考点01 三角形中位线与多边形（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

**基本信息** 以“概念-定理-应用”为主线，系统整合三角形中位线、多边形、中点四边形知识，提炼步骤化解题方法，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形中位线|3题型15题|识别-应用-转化-构造中位线|定义→定理→推论→实际测量模型| |多边形|2题型10题|公式应用-方程求解-内外角转化|定义→对角线公式→内角和/外角和定理→正多边形计算| |中点四边形|1题型5题|对角线关系判定形状|定义→性质→原四边形对角线与形状对应|

01 三角形中位线与多边形 考点一：三角形的中位线 1、三角形中位线的定义： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 如图，在中，点D是AB的中点，点E是AC的中点，则线段DE是的一条中位线。 2、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言：∵D是AB的中点，E是AC的中点， ∴ DEBC，且 。 3、三角形中位线的推论： · 三角形有三条中位线，它们将原三角形分成四个全等的小三角形。 · 三角形的三条中位线围成一个新的三角形，其周长等于原三角形周长的一半。 · 三角形的三条中位线围成的三角形面积等于原三角形面积的四分之一。 · 考点二：多边形的内角和与外角和 1、多边形的定义： 在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 2、多边形的对角线： 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 从n边形的一个顶点可以引出(n - 3)条对角线。n边形的对角线总条数为： 3、多边形的内角和定理： n边形的内角和等于。 推论： · 正n边形的每个内角为。 · 增加一条边，内角和增加。 4、多边形的外角和定理： 任意多边形的外角和等于。 注意： · 多边形的外角和与边数无关。 · 正n边形的每个外角为。 5、多边形的相关计算： 公式类型 公式表达 内角和 外角和 对角线总数 正多边形每个内角 正多边形每个外角 边数与内外角关系 内角 + 外角 考点三：中点四边形 1、中点四边形的定义： 顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。 2、中点四边形的性质： 任意四边形的中点四边形都是平行四边形。 3、中点四边形的形状与原四边形对角线的关系： 原四边形对角线的关系 中点四边形的形状 一般四边形（对角线无特殊关系） 平行四边形 对角线相等（如矩形、等腰梯形） 菱形 对角线互相垂直（如菱形） 矩形 对角线相等且互相垂直（如正方形） 正方形 题型一：与三角形中位线有关的求解 1. 识别中位线：找到三角形两边中点的连线，确定其为中位线。 2. 应用定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。公式：，。 3. 转化求解：利用中位线定理将未知线段（如DE）与已知线段（如BC）建立数量关系，或利用平行关系转移角度，再结合勾股定理、平行四边形性质等求解。 4. 构造中位线：当图形中存在中点但无直接中位线时，常连接对角线或取中点构造中位线。 1. 误将非中点的线段当作中位线使用，如连接顶点与对边上的点。 2. 忽略中位线的前提条件（两边中点），直接应用“平行且等于第三边一半”的结论。 3. 应用定理时记错数量关系，如误写成。 4. 在复杂图形中遗漏隐藏的中点条件，导致无法有效构造中位线。 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，点D，E分别是边与网格对角线的交点，连接，则的长为______． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，分别是，的中点，若，则________． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，且，，，则的度数是________． 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，垂直平分，点在线段上，，相交于点，，连接，若，则的长为_____． 5．（2023八年级下·浙江·竞赛）如图，在中，，点，分别在边，上，，分别是，的中点，已知，，，则的长是____． 题型二：与三角形中位线有关的证明 1. 找中点：根据题意标出图形中的所有中点。 2. 连中位线：连接相关中点，形成中位线。 3. 用性质：利用中位线平行于第三边且等于第三边一半的性质，得出线段之间的位置和数量关系。 4. 证特殊形：结合平行线的性质（如内错角、同位角相等）和三角形全等或等腰三角形的判定，证明线段相等、角相等或四边形为特殊四边形（如平行四边形、菱形、矩形、正方形）。 1. 在证明中点四边形形状时，混淆原四边形对角线关系（相等、垂直）与中点四边形形状（菱形、矩形）的对应关系。 2. 证明中位线时，只证平行或只证一半，缺乏完整性。 3. 在几何综合题中，证明全等或等腰三角形时，未能充分利用中位线带来的平行关系进行角度转换。 4. 辅助线添加不当，如连接了非中点的点，导致无法直接应用中位线定理。 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，，依次是，，，的中点． ①若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形； ④若，，则四边形是正方形． 则上述四个结论中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若取四边形各边的中点并顺次连结，所得到的四边形是菱形，则这个四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线互相平分的四边形 D．对角线相等的四边形 3．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，点，分别是，中点，连接，的平分线交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 题型三：三角形中位线的实际应用 1. 抽象模型：将实际问题中的点抽象为几何图形的顶点，其中不可直接测量的两点视为三角形的两个顶点。 2. 构造中位线：在三角形外取一点，连接它与两个测量点，并取这两条线段的中点。 3. 建立联系：连接两个中点，则这条连线就是三角形的中位线。 4. 计算求解：根据中位线定理，由可测量的中位线长度计算出不可直接测量的两点间距离 。 1. 在实际情境中无法正确抽象出数学模型（三角形及其两边中点）。 2. 误认为取的中点是三角形顶点与测量点连线的中点后，连线就是中位线（需注意中位线连接的是两边中点，而非顶点与中点）。 3. 计算时忽略单位统一，或忘记公式中的倍数关系（如误用 ）。 4. 应用场景判断错误，如将非封闭路径视为三角形。 1．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，要测量池塘边上B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，连结，，并取，的中点D，E，连结．测出的长为20米，则B，C两地的距离为（    ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 2．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，小明为测量池塘的长度，在池塘外取一点，连接，，分别取，的中点，，连接，测得米，则的长为______米． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，小华同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后找出，的中点为D，E，测得，则A，B之间的距离为______． 4．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）要测池塘B、C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段、，并取、的中点D、E，连接，测得米，则____________米． 5．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，某游乐场游客中心位于处，其正南方向米处有海盗船游乐项目，在的正东方向米处有摩天轮游乐项目餐厅位于的中点；碰碰车游乐项目位于上，且恰好处于餐厅的正南方向小快从出发，经到匀速骑行游玩，曼曼同时从出发，沿南偏西方向匀速直线行走游玩．    (1)餐厅和碰碰车游乐项目相距多少米？ (2)已知小快的速度是曼曼速度的倍，小快在由到骑行的途中与曼曼相遇于处，那么相遇时曼曼行走了多少米？（结果精确到米，） 题型四：多边形的周长与对角线 1. 概念公式： · 对角线定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段。 · 从n边形的一个顶点出发可引(n-3)条对角线。 · n边形对角线总条数公式：。 2. 列方程：根据题目给出的对角线总条数或从顶点引出的对角线数量，代入公式构建关于边数n的方程。 3. 求解验证：解方程求出n，并验证解是否符合多边形边数为正整数且的条件。 4. 周长问题：利用多边形周长公式或边长关系，结合正多边形边长相等、对角线数量等条件综合求解。 1. 对角线公式记忆错误，如漏掉除以2或混淆与。 2. 从顶点引对角线数量误算为n-2或n，忽略与自己及相邻顶点不能连对角线。 3. 解方程时产生负数根或非整数根，未舍去导致答案错误。 4. 在周长与对角线综合问题中，忽略多边形边长的实际范围（如正多边形边长相等）或隐含条件。 1．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）一个n边形从一个顶点可引3条对角线，则n为（  　　） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（2023·浙江丽水·一模）已知一个多边形内角和为，则这个多边形可连对角线的条数是（    ） A．10 B．16 C．20 D．40 3．（24-25八年级下·浙江·月考）在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过__________时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 4．（24-25八年级上·浙江台州·月考）如果一个多边形的内角和为，那么这个多边形共有______条对角线． 5．（23-24八年级上·浙江杭州·月考）若n边形共有9条对角线，则n为____________ . 题型五：多边形的内角和相关 1. 内角和公式：n边形的内角和为。 2. 外角和定理：任意多边形的外角和恒为。 3. 正多边形计算： · 每个内角： · 每个外角： · 内角与外角互补：内角+外角。 4. 列方程求解：根据已知内角和、外角或内外角关系，代入公式构建方程，求出边数n或特定角的度数。 1. 内角和公式中误用或。 2. 混淆内角与外角，特别是在正多边形中，将每个内角公式错用为外角公式。 3. 利用外角和求解时，忽略外角和恒为与边数无关的特性。 4. 在复杂图形中（如星形、拼接图形），不会通过构造辅助线（连接顶点、延长边）将不规则角度转化为多边形内角和问题。 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）六边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，将一等边三角形剪去一个角后，等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是______． 5．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，，，是的平分线，与边交于点E，，求的度数． 题型六：多边形的外角和相关 1. 外角和定理：任意多边形的外角和恒为，与边数无关。 2. 内外角关系：多边形的每一个内角与它相邻的外角互补，即内角+外角。 3. 正多边形计算：正n边形的每个外角为，每个内角为或。 4. 列方程求解：根据已知的部分外角和、内外角关系或正多边形条件，构建方程求出边数n或特定角的度数。 5. 转化求解：当直接求内角困难时，可先求其相邻的外角，再利用内外角互补关系求解。 1. 混淆内角与外角，特别是在正多边形中，将每个内角公式错用为外角公式。 2. 忽略外角和恒为与边数无关的特性，错误地认为边数变化外角和也变化。 3. 在复杂图形中，无法正确识别哪些角是多边形的外角（需一边是边的延长线）。 4. 利用外角和列式时，漏加或重复计算某个外角，导致方程错误。 5. 已知一个内角求边数时，忘记先转化为外角再计算，直接使用内角和公式导致计算复杂。 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，是五边形的4个外角，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，与相邻的外角是，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江·期中）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A． B． C． D． 4．（2026·浙江台州·二模）如图是某古建筑中的窗花图案，其边框是一个正八边形，则其边框的每一个内角为_______度． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）七边形的外角和是______度． 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知正多边形的一个内角为，则这个多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 2．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）某同学用纸剪出了三种多边形，为凸四边形，凸五边形，凸六边形，每种至少剪出一个，剪出多边形的边数之和为79，那么剪出的多边形的所有内角中，直角的个数最多是（   ） A．66 B．70 C．74 D．78 3．（21-22九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，已知，点，分别为，的中点，平分交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，D是的中点，P是边上的点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 5．（21-22八年级下·浙江舟山·期末）如图，四边形中，，点分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点分别为的中点，则长度的最大值为（　　） A．2 B．2.5 C． D．4 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）杭州雷峰塔其基座的平面示意图可抽象成八边形，如图所示，则这个八边形的内角和为_______． 7．（23-24八年级上·浙江·期中）如图：________________． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为______． 9．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，五边形中．平分交于点平分交于点G． (1)求的度数（用含的代数式表示）； (2)求证：． 10．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）【基础巩固】 如图1，在四边形中，，连结，、、分别是、、的中点，连结、，求证：． 【类题突破】 如图2，在四边形中，，，分别是，的中点．连结并延长，分别与，的延长线交于点，．请问与有怎样的数量关系，并说明理由； 【应用拓展】 如图3，在四边形中，，，垂足为．点在上，，连结，点、分别是、的中点，求的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 01 三角形中位线与多边形 考点一：三角形的中位线 1、三角形中位线的定义： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 如图，在中，点D是AB的中点，点E是AC的中点，则线段DE是的一条中位线。 2、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言：∵D是AB的中点，E是AC的中点， ∴ DEBC，且 。 3、三角形中位线的推论： · 三角形有三条中位线，它们将原三角形分成四个全等的小三角形。 · 三角形的三条中位线围成一个新的三角形，其周长等于原三角形周长的一半。 · 三角形的三条中位线围成的三角形面积等于原三角形面积的四分之一。 · 考点二：多边形的内角和与外角和 1、多边形的定义： 在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 2、多边形的对角线： 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 从n边形的一个顶点可以引出(n - 3)条对角线。n边形的对角线总条数为： 3、多边形的内角和定理： n边形的内角和等于。 推论： · 正n边形的每个内角为。 · 增加一条边，内角和增加。 4、多边形的外角和定理： 任意多边形的外角和等于。 注意： · 多边形的外角和与边数无关。 · 正n边形的每个外角为。 5、多边形的相关计算： 公式类型 公式表达 内角和 外角和 对角线总数 正多边形每个内角 正多边形每个外角 边数与内外角关系 内角 + 外角 考点三：中点四边形 1、中点四边形的定义： 顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。 2、中点四边形的性质： 任意四边形的中点四边形都是平行四边形。 3、中点四边形的形状与原四边形对角线的关系： 原四边形对角线的关系 中点四边形的形状 一般四边形（对角线无特殊关系） 平行四边形 对角线相等（如矩形、等腰梯形） 菱形 对角线互相垂直（如菱形） 矩形 对角线相等且互相垂直（如正方形） 正方形 题型一：与三角形中位线有关的求解 1. 识别中位线：找到三角形两边中点的连线，确定其为中位线。 2. 应用定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。公式：，。 3. 转化求解：利用中位线定理将未知线段（如DE）与已知线段（如BC）建立数量关系，或利用平行关系转移角度，再结合勾股定理、平行四边形性质等求解。 4. 构造中位线：当图形中存在中点但无直接中位线时，常连接对角线或取中点构造中位线。 1. 误将非中点的线段当作中位线使用，如连接顶点与对边上的点。 2. 忽略中位线的前提条件（两边中点），直接应用“平行且等于第三边一半”的结论。 3. 应用定理时记错数量关系，如误写成。 4. 在复杂图形中遗漏隐藏的中点条件，导致无法有效构造中位线。 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，点D，E分别是边与网格对角线的交点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由题意得，，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，分别是，的中点，若，则________． 【答案】 【分析】先根据中位线的判定和性质求出，再结合平行四边形的性质，即可求解． 【详解】∵，分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴， 故， 又∵四边形为平行四边形， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，且，，，则的度数是________． 【答案】 【分析】容易判断是的中位线，则，，同理，，结合可得，．由平行线的性质和三角形外角的性质可得，，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 同理，是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，垂直平分，点在线段上，，相交于点，，连接，若，则的长为_____． 【答案】4 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段，得出为的中位线，得出，证明，得出相等的线段，最后可以求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴点为线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2023八年级下·浙江·竞赛）如图，在中，，点，分别在边，上，，分别是，的中点，已知，，，则的长是____． 【答案】 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理表示出的长及位置关系，在中利用勾股定理得到的数量关系，再在中利用勾股定理列方程求解. 【详解】解：取的中点，连接， 分别是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， ，即， ，即； 设，则， ； 设，则， ； ， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得. 在中，由勾股定理得， 即， ∴， 将代入上式得：， 解得； ， ， ， ，且， .； ， . 题型二：与三角形中位线有关的证明 1. 找中点：根据题意标出图形中的所有中点。 2. 连中位线：连接相关中点，形成中位线。 3. 用性质：利用中位线平行于第三边且等于第三边一半的性质，得出线段之间的位置和数量关系。 4. 证特殊形：结合平行线的性质（如内错角、同位角相等）和三角形全等或等腰三角形的判定，证明线段相等、角相等或四边形为特殊四边形（如平行四边形、菱形、矩形、正方形）。 1. 在证明中点四边形形状时，混淆原四边形对角线关系（相等、垂直）与中点四边形形状（菱形、矩形）的对应关系。 2. 证明中位线时，只证平行或只证一半，缺乏完整性。 3. 在几何综合题中，证明全等或等腰三角形时，未能充分利用中位线带来的平行关系进行角度转换。 4. 辅助线添加不当，如连接了非中点的点，导致无法直接应用中位线定理。 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，，依次是，，，的中点． ①若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形； ④若，，则四边形是正方形． 则上述四个结论中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查中点四边形，根据三角形的中位线定理，菱形，矩形和正方形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：∵在四边形中，，，，依次是，，，的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； 当时，则：， ∴四边形是菱形；故②正确； 当时，则：， ∴， ∴四边形是矩形；故③正确； 当，，则：，， ∴四边形是正方形；故④正确； 故选D 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若取四边形各边的中点并顺次连结，所得到的四边形是菱形，则这个四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线互相平分的四边形 D．对角线相等的四边形 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线定理和菱形的判定，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，掌握三角形的中位线定理和菱形的判定是解题的关键 顺次连结四边形各边的中点，则所得四边形的四边分别是以原四边形对角线为底边的四个三角形的中位线，根据三角形的中位线定理可得原四边形对角线相等 【详解】如图所示：∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，，，， ，， ， ∴，，， ∵四边形为菱形 ∴， ∴， 故选：D 3．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，点，分别是，中点，连接，的平分线交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由角平分线得，再用三角形中位线定理证，得，通过等量代换即可得证； （2）先用中位线定理求出的长，由算出，再结合第一问的等角对等边得出即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵点，分别是，中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点，分别是，中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，是边上的中线，是的中点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明过程见解答； (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质等； （1）根据等腰三角形的“三线合一”可知，结合已知可推出为的中位线，根据三角形中位线的性质即可证得结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而勾股定理求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ， 是的中点， 为的中位线， ∴； （2）解：∵，是边上的中线， ∴，即， ∵在中，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）连接，交于点O，易得为的中位线，根据平行四边形的性质，结合勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）延长交的延长线于点G，证明，得到，取的中点F，连接，证明，得到，进而得到，即可得证； （3）连接，取中点H，连接，根据三角形的中位线定理，推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，得到，进而得到，等边对等角求出，进而推出，即可得证． 【详解】解：（1）连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，延长交的延长线于点G， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 取的中点F，连接，则有，且， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，连接，取中点H，连接， ∵E，F分别为和中点， ∴和分别为和的中位线， ∴且，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造三角形的中位线，是解题的关键． 题型三：三角形中位线的实际应用 1. 抽象模型：将实际问题中的点抽象为几何图形的顶点，其中不可直接测量的两点视为三角形的两个顶点。 2. 构造中位线：在三角形外取一点，连接它与两个测量点，并取这两条线段的中点。 3. 建立联系：连接两个中点，则这条连线就是三角形的中位线。 4. 计算求解：根据中位线定理，由可测量的中位线长度计算出不可直接测量的两点间距离 。 1. 在实际情境中无法正确抽象出数学模型（三角形及其两边中点）。 2. 误认为取的中点是三角形顶点与测量点连线的中点后，连线就是中位线（需注意中位线连接的是两边中点，而非顶点与中点）。 3. 计算时忽略单位统一，或忘记公式中的倍数关系（如误用 ）。 4. 应用场景判断错误，如将非封闭路径视为三角形。 1．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，要测量池塘边上B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，连结，，并取，的中点D，E，连结．测出的长为20米，则B，C两地的距离为（    ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理即可得解． 【详解】解： D，E是，的中点， 是的中位线， ，又， 米． 故选：D． 2．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，小明为测量池塘的长度，在池塘外取一点，连接，，分别取，的中点，，连接，测得米，则的长为______米． 【答案】 【分析】利用三角形中位线定理得即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴米． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，小华同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后找出，的中点为D，E，测得，则A，B之间的距离为______． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D，E是，的中点，即是的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解． 【详解】解：∵，的中点为D，E， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 即A,B之间的距离为 故答案为：40． 4．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）要测池塘B、C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段、，并取、的中点D、E，连接，测得米，则____________米． 【答案】40 【分析】本题考查三角形中位线定理的应用，根据三角形中位线定理可得，即可求解． 【详解】解：∵点D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：40． 5．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，某游乐场游客中心位于处，其正南方向米处有海盗船游乐项目，在的正东方向米处有摩天轮游乐项目餐厅位于的中点；碰碰车游乐项目位于上，且恰好处于餐厅的正南方向小快从出发，经到匀速骑行游玩，曼曼同时从出发，沿南偏西方向匀速直线行走游玩．    (1)餐厅和碰碰车游乐项目相距多少米？ (2)已知小快的速度是曼曼速度的倍，小快在由到骑行的途中与曼曼相遇于处，那么相遇时曼曼行走了多少米？（结果精确到米，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】利用三角形的中位线定理求解即可； 设相遇时曼曼行走了米，则米，米，求出米，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，米，， 位于的中点，， 位于的中点， 是的中位线， 米． 答：餐厅和碰碰车游乐项目相距米； （2）解：设相遇时曼曼行走了米，则米，米， 由题意可知，， 由可知，是的中位线， ， ， ， 位于的中点， 米， 米， 在中，由勾股定理得：， 整理得：， 解得：， 不合题意，舍去， 答：相遇时曼曼行走了约米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、方向角以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 题型四：多边形的周长与对角线 1. 概念公式： · 对角线定义：连接多边形不相邻两个顶点的线段。 · 从n边形的一个顶点出发可引(n-3)条对角线。 · n边形对角线总条数公式：。 2. 列方程：根据题目给出的对角线总条数或从顶点引出的对角线数量，代入公式构建关于边数n的方程。 3. 求解验证：解方程求出n，并验证解是否符合多边形边数为正整数且的条件。 4. 周长问题：利用多边形周长公式或边长关系，结合正多边形边长相等、对角线数量等条件综合求解。 1. 对角线公式记忆错误，如漏掉除以2或混淆与。 2. 从顶点引对角线数量误算为n-2或n，忽略与自己及相邻顶点不能连对角线。 3. 解方程时产生负数根或非整数根，未舍去导致答案错误。 4. 在周长与对角线综合问题中，忽略多边形边长的实际范围（如正多边形边长相等）或隐含条件。 1．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）一个n边形从一个顶点可引3条对角线，则n为（  　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：，列方程求解． 【详解】解：设多边形有n条边， 则， 解得，． 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形． 2．（2023·浙江丽水·一模）已知一个多边形内角和为，则这个多边形可连对角线的条数是（    ） A．10 B．16 C．20 D．40 【答案】C 【分析】先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即可． 【详解】解：设这个多边形为n边形， 由题意得，， ∴， ∴这个多边形为八边形， ∴这个多边形可连对角线的条数是， 故选C． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，熟知n边形的对角线条数是是解题的关键． 3．（24-25八年级下·浙江·月考）在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过__________时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 【答案】分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的购进． 根据题意求出正五边形 的主题公园步道的边长米，设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米，列方程得，解方程再进一步即可得到答案． 【详解】解：正五边形 的主题公园步道的边长为米， 设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米， 根据题意得：， 解得：， 从出发开始计时，经过分钟，小李行进， 小张行进， ， ， 如图所示，小李位于点M处，小张位于点N处， 此时，点、分别是边、的中点， 小李从到用时 ， 小张从N到E用时， ， 小李先到达点D，此时两人首次处于同一段步道上， 小李和小张首次处于同一段步道上，用时， 故答案为：分钟． 4．（24-25八年级上·浙江台州·月考）如果一个多边形的内角和为，那么这个多边形共有______条对角线． 【答案】5 【分析】本题考查了多边形的内角和、多边形对角线条数，设这个多边形的边数为，由多边形的内角和为计算得出，再根据对边形对角线的条数的计算公式计算即可得解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得， 解得：， ∴这个多边形的对角线条数为， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·浙江杭州·月考）若n边形共有9条对角线，则n为____________ . 【答案】6 【分析】本题主要考查了多边形的对角线的公式，熟记公式是解题的关键． 根据多边形的对角线公式列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 则， 解得， 故答案为：6． 题型五：多边形的内角和相关 1. 内角和公式：n边形的内角和为。 2. 外角和定理：任意多边形的外角和恒为。 3. 正多边形计算： · 每个内角： · 每个外角： · 内角与外角互补：内角+外角。 4. 列方程求解：根据已知内角和、外角或内外角关系，代入公式构建方程，求出边数n或特定角的度数。 1. 内角和公式中误用或。 2. 混淆内角与外角，特别是在正多边形中，将每个内角公式错用为外角公式。 3. 利用外角和求解时，忽略外角和恒为与边数无关的特性。 4. 在复杂图形中（如星形、拼接图形），不会通过构造辅助线（连接顶点、延长边）将不规则角度转化为多边形内角和问题。 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）六边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：六边形的内角和等于． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，将一等边三角形剪去一个角后，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的每一个角都是求出，再根据四边形的内角和等于进行计算即可得解． 【详解】解：如图， ∵三角形是等边三角形， ， ． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 4．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是______． 【答案】/五 【详解】解：设这个多边形的边数为，则有：， ∴． 5．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，，，是的平分线，与边交于点E，，求的度数． 【答案】 【分析】先根据等边对等角得，再根据三角形内角和定理求出，然后根据角平分线定义求出，最后根据四边形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵四边形内角和为， ∴． 题型六：多边形的外角和相关 1. 外角和定理：任意多边形的外角和恒为，与边数无关。 2. 内外角关系：多边形的每一个内角与它相邻的外角互补，即内角+外角。 3. 正多边形计算：正n边形的每个外角为，每个内角为或。 4. 列方程求解：根据已知的部分外角和、内外角关系或正多边形条件，构建方程求出边数n或特定角的度数。 5. 转化求解：当直接求内角困难时，可先求其相邻的外角，再利用内外角互补关系求解。 1. 混淆内角与外角，特别是在正多边形中，将每个内角公式错用为外角公式。 2. 忽略外角和恒为与边数无关的特性，错误地认为边数变化外角和也变化。 3. 在复杂图形中，无法正确识别哪些角是多边形的外角（需一边是边的延长线）。 4. 利用外角和列式时，漏加或重复计算某个外角，导致方程错误。 5. 已知一个内角求边数时，忘记先转化为外角再计算，直接使用内角和公式导致计算复杂。 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，是五边形的4个外角，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由多边形外角和定理得出的外角为：，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴的外角为：， ∴． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，与相邻的外角是，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和与外角，根据外角的定义，求出的度数，再根据四边形的内角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：∵与相邻的外角是， ∴， ∵在四边形中，，， ∴的度数为； 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江·期中）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键．直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（2026·浙江台州·二模）如图是某古建筑中的窗花图案，其边框是一个正八边形，则其边框的每一个内角为_______度． 【答案】 【详解】解：正八边形的一个外角为 ∴每一个内角为 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）七边形的外角和是______度． 【答案】360 【分析】本题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和等于360度即可求解． 【详解】解：七边形的外角和为． 故答案为：360． 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知正多边形的一个内角为，则这个多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，先求出正多边形的一个外角是，再用外角和除以外角即可得到边数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∴这个正多边形的边数为， 即正多边形是正十二边形， 故选：D． 2．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）某同学用纸剪出了三种多边形，为凸四边形，凸五边形，凸六边形，每种至少剪出一个，剪出多边形的边数之和为79，那么剪出的多边形的所有内角中，直角的个数最多是（   ） A．66 B．70 C．74 D．78 【答案】C 【分析】根据多边形的内角和判断出凸四边形、凸五边形和凸六边形直角的最多个数，从而确定出四边形中直角最多，再求剪出一个凸四边形，一个凸五边形，一个凸六边形的边数，然后根据剩余的边数情况解答即可． 【详解】解：凸四边形最多有四个直角，凸五边形和凸六边形最多有三个直角， 剪出一个凸四边形，一个凸五边形，一个凸六边形共有15条边，最多有个直角， 剩下条边， 由于要直角尽可能多， 则都是凸四边形，且凸四边形四个角都是直角时，直角最多， 64条边组成16个凸四边形，共有64个直角， 所以直角的个数最多是． 3．（21-22九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，已知，点，分别为，的中点，平分交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理，等腰三角形的判定等证明即可求解． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线，， ，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，D是的中点，P是边上的点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，取的中点E，连接，根据三角形中位线定理得到，，得到，设，，得到，，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 设，，则，， 由勾股定理得：，即， ∴， 在中，， 则， 故选：B． 5．（21-22八年级下·浙江舟山·期末）如图，四边形中，，点分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点分别为的中点，则长度的最大值为（　　） A．2 B．2.5 C． D．4 【答案】C 【分析】连接，由勾股定理得，由三角形中位线性质可得，即可得点 与点 重合时 最大，最大值为 ，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接 、 ，如图所示， 在 中， ， ， ， ， 点 分别为 的中点， 是 的中位线， ， 由题意得，当点 与点 重合时 最大，最大值为 ， 长度的最大值为 ． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）杭州雷峰塔其基座的平面示意图可抽象成八边形，如图所示，则这个八边形的内角和为_______． 【答案】/1080度 【分析】本题考查了多边形的内角和问题，掌握边形的内角和为是解题的关键． 根据多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：这个八边形的内角和为， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·浙江·期中）如图：________________． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和以及三角形外角的性质，解题的关键是利用三角形外角的性质将所求角转化到一个四边形中进行计算． 通过连接，利用三角形外角的性质将和转化为和，再根据四边形内角和为求出的度数． 【详解】连接，为与的交点， 在和中， ， ， 那么． 而正好是四边形的内角和． 根据多边形内角和公式：边形内角和为， 四边形内角和为， 所以． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为______． 【答案】 【分析】延长交于点，根据平行四边形的性质结合角平分线的性质证明，，根据三线合一可得是的中位线， 利用中位线定理计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，即，， ， 是的中位线， ． 9．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，五边形中．平分交于点平分交于点G． (1)求的度数（用含的代数式表示）； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由多边形内角和定理得出，进而求出，再由角平分线的定义即可求出的度数． （2）由角平分线的定义得出，由直角三角形的两个锐角互余得出，由（1）得，进而得出，根据平行线的判定即可得出． 【详解】（1）解：， ， 平分， ． （2）证明：平分 ， 又， ， 平分，由（1）得， ， ． 10．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）【基础巩固】 如图1，在四边形中，，连结，、、分别是、、的中点，连结、，求证：． 【类题突破】 如图2，在四边形中，，，分别是，的中点．连结并延长，分别与，的延长线交于点，．请问与有怎样的数量关系，并说明理由； 【应用拓展】 如图3，在四边形中，，，垂足为．点在上，，连结，点、分别是、的中点，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）由三角形中位线定理证出，，则可得出结论； （2）连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质证明； （3）连接，取的中点，连接，，证出，，，，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：、、分别是、、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， ； （2）解：如图，连接，取的中点，连接，， ，，，， ， ， ， ，， ，， ． （3）解：连接，取的中点，连接，， ，为，的中点， 为的中位线， ，， 同理为的中位线， ，， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $