第4章 平行四边形（高效培优单元自测·提升卷）数学浙教版新教材八年级下册

第4章 平行四边形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个是钝角”，下列假设正确的是（   ） A．假设钝角的个数至多有一个 B．假设只有一个钝角 C．假设三个外角都不是钝角 D．假设有两个锐角 4．如图，在三角尺中，，，将三角尺绕点A按顺时针方向旋转得到，使点C的对应点落在边上，连接，则的度数为 A． B． C． D． 5．如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，为了测量踏青时一处被花坛隔开的，两点间的距离，小鸣在外选择一点，测得两边中点的距离，则，两点间的距离是（    ） A． B． C． D． 7．如图，，点在直线上，点、在直线上，．如果，，那么平行线，之间的距离是（    ） A． B． C． D．不能确定 8．如图，与全等（、、对应点、、），点在上，点在上，点在上．若，，，则四边形的周长为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 9．如图，已知平行四边形的顶点，，，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；③作射线，交边于点G，则点G的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平行四边形中，点是的中点，作交于，若，，下列结论：①，②，③，④中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二.填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图①是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图②是其简化示意图．若，则的度数为_____． 12．如图，在四边形中，，，，G为线段的中点，连接，E，F分别为的中点，则的长为______． 13．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 14．如图，已知是平行四边形的对角线，点在上，且，，则__________． 15．如图，点E是内一点，，平分，D是边的中点．若，，则边的长__________． 16．如图，某社区快递员从配送站出发，需要先到y轴上的P处投递一个包裹，然后到x轴上的Q处取出一个退件，再沿x轴向右骑行2个单位到充电桩R给电动车充电，最后前往下一个配送点．快递员沿折线骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最短，则这条最短路径的总长度为________． 三﹑解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，的对角线，交于点，过点作直线，分别交，于点，，求证：． 18．（8分）如图，在平行四边形中，平分，已知． (1)求的长； (2)若，求． 19．（8分）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕点A顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 20．（8分）如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 21．（10分）在中，，相交于点O，过点A作于点E，在上取点F，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求与所在直线之间的距离． 22．（10分）如图，在中，，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． (1)连接，，当经过的中点O时，求证：； (2)请求出当t为何值时，以A，C，F，E为顶点的四边形是平行四边形？ 23．（10分）【课本再现】 如图1，在等边中，D是边上一点，过点C作的平行线；将绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D的对应点为E． (1)请在图1中画出； (2)此时旋转角的度数为_______； 【类比迁移】 (3)如图2，在等边中，D是边外一点，点D与点A在两旁，且，连接，延长到E，使，连接，求证：； 【拓展应用】 (4)在（3）的条件下，若，，则的长度为 ． 24．（10分）观察下面图形，解决问题： (1)用数学的眼光观察 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：； (2)用数学的思维思考 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：； (3)用数学的语言表达 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 平行四边形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形对角相等的性质，结合已知条件即可计算出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个是钝角”，下列假设正确的是（   ） A．假设钝角的个数至多有一个 B．假设只有一个钝角 C．假设三个外角都不是钝角 D．假设有两个锐角 【答案】A 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题结论不成立，只需找到“至少有两个钝角”的否定，即可得到正确假设． 【详解】解：用反证法证明命题时，需先假设原结论不成立，原结论为“三角形的三个外角中至少有两个是钝角”，其中“至少有两个”表示钝角个数，其否定为钝角个数，即钝角个数至多有一个， 故正确的假设是“假设钝角的个数至多有一个”． 4．如图，在三角尺中，，，将三角尺绕点A按顺时针方向旋转得到，使点C的对应点落在边上，连接，则的度数为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转的性质，得，， ∴． 5．如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等、对角线互相平分，对各个选项进行逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A、与不一定相等，故A错误； B、由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得，故选项B正确； C、只有当四边形是菱形时，才成立，故C错误； D、只有当四边形是菱形时，平分，即才成立，故D错误； 故选：B． 6．如图，为了测量踏青时一处被花坛隔开的，两点间的距离，小鸣在外选择一点，测得两边中点的距离，则，两点间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵两边中点的距离， ∴是的中位线 ∴． 7．如图，，点在直线上，点、在直线上，．如果，，那么平行线，之间的距离是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴ 即平行线，之间的距离是． 8．如图，与全等（、、对应点、、），点在上，点在上，点在上．若，，，则四边形的周长为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】A 【分析】根据全等形和平行四边形的性质可得，则，再根据线段的和差可得，最后根据四边形的周长公式即可解答． 【详解】解：∵平行四边形与平行四边形全等，且A、B、C、D的对应顶点分别是H、E、F、G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形的周长． 9．如图，已知平行四边形的顶点，，，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；③作射线，交边于点G，则点G的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设交y轴于点T．利用勾股定理求出，再证明，可得结论． 【详解】解：如图，设交y轴于点T． ∵， ∴，， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在平行四边形中，点是的中点，作交于，若，，下列结论：①，②，③，④中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】延长、交于点，结合平行线的性质和中点利用可证，得到，，再结合根据垂直平分线的性质可得，进一步可得，，即可判断①②④正确；③缺少条件证明． 【详解】解：延长、交于点，如图所示， ∵平行四边形， ∴， ∴，， ∵点是的中点，∴， ∴， ∴，， ∵，∴， ∴，， ∴②正确； ∵，∴， ∴，∴， ∴①正确； ∴， ∴， ∴， ∴④正确； 由现有条件无法证明，③不一定正确； 故选：C ． 二.填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图①是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图②是其简化示意图．若，则的度数为_____． 【答案】/135度 【分析】先求出，再根据四边形的内角和求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴． 12．如图，在四边形中，，，，G为线段的中点，连接，E，F分别为的中点，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，根据线段中点的定义求出的长，在 中利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接， 为线段的中点，， ，， 在 中，由勾股定理，得 ，分别为，的中点， 为的中位线 ． 13．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 【答案】4 【分析】由四边形是平行四边形，则，，所以，由作图可知平分，，通过，可得，又平行四边形的周长为48，则，然后通过线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由作图可知：平分，， ∴， ∴， ∵平行四边形的周长为48， ∴， ∴， ∴． 14．如图，已知是平行四边形的对角线，点在上，且，，则__________． 【答案】/120度 【分析】根据平行四边形的性质可得，再由等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，点E是内一点，，平分，D是边的中点．若，，则边的长__________． 【答案】7 【分析】延长交于点F，先根据角平分线的定义和直角三角形的两个锐角互余得，进而得出,再说明是的中位线，可求出，然后根据得出答案． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴, ∴点E是的中点． ∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 16．如图，某社区快递员从配送站出发，需要先到y轴上的P处投递一个包裹，然后到x轴上的Q处取出一个退件，再沿x轴向右骑行2个单位到充电桩R给电动车充电，最后前往下一个配送点．快递员沿折线骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最短，则这条最短路径的总长度为________． 【答案】12 【分析】作点关于y轴的对称点G，将点向x轴的负半轴平移两个单位至点E，作点关于x轴的对称点F，连接，，，分别交y、x轴于点P、Q，结合轴对称的性质可得、、的坐标，进而可得，再证明四边形是平行四边形，根据两点直线线段最短可得出最短骑行路线，问题随之得解． 【详解】解：作点关于y轴的对称点G，将点向x轴的负半轴平移两个单位至点E，作点关于x轴的对称点F，连接，，，分别交y、x轴于点P、Q，如图， 即有，，， ∴， ∴， 根据平移有：，轴， 又∵， ∴，即四边形是平行四边形， ∴， 根据轴对称的性质有：，， 根据两点之间线段最短，即此时的骑行路线为最短， 且为：． 【点睛】根据轴对称的特点构造出辅助线，确定最短骑行路线是解答本题的关键． 三﹑解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，的对角线，交于点，过点作直线，分别交，于点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到、及，进而得到，证明，进而得到，从而得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， 、、， ， 在和中， ， ， ， ， ． 18．（8分）如图，在平行四边形中，平分，已知． (1)求的长； (2)若，求． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合角平分线的定义，推出，即可； （2）勾股定理逆定理，得到是直角三角形，且，进而求出的度数，再根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：， ， 是直角三角形，且， ， ， ． 19．（8分）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕点A顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，正确找到对应点的位置是解题的关键． （1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据网格的特点和旋转方式找到点的位置，描出点，再顺次连接点即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为． 20．（8分）如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理， 对于（1），根据旋转得，再根据等腰直角三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），根据等腰直角三角形的性质，再根据勾股定理求出，即可得，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：将等腰直角三角形绕点A旋转得到， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， 根据勾股定理，得， 由（1）得，， 根据勾股定理，得． 21．（10分）在中，，相交于点O，过点A作于点E，在上取点F，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求与所在直线之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)4.8 【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）根据勾股定理求出，过E作于H，根据等面积法求出，再根据平行线间的距离的定义求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 过E作于H， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴与所在直线之间的距离为4.8． 22．（10分）如图，在中，，点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． (1)连接，，当经过的中点O时，求证：； (2)请求出当t为何值时，以A，C，F，E为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)见解析 (2)当或时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由此即可证明，得到； （2）当点F在线段上时，则，当点F在线段延长线上时，则，再根据平行四边形的性质得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， 当点F在线段上时，则， 当点F在线段延长线上时，则， ∵， ∴以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴或， 解得或， ∴当或时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形． 23．【课本再现】 如图1，在等边中，D是边上一点，过点C作的平行线；将绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D的对应点为E． (1)请在图1中画出； (2)此时旋转角的度数为_______； 【类比迁移】 (3)如图2，在等边中，D是边外一点，点D与点A在两旁，且，连接，延长到E，使，连接，求证：； 【拓展应用】 (4)在（3）的条件下，若，，则的长度为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）以点A为圆心，以为半径画弧，交直线于点E，连接，求解即可； （2）根据旋转角的定义求解即可； （3）根据，得到，根据平角的定义，得到，得到，证明即可； （4）先证明是等边三角形，过点B作交的延长线于点H，根据题意，可证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D的对应点为E． 此时旋转角为， 因为等边， 所以，， 根据旋转的性质，得， 故， 故， 又因为过点C作的平行线， 故直线与直线重合即点E在直线， 故以点A为圆心，以为半径画弧，交直线于点E， 连接， 则即为所求； （2）解：绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D的对应点为E． 此时旋转角为， 因为等边， 所以； （3）证明：因为等边， 所以，， ，， ， ， ， ∵ ∴； （4）解：因为等边，， 所以，， ∵，， ∴；， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点B作交的延长线于点H， ， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．观察下面图形，解决问题： (1)用数学的眼光观察 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：； (2)用数学的思维思考 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：； (3)用数学的语言表达 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)是直角三角形，证明见解析 【分析】（）利用三角形中位线的性质可得，进而即可求证； （）利用三角形中位线的性质可得，，进而根据（）的结论即可求证； （）取的中点，连接，利用三角形中位线的性质可证，进而得到 ，即得到是等边三角形，即可得，得到，进而得 ，即可求证． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， 同理可证，， 由（）知，， ∴； （3）解：是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴，， 同理可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵ ， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $