6.2二倍角公式教案-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

二倍角公式复习 【教学目标】 1.系统梳理二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解其与两角和差公式的内在联系，能熟练 运用公式进行求值、化简与证明，提升数学运算素养. 2.通过典型例题的探究与练习，进一步体会转化与化归、从一般到特殊的思想方法，发展 逻辑推理素养。 【教学重点与难点】 重点：二倍角公式的多种形式及其在求值、化简、证明中的灵活应用. 难点：在具体问题中，对“二倍”关系的识别，以及公式的逆用与变形使用. 【教学过程】 一.知识梳理 1. sin(a+B)=sin a cosB+cosa sin B，令a=B,得sin2a=2 sin cos, 2. cos(a+B)=cosa cosB-sinasinB，令a=B,得cos2a=cos2a-sin2a, 又sin a+cos2a=1,于是有cos2a=2cos2a-1=1-2sina. 于是又有cos2a=1+cos2g,sina=1-cos2e 2 2 ana+Etam&tanp,今a=B,得tan2a-=2tana 1-tana. 二.例题与练习 例1已知sina=子，求cosa+2a 解：cos(π+2a)=-cos2a=2sin2a-1=2× 1 -1= 例2已知cosa=- π 5.x (1)求sin2a的值：(2)求cos2a+3的值 解a)因为csa=方ae侵， 所以sina=22 3 所以sin2a=2 sinc5a=2×222x/-1=-42 33 K2)0s2x=2cos2ca-1=2×3/1=7 所以2a*2a方m2an号名引4g2 3_4V6-7 9 2 18 cos0=-3。 00 +sin-cos 例3已知 ,z三O3无s2 2,求2 22的值 0之sn52之 c0s0=-3 ine cose1-cose+ +sin-cos 解： 5, 2 2 2 2 2sin0=2 tan a sina a 1-cosa tan- 例4证明： 2 1+cosa 2 sina. 2sincos sina 证明：1+cos 2 a 1-cosa 2sin号 =tan 2cos2 2 sina 2sin 2 2 解.m(2-)m20-}-引=-0-】 =-1-2sin(0-）=-号 三.课堂小结 知识：二倍角的正弦、余弦和正切公式. 思想方法：转化与化归 核心素养：逻辑推理，数学运算 四.课后作业 1.已知角c的终边经过点3,1，则tan2a的值为一 【答案】因为角@的终边经过点3,1， 13 所以tanc= 33’ 3 2× 所以tan2a= 2tama=23=3 1-tana 1、.1 3 2V2 2.已知a∈ 2,, 且sina= 3· (1)求sin2a的值； (2)若tana+B=2,求tanB的值. 【答案 】(a因为ae经且na 2V2 3, 所以cosa=-1-sin2a=- 3 所以sin2a=2 sin=-482 (2)由(1)知，sina=22 ’ cos a=- 3,所以ana=-22, tan B=tan a+B)-a)=tanla+B)-tand V2+2V2 1+tana+βtanc1-V2×22 =-V2. 3。已知in如*导 君-子则cos2a+3月 【答案】os2a+cos2a+}1-2sina+1-2x 6 4. 己知等腰三角形底角的正弦值为，求这个三角形顶角的正弦、余弦和正切值. 要，景<B受，所以0<A号 【答案】设底角为B,顶角为A,则A=几-2B.而snB=亏>2,4 ,sB=1-8-1--号 23 sin A=sin(-2B)=sin 2 B=2sin Bcos B=24 25,tanA=24 25,所以c0sA= 5.若sina=85in 51 2,求cosa. 【答案】：sina=2 sincos-8s 2 sin a 2, 当sin受=0时，a=2k,keZ, .∴.c0sa=Cos4k=1, 当sin受≠0时，2sin受。 cos8 sin 25 …2cos9=8 25 ÷cos=4 25' ∴osa=2cos号-1-2×管-1 25 6.己知a为第一象限角，sina=5,则tan2 【答案】：¤为第一象限角，·号是第一象限角或第三象限角，“an气>0，msa>0, 4 .sina= 16_3 ∴cosa=1-sin7a=1-28号 1- 3 ∴.根据半角公式可得tan 1-coso 5 2 1+cosa 3 2 1+ 5 故答案为：是 1 7.已知Cosa=- (1)求sina,tana的值； (2)求cos2a+号的值 【答案】(1)：cosa=-。 2, ..sina>0, 可得u=7-wa-22,ma=g-22, coSa (2)易知sin2a&=2 sin acos&=- g,cos2a=cos'a-sin'a=-7 4V2 9 cos 2+ 3 2ac号n2an-分4智9-47 2 18 8.已知0<a<5<B<m,sina=4 12 2 ,sinB= 13 (1)求cos(B-a)的值： (2)求70元的值： (3)求tana+β)的值. 【答条】(1)因为0a号B<,na专snB= 13 所以osa=1-sng=是，cos月=-1-snB=- 5 13 所以cosB-a)=-cosBcos+sinBsin=是×号+号×号6品 5×3+12×4=33 (2)因为sin2a=2 sin a cos=2×4x3=24 5525 7 cos2g=1-2sin'a =-25 24 sin2a=. 25 所以1+cos2c 7 (3)因为tan a=sina=4 cosa-3 tanB=sinp=_12 cosβ 5 4+(-2 所以tan(a+B)=,tana+tanB 3 5 16 1-tano tanβ 1-4x-12 631 3( 5 9.设点P是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置P,1,0出发，沿单位圆 按逆时针方向转动角心0<a<受后到达点P,然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到 达点P2.若点P的横坐标为5，求点P的坐标. 【答案】出题点知，。 因为P沿单位圆按逆时针方向转动角4到达点P2, 所以osa+牙=是sna+号- 所以+-景要cos1a*牙no+片=2-是+-2 4 2 55-10 又0<a受所以sna=1-cwsa= 10, 27V2 所以点P的坐标为10,0 10.设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn,S,=28,若a3,a1,a成等比数列，则 a8三 【答案】S, 7a1+al=7a4=28,a4=4, 2 设数列an公差为d, 由a3,a1,a成等比数列可得a=a3ag,即(4-3d)=(4-d)(4+4d), 解得，d=36 3,或d=0(舍)， 0g=a4+4d=196 131