专题02一元二次方程及解法 期末复习讲义(15大核心题型精讲+知识点全归纳+进阶练习)-2025-2026学年浙教版数学八年级下学期.

专题02一元二次方程及解法期末复习讲义 期末复习◆目标 1.掌握一元二次方程的定义、一般形式及各部分名称，能够准确辨析一元二次方程，明晰二次项系数不为零的核心限定条件。 2.熟练掌握一元二次方程的四种解法，能根据方程结构择优选择解法，规范解题步骤，精准完成求解运算，杜绝漏根、错根问题。 3.熟练运用根的判别式，判断一元二次方程实数根的情况，可独立解决含参数方程的根的存在性相关题型。 4.掌握韦达定理（根与系数的关系），能利用公式求解代数式的值、求解参数、构造一元二次方程，应对各类高频题型。 5.能够根据实际问题列写一元二次方程并求解，可结合实际情境检验并取舍方程的解，适配全题型考试要求。 核心题型◆归纳 题型1一元二次方程的定义 题型2由一元二次方程的定义求参数 题型3判断是否是一元二次方程的解 题型4由一元二次方程的解求参数 题型5一元二次方程的解的估算 题型6化成一元二次方程的一般形式 题型7因式分解法解一元二次方程 题型8解一元二次方程-直接开平方法 题型9解一元二次方程-配方法 题型10配方法的应用 题型11公式法解一元二次方程 题型12根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型13根据一元二次方程根的情况求参数 题型14换元法解一元二次方程 题型15一元二次方程的根与系数的关系 重点知识◆梳理 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，称为一元二次方程。 一般形式：a+bx+c=0(a≠0) 核心要点：二次项系数a≠0，若a=0，方程最高次数为1，不再是一元二次方程。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 知识点二、一元二次方程四种解法 1.因式分解法（最优首选） 适用范围：可通过提公因式、乘法公式、十字相乘法分解因式的方程。 解题步骤：移项使方程右边为0，将左侧多项式因式分解，令各因式分别等于0，分步求解方程的根。 2.直接开平方法（专属题型） 适用范围：形如=n(n≥0)的一元二次方程。 步骤：两边开平方，x+m=± 3.配方法（必考规范题型） 标准步骤：先将二次项系数化为1，把常数项移至方程右侧，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左侧整理为完全平方式，利用直接开平方法求解。 4.公式法（通用万能解法） 适用范围：所有一元二次方程，适用于无法用因式分解、直接开平方法求解的方程。 求根公式：x=() 解题前提：先将方程整理为标准一般形式，准确对应参数a、b、c后代入公式计算。 知识点三、一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，定义判别式：△= -4ac，用于判定方程实数根的个数。 1. △> 0：方程有两个不相等的实数根； 2. △ = 0：方程有两个相等的实数根； 3. △ < 0：方程无实数根。 知识点四、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，当△= -4ac≥0时，两根为，，则：+= - , = 使用前提：1.必须是一元二次方程：a≠0；2.必须有实数根：△≥0；3.方程先化为一般形式再用公式 知识点五、解题选择技巧 能因式分解则用因式分解法； 形如平方形式用直接开平方法； 系数复杂、不好分解用公式法； 配方题、求最值用配方法 知识点六、高频易错考点总结 参数类一元二次方程题型，必须优先保证$a≠0$，此为核心易错点； 解方程时，不可直接约去含未知数的因式，极易造成漏根； 配方法解题，第一步必须将二次项系数化为1，步骤不可省略； 运用公式法、判别式解题前，务必将方程整理为标准一般形式； 一元二次方程实际应用题，求解后必须检验根的合理性，舍去不符合实际意义的解。 题型解析◆精准备考 题型1一元二次方程的定义. 1．下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，特别要注意二次项系数不为0． 【详解】解：选项A，展开整理原方程，整理得 ，是一元一次方程，不是一元二次方程； 选项B， 中，若 ，方程不是一元二次方程； 选项C， 是整式方程，只含一个未知数，二次项系数为，未知数最高次数为2，一定是一元二次方程； 选项D，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程． 2．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值为 _____． 【答案】 【分析】将代入原方程得到关于k的方程，求解k后，根据一元二次方程的定义，得到二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到k的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得或， ∵二次项系数不能为0， ∴， ∴． 3．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 题型2由一元二次方程的定义求参数 1．一元二次方程化为一般形式后各项的系数和为（    ） A．0 B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先将方程化为标准形式，再计算各项系数之和即可． 【详解】解：， 移项得，即， ∴系数， ∴系数和． 故选D． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是_______ 【答案】 【详解】解：由题意得； 解得． 3．如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 题型3判断是否是一元二次方程的解 1．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 2．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，对比已知条件即可得到方程的一个根． 【详解】解：将代入， 得， ， 当时，成立， 根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2． 3．已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由． 【答案】没有公共根，见解析 【分析】本题考查了方程组的解，解题的关键是掌握两个方程的公共根即为两个方程组成的方程组的根； 设关于x的方程 与 有公共根，公共根为 ，推出或，结合题目条件得出，将其代入①，即可得出结论． 【详解】解：没有公共根，理由如下： 不妨设关于x的方程 与 有公共根， 设公共根为 ， 则有 得， ∴或， ，， ，，则 假设 ， 则，即，与矛盾， ， ， ∴， ， 将 代入①得 ， ∵ ，所以 均为正数，其和 必大于0， ∴ ，不成立，产生矛盾不符合题意， 关于 的两个方程没有公共根． 题型4由一元二次方程的解求参数 1．已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，将已知解代入原方程，即可求出m的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得 ， 整理得 ， 解得 ． 2．已知a为方程的一个根，则代数式的值为_____． 【答案】1 【分析】将代入方程，可得到关于的等式．观察所求代数式与代入后得到的等式的关系，通过等式变形即可得到代数式的值． 【详解】解：将代入原方程得： ， 移项后直接得到， 因此代数式的值为． 3．已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的除法，一元二次方程的解． 先化简代数式，再利用方程条件求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵m是方程的根， ∴， 即， ∴原式的值为5． 题型5一元二次方程的解的估算 1．观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负，即可确定的解的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， 则当时，存在一个x的值，使， 故关于x的方程的一个解x的范围是， 故选：． 2．已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ________________ ．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了元二次方程的根，即方程的解的定义．解此题的关键是设一元二次方程为，把这一根代入方程得出a、b、c之间的数量关系，只要求出满足该数量关系的a、b、c的值就可得出一元二次方程．设一元二次方程为，把代入可得a、b、c之间的数量关系，只要满足该数量关系的方程即为所求．所以答案不唯一． 【详解】解：设一元二次方程为，把代入可得，， 所以只要a ，b、c的值满足即可． 如等，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 3．无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【答案】(1)； (2)求得的整数部分，即可得到． 【分析】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可； （）根据材料二即可总结得出； 本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算． 【详解】（1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵， ∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵， ∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程， 解得， ∴； （2） 解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 题型6化成一元二次方程的一般形式 1．一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（    ） A．，1 B．2，1 C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程的一般形式为（），其中为一次项系数，为常数项． 【详解】解：在方程中，一次项系数是，常数项是． 2．将一元二次方程化成一般形式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 将一元二次方程化为一般形式，需通过移项使方程右边为0，并按降幂排列左边各项． 【详解】解：， 移项得， 故答案为：． 3．将一元二次方程化为的形式，则___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ， ， ∴． 故答案为： 题型7因式分解法解一元二次方程 1．关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】利用因式分解法将方程变形为，再结合得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 2．方程的根是____． 【答案】， 【分析】由因式分解法直接求解即可． 【详解】解：， 或， 解得，． 3．解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， 或， 或， 所以方程的解为，． 题型8解一元二次方程-直接开平方法 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，可通过移项后利用直接开平方法即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即 故选：D． 2．方程的解是______． 【答案】， 【分析】对等式两边直接开平方，得到两个一元一次方程，分别求解这两个方程即可得到原方程的解． 【详解】解：开方得：， 即或， 解得：，. 3．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程运用因式分解法解答即可； （2）方程运用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ∴； （2）解：， ， ， ，， ∴． 题型9解一元二次方程-配方法 1．若关于的一元二次方程，配方后正确的结果是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法步骤，将常数项移到等号右侧，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧整理为完全平方式，得到配方结果． 【详解】解：∵原方程为 ， 移项得 ， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， ∴整理得 ． 2．用配方法解方程时，原方程可变形为______． 【答案】 【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果. 【详解】解：∵ ， 移项得：， 配方得：， 即． 3．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， 得或， 解得； （2）解：  ， 移项，得， 因式分解，得， 即， ∴或 ∴解得． 题型10配方法的应用 1．若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A．26 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用与代数式求值，掌握配方法转化一元二次方程的步骤是解题关键．先配方得出，从而得出，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵配方时需加上一次项系数一半的平方，即， ∴方程两边同时加25，得， ∴， 对比的形式，得，， ∴， 故选：A． 2．若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、配方法的应用、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．先根据已知等式用含的代数式表示，然后通过配方及非负数性质求解即可． 【详解】解：， ． 则． 的最小值为 故答案为： 3．定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)， (3)代数式的最小值为 【分析】（1）根据“和谐方程”定义进行判断即可； （2）根据“和谐方程”定义得出，求出b的值，再解方程即可； （3）根据“和谐方程”定义得出，把代入得出根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵方程中，，， ∴， ∴方程是“和谐方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， 解得：， 解方程， 解得； （3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 即代数式的最小值为． 题型11公式法解一元二次方程 1．如果关于x的一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，则m的取值范围是（   ） A． B．且C．且 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，可得且，再解出方程可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0， ∴且， ∴且， ， 解得： 当时，，则，，不满足一个根大于而小于0，不符合题意； 当时，， 解得：； 综上所述，m的取值范围是． 故选：D 2．已知实数满足，则的值为_____． 【答案】 2 或 3 【分析】将原方程分别乘以 和 ，得到新方程，设 ，推导出关于 的二次方程，求解并检验． 本题考查了分式的乘法，解一元二次方程，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：由，乘以得，即， 由，乘以得，即， 设，则从第一式得，所以， 从第二式得，所以， 于是， 即， 整理得， 即， 解得或， 检验：当时，，满足原方程； 当 时，，也满足原方程， 故的值为 2 或 3． 故答案为：2 或 3． 3．解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： 令或 解得，； （2）解： ，． 题型12根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．若关于的方程（其中为常数），下列说法正确的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式，分析Δ的符号即可确定根的情况． 【详解】解：∵ ， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．，在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是_________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据数轴判断正负． 先求出根的判别式，再结合数轴作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由数轴可知， ∴， 即关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 3．已知关于x的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求k的值； (2)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案； （2）只需要证明即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有一个根是2， ∴， 解得； （2）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 题型13根据一元二次方程根的情况求参数 1．关于的一元二次方程的两根均为整数，则整数的值为（　　） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再整理方程因式分解得到两根，根据根和m都是整数，枚举可能的取值得到符合条件的m． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴ ， 解得， ∵两根均为整数，为整数 ∴是的约数，即，， 当时，，为整数，符合要求， 当时，，不是整数，舍去， 当时，，不是整数，舍去， 当时，，为整数，符合要求， ∴整数的值为或． 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解不等式得， 即的取值范围是． 3．已知关于x的方程有实数根，求k的取值范围． 【答案】 【分析】根据根的判别式，列出关于k的不等式，然后解不等式即可．注意一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴． 题型14换元法解一元二次方程 1．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 2．已知方程的解是；方程的解是，则方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法、类比，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由条件发现关于的一元二次方程，解是，进而解题即可． 【详解】解：由题意，方程的解是， 方程的解是， 可以发现，上述两个方程满足： 关于的一元二次方程，解是，其中、是常数， ∴方程，即的解为 ． 故答案为 ：． 3．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得：，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，利用“换根法”求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍； (2)求解这个新方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得：， 故所求方程为； （2）解：， ， ， ， ∴，． 题型15一元二次方程的根与系数的关系 1．若是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的两根之和为，两根之积为，即可得到结果. 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，且方程中，，， ∴，. 2．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】6 【分析】利用一元二次方程根的定义将转化为含的代数式，代入所求式子化简后，结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 即， 则 ． 3．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据已知条件得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ∵方程有两个不等实数根 即， ； （2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，， ∴ ， ， ． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数最高次数为2， 选项A中，的未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项B中，原方程整理得，满足一元二次方程的全部条件，符合要求； 选项C中，展开整理原方程：左边展开得，右边为，移项合并得：，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项D中，未说明，当时，未知数最高次数不是2，不满足定义，不符合要求． 2．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义，先将已知根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵方程的一个根是1， ∴将代入方程得， 解得， ∴原方程为， 将方程因式分解得， 解得，， ∴方程的另一个根是3． 3．若实数a、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程的解法，求出，，再根据一次函数的图象性质，判断出经过的象限，即可求解． 【详解】解：，解得，， 实数a、b是一元二次方程的两个根，且， ，， 一次函数为， 的图象经过第一、二、四象限， 不经过第三象限． 4．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，再由二次项系数不为0可得，据此求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， 且， ∴ 解得， 且． 5．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知根代入方程求出的值，再代入代数式计算即可求解. 【详解】解：是方程的根， ， 即， ， ． 二、填空题 6．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将原方程化为一般形式，并通过乘以使二次项系数为1，从而得到一次项系数． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项得， 再乘以得 ， 此时二次项系数为1，一次项系数为2． 故答案为：2． 7．方程的解为___________． 【答案】， 【分析】利用因式分解法求解，将方程变形后转化为一元一次方程即可得到解． 【详解】解：， 提取公因式得：， 可得或， 解得：，． 8．将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 【答案】9 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程化为完全平方形式，再求p和q的值，代入求和解答即可． 【详解】解：， 所以，， 则， 故答案为：9． 9．关于的一元二次方程的根的情况是_________． 【答案】 有实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是正确计算判别式并判断其符号．先确定一元二次方程的系数a，b，c；再代入根的判别式公式进行计算；最后根据的符号判断根的情况． 【详解】解：对于方程， ，，， ， ． 故该一元二次方程有实数根． 故答案为：有实数根． 10．已知为实数，且，则的值是___________． 【答案】4 【分析】本题考查了换元法，解一元二次方程，注意解的取值范围是解题关键． 设，则原方程化为，解二次方程并根据确定值． 【详解】解：设，则， 原方程化为， 即， ， ， 解得或， 由于，故， 即． 故答案为：4． 三、解答题 11．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； 【详解】（1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 12．若m是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，完全平方公式，平方差公式，准确计算是解题的关键． 首先根据根的定义得到，得到，然后利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后整体代入即可解答． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴ ∴， ， ． 13．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法，将方程左边配成完全平方式，再开方求解； （2）利用因式分解法，提取公因式将方程转化为两个一次因式乘积为的形式，分别求解两个一元一次方程． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 或， ． 14．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 15．已知实数a，b，c，且． (1)若a，b，c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由求根公式法解得方程的根为，求的值．（一元二次方程的一般形式为，求根公式为：） (2)若，且，，求c的最小值． 【答案】(1) (2)c的最小值为2 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握一元二次方程的求根公式和根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程的求根公式得到，，，则可求出，从而可计算出的值； （2）变形已知条件得到，则，整理得，利用根的判别式的意义得到，解不等式得，从而得到c的最小值为2． 【详解】（1）解：∵用公式法解得方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵关于b的一元二次方程有实数解， ∴， 而， ∴， ∴， ∴c的最小值为2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程及解法期末复习讲义 期末复习◆目标 1.掌握一元二次方程的定义、一般形式及各部分名称，能够准确辨析一元二次方程，明晰二次项系数不为零的核心限定条件。 2.熟练掌握一元二次方程的四种解法，能根据方程结构择优选择解法，规范解题步骤，精准完成求解运算，杜绝漏根、错根问题。 3.熟练运用根的判别式，判断一元二次方程实数根的情况，可独立解决含参数方程的根的存在性相关题型。 4.掌握韦达定理（根与系数的关系），能利用公式求解代数式的值、求解参数、构造一元二次方程，应对各类高频题型。 5.能够根据实际问题列写一元二次方程并求解，可结合实际情境检验并取舍方程的解，适配全题型考试要求。 核心题型◆归纳 题型1一元二次方程的定义 题型2由一元二次方程的定义求参数 题型3判断是否是一元二次方程的解 题型4由一元二次方程的解求参数 题型5一元二次方程的解的估算 题型6化成一元二次方程的一般形式 题型7因式分解法解一元二次方程 题型8解一元二次方程-直接开平方法 题型9解一元二次方程-配方法 题型10配方法的应用. 题型11公式法解一元二次方程 题型12根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型13根据一元二次方程根的情况求参数 题型14换元法解一元二次方程 题型15一元二次方程的根与系数的关系 重点知识◆梳理 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，称为一元二次方程。 一般形式：a+bx+c=0(a≠0) 核心要点：二次项系数a≠0，若a=0，方程最高次数为1，不再是一元二次方程。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 知识点二、一元二次方程四种解法 1.因式分解法（最优首选） 适用范围：可通过提公因式、乘法公式、十字相乘法分解因式的方程。 解题步骤：移项使方程右边为0，将左侧多项式因式分解，令各因式分别等于0，分步求解方程的根。 2.直接开平方法（专属题型） 适用范围：形如=n(n≥0)的一元二次方程。 步骤：两边开平方，x+m=± 3.配方法（必考规范题型） 标准步骤：先将二次项系数化为1，把常数项移至方程右侧，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左侧整理为完全平方式，利用直接开平方法求解。 4.公式法（通用万能解法） 适用范围：所有一元二次方程，适用于无法用因式分解、直接开平方法求解的方程。 求根公式：x=() 解题前提：先将方程整理为标准一般形式，准确对应参数a、b、c后代入公式计算。 知识点三、一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，定义判别式：△= -4ac，用于判定方程实数根的个数。 1. △> 0：方程有两个不相等的实数根； 2. △ = 0：方程有两个相等的实数根； 3. △ < 0：方程无实数根。 知识点四、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，当△= -4ac≥0时，两根为，，则：+= - , = 使用前提：1.必须是一元二次方程：a≠0；2.必须有实数根：△≥0；3.方程先化为一般形式再用公式 知识点五、解题选择技巧 能因式分解则用因式分解法； 形如平方形式用直接开平方法； 系数复杂、不好分解用公式法； 配方题、求最值用配方法 知识点六、高频易错考点总结 参数类一元二次方程题型，必须优先保证$a≠0$，此为核心易错点； 解方程时，不可直接约去含未知数的因式，极易造成漏根； 配方法解题，第一步必须将二次项系数化为1，步骤不可省略； 运用公式法、判别式解题前，务必将方程整理为标准一般形式； 一元二次方程实际应用题，求解后必须检验根的合理性，舍去不符合实际意义的解。 题型解析◆精准备考 题型1一元二次方程的定义. 1．下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值为 _____． 3．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 题型2由一元二次方程的定义求参数 1．一元二次方程化为一般形式后各项的系数和为（    ） A．0 B．6 C．5 D． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是_______ 3．如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 题型3判断是否是一元二次方程的解 1．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 2．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 3．已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由． 题型4由一元二次方程的解求参数 1．已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．已知a为方程的一个根，则代数式的值为_____． 3．已知是方程的一个根，求代数式的值． 题型5一元二次方程的解的估算 1．观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A． B． C． D． 2．已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ________________ ．（填一个即可） 3．无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 题型6化成一元二次方程的一般形式 1．一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（    ） A．，1 B．2，1 C． D． 2．将一元二次方程化成一般形式为______． 3．将一元二次方程化为的形式，则___________． 题型7因式分解法解一元二次方程 1．关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 2．方程的根是____． 3．解方程：． 题型8解一元二次方程-直接开平方法 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．方程的解是______． 3．解下列方程： (1) (2) 题型9解一元二次方程-配方法 1．若关于的一元二次方程，配方后正确的结果是（    ） A．B． C． D． 2．用配方法解方程时，原方程可变形为______． 3．解下列方程： (1) (2) 题型10配方法的应用 1．若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A．26 B． C．6 D． 2．若，则的最小值为______． 3．定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 题型11公式法解一元二次方程 1．如果关于x的一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，则m的取值范围是（   ） A． B．且C．且 D． 2．已知实数满足，则的值为_____． 3．解下列一元二次方程： (1) (2) 题型12根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．若关于的方程（其中为常数），下列说法正确的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 2．，在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是_________． 3．已知关于x的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求k的值； (2)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 题型13根据一元二次方程根的情况求参数 1．关于的一元二次方程的两根均为整数，则整数的值为（　　） A．0 B． C．0或 D．0或1 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 3．已知关于x的方程有实数根，求k的取值范围． 题型14换元法解一元二次方程 1．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．已知方程的解是；方程的解是，则方程的解为______． 3．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得：，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，利用“换根法”求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍； (2)求解这个新方程的根． 题型15一元二次方程的根与系数的关系 1．若是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 3．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 2．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（　　） A． B．3 C． D．4 3．若实数a、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 5．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 7．方程的解为___________． 8．将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 9．关于的一元二次方程的根的情况是_________． 10．已知为实数，且，则的值是___________． 三、解答题 11．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 12．若m是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 13．解方程： (1)； (2)． 14．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 15．已知实数a，b，c，且． (1)若a，b，c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由求根公式法解得方程的根为，求的值．（一元二次方程的一般形式为，求根公式为：） (2)若，且，，求c的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $