专题02 一元二次方程22大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材浙教版

专题02 一元二次方程（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 一元二次方程的识别 题型02 一元二次方程的一般形式 题型03 由一元二次方程的定义求参数 题型04 由一元二次方程的解求参数 题型05 由实际问题列一元二次方程 题型06 一元二次方程的解法---因式分解法法 题型07 一元二次方程的解法---直接开平方法 题型08 一元二次方程的解法---配方法 题型09 一元二次方程的解法---公式法 题型10 用适当的方法解一元二次方程 题型11 一元二次方程的解法---换元法 题型12 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型13 根据一元二次方程根的情况求参数 题型14 由根与系数的关系求值 题型15 由根与系数的关系求参数 题型16 根的判别是根与系数的关系的综合运用 题型17 一元二次方程与新定义问题 题型18一元二次方程的实际应用---增长率问题 题型19 一元二次方程的实际应用---图形问题 题型20 一元二次方程的实际应用--商品销售问题 题型21 一元二次方程的实际应用---握手、循环问题 题型22 一元二次方程的实际应用---动态几何问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 1. 一元二次方程的概念与一般形式 能识别一元二次方程；会化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）；准确指出二次项、一次项、常数项及系数. 基础必考小题；常考 “是否为一元二次方程”“化为一般式”“求参数（a≠0、次数为 2）”. 2. 一元二次方程的解法（因式分解、开平方法、配方法、公式法） 能根据方程特点选最优解法；熟练掌握四种解法步骤；会用公式法求根、配方法变形 高频中档题；优先因式分解、开平方法；公式法为通用解法；配方法常考变形与配方求值. 3. 根的判别式Δ=b2−4ac 会用Δ判断根的情况（两不等、两相等、无实根）；能由根的情况求参数范围. 高频易错点；常结合参数求解；常与几何、韦达定理综合. 4. 根与系数的关系（韦达定理） 掌握x1+x2＝，x1x2＝；会不解方程求代数式值、求参数、验根 重点难点；常考求值、求参数、构造新方程；综合题高频. 5. 一元二次方程的实际应用（增长率、面积、销售、握手循环、动态几何） 会列一元二次方程解应用题；掌握常见模型公式；会检验并舍去不合题意的根. 期末压轴高频；增长率a(1±x)2=b、面积、利润、握手、动态几何（勾股、面积）必考其一. 知识点01一元二次方程的概念 ◆1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． ◆2、一元二次方程必须同时满足的条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． ④二次项系数不能为 0 . ◆3、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． ◆4、一元二次方程的根：满足方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数x叫作这个方程的实数根（或者实数解），简称实根或者根.对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断一个未知数的值是不是这个方程的根. 知识点02一元二次方程的解法 一、解一元二次方程---因式分解法 ◆1、用因式分解法解一元二次方程： （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． ◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 二、解一元二次方程---直接开平方法 ◆1、用直接开平方法解一元二次方程 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意事项： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 三、解一元二次方程---配方法 ◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． ◆2、用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此 方程无实数解． 四、解一元二次方程---公式法 ◆1、对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0，它的实数根可以写成x的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． ◆2、在解一元二次方程中，把方程化成一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），如果b2﹣4ac≥0，那么把a，b，c的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根；如果b2﹣4ac＜0，那么原方程没有实数根.这种解一元二次方程的方法称为公式法． ◆3、用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点03一元二次方程根的判别式 ◆1、一般地，式子b2﹣4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2﹣4ac． ◆2、利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0； 当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0； 当方程没有实数根时，Δ＜0. 知识点04 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） ◆1、若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． ◆2、若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），x1x2． ◆3、常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根． ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ③不解方程求关于根的式子的值，如求：x12+x22等等． ④判断两根的符号． ⑤求作新方程． ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，Δ≥0这两个前提条件． 知识点05一元二次方程的应用 (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 【注意】 （1）设元时，可以问什么设什么（直接设元），也可设一个与问题有关联且方便列方程的量（间接设元）． （2）对求出的结果进行检验，看是否为原问题的解以及是否符合题意，检验一般只写出验根后的结果，过程可以不必详细，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不符合题意的根设去. 题型一 一元二次方程的识别 解｜题｜技｜巧 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 【典例1】（21-22八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江丽水·期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型二 一元二次方程的一般形式 解｜题｜技｜巧 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 【典例1】将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 【变式1】一元二次方程(x+1)(x1)=3x化为一般形式为（   ） A.x23x1=0 B.x2+3x1=0 C.x23x+1=0 D.x2+3x+1=0 【变式2】将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型三 由一元二次方程的定义求参数 解｜题｜技｜巧 1.由一元二次方程的定义求字母的取值范围，主要是根据二次的系数不为0得出字母的取值范围，有时要把方程先化为一般式. 2.根据一元二次方程的定义，利用未知数的最高次数是2和二次项系数不为0得出字母的值. 【典例1】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【变式2】若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 题型四 由一元二次方程的解求参数 解｜题｜技｜巧 将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程并求解即可． 【典例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．2或 【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）关于x的一元二次方程的一个根为2，则p的值是_________． 【变式2】（25-26九年级上·浙江台州·期末）若是方程的根，则的值为__________． 题型五 由实际问题列一元二次方程 解｜题｜技｜巧 列方程的关键：找不变量 / 等量关系：总量相等、面积不变、距离不变、利润关系、增长率关系. 【典例1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后他先教会了x名同学，然后这名同学每人又教会了x名同学，这时恰好全班36人都会做这项实验了．根据以上情景，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某个研发阶段，模型的初始训练数据量为500万亿个标记．研发团队计划通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到720万亿个标记，求每次数据扩容的平均增长率．设每次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（   ） A． B． C． D． 题型六 一元二次方程的解法---因式分解法 解｜题｜技｜巧 因式分解法适用的条件，若一元二次方程右边为0，左边比较容易分解为两个一次式乘积的形式，则常用因式分解法解方程． 【典例1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 【变式1】一元二次方程的解 ． 【变式2】方程的根是 ． 题型七 一元二次方程的解法---直接开平方法 解｜题｜技｜巧 左平方，右非负，先把系数化为1，再开平方取正负，二次方程有实根，两根分别写清楚. 【典例1】（24-25八年级下·浙江金华·期末）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（  ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【变式2】（22-23九年级上·浙江台州·期末）对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为__________． 题型八 一元二次方程的解法---配方法 解｜题｜技｜巧 用配方法解题过程中的灵活应用：常数项可被二次项系数整除的，可先将系数化为1；常数项不能被二次项系数整除的，先移项更加简单. 【典例1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【变式2】（23-24八年级下·浙江丽水·期末）若方程经配方法转化成，则的值是_______． 题型九 一元二次方程的解法---公式法 解｜题｜技｜巧 运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式，再确定a，b，c的值，并且不要出现符合错误． 【典例1】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在长方形中，以点为圆心，为半径作弧与交于点，以点为圆心，为半径作弧与交于点．设，，则方程的一个正根是（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 题型十 用适当的方法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 选择适当的方法解一元二次方程时，要根据方程的特点选择适当的方法，先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法和配方法，公式法是解一元二次方程的通用法，可以解所有的一元二次方程． 【典例1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）解方程： (1)； (2)． 题型十一 一元二次方程的解法---换元法 解｜题｜技｜巧 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例1】已知，则的值为______． 【变式1】（23-24八年级下·浙江·期末）关于x的方程的解是（a，m，b均为 常数，），则方程的解是_____． 【变式2】降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 题型十二 根据判别式判断一元二次方程根的情况 解｜题｜技｜巧 ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 【典例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 【变式1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知方程，那么这个方程（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【变式2】关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 题型十三 根据一元二次方程根的情况求参数 解｜题｜技｜巧 用一元二次方程根的判别式求字母的值的解题步骤： （1）确定一元二次方程一般形式中a、b、c的值. （2）计算判别式，根据题设列方程； （3）解方程求出字母的值. 【典例1】关于的方程有实数根，则的取值范围是_________． 【变式1】（22-23八年级下·浙江杭州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围． (2)当k取最大整数值时，求该方程的解． 【变式2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程有一个根为2，求方程的另一个根． 题型十四 由根与系数的关系求值 解｜题｜技｜巧 （1）利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积. （2）将求出的两根之和与两根之积直接代入代数式求值. 【典例1】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知实数α，β满足，，且，且的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两根为和，则的值是________． 题型十五 由根与系数的关系求参数 解｜题｜技｜巧 （1）利用根与系数的关系写出x1+x2和x1x2 的值； （2）将已知等式转化为含x1+x2和x1x2 的形式； （3）把x1+x2和x1x2 的值代入（2）中的等式，然后解方程即可． 【典例1】已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知，是关于的一元二次方程 的两个实数根，若，则的值为______． 题型十六 根的判别是根与系数的关系的综合运用 解｜题｜技｜巧 在解决一元二次方程相关问题时，综合运用根的判别式（Δ）和根与系数的关系（韦达定理）是关键策略，尤其适用于不解方程求值、判断根的性质、求参数范围及结合几何等场景． 【典例1】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·浙江·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若两根，满足，求k的值． 【变式2】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值． 题型十七 一元二次方程与新定义问题 解｜题｜技｜巧 把题目给出的 “新符号”“新运算”“新概念” 用一元二次方程表示出来，然后解方程即可解答. 【典例1】已知关于的方程（），满足，就把这个一元二次方程称为“波浪方程”． (1)判断方程是不是“波浪方程”： ；（填“是”或“不是”） (2)已知是关于的“波浪方程”，它有一个根是，则 ， ； (3)若一个“波浪方程”的两个根分别是，，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）阅读材料：如果，是一元二次方程 的两个实数根，且，，若其中一个根是另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”； 例如：1，2是方程的两根，2是1的2倍，则这是一个“倍根方程”． (1)解方程：，并判断该方程是否属于“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程． ①求证：该方程必有两个不相等的实数根； ②若该方程是“倍根方程”，求的值． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求m的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 题型十八 一元二次方程的实际应用---增长率问题 解｜题｜技｜巧 平均增长（降低）率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原有量是a，现有量是b,每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x） ；第二次增长后为a（1+x）2 ，即原有量×（1+增长百分率）2＝现有量．平均降低率公式：a（1﹣x）2=b（x为减低率） 【典例1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，则此月增长率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）某商品原来售价每千克16元，后续由于成本提升，经过连续两次提价，现在售价每千克25元，则该商品平均每次提价的百分率是____． 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）宁波镇海某金橘合作社深耕本土特色果品种植，2023年镇海金橘平均亩产量为．近年来引入镇海农林部门研发的矮化密植栽培技术，改良土壤墑情与果实套袋管理模式，2025年平均亩产量提升至． (1)若2023年到2025年金橘平均亩产量年增长率相同，求其平均亩产量年增长率； (2)已知该合作社目前镇海金橘种植面积为12亩，每亩的种植成本为2.5万元．为满足本地商超及文旅采摘市场需求，合作社计划2026年增加种植面积．经测算，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少0.05万元，在保持种植总成本不变的前提下，则2026年该合作社应增加种植面积多少亩？ 题型十九 一元二次方程的实际应用---图形问题 解｜题｜技｜巧 根据把不规则图形转化为熟悉的规则图形从而列出一元二次方程． 【典例1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为______米． 【变式1】（21-22八年级下·浙江舟山·期末）如图，利用一面墙（墙的长度20m，不可围到墙外），用40m长的篱笆围一个矩形，设边的长为． (1)边的长为 m，矩形的面积为 （均用含的代数式表示）； (2)当矩形的面积是，求的边长； (3)矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学的方程知识说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·期末）用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． (1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ (2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 题型二十 一元二次方程的实际应用--商品销售问题 解｜题｜技｜巧 商品销售问题： 利润=售价－进价；利润率= ×100%； 售价=进价×（1+利润率）； 总利润=总售价－总进价=（售价－进价）×销售量 【典例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）汤圆是宁波的特色美食，某店在销售某品牌汤圆时发现，该品牌汤圆进价为20元/盒，当销售单价定为33元/盒时，平均每天可售出100盒，为了扩大销售，该店决定降价经调查发现，每盒汤圆降价1元，平均每天可多售出20盒． (1)若降价2元，则每盒汤圆盈利 元，平均每天可售出 盒： (2)若商店该品牌汤圆的日销售利润为1600元，为尽快减少库存，问每盒汤圆销售价定为多少元合适？ 【变式1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克． (1)求该农户这一天销售西瓜的总收入． (2)为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？ 【变式2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y关于x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？ (3)超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由． 题型二十一 一元二次方程的实际应用---握手、循环问题 解｜题｜技｜巧 ◆握手问题：假设有x个人，每个人都要和除自己外的（x﹣1）个人握手，则所有人需要握手的次数为．互送贺卡有顺序用n(n-1). 【典例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为_________． 【变式1】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有____个班级． 【变式2】小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有___________人． 题型二十二 一元二次方程的实际应用---动态几何问题 解｜题｜技｜巧 以“静”制“动”求解动态问题 1、分析出动点的运动轨迹，用含未知数的代数式把相应的线段的长度表示出来是解决这类问题的关键； 2、结合题意，用“静”的方法处理“动”的问题. 【典例1】如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·浙江·期末）如图所示，中，． （1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动（至点B停止），点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动（至点C停止），当一点停止运动后另一点也停止运动，如果P，Q分别从A，B同时出发 ①经过几秒，的面积等于？ ②线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． （2）若点P沿射线方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为？ 【变式2】如图，在中，，，．点P从点A出发，沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿向点C以的速度移动． (1)经过多少秒后，的面积为？ (2)线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由． (3)若点P从点A出发，沿射线方向以的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线方向以的速度移动，经过多少秒后的面积为？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期末）用配方法解方程，配方后所得方程为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 5．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　） A． B． C．1 D．4 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若非零实数b，c满足，则关于x的一元二次方程的两根之差必为（    ） A． B．c C． D．0 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）甲菜农计划以每千克5元的价格对外批发某种蔬菜，由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜，造成这种蔬菜滞销．甲菜农为加快销售，减少损失，对这种蔬菜的价格经过两次下调，最后以每千克元的单价对外批发销售．设他平均每次下调的百分率是，则可列方程______． 8．已知三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长是_____． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（23-24八年级下·浙江台州·期末）对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．若是方程的解，则 B．若，则方程必有两个不相等的实数根 C．若，则方程必有两个不相等的实根 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 10．（23-24八年级下·浙江·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2021 B．2020 C．2019 D．2018 11．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 12．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）在实数范围内将分解因式可得________． 13．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围______． 14．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）解方程： (1)； (2)． 15．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）小北同学解一元二次方程的过程如下图所示： 解方程： 解：……第①步 ……第②步 或……第③步 ，……第④步 (1)小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第 步开始出现错误． (2)请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 16．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 17．（23-24九年级下·江苏苏州·月考）已知关于的方程 (1)求证：无论取任何实数，该方程总有实数根； (2)若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长． 18．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）淘宝、唯品会、京东、美团等公司的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和万件． (1)求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率． (2)已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递万件，若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率，那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递业务员？(假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等) 19．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某合作社从2022年到2024年种植“红美人”，2022年“红美人”平均亩产量为，引进先进的种植技术后，“红美人”产量提高，2024年平均亩产量达到． (1)若2022年到2024年“红美人”平均亩产量的年增长率相同，求“红美人”平均亩产量的年增长率． (2)已知该合作社目前“红美人”种植面积为10亩，每亩的种植成本为3万元，为扩大生产，该合作社决定2025年增加“红美人”种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少万元，在保持种植成本不变的前提下，则2025年该合作社应增加种植面积多少亩？ 20．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）某服装店在销售A，B两款服装时，销售员记录了从4月到6月的销售情况，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材1 A款服装每销售一件可盈利100元，已知4月份销售量为64件，且销售量逐月递增，6月份销售量达到100件． B款服装每销售一件可盈利150元，每月的销售量均为80件． 素材2 7月开始换季，服装店仅对A款服装进行降价销售，根据往年数据测算：以6月份的月销售量为基准，A款服装每降5元，其月销售量增加25件，同时会使B款服装月销售量减少10件． 问题解决 问题1：求6月份销售A，B两款服装的利润之和． 问题2：求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率． 问题3：为了使7月份销售A，B两款服装的利润之和达到22500元，那么A款服装应降价多少元？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 一元二次方程的识别 题型02 一元二次方程的一般形式 题型03 由一元二次方程的定义求参数 题型04 由一元二次方程的解求参数 题型05 由实际问题列一元二次方程 题型06 一元二次方程的解法---因式分解法法 题型07 一元二次方程的解法---直接开平方法 题型08 一元二次方程的解法---配方法 题型09 一元二次方程的解法---公式法 题型10 用适当的方法解一元二次方程 题型11 一元二次方程的解法---换元法 题型12 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型13 根据一元二次方程根的情况求参数 题型14 由根与系数的关系求值 题型15 由根与系数的关系求参数 题型16 根的判别是根与系数的关系的综合运用 题型17 一元二次方程与新定义问题 题型18一元二次方程的实际应用---增长率问题 题型19 一元二次方程的实际应用---图形问题 题型20 一元二次方程的实际应用--商品销售问题 题型21 一元二次方程的实际应用---握手、循环问题 题型22 一元二次方程的实际应用---动态几何问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 1. 一元二次方程的概念与一般形式 能识别一元二次方程；会化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）；准确指出二次项、一次项、常数项及系数. 基础必考小题；常考 “是否为一元二次方程”“化为一般式”“求参数（a≠0、次数为 2）”. 2. 一元二次方程的解法（因式分解、开平方法、配方法、公式法） 能根据方程特点选最优解法；熟练掌握四种解法步骤；会用公式法求根、配方法变形 高频中档题；优先因式分解、开平方法；公式法为通用解法；配方法常考变形与配方求值. 3. 根的判别式Δ=b2−4ac 会用Δ判断根的情况（两不等、两相等、无实根）；能由根的情况求参数范围. 高频易错点；常结合参数求解；常与几何、韦达定理综合. 4. 根与系数的关系（韦达定理） 掌握x1+x2＝，x1x2＝；会不解方程求代数式值、求参数、验根 重点难点；常考求值、求参数、构造新方程；综合题高频. 5. 一元二次方程的实际应用（增长率、面积、销售、握手循环、动态几何） 会列一元二次方程解应用题；掌握常见模型公式；会检验并舍去不合题意的根. 期末压轴高频；增长率a(1±x)2=b、面积、利润、握手、动态几何（勾股、面积）必考其一. 知识点01一元二次方程的概念 ◆1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． ◆2、一元二次方程必须同时满足的条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． ④二次项系数不能为 0 . ◆3、一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． ◆4、一元二次方程的根：满足方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数x叫作这个方程的实数根（或者实数解），简称实根或者根.对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断一个未知数的值是不是这个方程的根. 知识点02一元二次方程的解法 一、解一元二次方程---因式分解法 ◆1、用因式分解法解一元二次方程： （1）若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法． （2）因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解． ◆2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 二、解一元二次方程---直接开平方法 ◆1、用直接开平方法解一元二次方程 （1）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； （3）如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意事项： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 三、解一元二次方程---配方法 ◆1、将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法． ◆2、用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边 ； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此 方程无实数解． 四、解一元二次方程---公式法 ◆1、对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac≥0，它的实数根可以写成x的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． ◆2、在解一元二次方程中，把方程化成一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），如果b2﹣4ac≥0，那么把a，b，c的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根；如果b2﹣4ac＜0，那么原方程没有实数根.这种解一元二次方程的方法称为公式法． ◆3、用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【注意】：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点03一元二次方程根的判别式 ◆1、一般地，式子b2﹣4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2﹣4ac． ◆2、利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0； 当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0； 当方程没有实数根时，Δ＜0. 知识点04 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） ◆1、若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． ◆2、若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即=（x1+x2），x1x2． ◆3、常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根． ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ③不解方程求关于根的式子的值，如求：x12+x22等等． ④判断两根的符号． ⑤求作新方程． ⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，Δ≥0这两个前提条件． 知识点05一元二次方程的应用 (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 【注意】 （1）设元时，可以问什么设什么（直接设元），也可设一个与问题有关联且方便列方程的量（间接设元）． （2）对求出的结果进行检验，看是否为原问题的解以及是否符合题意，检验一般只写出验根后的结果，过程可以不必详细，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不符合题意的根设去. 题型一 一元二次方程的识别 解｜题｜技｜巧 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 【典例1】（21-22八年级下·浙江宁波·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江丽水·期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：变形为，方程仅含未知数，且最高次数为2，符合一元二次方程的定义． 选项B：，方程中含两个未知数和，不是一元二次方程． 选项C：，移项得，最高次数为3，属于三次方程，不是一元二次方程． 选项D：，展开并整理：，不是一元二次方程． 故选：A 【变式2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义，需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2求解即可． 【详解】A．展开方程左边：==， 整理为，符合一元二次方程的条件． B．是一元一次方程，次数不足． C．含有两个未知数，不是一元方程． D．含分式项，不是整式方程． 故选：A． 题型二 一元二次方程的一般形式 解｜题｜技｜巧 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 【典例1】将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，准确运算是解题的关键．一元二次方程的一般形式为，将方程化为一般形式后判断二次项系数和常数项的值即可． 【详解】解：， ， ∴二次项系数为5，常数项为， 故选：A． 【变式1】一元二次方程(x+1)(x1)=3x化为一般形式为（   ） A.x23x1=0 B.x2+3x1=0 C.x23x+1=0 D.x2+3x+1=0 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握平方差公式以及移项法则是解题的关键。先利用平方差公式展开方程左边，再通过移项将方程化为一元二次方程的一般形式. 【详解】解:(x+1)(x1)=3x， x21=3x， x23x1=0 ， 故选:A. 【变式2】将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程变形为：， 此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：D． 题型三 由一元二次方程的定义求参数 解｜题｜技｜巧 1.由一元二次方程的定义求字母的取值范围，主要是根据二次的系数不为0得出字母的取值范围，有时要把方程先化为一般式. 2.根据一元二次方程的定义，利用未知数的最高次数是2和二次项系数不为0得出字母的值. 【典例1】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程二次项系数不为0的要求，即可求解． 【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程． ∴ 二次项系数不能为，即 ． 解得 ． 【变式1】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出关于m的方程，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴x的最高次数为2，且二次项系数不为0， 可得：， ∴ 即． 【变式2】若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，得到且，求解即可． 此题考查了一元二次方程的概念，只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键． 【详解】解：由题意，得且． 解， 得或， ∴或． ∵， ∴， 因此． 题型四 由一元二次方程的解求参数 解｜题｜技｜巧 将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程并求解即可． 【典例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和方程的解，因为方程为一元二次方程，所以二次项系数，然后根据方程的一个根为0，将代入方程可求出a的值． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为0， ∴且， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）关于x的一元二次方程的一个根为2，则p的值是_________． 【答案】7 【分析】本题考查了方程根的意义，熟知根的意义是解题的关键．把代入方程进行求解即可． 【详解】关于x的一元二次方程的一个根为2， ， 解得． 故答案为：7． 【变式2】（25-26九年级上·浙江台州·期末）若是方程的根，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，根据一元二次方程根的定义，将 代入方程得到，然后整体代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五 由实际问题列一元二次方程 解｜题｜技｜巧 列方程的关键：找不变量 / 等量关系：总量相等、面积不变、距离不变、利润关系、增长率关系. 【典例1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后他先教会了x名同学，然后这名同学每人又教会了x名同学，这时恰好全班36人都会做这项实验了．根据以上情景，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平均每一人教会x人，根据题意表示出全班会做实验的人数，进而得出答案． 【详解】设平均每一人教会x人，根据题意可得: 1 +x+x(1+x)= 36， 故选： B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出全班会做实验的人数是解题关键． 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某个研发阶段，模型的初始训练数据量为500万亿个标记．研发团队计划通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到720万亿个标记，求每次数据扩容的平均增长率．设每次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，设每次数据扩容的平均增长率为x，根据初始训练数据量为500万亿个标记．研发团队计划通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到720万亿个标记，进行列方程，得，即可作答． 【详解】解：∵ 初始数据量为500万亿，每次增长率为x， 经过第一次增长后为， 经过第二次增长后为， ∴ 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系． 设每个电子产品降价x元，则销售量为件，每个的利润为元，根据每个的利润销售量总利润即可建立方程． 【详解】解：设每个电子产品降价x元，可列出方程为： ， 故选：D． 题型六 一元二次方程的解法---因式分解法 解｜题｜技｜巧 因式分解法适用的条件，若一元二次方程右边为0，左边比较容易分解为两个一次式乘积的形式，则常用因式分解法解方程． 【典例1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 由因式分解法即可求解． 【详解】解： 或。 解得：或， 故选：C． 【变式1】一元二次方程的解 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；观察方程两边均有公因式，采用因式分解法求解即可． 【详解】解： ， ， 或， 解得，； 故答案为：或． 【变式2】方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的因式分解法，解题的关键是通过因式分解将方程转化为两个一次方程求解． 将看作一个整体，对原方程进行因式分解，进而求出方程的根． 【详解】解：， 提取公因式得：， 化简得：， 得：或， 解得：或． 故答案为：． 题型七 一元二次方程的解法---直接开平方法 解｜题｜技｜巧 左平方，右非负，先把系数化为1，再开平方取正负，二次方程有实根，两根分别写清楚. 【典例1】（24-25八年级下·浙江金华·期末）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程，其中，才能用直接开平方法解答判断即可． 本题考查了一元二次方程的直接开平方法解方程，熟练掌握方法使用的条件是解题的关键． 【详解】解：A. ，有解，不符合题意；     B. 即，有解，不符合题意； C.     即，有解，不符合题意； D. 即，负数，无解，符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了解一元二次方程——直接开平方法，根据直接开平方法进行解方程即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】解： ， ∴，， 故选：． 【变式2】（22-23九年级上·浙江台州·期末）对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为__________． 【答案】4 【分析】本题考查了解利用直接开平方法一元二次方程，利用直接开平方法解一元二次方程得到，结合其中一个解进行计算即可． 【详解】解：根据题意得， ∵其中一个一元一次方程是， ∴， 则． 故答案为：4． 题型八 一元二次方程的解法---配方法 解｜题｜技｜巧 用配方法解题过程中的灵活应用：常数项可被二次项系数整除的，可先将系数化为1；常数项不能被二次项系数整除的，先移项更加简单. 【典例1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解决本题的关键． 将方程左边配成完全平方形式即可求解． 【详解】解：原方程为， 两边同时加上，得： 左边写成完全平方形式：． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·浙江丽水·期末）若方程经配方法转化成，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．利用完全平方公式把变形为一般式，从而得到的值． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 题型九 一元二次方程的解法---公式法 解｜题｜技｜巧 运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式，再确定a，b，c的值，并且不要出现符合错误． 【典例1】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 【变式1】若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程等．先根据一元二次方程的定义确定m的值，再利用求根公式解方程． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得：， ∴方程为：， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在长方形中，以点为圆心，为半径作弧与交于点，以点为圆心，为半径作弧与交于点．设，，则方程的一个正根是（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先算出方程的正根为，再根据题意用、表示出的长，即可解答． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， 方程的一个正根是， 四边形是长方形， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 由作图过程知，， ， 方程的一个正根是的长， 故选：A． 题型十 用适当的方法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 选择适当的方法解一元二次方程时，要根据方程的特点选择适当的方法，先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法和配方法，公式法是解一元二次方程的通用法，可以解所有的一元二次方程． 【典例1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程. （1）根据直接开平方法求解即可； （2）根据配方法求解即可. 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： ， 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： 令或 解得，； （2）解： 解得，． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 对于（1），先移项，再配方，然后开方可得解； 对于（2），先移项，再因式分解得出因式乘积的形式，即可得出解． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， ， ，； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， 或， 解得，． 题型十一 一元二次方程的解法---换元法 解｜题｜技｜巧 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【典例1】已知，则的值为______． 【答案】1 【分析】设=z，则原方程换元为+6z-7=0，可得=1， =-7，即可求解． 【详解】解：设=z，则原方程换元为 +6z-7=0， ∴(z-1)(z+7)=0， 解得： =1，=-7， ∵≥0， ∴=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查解一元二次方程及换元法解高次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·浙江·期末）关于x的方程的解是（a，m，b均为 常数，），则方程的解是_____． 【答案】x=-4或x=-1 【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解． 【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0）， ∴方程a（x+m+2）2=b变形为a[（x+2）+m]2+b=0， 即此方程中x+2=-2或x+2=1， 解得x=-4或x=-1． 故答案为：x=-4或x=-1． 【点睛】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算． 【变式2】降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． （2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 题型十二 根据判别式判断一元二次方程根的情况 解｜题｜技｜巧 ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 【典例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．根据判别式的公式，找到题目中相应的数据，，，代入判断即可． 【详解】∵， ∴，，， ∴ ∵ ， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选 C． 【变式1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知方程，那么这个方程（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．通过计算判别式Δ的值来判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【变式2】关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由△， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A 题型十三 根据一元二次方程根的情况求参数 解｜题｜技｜巧 用一元二次方程根的判别式求字母的值的解题步骤： （1）确定一元二次方程一般形式中a、b、c的值. （2）计算判别式，根据题设列方程； （3）解方程求出字母的值. 【典例1】关于的方程有实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，通过确定判别式的符号即可得到答案． 【详解】解：关于的方程有实数根， ， 即，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟记 一元二次方程有两个不相等是实数根； 一元二次方程有两个相等是实数根； 一元二次方程有两个不相等是实数根是解决问题的关键． 【变式1】（22-23八年级下·浙江杭州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围． (2)当k取最大整数值时，求该方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可求出k的取值范围； （2）根据题意确定的值，再利用配方法解方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， k的取值范围是； （2）解：由（1）可知，， 当k取最大整数值时，， ， ， ， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题关键是掌握一元二次方程根的判别式：，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根． 【变式2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程有一个根为2，求方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，计算即可得解； （2）把代入方程可得，求出，此时一元二次方程化为，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得： （2）解：把代入方程可得， 解得：或， ∵， ∴， 此时一元二次方程化为， 解方程得，， ∴方程的另一个根为． 题型十四 由根与系数的关系求值 解｜题｜技｜巧 （1）利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积. （2）将求出的两根之和与两根之积直接代入代数式求值. 【典例1】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知实数α，β满足，，且，且的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把变形为，则、可看作方程的两根，利用根与系数的关系得到，，由于，所以可先化为，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ，且， 、可看作方程的两根， ，， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，通过一元二次方程的解的定义得到，，即可得到，，进一步即可求出答案． 【详解】解：∵α，β是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∴ ． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两根为和，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程的两根为和，则，．由题意知，，，代入求解即可． 【详解】解：由题意可得； ； ； ∴； 故答案为：． 题型十五 由根与系数的关系求参数 解｜题｜技｜巧 （1）利用根与系数的关系写出x1+x2和x1x2 的值； （2）将已知等式转化为含x1+x2和x1x2 的形式； （3）把x1+x2和x1x2 的值代入（2）中的等式，然后解方程即可． 【典例1】已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；设方程的两个根为r和，利用根与系数的关系求和与积，解出r后求k. 【详解】解：设方程的两个根为r和， ∴两根之和， ∴， ∴， ∴另一个根为， ∵两根之积， ∴. 故选：C. 【变式1】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，解得，，结合根的判别式作答即可． 【详解】解：由根与系数关系可得，， 代入得， 即 解得：， ∵原方程有实数根， ∴， 解得 因此不满足，舍去， 综上，， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知，是关于的一元二次方程 的两个实数根，若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据根与系数关系，用表示两根之和与两根之积，结合已知条件求出关于的一元二次方程，根据公式法即可求出的值． 【详解】解： ，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，． ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式（，）． 题型十六 根的判别是根与系数的关系的综合运用 解｜题｜技｜巧 在解决一元二次方程相关问题时，综合运用根的判别式（Δ）和根与系数的关系（韦达定理）是关键策略，尤其适用于不解方程求值、判断根的性质、求参数范围及结合几何等场景． 【典例1】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在实数， 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，据此建立关于的不等式，求解即可得到的取值范围； （2）根据根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，将所求倒数和变形后代入，得到关于的方程，求解后结合第一问的的范围，即可判断是否存在符合条件的． 【详解】（1）解：已知一元二次方程为，方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得； （2）解：存在， 设方程的两个实数根为，， 根据根与系数的关系得， ， 由题意得 ， ∴ ， ∴， 整理得， 解得， ，不符合的条件，舍去； ，符合条件， 存在满足条件的实数，． 【变式1】（24-25九年级上·浙江·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若两根，满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，因式分解法求一元二次方程，理解并掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）两个不相等的实根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）根据根与系数的关系可知，，代入得到关于k的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：； （2）解：由题意得，，， ∵ ∴ 整理得， ∴ 或 解得，， ∵， ∴． 【变式2】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确掌握根与系数的关系和根的判别式公式是解题的关键． （1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于的一元一次不等式，解之即可， （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，结合，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得：， 即的取值范围为：； （2）解：根据题意得： ，， ， ， 解得：（符合题意）， 即的值为． 题型十七 一元二次方程与新定义问题 解｜题｜技｜巧 把题目给出的 “新符号”“新运算”“新概念” 用一元二次方程表示出来，然后解方程即可解答. 【典例1】已知关于的方程（），满足，就把这个一元二次方程称为“波浪方程”． (1)判断方程是不是“波浪方程”： ；（填“是”或“不是”） (2)已知是关于的“波浪方程”，它有一个根是，则 ， ； (3)若一个“波浪方程”的两个根分别是，，求的值． 【答案】(1)是 (2)， (3)的值为7． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解二元一次方程组等知识，解题的关键是读懂题意，理解“波浪方程”的定义． （1）计算，知方程是“波浪方程”； （2）由是关于的“波浪方程”，它有一个根是，可得，即可解得答案； （3）由的两个根分别是，，得，，即，，而是“波浪方程”，有，再解出，，的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 方程是“波浪方程”； 故答案为：是； （2）解：是关于的“波浪方程”，它有一个根是， ， 解得， 故答案为：，； （3）解：的两个根分别是，， ，， ，， 是“波浪方程”， ， ， 解得， ，， ， 即的值为7． 【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）阅读材料：如果，是一元二次方程 的两个实数根，且，，若其中一个根是另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”； 例如：1，2是方程的两根，2是1的2倍，则这是一个“倍根方程”． (1)解方程：，并判断该方程是否属于“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程． ①求证：该方程必有两个不相等的实数根； ②若该方程是“倍根方程”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①证明见解析 ②或 【分析】本题主要考查了因式分解法一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式， 对于（1），求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义解答即可； 对于（2），①求出，再根据结果证明； ②根据“倍根方程”的定义设两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ， 解得， ∵， ∴这个方程是倍根方程； （2）①证明：一元二次方程中， ∴． ∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； ②∵一元二次方程是“倍根方程”，设一个根是a，则另一根是， ∴， 解得或． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求m的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】(1)③ (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，根与系数之间的关系，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，根据新定义进行判断即可； （2）求出方程的解，根据新定义，进行求解即可； （3）根据根与系数的关系，结合新定义进行求解即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∴，故①不是“邻根方程”； ，解得：； ∴，故②不是“邻根方程”； ，解得：， ∴；故③是“邻根方程”； 故答案为：③ （2）解：方程的两根为， 方程是“邻根方程”， ，即， 或； （3）证明：设，是方程的两个根， 由根与系数的关系得：，， 方程是“邻根方程”， ，， ， ． 题型十八 一元二次方程的实际应用---增长率问题 解｜题｜技｜巧 平均增长（降低）率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原有量是a，现有量是b,每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x） ；第二次增长后为a（1+x）2 ，即原有量×（1+增长百分率）2＝现有量．平均降低率公式：a（1﹣x）2=b（x为减低率） 【典例1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，则此月增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设从5月份到7月份销售量的月增长率为x，根据某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设从5月份到7月份销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 即从5月份到7月份销售量的月增长率为， 故选：C． 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）某商品原来售价每千克16元，后续由于成本提升，经过连续两次提价，现在售价每千克25元，则该商品平均每次提价的百分率是____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键． 设平均每次提价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次提价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设平均每次提价的百分率为， 依题意，得：， 解得：(舍去)． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）宁波镇海某金橘合作社深耕本土特色果品种植，2023年镇海金橘平均亩产量为．近年来引入镇海农林部门研发的矮化密植栽培技术，改良土壤墑情与果实套袋管理模式，2025年平均亩产量提升至． (1)若2023年到2025年金橘平均亩产量年增长率相同，求其平均亩产量年增长率； (2)已知该合作社目前镇海金橘种植面积为12亩，每亩的种植成本为2.5万元．为满足本地商超及文旅采摘市场需求，合作社计划2026年增加种植面积．经测算，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少0.05万元，在保持种植总成本不变的前提下，则2026年该合作社应增加种植面积多少亩？ 【答案】(1) (2)38亩 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，合理设未知数并列出一元二次方程，进而求解得到符合实际意义的答案． （1）设年增长率为x，表示出 2025年亩产量，列方程求解． （2）设2026年该合作社应增加种植面积m亩，表示出增加后的面积和每亩成本，列方程求解． 【详解】（1）解：设平均亩产量的年增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：平均亩产量的年增长率为． （2）解：设2026年该合作社应增加种植面积亩， 由题意得：， 解得：（舍去）， 答：2026年该合作社应增加种植面积38亩． 题型十九 一元二次方程的实际应用---图形问题 解｜题｜技｜巧 根据把不规则图形转化为熟悉的规则图形从而列出一元二次方程． 【典例1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为______米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设玻璃栈道的宽度是米，则扩建后矩形的长为米，宽为米，可列方程，解方程即可求出玻璃栈道的宽度． 【详解】解：设玻璃栈道的宽度是米， 则扩建后的矩形的长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：玻璃栈道的宽度是5米． 故答案为：5． 【变式1】（21-22八年级下·浙江舟山·期末）如图，利用一面墙（墙的长度20m，不可围到墙外），用40m长的篱笆围一个矩形，设边的长为． (1)边的长为 m，矩形的面积为 （均用含的代数式表示）； (2)当矩形的面积是，求的边长； (3)矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学的方程知识说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不可以，理由见解析 【分析】（1）根据题意，即可得出边的长度，然后由矩形的面积公式，即可得出矩形的面积； （2）根据题意，即可得到方程，进一步解方程得，，再根据墙的长度为20m，舍去不符合题意的情况，即可得出的边长； （3）根据矩形的面积公式，得到方程，通过计算根的判别式，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，边的长为， 矩形的面积为． （2）解：由题意得，， 整理得，， ， 解得，，． 又墙的长度为20m， 当时，，不符合题意，舍去， ， ， 即的边长为． （3）解：不可以，理由如下： 若， 即， 此时，， 该方程无实数根， 故矩形的面积不可以是． 【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·期末）用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． (1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ (2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 【答案】(1)纸盒的高为 (2)裁去的正方形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 对于（1）, 设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形，根据纸盒底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 对于（1），正方形的边长为，根据折成纸盒的表面积为 长方形硬纸板的面积阴影部分的面积，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：纸盒的高为； （2）解：设裁去的正方形的边长为，根据题意得： 解得：， 不符合题意，舍去． 答：裁去的正方形的边长为． 题型二十 一元二次方程的实际应用--商品销售问题 解｜题｜技｜巧 商品销售问题： 利润=售价－进价；利润率= ×100%； 售价=进价×（1+利润率）； 总利润=总售价－总进价=（售价－进价）×销售量 【典例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）汤圆是宁波的特色美食，某店在销售某品牌汤圆时发现，该品牌汤圆进价为20元/盒，当销售单价定为33元/盒时，平均每天可售出100盒，为了扩大销售，该店决定降价经调查发现，每盒汤圆降价1元，平均每天可多售出20盒． (1)若降价2元，则每盒汤圆盈利 元，平均每天可售出 盒： (2)若商店该品牌汤圆的日销售利润为1600元，为尽快减少库存，问每盒汤圆销售价定为多少元合适？ 【答案】(1)11，140 (2)28元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）直接计算降价后的单盒利润和销量即可． （2）建立利润方程并求解，根据库存要求选择合适解． 【详解】（1）解：若降价2元，则每盒汤圆盈利：（元） 平均每天可售出：（盒） 故答案为：11；140； （2）设每盒汤圆销售价降价x元：则平均每天可售出盒， 由题意：得． 整理，得， 解得． 为了尽快减少库存． 每盒汤圆销售价应降价5元． 每盒汤圆销售价定为（元）． 答：每盒汤圆销售价定为28元合适． 【变式1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克． (1)求该农户这一天销售西瓜的总收入． (2)为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？ 【答案】(1)4000元 (2)3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）利用总收入销售单价销售数量，即可求出结论； （2）设在县城销售的单价降价x元，则销售量为千克，根据要使该农户一天的销售总收入为4300元，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要扩大销售，即可得出结论． 【详解】（1）解：（元）， 答：该农户这一天销售的总收入为4000元； （2）解：设在县城销售的单价降价x元，则由题意得： ， ， ， ， 解得或． 当时，销售量为； 当时，销售量为， 因为要扩大销售，， 故． 答：在县城内销售单价应该降价3元． 【变式2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y关于x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？ (3)超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)糖果销售单价定为26元或24元时，所获日销售利润为448元 (3)该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）取表格两组数据，利用待定系数法求解； （2）根据销量、单价、利润之间的关系列一元二次方程，解方程即可； （3）假设该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元，列一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：（1）设， 由题意得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：糖果销售单价定为26元或24元时，所获日销售利润为448元； （3）解：该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元． 题型二十一 一元二次方程的实际应用---握手、循环问题 解｜题｜技｜巧 ◆握手问题：假设有x个人，每个人都要和除自己外的（x﹣1）个人握手，则所有人需要握手的次数为．互送贺卡有顺序用n(n-1). 【典例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为_________． 【答案】3 【分析】题目主要考查循环赛问题，理解题意，列出代数式求解是解题关键． 设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场，根据题意，代入计算求解即可． 【详解】解：设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场， ∵比赛结束统计共赛25场， ∴当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 此时，选手未参加的比赛场数为场； 当时，，，不符合题意； 故答案为：3． 【变式1】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有____个班级． 【答案】8 【分析】设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛，赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设八年级有x个班， 依题意得：x（x-1）=28， 整理得：x2-x-56=0， 解得：x1=8，x2=-7（不合题意，舍去）． 则该校八年级有8个班级． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2】小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有___________人． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握根据互赠礼物的数量关系建立方程是解题的关键． 设总人数为，由于每个人都要给除自己之外的其他人赠送1份礼物，所以每人赠送份礼物，总赠送份数等于人数乘以每人赠送的份数，由此建立方程，解方程并舍去不符合实际的解即可得到人数． 【详解】解：设共有人． ， ， ， 解得或（人数不能为负，舍去） 故答案为：． 题型二十二 一元二次方程的实际应用---动态几何问题 解｜题｜技｜巧 以“静”制“动”求解动态问题 1、分析出动点的运动轨迹，用含未知数的代数式把相应的线段的长度表示出来是解决这类问题的关键； 2、结合题意，用“静”的方法处理“动”的问题. 【典例1】如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．    (1)几秒后，的长度为； (2)几秒后，的面积为； (3)的面积能否为？请说明理由． 【答案】(1)后，的长度为 (2)或后，的面积等于 (3)的面积不可能等于，见解析 【分析】本题主要考查动点与几何图形的综合，理解动点的运动规律，掌握几何图形的面积计算方法，一元二次方程根的判别式等知识是解题的关键． （1）设点运动的时间为，则，，，在中，根据勾股定理即可求解； （2）根据，解方程即可求解； （3）根据，得关于的一元二次方程，运用一元二次方程根的判别式判定方程是否有实数解即可． 【详解】（1）解：设点运动的时间为，则，，，， ∴在中，根据勾股定理，得，， ∴，解得或（舍去）， ∴后，的长度为． （2）解：同（1）中所设，设点运动的时间为，则，，，， ∴，即， 解得或， ∴或后，的面积等于． （3）解：不能，理由如下： 当时，即， ∴，整理得，， ∵， ∴方程没有实数根， ∴的面积不可能等于． 【变式1】（23-24八年级下·浙江·期末）如图所示，中，． （1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动（至点B停止），点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动（至点C停止），当一点停止运动后另一点也停止运动，如果P，Q分别从A，B同时出发 ①经过几秒，的面积等于？ ②线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． （2）若点P沿射线方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为？ 【答案】（1）①3秒或5秒；②不能，理由见解析；（2）s或5s或s 【分析】（1）①设经过x秒后，根据△PBQ的面积等于15cm2．得出方程，解之即可； ②根据三角形面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答； （2）分点P在线段AB上，点Q在线段CB上、点P在线段AB上，点Q在射线CB上、点P在射线AB上，点Q在射线CB上三种情况，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：（1）①设经过x秒后，△PBQ的面积等于15cm2． 由题意得：， 解得：x=3或x=5， 答：经过3秒或5秒后，△PBQ的面积等于15cm2． ②不能， 理由如下：假设经过y s，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分， ∵S△ABC==48（cm2）， ∴， 解得：此方程无实数根， ∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分； （2）①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，设运动时间为m s，此时0＜m＜6， 依题意得：， 解得：m=或（舍去）， ∴m=； ②当点P在线段AB上，点Q在射线CB上时，设运动时间为n s，此时6＜n＜8， 依题意得：， 解得：n1=n2=7； ③当点P在射线AB上，点Q在射线CB上时，设运动时间为k s，此时k＞8， 依题意得：， 解得：k=（舍去）或， ∴k=， 综上所述：经过s或5s或s，△PBQ的面积为1cm2． 【点睛】本题考查的是三角形的面积计算、一元二次方程的解法，灵活运用分情况讨论思想、正确列出方程是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，，．点P从点A出发，沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿向点C以的速度移动． (1)经过多少秒后，的面积为？ (2)线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由． (3)若点P从点A出发，沿射线方向以的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线方向以的速度移动，经过多少秒后的面积为？ 【答案】(1)2或4 (2)线段不能将分成面积相等的两部分 (3) 【分析】（1）根据三角形面积公式列出方程，解方程即可； （2）根据三角形面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答； （3）分点P在线段AB上，点Q在线段CB上、点P在线段AB上，点Q在射线CB上、点P在射线AB上，点Q在射线CB上三种情况，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：设经过秒后，的面积为． 根据题意得：， ∴， ∴，解得，， 故经过2秒或4秒后，的面积为； （2）解∶ 设经过t秒后，线段将分成面积相等的两部分． ∵， ∴，即． ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分． （3）解：设y秒后，的面积为； 分三种情况： ①点P在线段上，点Q在线段上，如图所示， 依题意得： ， 即， 解得， 经检验， 不符合题意，舍去， ； ②点P在线段上，点Q在射线上，如图所示， 依题意得：， 即， 解得， 经检验，符合题意； ③点P在射线上，点Q在射线上，如图所示， 依题意得：， 即， 解得， 经检验，不符合题意，舍去， ， 综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积等于． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了一元二次方程的应用和几何动点问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）逐一判断各选项即可． 【详解】A．，不含关于x二次项，不是一元二次方程，排除． B．，分母含未知数，不是整式方程，排除． C．，含两个未知数和，不是一元方程，排除． D．，仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合定义． 故选D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期末）用配方法解方程，配方后所得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：A． 3．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，根据每盆花苗株数平均单株盈利每盆的总盈利，即可得出方程． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算判别式并解方程，排除不符合条件的解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根相等， ，且 解得（舍）或， 故选：C． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据两个方程解完全相同，确定根的和与积相等，进而求解参数． 【详解】解：方程的解为和， 方程的解为（需）， 因为两方程解完全相同，故根的和与积相等： ∴， 解得：， ， 代入得：， 解得， 故选：B． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若非零实数b，c满足，则关于x的一元二次方程的两根之差必为（    ） A． B．c C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由已知条件可知，方程的判别式，说明方程有两个相等的实数根，因此两根之差为0． 【详解】方程的判别式为． ∵， ∴． ∵当时，方程有两个相等的实数根． ∴两根之差为． 故选D． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）甲菜农计划以每千克5元的价格对外批发某种蔬菜，由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜，造成这种蔬菜滞销．甲菜农为加快销售，减少损失，对这种蔬菜的价格经过两次下调，最后以每千克元的单价对外批发销售．设他平均每次下调的百分率是，则可列方程______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设平均每次下调的百分率是， 由题意，得． 故答案为：． 8．已知三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长是_____． 【答案】10 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件， 先利用因式分解法解方程得到或，再根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求出第三边的范围，进而确定第三边的长即可得到答案． 【详解】解：解方程得或， ∵三角形两边的长是2和4， ∴第三边长， ∵第三边的长是方程的根， ∴第三边长为4， ∴该三角形的周长是， 故答案为：10． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（23-24八年级下·浙江台州·期末）对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．若是方程的解，则 B．若，则方程必有两个不相等的实数根 C．若，则方程必有两个不相等的实根 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 【答案】B 【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根，方程没有实数根． 根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可． 【详解】解：、将代入方程可得：， ∴本选项说法正确，不符合题意； 、若，则方程为， ∴， ∴程必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意； 、∵方程中，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意； 故选：． 10．（23-24八年级下·浙江·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2021 B．2020 C．2019 D．2018 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，设t=x-1得到at2+bt+3=0，利用at2+bt+3=0有一个根为t=2020得到x-1=2020，从而可判断一元二次方程必有一根为x=2021． 【详解】解：对于一元二次方程， 设t=x-1， 所以at2+bt+3=0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0（a≠0）有一根为x=2020， 所以at2+bt+3=0有一个根为t=2020， 则x-1=2020， 解得x=2021， 所以一元二次方程必有一根为x=2021． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 11．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据方程有两个实数根，利用判别式求出参数的取值范围；再通过韦达定理得到两根之和与两根之积，将所求式子展开并转化为关于的代数式并配方，最后在的取值范围内求出最小值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 且． ∴． ∵，， ∴， ∴的最小值是，故选D． 12．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）在实数范围内将分解因式可得________． 【答案】 【分析】求出的根，然后根据一元二次方程的两个实数根为，则，进而分解因式即可． 【详解】解：对于， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式，若一元二次方程的两根为，那么式子可分解为． 13．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形和一元二次方程结合．熟练掌握三角形三边关系，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式与根和关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系及三角形的三边关系可得到，把两根之积与两根之和代入的变形中，可求得m的取值范围，再由根的判别式确定出m的最后取值范围． 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， 又由三角形的三边关系可得：， ∴， 即， 解得：； ∵方程有两个实根， ∴， 解得． ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）在方程两边加，将方程的左边配成完全平方，然后再用直接开平方法求解即可； （2）将原方程移项得，再将方程的左边进行因式分解，继而将原方程转化为两个一元一次方程求解即可； 解题的关键的掌握解一元二次方程的一般方法（直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法）并能根据具体情况选用适当的方法求解． 【详解】（1）解：， ， ，即， ∴， 解得：，； （2）， ， ，即， ∴或， 解得：，． 15．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）小北同学解一元二次方程的过程如下图所示： 解方程： 解：……第①步 ……第②步 或……第③步 ，……第④步 (1)小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第 步开始出现错误． (2)请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答． 【答案】(1)配方法，② (2)，  【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题干过程，得出运用配方法解该一元二次方程，且从第②步开始出现错误； （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：观察题干过程，得出小北同学选用了配方法解该一元二次方程， 则他的解法从第②步开始出现错误，第②的正确的过程为 故答案为：配方法，②； （2）解：∵ ∴ ∴，． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 16．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知一元二次方程． (1)若方程的一个根为2，求的值． (2)当时，求证：方程有两个实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可得，然后代入求解即可； （2）首先由得到，然后由判别式即可证明． 【详解】（1）把代入，得， ， ． （2）证明： ， ， 方程有两个实数根． 16．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义以及根与系数的关系； （1）利用根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可； （2）先利用根与系数的关系得，再利用因式分解法变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得，； 即b的值为或； （2）当时，方程化为， 根据根与系数的关系得， 所以． 17．（23-24九年级下·江苏苏州·月考）已知关于的方程 (1)求证：无论取任何实数，该方程总有实数根； (2)若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）表示出方程根的判别式，判断其值大于等于0即可得证； （2）分两种情况考虑：当时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当或时，把代入方程求出k的值，进而求出周长即可． 【详解】（1）证明：∵， 无论取任何实数，方程总有实数根； （2）解：当时，，方程为， 解得：， 此时三边长为，周长为； 当或时，把代入方程得：， 解得：，此时方程为：， 解得：， 此时三边长为不能组成三角形， 综上所述，的周长为 19．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）淘宝、唯品会、京东、美团等公司的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和万件． (1)求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率． (2)已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递万件，若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率，那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递业务员？(假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等) 【答案】(1) (2)该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，至少需要增加3名投递业务员 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和万件，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）求出7月投递快递总件数为：万件，比较后得出该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，再设增加m名投递业务员，根据7月的投递量不少于万件，列出一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为； （2）解：7月投递快递总件数为：（万件）， ， 该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务， 设增加m名投递业务员， 由题意得：， 解得：， 是正整数， 的最小值为3， 答：至少需要增加3名投递业务员． 19．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某合作社从2022年到2024年种植“红美人”，2022年“红美人”平均亩产量为，引进先进的种植技术后，“红美人”产量提高，2024年平均亩产量达到． (1)若2022年到2024年“红美人”平均亩产量的年增长率相同，求“红美人”平均亩产量的年增长率． (2)已知该合作社目前“红美人”种植面积为10亩，每亩的种植成本为3万元，为扩大生产，该合作社决定2025年增加“红美人”种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少万元，在保持种植成本不变的前提下，则2025年该合作社应增加种植面积多少亩？ 【答案】(1)平均亩产量的年增长率 (2)该合作社应增加种植面积20亩 【分析】本题整体考查了一元二次方程在实际问题中的应用，涵盖增长率问题和成本问题．解题的关键是根据题目中的等量关系，合理设未知数并列出一元二次方程，进而求解得到符合实际意义的答案． （1）设年增长率为x，表示出 2024年亩产量，列方程求解． （2）设增加面积y亩，表示出增加后的面积和每亩成本，列方程求解． 【详解】（1）解：设年增长率为x． 2022年平均亩产量为，2023年则为，2024年为． ∴． 化简得， 开方得 舍去负根，得，即年增长率为． 答：“红美人”平均亩产量的年增长率为． （2）设增加种植面积y亩． 原来种植10亩，成本为万元． 增加后种植面积为亩，每亩成本为万元． 由种植成本不变，列方程：． 展开并整理得， 因式分解得． 解得（舍去）或，即应增加20亩． 答：2025年该合作社应增加种植面积20亩． 20．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）某服装店在销售A，B两款服装时，销售员记录了从4月到6月的销售情况，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材1 A款服装每销售一件可盈利100元，已知4月份销售量为64件，且销售量逐月递增，6月份销售量达到100件． B款服装每销售一件可盈利150元，每月的销售量均为80件． 素材2 7月开始换季，服装店仅对A款服装进行降价销售，根据往年数据测算：以6月份的月销售量为基准，A款服装每降5元，其月销售量增加25件，同时会使B款服装月销售量减少10件． 问题解决 问题1：求6月份销售A，B两款服装的利润之和． 问题2：求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率． 问题3：为了使7月份销售A，B两款服装的利润之和达到22500元，那么A款服装应降价多少元？ 【答案】问题1：22000元；问题2：A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为；问题3：A款服装应降价10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 问题1：利用6月份销售A，B两款服装的利润之和=每件A款服装的销售利润×A款服装的月销售量+每件B款服装的销售利润×B款服装的月销售量，即可求出结论； 问题2：设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为x，利用A款服装6月份的销售量款服装4月份的销售量款服装从4月到6月销售量的平均月增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 问题3：设A款服装应降价y元，则每件A款服装的销售利润为元，A款服装的月销售量为件，B款服装的月销售量为件，利用7月份销售A，B两款服装的利润之和=每件A款服装的销售利润款服装的月销售量+每件B款服装的销售利润款服装的月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：问题1：根据题意得： （元）． 答：6月份销售A，B两款服装的利润之和为22000元；．        问题2：设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长举为x， 由题意可以列出方程， 解得（不合题意，舍去）， 答：A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为．            问题3：设A款服装应降价y元， 由题意可以列出方程． 解得． 答：A款服装应降价10元． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $