专题02 一元二次方程及其解法期中复习讲义（知识梳理+6大高频考点+7大题型）2025-2026学年八年级数学下册浙教版

专题02 一元二次方程及其解法期中复习讲义 一、复习目标 1.掌握一元二次方程定义、一般形式，能准确判断并指出各项系数。 2.理解方程的解，会用代入法由根求参数。 3.熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法。 4.会用根的判别式判断根的情况，并根据根的情况求参数范围。 5.规范书写步骤，避开易错点，提升计算正确率。 二、知识梳理（核心必记） 1.一元二次方程定义 ①定义：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2。 ②一般形式： ：二次项系数（，否则不是一元二次方程） ：一次项系数 ：常数项 ③判定三条件：整式方程 → 一个未知数 → 最高次数2且。 2.一元二次方程的解 能让方程左右两边相等的未知数的值，叫解（根）。 方法：将根代入方程，建立等式求参数。 3.根的判别式 对 ， ：有两个不相等的实数根 ：有两个相等的实数根 ：无实数根 4.四种解法（掌握） ①直接开平方法：适用于 、 ②配方法：化1→移项→配方→开方 ③公式法（万能）： ④因式分解法：右化0→左分解→则或 三、典例精讲 考点1 一元二次方程的判断 例题1下列方程中，关于的一元二次方程是（） A. 　B. 　C. 　D. 考点2 一元二次方程一般形式 例题2方程化为一元二次方程的一般形式是（） A. 　B. 　C. 　D. 考点3 已知方程的解求参数 例题3若是一元二次方程的一个根，则的值为（） A. 3　 B. 2　 C. -2　 D. -3 考点4 不解方程判断根的情况 例题4判断方程的根的情况。 考点5 已知根的情况求参数 例题5若关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围。 考点6 一元二次方程解法 （1）因式分解法 例题6解方程： （2）公式法 例题7解方程： （3）配方法 例题8用配方法解方程： 四、易错点总结 1.判断一元二次方程必须看，少写直接扣分。 2.开平方时一定要写±，只写正根会漏解。 3.配方时两边同时加，只加一边等式不成立。 4.判别式算参数时，先保证，再用列不等式。 5.移项要变号，不变号是最常见计算错误。 五、题型突破 题型一．一元二次方程的定义 1．（2025春•杭州校级期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．3x+5y＝0 B．5x+2＝0 C．3x2﹣2025＝0 D． 2．（2025春•瑞安市期中）下列关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x＝3 B．x2+1＝0 C．x2+y＝5 D． 3．（2025春•丽水期中）在下列方程中．不属于一元二次方程的是（　　） A．x2x B．7x2＝0 C．0.3x2+0.2x＝4 D．x（1﹣2x2）＝2x2 4．（2025春•上城区校级期中）已知关于x的方程（m+1）x2﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣1 B．m≠0 C．m≤﹣1 D．m≠﹣1 题型二．一元二次方程的一般形式 5．（2025春•镇海区校级期中）关于x的一元二次方程9x2+4x＝3的常数项为（　　） A．4 B．0 C．3 D．﹣3 6．（2025春•余杭区校级期中）将方程5x2﹣4x＝1转化成ax2+bx+c＝0的形式，则方程为（　　） A．5x2+4x+1＝0 B．5x2+4x﹣1＝0 C．5x2﹣4x+1＝0 D．5x2﹣4x﹣1＝0 7．（2025春•拱墅区校级期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 8．（2025春•义乌市校级期中）把一元二次方程x（x﹣3）＝4化简为一般形式是 　 　 ． 题型三．一元二次方程的解 9．（2025春•慈溪市期中）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 10．（2025春•浙江期中）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+n＝0的根，则m+n的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2 11．（2025春•丽水期中）已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，则（a+4）（a﹣1）的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣5 12．（2025春•乐清市校级期中）若m是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则2026﹣m2+2m的值是（　　） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 13．（2025春•鹿城区校级期中）已知关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0与a（x﹣n）2＝b有相同的解，则m与n之间的等量关系为（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m+2n＝﹣1 D．m﹣2n＝﹣1 14．（2025春•温州期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　） A．﹣m B． C．m D． 15．（2025春•上城区校级期中）我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3 16．（2025春•余杭区校级期中）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则m2﹣2m＝　 　 ． 17．（2025春•兰溪市校级期中）m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2024的值为　 　 ． 18．（2025春•龙湾区校级期中）已知关于x的方程9x2+bx+c＝0的解为x1＝2，x2＝3，则关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为 　 　 ． 19．（2025春•镇海区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a﹣2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣8＝0是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于x的美妙方程ax2+2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个美妙方程． 题型四．解一元二次方程-直接开平方法 20．（2025春•杭州校级期中）形如（x+m）2＝n（n≥0）的方程，它的根是（　　） A．x＝± B．x＝±m C．x＝± D．x＝﹣m± 21．（2025春•瑞安市期中）方程x2＝4的解为 　 　 ． 22．（2025春•温州期中）方程x2﹣9＝0的根是 　 　 ． 23．（2025春•拱墅区校级期中）关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4，则　 　 ． 题型五．解一元二次方程-配方法 24．（2025春•嘉兴校级期中）一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0配方后，结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝9 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣4）2＝11 25．（2025春•义乌市校级期中）用配方法解方程x2﹣2＝4x，下列配方正确的是（　　） A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝6 D．（x﹣2）2＝6 26．（2025春•义乌市校级期中）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9 27．（2025春•温州期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝15 B．（x﹣2）2＝7 C．（x﹣4）2＝15 D．（x﹣4）2＝7 28．（2025春•滨江区期中）用配方法解方程时，变形结果正确的是（　　） A． B． C． D． 29．（2025春•拱墅区期中）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣8）2＝54 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣4）2＝6 30．（2025春•鄞州区期中）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 31．（2025春•西湖区校级期中）用配方法解一元二次方程x2+6x﹣21＝0时，配方正确的是（　　） A．（x+3）2＝30 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝30 D．（x﹣3）2＝13 32．（2025春•鄞州区期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣m＝0可通过配方法转化为（x﹣n）2＝6的形式，则m的值为（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣3 D．3 33．（2025春•西湖区校级期中）用配方法将方程x2﹣4x﹣4＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（　　） A．﹣2，0 B．2，0 C．﹣2，8 D．2，8 34．（2025春•西湖区校级期中）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 35．（2025春•温州期中）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0可以通过配方法转化为（x﹣p）2＝q的形式，则配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣6）2＝5 C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝4 36．（2025春•杭州期中）已知一元二次方程x2﹣6x+m＝0可以通过配方转化为（x﹣n）2＝1的形式，则m﹣n的值为 　 　 ． 37．（2025春•义乌市校级期中）解下列方程： （1）（x﹣1）2＝4； （2）x2+6x＝﹣3． 38．（2025春•浙江期中）解方程： （1）x2﹣16＝0； （2）x2﹣4x﹣7＝0． 39．（2025春•诸暨市期中）解方程： （1）x2＝1； （2）x2﹣2x﹣1＝0． 40．（2025春•上城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE． （1）求∠DCE的度数． （2）设BC＝a，AC＝b． ①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由． ②若D为AE的中点，求的值． 题型六．解一元二次方程-公式法 41．（2025春•北仑区校级期中）用公式法解方程x2﹣3＝5x时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，﹣3，5 B．1，﹣3，5 C．1，5，﹣3 D．1，﹣5，﹣3 42．（2025春•西湖区校级期中）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 43．（2025春•温州校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，若y＞0，则（　　） A．0＜a＜3 B．0＜a＜5 C．a＞3 D．a＞5 44．（2025春•拱墅区期中）解方程： （1）（x+1）2﹣4＝0； （2）x2﹣3x﹣2＝0． 45．（2025春•慈溪市期中）解方程： （1）x2+x＝4x； （2）2x2﹣3x﹣1＝0． 46．（2025春•萧山区期中）解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3． 题型七．解一元二次方程-因式分解法 47．（2025春•上城区校级期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式ax2+bx+c等于（　　） A．（x﹣2）（x+3） B．（ax﹣2）（x+3） C．a（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3） 48．（2025春•龙泉市期中）若Rt△ABC的两边长是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则Rt△ABC的斜边长为（　　） A．6 B．或 C．6或 D．6或 49．（2025春•南湖区期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程x2﹣10x+16＝0的两根，则该三角形第三边长可能是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 50．（2025春•西湖区校级期中）已知方程（x+a）（x+b）＝0有M个解，方程（ax+1）（bx+1）＝0有N个解，其中a≠b，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1 51．（2025春•温州期中）一元二次方程x2＝x的根 　 　 ． 52．（2025春•嘉兴校级期中）已知等腰三角形的底边长为3，腰长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长为 　 　 ． 53．（2025春•北仑区校级期中）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：ad﹣bc，上述记号叫做2阶行列式，若，则x＝　 　 ． 54．（2025春•温州期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+b﹣1．例如，把 （3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1＝6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数﹣1，则m的值是　 　 ． 55．（2025春•慈溪市期中）对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为 　 　 ． 56．（2025春•瑞安市校级期中）解方程： （1）x2﹣4x＝0； （2）x2+3x＝10． 57．（2025春•兰溪市校级期中）解下列方程： （1）x2＝﹣5x； （2）x2﹣4x+3＝0． 58．（2025春•温州校级期中）解方程： （1）； （2）x2﹣10x+16＝0． 59．（2025春•西湖区校级期中）解下列方程： （1）x（x+2）＝（x+2）； （2）2x2﹣3x+1＝0． 60．（2025春•余姚市期中）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）． 解：方程两边同除以（3x﹣1），得3x﹣1＝2…第一步 移项，合并同类项，得3x＝3…第二步 系数化为1，得x＝1…第三步 任务： （1）小明的解法从第 　 　 步开始出现错误； （2）请写出此题的正确解题过程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程及其解法期中复习讲义 一、复习目标 1.掌握一元二次方程定义、一般形式，能准确判断并指出各项系数。 2.理解方程的解，会用代入法由根求参数。 3.熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法。 4.会用根的判别式判断根的情况，并根据根的情况求参数范围。 5.规范书写步骤，避开易错点，提升计算正确率。 二、知识梳理（核心必记） 1.一元二次方程定义 ①定义：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2。 ②一般形式： ：二次项系数（，否则不是一元二次方程） ：一次项系数 ：常数项 ③判定三条件：整式方程 → 一个未知数 → 最高次数2且。 2.一元二次方程的解 能让方程左右两边相等的未知数的值，叫解（根）。 方法：将根代入方程，建立等式求参数。 3.根的判别式 对 ， ：有两个不相等的实数根 ：有两个相等的实数根 ：无实数根 4.四种解法（掌握） ①直接开平方法：适用于 、 ②配方法：化1→移项→配方→开方 ③公式法（万能）： ④因式分解法：右化0→左分解→则或 三、典例精讲 考点1 一元二次方程的判断 例题1下列方程中，关于的一元二次方程是（） A. 　B. 　C. 　D. 【答案】B 【解析】A：没有说明，当时是一元一次方程，不是一元二次方程； B：是整式方程，只含一个未知数，最高次数为2，是一元二次方程； C：展开化简：，即，是一元一次方程； D：含有、两个未知数，是二元方程，不是一元二次方程。 考点2 一元二次方程一般形式 例题2方程化为一元二次方程的一般形式是（） A. 　B. 　C. 　D. 【答案】A 【解析】左边去括号：； 原方程变为：； 移项（右边全部移到左边，变号）：； 合并同类项：，对应选项A。 考点3 已知方程的解求参数 例题3若是一元二次方程的一个根，则的值为（） A. 3　 B. 2　 C. -2　 D. -3 【答案】A 【解析】方程根的定义：把根代入方程，等式一定成立； 将代入方程：； 计算：； 化简：，解得。 考点4 不解方程判断根的情况 例题4判断方程的根的情况。 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】先确定一般式系数：，，； 计算判别式：； 代入：； 因为，所以方程有两个不相等的实数根。 考点5 已知根的情况求参数 例题5若关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围。 【答案】且 【解析】方程是一元二次方程，必须满足：二次项系数不为0，即； 方程有实数根，说明判别式； 计算：； 列不等式：； 解不等式：，两边同除以，不等号方向改变，得； 结合，最终范围：且。 考点6 一元二次方程解法 （1）因式分解法 例题6解方程： 【答案】 【解析】观察方程：左边有公因式，右边为0，适合因式分解法； 提取公因式：； 根据“若，则或”：得 或 ； 解得：，。 （2）公式法 例题7解方程： 【答案】 【解析】确定系数：，，； 计算判别式：，有两个不等实根； 代入求根公式：； 代入数值：； 分两种情况计算： ，。 （3）配方法 例题8用配方法解方程： 【答案】 【解析】移项：把常数项移到右边，； 配方：两边加“一次项系数一半的平方”，一次项系数，一半为，平方为； 得：； 写成平方形式：； 开平方：； 求解：；。 四、易错点总结 1.判断一元二次方程必须看，少写直接扣分。 2.开平方时一定要写±，只写正根会漏解。 3.配方时两边同时加，只加一边等式不成立。 4.判别式算参数时，先保证，再用列不等式。 5.移项要变号，不变号是最常见计算错误。 五、题型突破 题型一．一元二次方程的定义 1．（2025春•杭州校级期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．3x+5y＝0 B．5x+2＝0 C．3x2﹣2025＝0 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、是二元一次方程，故本选项不符合题意； B、是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（2025春•瑞安市期中）下列关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x＝3 B．x2+1＝0 C．x2+y＝5 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、2x＝3是一元一次方程，不符合题意； B、x2+1＝0是一元二次方程，符合题意； C、x2+y＝5含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、x＝0含有分式，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 3．（2025春•丽水期中）在下列方程中．不属于一元二次方程的是（　　） A．x2x B．7x2＝0 C．0.3x2+0.2x＝4 D．x（1﹣2x2）＝2x2 【答案】D 【分析】一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0． 【解答】解：A、该方程属于一元二次方程，故本选项不符合题意． B、该方程属于一元二次方程，故本选项不符合题意． C、该方程属于一元二次方程，故本选项不符合题意． D、由已知方程得到：﹣2x3﹣2x2+x＝0，属于一元三次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 4．（2025春•上城区校级期中）已知关于x的方程（m+1）x2﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣1 B．m≠0 C．m≤﹣1 D．m≠﹣1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程定义可得m+1≠0，再解可得答案． 【解答】解：由题意得：m+1≠0， 解得：m≠﹣1， 故选：D． 题型二．一元二次方程的一般形式 5．（2025春•镇海区校级期中）关于x的一元二次方程9x2+4x＝3的常数项为（　　） A．4 B．0 C．3 D．﹣3 【答案】D 【分析】先将一元二次方程化为一般形式，然后找出常数项即可． 【解答】解：9x2+4x＝3可化为9x2+4x﹣3＝0， 所以常数项为﹣3， 故选：D． 6．（2025春•余杭区校级期中）将方程5x2﹣4x＝1转化成ax2+bx+c＝0的形式，则方程为（　　） A．5x2+4x+1＝0 B．5x2+4x﹣1＝0 C．5x2﹣4x+1＝0 D．5x2﹣4x﹣1＝0 【答案】D 【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【解答】解：将方程5x2﹣4x＝1转化成ax2+bx+c＝0的形式，则方程为5x2﹣4x﹣1＝0． 故选：D． 7．（2025春•拱墅区校级期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 【答案】A 【分析】由题意常数项为0，可得m2﹣4＝0，根据一元二次方程的定义得出m≠2，即可求解． 【解答】解：由条件可知m2﹣4＝0且m≠2， ∴m＝﹣2． 故选：A． 8．（2025春•义乌市校级期中）把一元二次方程x（x﹣3）＝4化简为一般形式是 x2﹣3x﹣4＝0　 ． 【答案】x2﹣3x﹣4＝0 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）． 【解答】解：由原方程，得 x2﹣3x＝4， 即x2﹣3x﹣4＝0． 故答案为：x2﹣3x﹣4＝0． 题型三．一元二次方程的解 9．（2025春•慈溪市期中）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】B 【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值． 【解答】解：把x＝﹣3代入方程得：9+3k﹣6＝0， 解得k＝﹣1． 故选：B． 10．（2025春•浙江期中）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+n＝0的根，则m+n的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【答案】C 【分析】把x＝n代入方程x2+mx+n＝0得n2+mn+n＝0，然后把等式两边除以n可得到m+n的值． 【解答】解：把x＝n代入方程x2+mx+n＝0得n2+mn+n＝0， ∵n≠0， ∴n+m+1＝0， 即m+n＝﹣1． 故选：C． 11．（2025春•丽水期中）已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，则（a+4）（a﹣1）的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣5 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2+3a＝1，再利用乘法公式得到（a+4）（a﹣1）＝a2+3a﹣4，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根， ∴a2+3a﹣1＝0， ∴a2+3a＝1， ∴（a+4）（a﹣1）＝a2+3a﹣4＝1﹣4＝﹣3． 故选：C． 12．（2025春•乐清市校级期中）若m是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则2026﹣m2+2m的值是（　　） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】因为m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，所以将m代入方程可得m2﹣2m﹣1＝0，变形得到m2﹣2m＝1，再将其代入所求式子2026﹣m2+2m进行计算． 【解答】解：根据方程根的定义，方程左右两边相等可得： m2﹣2m﹣1＝0，移项得到m2﹣2m＝1， 对于式子2026﹣m2+2m，可变形为2026﹣（m2﹣2m）， 把m2﹣2m＝1代入变形后的式子： 2026﹣（m2﹣2m）＝2026﹣1＝2025， 所以2026﹣m2+2m的值是2025， 故选：C． 13．（2025春•鹿城区校级期中）已知关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0与a（x﹣n）2＝b有相同的解，则m与n之间的等量关系为（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m+2n＝﹣1 D．m﹣2n＝﹣1 【答案】D 【分析】由题意易得关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0的解为x＝1或x＝m，那么a（x﹣n）2＝b的解为x＝1或x＝m，将其代入a（x﹣n）2＝b中即可求得答案． 【解答】解：已知关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0， 则x﹣1＝0或x﹣m＝0， 那么x＝1或x＝m， ∵关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0与a（x﹣n）2＝b有相同的解， ∴a（x﹣n）2＝b的解为x＝1或x＝m， ∴a（1﹣n）2＝b，a（m﹣n）2＝b， 则（1﹣n）2＝（m﹣n）2， 那么m﹣n＝n﹣1或m﹣n＝1﹣n， 则m﹣2n＝﹣1或m＝1， 当m＝1时，n＝1，满足m﹣2n＝﹣1， 综上，m﹣2n＝﹣1， 故选：D． 14．（2025春•温州期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　） A．﹣m B． C．m D． 【答案】D 【分析】根据x＝m满足方程ax2+bx+c＝0，得到am2+bm+c＝0，两边同时除以m2可确定所求方程的一个根． 【解答】解：∵m是若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的一个根， ∴am2+bm+c＝0， ∴abc＝0， ∴c（）2﹣（）b+a＝0， ∴是方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）的一个根， 故选：D． 15．（2025春•上城区校级期中）我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3 【答案】D 【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3＝1或2x+3＝﹣3，然后解两个一元一次方程即可． 【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程， 所以2x+3＝1或2x+3＝﹣3， 所以x1＝﹣1，x2＝﹣3． 故选：D． 16．（2025春•余杭区校级期中）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则m2﹣2m＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据题意可得：把x＝m代入方程x2﹣2x﹣1＝0中得：m2﹣2m﹣1＝0，从而可得m2﹣2m＝1． 【解答】解：由题意得： 把x＝m代入方程x2﹣2x﹣1＝0中得： m2﹣2m﹣5＝1， ∴m2﹣2m＝1． 故答案为：1． 17．（2025春•兰溪市校级期中）m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2024的值为　2026　 ． 【答案】2026． 【分析】根据题意可得2m2+3m＝1，继而得到本题答案． 【解答】解：由题意得，2m2+3m＝1， ∴4m2+6m+2024＝2（2m2+3m）+2024＝2+2024＝2026， 故答案为：2026． 18．（2025春•龙湾区校级期中）已知关于x的方程9x2+bx+c＝0的解为x1＝2，x2＝3，则关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为 y1＝3，y2＝4　 ． 【答案】y1＝3，y2＝4． 【分析】把关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0看作关于（y﹣1）的一元二次方程，则关于（y﹣1）的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为y﹣1＝2或y﹣1＝3，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：把关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0看作关于（y﹣1）的一元二次方程， ∵关于x的方程9x2+bx+c＝0的解为x1＝2，x2＝3， ∴关于（y﹣1）的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为y﹣1＝2或y﹣1＝3， 解得y1＝3，y2＝4， ∴关于y的方程9（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的解为y1＝3，y2＝4． 故答案为：y1＝3，y2＝4． 19．（2025春•镇海区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a﹣2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣8＝0是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于x的美妙方程ax2+2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个美妙方程． 【分析】（1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为﹣1，得到关于a，c的方程组即可解决问题． 【解答】解：（1）是美妙方方程． ∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣8， ∴3a﹣2b+c＝6﹣（﹣2）+（﹣8）＝0． 故此方程为美妙方程． （2）将x＝﹣1代入原方程得， a﹣2+c＝0①， ∵此方程为美妙方方程， ∴3a﹣4+c＝0②， 由①②得， ∴这个美妙方程为x2+2x+1＝0． 题型四．解一元二次方程-直接开平方法 20．（2025春•杭州校级期中）形如（x+m）2＝n（n≥0）的方程，它的根是（　　） A．x＝± B．x＝±m C．x＝± D．x＝﹣m± 【答案】D 【分析】因为方程的左边是一个完全平方式，且被开方数n≥0，所以可以利用数的开方直接求解． 【解答】解：因为n≥0，开方得x+m＝±，移项得：x＝﹣m±．故选D． 21．（2025春•瑞安市期中）方程x2＝4的解为 x1＝2，x2＝﹣2　 ． 【答案】x1＝2，x2＝﹣2 【分析】利用直接开平方法，求解即可． 【解答】解：开方得，x＝±2， 即x1＝2，x2＝﹣2． 故答案为：x1＝2，x2＝﹣2． 22．（2025春•温州期中）方程x2﹣9＝0的根是 x1＝3，x2＝﹣3　 ． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【分析】利用直接开方法求解． 【解答】解：x2﹣9＝0， ∴x2＝9， ∴x1＝3，x2＝﹣3． 故答案为：x1＝3，x2＝﹣3． 23．（2025春•拱墅区校级期中）关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4，则　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意，得出m+1与2m﹣4互为相反数，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4， 所以m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， 即该方程的两个根为±2． 因为方程可化为x2， 所以（±2）2＝4， 则． 故答案为：． 题型五．解一元二次方程-配方法 24．（2025春•嘉兴校级期中）一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0配方后，结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝9 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣4）2＝11 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案． 【解答】解：原方程移项，得x2﹣4x＝5， x2﹣4x+4＝9， 配方得（x﹣2）2＝9， 故选：B． 25．（2025春•义乌市校级期中）用配方法解方程x2﹣2＝4x，下列配方正确的是（　　） A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝6 D．（x﹣2）2＝6 【答案】D 【分析】根据配方法进行运算，即可求解． 【解答】解：由原方程得x2﹣4x＝2， 得x2﹣4x+4＝2+4， 得（x﹣2）2＝6， 故选：D． 26．（2025春•义乌市校级期中）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9 【答案】D 【分析】根据完全平方公式对方程进行配方，即可求得结果． 【解答】解：x2+2x﹣1＝0， 移项得x2+2x＝1， 两边同时加1可得：x2+2x+1＝1+1， 变形得：（x+1）2＝2， 故选：D． 27．（2025春•温州期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝15 B．（x﹣2）2＝7 C．（x﹣4）2＝15 D．（x﹣4）2＝7 【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得． 【解答】解：∵x2﹣4x﹣11＝0， ∴x2﹣4x＝11， 则x2﹣4x+4＝11+4，即（x﹣2）2＝15， 故选：A． 28．（2025春•滨江区期中）用配方法解方程时，变形结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【解答】解：∵x2x﹣1＝0， ∴x2x＝1， 则x2x1，即（x）2， 故选：D． 29．（2025春•拱墅区期中）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣8）2＝54 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣4）2＝6 【答案】D 【分析】利用配方法将原方程配方，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵x2﹣8x+10＝0， ∴x2﹣8x＝﹣10， ∴x2﹣8x+42＝﹣10+42， （x﹣4）2＝6， 故选：D． 30．（2025春•鄞州区期中）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项，系数化成1，再配方，即可得出选项． 【解答】解：2x2﹣3x﹣1＝0， 2x2﹣3x＝1， x2x， x2x， （x）2， 故选：C． 31．（2025春•西湖区校级期中）用配方法解一元二次方程x2+6x﹣21＝0时，配方正确的是（　　） A．（x+3）2＝30 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝30 D．（x﹣3）2＝13 【答案】A 【分析】首先把常数项移到等号右边，然后方程两边加上一次项系数的一半，配方即可． 【解答】解：移项，得x2+6x＝21， 配方，x2+6x+9＝30， 即：（x+3）2＝30． 故选：A． 32．（2025春•鄞州区期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣m＝0可通过配方法转化为（x﹣n）2＝6的形式，则m的值为（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣3 D．3 【答案】C 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形，再对比即可． 【解答】解：由题知， x2﹣6x﹣m＝0， x2﹣6x+9＝m+9， （x﹣3）2＝m+9， 所以m+9＝6， 解得m＝﹣3． 故选：C． 33．（2025春•西湖区校级期中）用配方法将方程x2﹣4x﹣4＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（　　） A．﹣2，0 B．2，0 C．﹣2，8 D．2，8 【答案】C 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案． 【解答】解：∵x2﹣4x﹣4＝0， ∴x2﹣4x＝4， 则x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8， ∴m＝﹣2，n＝8， 故选：C． 34．（2025春•西湖区校级期中）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 【答案】C 【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得（x+3）2＝﹣c+9，可得2c＝﹣c+9，解方程即可得c的值． 【解答】解：x2+6x+c＝0， x2+6x＝﹣c， x2+6x+9＝﹣c+9， （x+3）2＝﹣c+9． ∵（x+3）2＝2c， ∴2c＝﹣c+9，解得c＝3， 故选：C． 35．（2025春•温州期中）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0可以通过配方法转化为（x﹣p）2＝q的形式，则配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣6）2＝5 C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝4 【答案】A 【分析】先移项，再两边都加上9即可． 【解答】解：∵x2﹣6x﹣5＝0， ∴x2﹣6x＝5， ∴x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14， 故选：A． 36．（2025春•杭州期中）已知一元二次方程x2﹣6x+m＝0可以通过配方转化为（x﹣n）2＝1的形式，则m﹣n的值为 　5　 ． 【答案】5． 【分析】将x2﹣6x+m＝0变形，然后根据一元二次方程x2﹣6x+m＝0可以通过配方转化为（x﹣n）2＝1的形式，可以求得m、n的值，再计算m﹣n的值即可． 【解答】解：∵x2﹣6x+m＝0， ∴（x﹣3）2﹣9+m＝0， ∴（x﹣3）2﹣8+m＝1， ∵（x﹣n）2＝1， ∴n＝3，﹣8+m＝0， ∴m＝8， ∴m﹣n＝8﹣3＝5， 故答案为：5． 37．（2025春•义乌市校级期中）解下列方程： （1）（x﹣1）2＝4； （2）x2+6x＝﹣3． 【分析】（1）直接利用开平方法解方程即可； （2）把方程化为x2+6x+9＝﹣3+9，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）直接开平方可得： x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， 解得：x1＝3，x2＝﹣1； （2）原方程配方可得： x2+6x+9＝﹣3+9， ∴（x+3）2＝6， ∴， 解得：，． 38．（2025春•浙江期中）解方程： （1）x2﹣16＝0； （2）x2﹣4x﹣7＝0． 【分析】（1）先把﹣16移到方程右边，然后利用直接开平方法解方程即可； （2）先把﹣7移到等号右边，然后利用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣16＝0， x2＝16， x1＝4，x2＝﹣4； （2）x2﹣4x﹣7＝0， x2﹣4x＝7， x2﹣4x+4＝11， （x﹣2）2＝11， ， ． 39．（2025春•诸暨市期中）解方程： （1）x2＝1； （2）x2﹣2x﹣1＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）x2＝1， ∴x＝±1， ∴x1＝1，x2＝﹣1； （2）x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x＝1， x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2， ∴x﹣1， ∴． 40．（2025春•上城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE． （1）求∠DCE的度数． （2）设BC＝a，AC＝b． ①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由． ②若D为AE的中点，求的值． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案； （2）①直接利用勾股定理得出AB的长，再利用配方法解方程得出答案； ②直接利用勾股定理得出等式求出答案． 【解答】解：（1）∵BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC， ∵AC＝AE， ∴∠ACE＝∠AEC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACE﹣∠DCE＝90°， 又∵在△DCE中，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°， 则90°+2∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝45°． （2）①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根． 理由如下： 由勾股定理得：， ∴ 解关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0， （x+b）2＝a2+b2， 得， ∴线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根； ②∵D为AE的中点， ∴， 由勾股定理得：， 则b2﹣ab＝0， 故b﹣a＝0， 整理得：． 题型六．解一元二次方程-公式法 41．（2025春•北仑区校级期中）用公式法解方程x2﹣3＝5x时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，﹣3，5 B．1，﹣3，5 C．1，5，﹣3 D．1，﹣5，﹣3 【答案】D 【分析】整理成一般式即可得出答案． 【解答】解：整理成一般式得：x2﹣5x﹣3＝0， ∴a＝1，b＝﹣5，c＝﹣3， 故选：D． 42．（2025春•西湖区校级期中）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【答案】A 【分析】判断出a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，可得结论． 【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 43．（2025春•温州校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，若y＞0，则（　　） A．0＜a＜3 B．0＜a＜5 C．a＞3 D．a＞5 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，进而用含a的代数式表示出y，即可得出结论． 【解答】解：ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0）是关于x的一元二次方程， Δ＝[﹣2（a﹣2）]2﹣4a（a﹣4）＝16＞0， 由求根公式，得x， ∴x＝1或， ∵a＞0，x1＞x2， ∴x1＝1，， ∴， 解得a＜5， ∴0＜a＜5； 故选：B． 44．（2025春•拱墅区期中）解方程： （1）（x+1）2﹣4＝0； （2）x2﹣3x﹣2＝0． 【分析】（1）先变形方程得到（x+1）2＝4，然后利用直接开平方法解方程； （2）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【解答】解：（1）（x+1）2＝4， x+1＝±2， 所以x1＝1，x2＝﹣3； （2）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2， ∴Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17， ∴x， ∴x1，x2． 45．（2025春•慈溪市期中）解方程： （1）x2+x＝4x； （2）2x2﹣3x﹣1＝0． 【分析】（1）方程利用因式分解法求解即可； （2）方程利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）x2+x＝4x， x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， x＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝0，x2＝3； （2）2x2﹣3x﹣1＝0， 这里a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， ∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， ∴x， 解得，． 46．（2025春•萧山区期中）解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3． 【分析】（1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝﹣2+4， （x﹣2）2＝2， x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2； （2）2x（x﹣3）+x＝3， 2x2﹣6x+x﹣3＝0， 2x2﹣5x﹣3＝0， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）＝25+24＝49， ∴x， ∴x1＝3，x2． 题型七．解一元二次方程-因式分解法 47．（2025春•上城区校级期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3，则分解因式ax2+bx+c等于（　　） A．（x﹣2）（x+3） B．（ax﹣2）（x+3） C．a（x﹣2）（x+3） D．（x+2）（x﹣3） 【答案】C 【分析】由题意得出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）可以化为a（x﹣2）（x+3）＝0，即可得出答案． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和﹣3， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）可以化为a（x﹣2）（x+3）＝0， ∴ax2+bx+c＝a（x﹣2）（x+3）， 故选：C． 48．（2025春•龙泉市期中）若Rt△ABC的两边长是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则Rt△ABC的斜边长为（　　） A．6 B．或 C．6或 D．6或 【答案】C 【分析】首先用因式分解法解方程，求出方程的解，再分析所有情况，利用勾股定理即可求出斜边． 【解答】解：x2﹣10x+24＝0， （x﹣4）（x﹣6）＝0， ∴x1＝4，x2＝6， ∵Rt△ABC的两直角边的长都是方程x2﹣10x+24＝0的根， ∴有以下情况： （1）两直角边是4，6，由勾股定理得： 斜边为：2， （2）一直角边是4，一斜边是6， 故选：C． 49．（2025春•南湖区期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程x2﹣10x+16＝0的两根，则该三角形第三边长可能是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先求出方程的解，设第三边为x，根据三角形的三边关系定理得出8﹣2＜x＜8+2，求出6＜x＜10，再逐个判断即可． 【解答】解：x2﹣10x+16＝0， （x﹣2）（x﹣8）＝0， x﹣2＝0或x﹣8＝0， 解得：x1＝2，x2＝8， 即三角形的两边为2和8， 设第三边为x， 则由三角形的三边关系定理得：8﹣2＜x＜8+2， 即6＜x＜10， 即只有选项C符合题意，选项A、选项B、选项D都不符合题意； 故选：C． 50．（2025春•西湖区校级期中）已知方程（x+a）（x+b）＝0有M个解，方程（ax+1）（bx+1）＝0有N个解，其中a≠b，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1 【答案】C 【分析】对于方程（x+a）（x+b）＝0，根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，可直接求解，方程（ax+1）（bx+1）＝0，同样依据上述原理求解，但需要分a＝0，b＝0以及a≠0且b≠0等不同情况讨论，再确定两个方程解的个数M和N之间的关系． 【解答】解：（x+a）（x+b）＝0，可得x+a＝0或x+b＝0，即x＝﹣a或x＝﹣b， ∵a≠b， ∴M＝2， 当a＝0，b≠0时，方程变为bx+1＝0．解得x，此时N＝1， 当a≠0，b＝0时，方程变为ax+1＝0，解得x，此时N＝1， 当a≠0，b≠0时，方程变为ax+1＝0或bx+1＝0解得x或x，此时N＝2， ∴当a＝0或b＝0时，M＝2，N＝1，M＝N+1；当a≠0且b≠0时，M＝2，N＝2，M＝N． ∴M＝N或M＝N+1． 故选：C． 51．（2025春•温州期中）一元二次方程x2＝x的根 x1＝0，x2＝1　 ． 【答案】x1＝0，x2＝1 【分析】先移项，然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解． 【解答】解：由原方程得x2﹣x＝0， 整理得x（x﹣1）＝0， 则x＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝0，x2＝1． 故答案为：x1＝0，x2＝1． 52．（2025春•嘉兴校级期中）已知等腰三角形的底边长为3，腰长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长为 　7或11　 ． 【答案】7或11． 【分析】利用十字相乘法解出方程，分腰长为2和腰长为4两种情况计算即可． 【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0，得x1＝2，x2＝4， 当腰长为2时，2+2＞3， 则三角形的周长为：2+2+3＝7， 当腰长为4时，3+4＞4， 则三角形的周长为：4+4+3＝11， 故答案为：7或11． 53．（2025春•北仑区校级期中）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：ad﹣bc，上述记号叫做2阶行列式，若，则x＝　0或　 ． 【答案】0或． 【分析】根据题意，得出关于x的一元二次方程，再进行计算即可． 【解答】解：由得， （x+1）2﹣x（1﹣x）＝1， x2+2x+1﹣x+x2＝1， 2x2+x＝0， x（2x+1）＝0， 则x＝0或2x+1＝0， 所以x＝0或． 故答案为：0或． 54．（2025春•温州期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+b﹣1．例如，把 （3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1＝6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数﹣1，则m的值是　0或2　 ． 【答案】0或2． 【分析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含m的一元二次方程的结果为﹣1，列式求值即可． 【解答】解：由题意得：m2+（﹣2m）﹣1＝﹣1， m2﹣2m＝0， m（m﹣2）＝0， 解得m＝0或2． 故答案为：0或2． 55．（2025春•慈溪市期中）对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为 　3　 ． 【答案】3 【分析】分两种情况：当x≥﹣2时，当x＜﹣2时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当x≥﹣2时， ∵x⊗（﹣2）＝10， ∴x2+x﹣2＝10， x2+x﹣12＝0， （x+4）（x﹣3）＝0， x+4＝0或x﹣3＝0， x1＝﹣4（舍去），x2＝3， 当x＜﹣2时， ∵x⊗（﹣2）＝10， ∴（﹣2）2+x﹣2＝10， x＝8（舍去）， 综上所述：x＝3， 故答案为：3． 56．（2025春•瑞安市校级期中）解方程： （1）x2﹣4x＝0； （2）x2+3x＝10． 【分析】（1）直接提取公因式x，用因式分解法求解即可； （2）把10移到左边，再用十字相乘法分解因式，求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，x（x﹣4）＝0， x＝0或x﹣4＝0， 解得x1＝0，x2＝4； （2）由题意得，x2+3x﹣10＝0， （x﹣2）（x+5）＝10， x﹣2＝0或x+5＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣5． 57．（2025春•兰溪市校级期中）解下列方程： （1）x2＝﹣5x； （2）x2﹣4x+3＝0． 【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）x2＝﹣5x， 移项得x2+5x＝0， ∴x（x+5）＝0， 则x＝0或x+5＝0， 解得x1＝0，x2＝﹣5； （2）x2﹣4x+3＝0． ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝1，x2＝3． 58．（2025春•温州校级期中）解方程： （1）； （2）x2﹣10x+16＝0． 【分析】（1）提公因式法进行因式分解后，再进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行因式分解后，再进行求解即可． 【解答】解：（1）， ， x＝0或x0， ； （2）x2﹣10x+16＝0， （x﹣2）（x﹣8）＝0， x﹣2＝0或x﹣8＝0， x1＝2，x2＝8． 59．（2025春•西湖区校级期中）解下列方程： （1）x（x+2）＝（x+2）； （2）2x2﹣3x+1＝0． 【分析】（1）根据因式分解法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x（x+2）＝（x+2）， ∴x（x+2）﹣（x+2）＝0， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， ∴x+2＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝1； （2）2x2﹣3x+1＝0， （2x﹣1）（x﹣1）＝0， ∴x1＝1，． 60．（2025春•余姚市期中）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）． 解：方程两边同除以（3x﹣1），得3x﹣1＝2…第一步 移项，合并同类项，得3x＝3…第二步 系数化为1，得x＝1…第三步 任务： （1）小明的解法从第 　一　 步开始出现错误； （2）请写出此题的正确解题过程． 【分析】（1）根据解题过程结合等式的性质即可解答； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）由题意得（3x﹣1）2﹣2（3x﹣1）＝0， ∴（3x﹣1﹣2）（3x﹣1）＝0， ∴（3x﹣3）（3x﹣1）＝0， ∴3x﹣3＝0或3x﹣1＝0， ∴x1＝1，． 学科网（北京）股份有限公司 $