻折，得到△DBC，则△ABC≅△DBC。 如图（3），把△ABC绕点A旋转，得到△AED，则△ABC≅△AED。 知识点02:全等三角形的性质（核心） 若 △ABC △DEF则： 对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 知识点03:三角形全等的判定 黄金性质：全等三角形 =“完全复刻”，对应边、对应角、对应中线 / 高 / 角平分线全相等，周长、面积也完全一样！ 解题思路： 注意：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；②全等三角形面积相等。 知识点04:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点05:作一个角等于已知角 题型01.图形的全等 1．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【答案】C 【分析】能够完全重合的两个图形是全等图形，根据概念逐一判断各选项即可得到正确答案． 【详解】解：A、形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，因此不一定全等，本选项错误． B、两个长方形的长和宽不一定对应相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． C、两个全等图形能够完全重合，因此面积一定相等，本选项正确． D、两个正方形的边长不一定相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． 2．图中全等的图形是________和________；________和________；________和________；________和________；________和________；________和________． 【答案】 （1） （11） （2） （10） （3） （6） （4） （7） （5） （8） （9） （12） 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据完全重合的图形为全等图形进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：观察图形， 得图中全等的图形是（1）和（11）；（2）和（10）；（3）和（6）；（4）和（7）；（5）和（8）；（9）和（12）． 故答案为：（1），（11），（2），（10），（3），（6），（4），（7），（5），（8），（9），（12） 3．已知如图，、为的平分线上的两点，连接、、、；如图，、、为的平分线上的三点，连接、、、、、；如图，、、、为的平分线上的四点，连接、、、、、、、依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察分析，找出图形变换中，有全等三角形的对数规律：当有个点时，图中有个全等三角形，然后把n=17代入计算即可求解． 【详解】解：图中，当有点、时，有对全等三角形； 图中，当有点、、时，有对全等三角形； 图中，当有点时，有对全等三角形； 图中，当有个点时，图中有个全等三角形， 当时，全等三角形的对数是， 故选：D． 【点睛】本题考查图形变换规律，全等三角形的判定，找出图形变换规律是解题的关键． 题型02.全等三角形的概念 4．如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的对应边的含义．注意最长边与最长边对应，最短边与最短边对应．观察图形，找到与长度相等的边即可． 【详解】解：观察图形可知：，， ∴和是对应边， 而显然和是两个三角形中最短的边，是对应边， ∴边的对应边为． 故选D． 5．已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形全等的定义，根据题意画出图形，得出答案即可． 【详解】解：如图，可以画、、与全等，因此这样的三角形最多可以画3个． 故答案为：3． 6．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 题型03.全等三角形的性质 7．如图，已知，且，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质以及线段的和差求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 8．如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 【答案】4 【分析】根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵顶点、、分别与顶点、、对应，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 9．如图，在长方形中，，，点从点出发，以2个单位/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以个单位/秒的速度沿向点运动，设运动时间为秒，在运动过程中，当与全等时的值为（   ） A．3或 B．2或3 C．2或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】解：当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2或． 题型04.尺规作图--作三角形 10．已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（   ） ①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C； ②作线段等于c； ③连接，则就是所求作图形． A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③① 【答案】C 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先画，确定A、B点，然后通过画弧确定C点位置，从而得到． 【详解】解：②先作线段等于c，①再以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于C点，③然后连接，则就是所求作图形． 故选：C． 11．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】如图： 共7个点符合， 故选：C． 12．如图a，b和，用尺规作，使，，．用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见详解 【分析】先作出，然后在边上截取得到点，在边上截取得到点，连接，即可得到符合要求的图形． 【详解】解：如图所示，即为所求． 题型05.用SSS证明三角形全等 13．如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：题干的：三边长分别为、、， ∵三角形要全等对应边必须相等， ∴只有C项与的各边都相等． 14．在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________．    【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据全等三角形的判定画出图形，即可判断． 【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．      由图可得，所有格点三角形的个数是4， 故答案为：4． 15．在三角形中，，连接、并延长，分别交、于点、， (1)求证：； (2)若，求度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据 “”判定； （2）先判定为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，再根据全等三角形的性质得出，最后再结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型06.全等的性质和SSS综合应用 16．如图，某同学做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．由“”可证，可得，可证就是的平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， 故选：B． 17．如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故答案为：． 18．如图，已知，，E、F是上的两点，且，写出与，与之间的数量关系，并说明你的理由． 【答案】，，理由见解析 【分析】先证明出，再证明即可得解． 【详解】解：，，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 19．如下图，已知，，，B，D，E三点共线．试说明：． 【答案】说明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 先通过证明，可得，，通过三角形内角和为结合邻补角的性质可得，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ，． ，， ． 题型07.尺规作一个角等于已知角 20．尺规作图：作一个角等于已知角． 已知：． 求作：，使． 作法： 步骤一：如图，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交、于点，； 步骤二：如图，作射线，以点为圆心，以▲长为半径画弧，交于点； 步骤三：以点为圆心，以■长为半径画弧，与步骤二中所画的弧相交于点； 步骤四：经过点画射线，则． 则▲，■所表示的内容为（    ） A．任意， B．， C．任意， D．， 【答案】B 【分析】根据作一个角等于已知角的作图步骤分析即可求解． 【详解】解：步骤一：如图1，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交、于点，； 步骤二：如图，作射线，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点； 步骤三：以点为圆心，以长为半径画弧，与步骤二中所画的弧相交于点； 步骤四：经过点画射线，则． 则▲，■所表示的内容为，． 21．如图，已知，，在的内部．某数学兴趣小组进行了探究： （1）在上取一点，以点为圆心，以为半径画弧交射线于点； （2）以点为圆心，线段的长为半径画弧交前弧于点； （3）以点为端点，作射线． 若，则__ 度． 【答案】144 【分析】本题考查作图—基本作图、角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图过程可知，，则，可得，即，从而可得． 【详解】解：由作图过程可知，． ， ． ， ， ， ， ． 故答案为：144． 22．已知：，（如图）． (1)求作：在内部作射线，使．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若射线恰好平分，且，过点O作射线，使得，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或 【分析】本题主要考查了尺规作图，角度计算，正确运用尺规作图是解此题的关键． （1）利用尺规根据要求作出图形即可； （2）分两种情况：当在下方时，当在上方时，分别利用角的和差求解即可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵射线恰好平分，且， ∴， 当在上方时，； 当在下方时，； 综上，的度数为或． 题型08.过定点作已知直线的平行线 23．如图，小庆用尺规过点B作的平行线，观察作图痕迹，其中弧是（    ） A．以点E为圆心，长为半径的弧 B．以点G为圆心，长为半径的弧 C．以点B为圆心，长为半径的弧 D．以点F为圆心，长为半径的弧 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角， 以点为圆心为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，然后以点为圆心为半径画弧交前弧于点，作射线，则即为所求作，其中弧是以点为圆心为半径画的弧． 【详解】解：弧是以点为圆心为半径画的弧． 故选：D． 24．下列命题是真命题的是（　　） A．同旁内角相等 B．对顶角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两直线平行，内错角互补 【答案】B 【分析】本题主要考查命题真假的判断、对顶角、平行线性质、平行公理等知识点，掌握平行线的性质以及平行公理成为解题的关键． 根据对顶角、平行线性质、平行公理逐项分析判断即可． 【详解】解：A． 若两直线不平行，同旁内角大小不确定，故此命题为假命题，不符合题意； B．根据对顶角定理，对顶角一定相等，故此命题为真命题，符合题意； C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．若该点在已知直线上，则无法作平行线．题干未限定为“直线外一点”，表述不严谨，故此命题为假命题，不符合题意； D． 根据平行线性质定理，两直线平行时，内错角相等，而非互补，故此命题为假命题，不符合题意． 故选：B． 25．如图，已知，点是的中点． (1)尺规作图：求作点，使得，并且与的延长线交于点（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）尺规作，交的延长线交于点，由内错角相等即可得； （2）根据平行线的性质和全等的判定和性质证明即可得解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：点是的中点， ， ， ， 在和中， （）， ． ， ， ． 题型09.用SAS证明三角形全等 26．如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有，因此量出的A，B两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点的定义可得两组对应边相等，根据对顶角相等可得一组对应角相等，利用即可判定三角形全等． 【详解】解：点是两根细木条的中点， ，． 与是对顶角， ． 在和中， ， ． 27．如图，将长方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为G，H，展平纸片，连结，，则与的关系是_________． 【答案】相等 【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握翻折变换的性质、证明三角形全等是解题的关键．由翻折知，垂直平分，则；又由翻折知，，；从而得是等边三角形，则得；再证明得，即可得两角的关系． 【详解】解：由第一次翻折知，垂直平分， ； 又由第二次翻折知，，； ， 是等边三角形， ， ，； 点的对应点为点H， ； ， ， ， ． 故答案为：相等． 28．如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接． (1)求证：． (2)当，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）要证明，已经有两组边对应相等，不难发现，，同角的补角相等，由可证得； （2）由可知，再计算的长． 【详解】（1）证明：∵，, ∴， 在与中， ， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴． 29．如图（1），，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由； (2)在（1）的前提条件下，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与以、、为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等，理由见解析 (2)，证明见解析 (3)存在，，或， 【分析】本题属于三角形专题，考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键． （1）利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系； （3）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： 当时，， 则， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴； （2）解：， 证明：∵， ∴， ∴， ∴， 即线段与线段垂直； （3）解：分以下两种情况讨论： ①若， 则，， ∴， 解得，， 则， ∴； ②若， 则，， 则， 解得，， 则， 故当，或，时，与全等． 题型10.用SAS间接证明三角形全等 30．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键． 由题意知、，由于，根据“”即可证明． 【详解】解：由题意知、， 在和中， ∴． 故选：B． 31．如图，直角的直角顶点与正方形的中心重合，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为6，则面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】连接，，根据正方形的性质可得，，，结合利用同角的余角相等证得，进而证明，得到，设，则，利用三角形面积公式构建关于的代数式，根据完全平方公式变形求最大值． 【详解】解：连接，， 四边形是正方形，为中心， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， 设，则， 正方形边长为， ， ， ， ， ，且， ∴， 的最大值为．, 32．如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． (1)求证：； (2)与有何位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，了解并能熟练运用手拉手模型证明三角形全等是解题关键． （1）根据证明即可； （2）利用三角形全等的性质得到角度相等，再通过互余证明垂直即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：；理由如下： 如图，交于点O，    由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型11.全等的性质和SAS综合应用. 33．如图，甲工程队在湖旁边的开阔地取一点，连接，，以为边在左侧作，在射线上截取，连接．欲知，间的距离，需要测量的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 通过证明，由全等三角形的性质即可得结论． 【详解】解：在和中， ， ， ∴欲知，间的距离，需要测量的线段是， 故选：A． 34．如图，在与中，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．则__________．（用表示） 【答案】 【详解】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明，得出，进而得出，再根据平角的定义即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 35．如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 36．在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上移动时，猜想、、之间的数量关系，并说明理由； (2)过点A作于F，，．设点E到直线的距离为h，以A，C，D，E为顶点的四边形面积为S． ①如图2，当点D在线段延长线上时，且，请求出S的值（用含有h的代数式表示这个值）； ②当点D在直线上运动的过程中，且，直接写出S的值（若S的值为定值，直接写出这个值，否则用含有h的代数式表示这个值）． 【答案】(1)，理由见详解 (2)①；②72或 【分析】（1）证明，利用线段和差关系即可得出结论； （2）①先证明，通过割补法将S分为和，分别求出两个三角形的面积即可得解； ②根据分情况讨论：（i）当点D在线段内部时；（ii）当点D在直线上，且点D在点B左侧时，利用全等三角形的性质和三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）解：， 理由：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∵点E到直线的距离为h， ∴， ∴； ②∵点D在直线上运动的过程中，且， 此时分情况讨论： （i）如图，当点D在线段上时： 同（1）证得：， ∴，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴； （ii）如图，当点D在直线上，且点D在点B左侧时： ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵点E到直线的距离为h， ∴， ∴， 综上所述，S的值为72或． 题型12.用ASA(AAS)证明三角形全等 37．如图，已知，要根据，判定，则需要补充的一个条件为____________． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定的依据添加合适的条件即可． 【详解】解：补充的一个条件为， ∵，，， ∴， 故答案为： 38．如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法（），进而判断得出即可． 【详解】解：在和中， ，，（对顶角相等 ）， ∴． 故选：B ． 39．如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用可证； （2）根据全等三角形的性质可证，，根据可知． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ； （2）解：， ，， ， ． 40．已知：点在射线上，． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交射线于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】(1)根据两直线平行，同旁内角互补，可得，根据，可得，根据同旁内角互补，两直线平行，可证结论成立； (2)根据三角形外角的性质可得，根据三角形内角和定理可得：，根据和垂直定义可得； (3)设，则，根据平行线的性质可知，由(2)可知，可得关于的方程，解方程可以求出，再根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如下图所示，是的外角， ， 在中，， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质． 题型13.全等性质和ASA(AAS)综合应用 41．如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B之间的距离，可以在池塘外取的垂线上两点C，D，使，再画出的垂线，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得，这时测得的长就是的长．判定最直接的依据是（   ） A．   B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线的定义可得，再由可利用证明． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 42．如图，已知的面积为，垂直于的平分线于点则的面积是____________· 【答案】 【分析】延长交于点，证明，得到，即可得到，，再利用三角形面积关系求解即可． 【详解】解：延长交于点，如图所示： . ∵平分， ∴ ， 又∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 43．如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的两点，连接，，且，，，则的长为______． 【答案】3 【分析】利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，可证，由全等三角形性质可得，然后根据求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 44．在中，，直线经过点，且于．于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）证明，可得，即可求证； （3）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型14.添条件证全等 45．如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定对各选项进行判断即可． 【详解】解：已知，， 选项A：若，根据即可证明，不符合题意； 选项B：若，根据即可证明，不符合题意； 选项C：若，其相关关系为，不可证明，符合题意； 选项D：若，根据即可证明，不符合题意． 46．如图，在和中，，，请添加一个条件___________，使． 【答案】，，（答案不唯一） 【分析】已知，，可根据、、三种判定定理补充条件，分别为边，角，角． 【详解】解：已知，， 若添加条件，在和中， ． 若添加条件，在和中， ． 若添加条件，在和中， ． 故答案为：或或（答案不唯一）． 47．如图，在和中，点E，F在BC上，，．添加下列条件仍无法证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先由推出，结合已知，逐一判断各选项添加的条件是否符合全等三角形的判定定理，找出无法证明全等的选项． 【详解】解：∵， ∴，即， A、添加，结合，符合，可证，不符合题意； B、添加，结合，符合，可证，不符合题意； C、添加，结合，符合，可证，不符合题意； D、添加，此时是，无法判定，符合题意． 故选：D． 48．如下图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，下列条件：①；②；③；④．其中能使的有_______（填序号）； (2)根据（1）中添加的条件，分别说明． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等： （1）根据，，得到可以利用或使，据此添加条件即可； （2）利用或证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，利用可以使； 当时，利用可以使； 故答案为：①③； （2）选①时， 在和中， 所以； 选③时， 在和中， 所以． 题型15.灵活选方法证全等 49．小明同学要去玻璃店配一块完全一样的三角形玻璃，可以带哪块碎片去玻璃店（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】A 【分析】此题考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：A、带①②去，符合判定，能得到一块完全一样的三角形玻璃； B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃； C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃； D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，不能得到一块完全一样的三角形玻璃． 故选：A． 50．如图，和均是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③其中，正确结论的是________ ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 利用等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可． 【详解】∵和均是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 故③错误； 故答案为：①②． 51．如图，，垂足为，垂足为．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接用即可证明； （2）由，可得出，由， 可得出，由即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ∴ （2）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用各种方法进行判定三角形全等是解题的关键． 题型16.倍长中线模型. 52．如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的面积公式，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交延长线于点，通过证明得到，，由，可设，则，得到，利用三角形的面积公式得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 长方形， ， E为的中点， ， 又， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 53．如图所示，在中，，则边上的中线的长取值范围是_______________．    【答案】 【分析】本题考查三角形的中线定义，全等三角形，三角形三边关系；倍长中线，构造全等三角形，在新的三角形中运用三边关系定理求解．延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 【详解】解：如图所示，延长到，且，并连接，   是中点， ， 又， ， ， 在中， 有， ，即， ． 54．【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围为______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且；求证：． 【答案】(1)，；(2) (3) 证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答； （2）先求出，，，根据三角形的三边关系，得到，代入求解即可； （3）延长至点，使，连接，利用（1）中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明． 【详解】（1）解：∵为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ∴， 故答案为：，； （2）∵，，， ∴，， ∴， 解得． （3）证明：延长至点，使，连接，    由（1）同理可得：， ，， ， ， ， ，即， ． 题型17.旋转模型 55．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 56．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=， 由旋转得≌， ∴∠FAB=∠EAD， ∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴∠FAE=∠BAD=， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 57．已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）证明得到，利用三角形内角和可得； （2）①证明得到，，再由 ，得到，即可得到，； ②由可得，由外角的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， 又，，， ； （2）证明：①， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ∴，； ②， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 题型18.垂线模型 58．如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案． 【详解】如图， 由题意知：AE=BF=3，CF=BE=1，∠AEB=∠BFC=90°， 在和中： ∴， ∴∠ABE=∠BCF，AB=BC， 又∵∠BCF+∠CBF=90°， ∴∠ABE+∠CBF=90°， ∴为等腰直角三角形， 故选：D 59．如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 60．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【详解】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 题型19.全等三角形综合问题 61．下列命题中，假命题是（   ） A．面积相等的两个三角形全等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形的周长相等 D．两角对应相等且其中一组等角对边上的高相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．逐一分析即可． 【详解】解：选项A：面积相等的两个三角形不一定全等．例如，底和高分别为4和3的三角形与底和高分别为6和2的三角形面积均为6，但形状不同，不全等．因此A是假命题； 选项B：全等三角形能够完全重合，所有对应边和对应角均相等，面积必然相等．B是真命题； 选项C：全等三角形的对应边长度相等，周长由各边之和决定，因此周长相等．C是真命题； 选项D：两角对应相等且其中一组等角对边上的高相等的两个三角形全等．D是真命题； 故选：A． 62．如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【答案】17 【分析】在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于． 63．如图，． (1)尺规作图：在延长线上截取，作交延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)证明：． 证：∵， ∴______________（______________） ∵在中， 且 ∴（______________） 在与中 （______________） ∵ ∴． 【答案】(1)见详解 (2)（等量代换）；等式的性质；全等三角形的对应边相等 【分析】（1）以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点,则；以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则可证明,则； （2）根据三角形全等的判定和性质证明即可． 【详解】（1）根据题意可得，在延长线上截取，作交延长线于点 （2）证明：． 证：∵， ∴（等量代换） ∵在中， 且 ∴（等式的性质） 在与中 （全等三角形的对应边相等） ∵. ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04全等三角形的性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.明晰全等三角形概念，熟记全等图形对应边、对应角关系 2.牢固掌握全等三角形五大判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 3.吃透全等三角形对应边相等、对应角相等核心性质 4.分清判定定理适用条件，规避边角位置误用误区 1.快速找准全等三角形对应顶点、对应边与对应角 2.依据已知条件灵活选取判定定理完成全等证明 3.利用全等性质推导边长、角度，求解相关线段与角度 4.掌握公共边、公共角、对顶角等隐含条件挖掘技巧 5.规范几何推理逻辑，完整书写证明过程 1.选择填空精准判定全等、快速换算边角数值，基础题不失分 2.证明题步骤严谨，定理依据标注规范，格式标准 3.熟练应对基础证明、线段角度计算类常规考题 4.避开 SSA 不能判定全等、对应关系错乱等易错点 5.突破图形变换类全等题型，综合解题稳步得分 题型01.图形的全等 题型02.全等三角形的概念 题型03.全等三角形的性质 题型04.尺规作图--作三角形 题型05.用SSS证明三角形全等 题型06.全等的性质和SSS综合应用 题型07.尺规作一个角等于已知角 题型08.过定点作已知直线的平行线 题型09.用SAS证明三角形全等 题型10.用SAS间接证明三角形全等 题型11.全等的性质和SAS综合应用 题型12.用ASA(AAS)证明三角形全等 题型13.全等性质和ASA(AAS)综合应用 题型14.添条件证全等 题型15.灵活选方法证全等 题型16.倍长中线模型 题型17.旋转模型 题型18.垂线模型 题型19.全等三角形综合问题 知识点01:全等形与全等三角形的概念 1.全等形：能够完全重合的两个图形，形状、大小都相同，位置可不同。 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。 3.对应元素 重合的顶点：对应顶点 重合的边：对应边 重合的角：对应角 表示方法：用符号 ≌ 表示，记作 △ABC △DEF；对应顶点必须写在对应位置。 4.全等变换：平移、旋转、轴对称翻折），变换前后图形全等。 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 如图（1），把△ABC沿BC所在直线向右平移一段距离，得到△DEF，则△ABC≅△DEF。 如图（2），把△ABC沿BC所在直线翻折，得到△DBC，则△ABC≅△DBC。 如图（3），把△ABC绕点A旋转，得到△AED，则△ABC≅△AED。 知识点02:全等三角形的性质（核心） 若 △ABC △DEF则： 对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 知识点03:三角形全等的判定 黄金性质：全等三角形 =“完全复刻”，对应边、对应角、对应中线 / 高 / 角平分线全相等，周长、面积也完全一样！ 解题思路： 注意：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；②全等三角形面积相等。 知识点04:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点05:作一个角等于已知角 题型01.图形的全等 1．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 2．图中全等的图形是________和________；________和________；________和________；________和________；________和________；________和________． 3．已知如图，、为的平分线上的两点，连接、、、；如图，、、为的平分线上的三点，连接、、、、、；如图，、、、为的平分线上的四点，连接、、、、、、、依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是 A． B． C． D． 题型02.全等三角形的概念 4．如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 5．已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画___________个． 6．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型03.全等三角形的性质 7．如图，已知，且，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 9．如图，在长方形中，，，点从点出发，以2个单位/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以个单位/秒的速度沿向点运动，设运动时间为秒，在运动过程中，当与全等时的值为（   ） A．3或 B．2或3 C．2或 D．或 题型04.尺规作图--作三角形 10．已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（   ） ①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C； ②作线段等于c； ③连接，则就是所求作图形． A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③① 11．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 12．如图a，b和，用尺规作，使，，．用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 题型05.用SSS证明三角形全等 13．如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 14．在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________．    15．在三角形中，，连接、并延长，分别交、于点、， (1)求证：； (2)若，求度数． 题型06.全等的性质和SSS综合应用 16．如图，某同学做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（    ） A． B． C． D． 17．如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则________． 18．如图，已知，，E、F是上的两点，且，写出与，与之间的数量关系，并说明你的理由． 19．如下图，已知，，，B，D，E三点共线．试说明：． 题型07.尺规作一个角等于已知角 20．尺规作图：作一个角等于已知角． 已知：． 求作：，使． 作法： 步骤一：如图，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交、于点，； 步骤二：如图，作射线，以点为圆心，以▲长为半径画弧，交于点； 步骤三：以点为圆心，以■长为半径画弧，与步骤二中所画的弧相交于点； 步骤四：经过点画射线，则． 则▲，■所表示的内容为（    ） A．任意， B．， C．任意， D．， 21．如图，已知，，在的内部．某数学兴趣小组进行了探究： （1）在上取一点，以点为圆心，以为半径画弧交射线于点； （2）以点为圆心，线段的长为半径画弧交前弧于点； （3）以点为端点，作射线． 若，则__ 度． 22．已知：，（如图）． (1)求作：在内部作射线，使．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若射线恰好平分，且，过点O作射线，使得，求的度数． 题型08.过定点作已知直线的平行线 23．如图，小庆用尺规过点B作的平行线，观察作图痕迹，其中弧是（    ） A．以点E为圆心，长为半径的弧 B．以点G为圆心，长为半径的弧 C．以点B为圆心，长为半径的弧 D．以点F为圆心，长为半径的弧 24．下列命题是真命题的是（　　） A．同旁内角相等 B．对顶角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两直线平行，内错角互补 25．如图，已知，点是的中点． (1)尺规作图：求作点，使得，并且与的延长线交于点（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 题型09.用SAS证明三角形全等 26．如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有，因此量出的A，B两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 27．如图，将长方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为G，H，展平纸片，连结，，则与的关系是_________． 28．如图，已知点是的边上一点，且，在上方作，满足，，连接． (1)求证：． (2)当，求的长． 29．如图（1），，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由； (2)在（1）的前提条件下，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与以、、为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 题型10.用SAS间接证明三角形全等 30．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 31．如图，直角的直角顶点与正方形的中心重合，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为6，则面积的最大值为___________． 32．如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． (1)求证：； (2)与有何位置关系？请说明理由． 题型11.全等的性质和SAS综合应用. 33．如图，甲工程队在湖旁边的开阔地取一点，连接，，以为边在左侧作，在射线上截取，连接．欲知，间的距离，需要测量的线段是（   ） A． B． C． D． 34．如图，在与中，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．则__________．（用表示） 35．如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 36．在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上移动时，猜想、、之间的数量关系，并说明理由； (2)过点A作于F，，．设点E到直线的距离为h，以A，C，D，E为顶点的四边形面积为S． ①如图2，当点D在线段延长线上时，且，请求出S的值（用含有h的代数式表示这个值）； ②当点D在直线上运动的过程中，且，直接写出S的值（若S的值为定值，直接写出这个值，否则用含有h的代数式表示这个值）． 题型12.用ASA(AAS)证明三角形全等 37．如图，已知，要根据，判定，则需要补充的一个条件为____________． 38．如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（    ） A． B． C． D． 39．如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 40．已知：点在射线上，． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交射线于点，当时，求的度数． 题型13.全等性质和ASA(AAS)综合应用 41．如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B之间的距离，可以在池塘外取的垂线上两点C，D，使，再画出的垂线，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得，这时测得的长就是的长．判定最直接的依据是（   ） A．   B． C． D． 42．如图，已知的面积为，垂直于的平分线于点则的面积是____________· 43．如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的两点，连接，，且，，，则的长为______． 44．在中，，直线经过点，且于．于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 题型14.添条件证全等 45．如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（    ） A． B． C． D． 46．如图，在和中，，，请添加一个条件___________，使． 47．如图，在和中，点E，F在BC上，，．添加下列条件仍无法证明的是（    ） A． B． C． D． 48．如下图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，下列条件：①；②；③；④．其中能使的有_______（填序号）； (2)根据（1）中添加的条件，分别说明． 题型15.灵活选方法证全等 49．小明同学要去玻璃店配一块完全一样的三角形玻璃，可以带哪块碎片去玻璃店（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 50．如图，和均是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③其中，正确结论的是________ ． 51．如图，，垂足为，垂足为．求证： (1)； (2)． 题型16.倍长中线模型. 52．如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 53．如图所示，在中，，则边上的中线的长取值范围是_______________．    54．【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围为______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且；求证：． 题型17.旋转模型 55．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 56．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 57．已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 题型18.垂线模型 58．如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 59．如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    60．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 题型19.全等三角形综合问题 61．下列命题中，假命题是（   ） A．面积相等的两个三角形全等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形的周长相等 D．两角对应相等且其中一组等角对边上的高相等的两个三角形全等 62．如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 63．如图，． (1)尺规作图：在延长线上截取，作交延长线于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)证明：． 证：∵， ∴______________（______________） ∵在中， 且 ∴（______________） 在与中 （______________） ∵ ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $