专题04多边形与平行四边形的性质期末复习讲义(14大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题04多边形与平行四边形的性质期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解多边形、内角、外角、对角线等相关概念，区分凸多边形与凹多边形。 2.熟记多边形内角和、外角和公式，掌握公式推导思路。 3.掌握正多边形定义与基本特征，能判断正多边形边角性质。 4.理解平行四边形的定义，熟记边、角、对角线三大类性质。 5.明确平行四边形的中心对称特征，理清性质之间的内在联系。 1.熟练运用内角和、外角和公式，求解边数、内角度数、外角度数。 2.会计算多边形对角线条数，解决相关计算问题。 3.能利用平行四边形性质进行角度、线段长度的计算与证明。 4.结合图形进行等量转化、线段平移、角度推导，提升几何推理能力。 5.能结合平行线、三角形等旧知识，完成综合题型解答。 1.基础题：概念辨析、多边形角度计算、平行四边形简单求值，做到零失误。 2.中档题：多边形边数求解、对角线计算、利用平行四边形性质证明线段 / 角相等，步骤规范完整。 3.综合题：结合三角形、平行线知识的几何计算与证明，灵活转化条件。 4.规避易错点：混淆内角和与外角和公式、忽略平行四边形边角对应关系、证明过程逻辑疏漏，做到会做全对。 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角后边数与内角和问题 题型03.多边形对角线相关问题 题型04.多边形内角和问题 题型05.多(少)算一盒角问题 题型06.多边形内角和问题 题型07.多边形内角和与外角和综合 题型08.平行四边形性质求解 题型09.平行四边形性质证明 题型10.平行四边形性质的应用 题型11.数图形中平行四边形的个数 题型12.四边形的不稳定性 题型13.求平行线间的距离 题型14.利用平行线间距离解决问题 知识点01:多边形基础概念 1. 定义 由不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形，叫做多边形。 2. 相关名词 3. 多边形分类 凸多边形：所有内角＜180°，对角线全部在图形内部（考试全部考凸多边形） 凹多边形：至少一个内角＞180° 知识点02:两大必考定理 1.多边形内角和: n边形内角和：(n−2)×180∘边数越大，内角和越大。 ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 2.多边形外角和 任意多边形的外角和永远等于 360°与边数多少无关，是本节解题关键秒杀点。 知识点03:核心公式｜必考3个，记准“不变量” 公式名称 核心公式 关键提醒（避坑） 简单推导/口诀 内角和公式 n边形：(n-2)×180°（n≥3） 易错：漏减2，错算成n×180° 口诀：n减2，乘180，分三角形来推导 外角和公式 任意n边形：360° 重点：与边数n无关！ 口诀：外角和，永不变，不管几边都是360 对角线条数公式 n边形： 易错：忘记除以2（避免重复计算） 每个顶点连(n-3)条，n个顶点再减半 知识点04:平行四边形 核心定义 1.精准定义：两组对边分别互相平行的四边形，叫作平行四边形 本质逻辑：平行是平行四边形的源头属性，所有性质、判定都围绕 “对边平行” 延伸。 几何判定句式：∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 2.基本元素：边（4 条，分对边、邻边）、角（4 个，分对角、邻角）、对角线（2 条，互相相交）、对称中心（对角线的交点）。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点05:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点06:平行线衍生性质 平行线间距离：两条平行线之间的垂线段长度，叫做平行线间的距离； 关键规律：平行线间距离处处相等； 延伸结论：夹在两条平行线之间的所有平行线段，长度全部相等。 . 题型01.多边形的概念与分类 1．如图所示的图形中，多边形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了多边形，关键是掌握多边形的定义． 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【详解】解：题图中依次是扇形、八边形、半圆形、五边形和长方体，其中八边形和五边形是多边形， 所以多边形的个数为， 故选：A． 2．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．如图，在的方格纸中，、在格点上，如果、在格点上，且是邻余线，那么该方格纸中符合条件的邻余四边形的个数有______个． 【答案】 【分析】根据邻余四边形概念作出相应图形即可求解． 【详解】解：如图所示： 故该方格纸中符合条件的邻余四边形ABCD的个数有6个． 故答案为：6． 【点睛】考查了邻余四边形概念的理解与运用，正确理解新定义是解题的关键． 3．如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，割补法求面积；过点作交于，过点作交于，点作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，，设，，由四个三角形面积和，即可求解；能熟练利用割补法求面积，构建三角形全等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于，过点作交于，点作交于， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 同理可证：， ， ， ， 设， ， ， ， ， 故选：C． 题型02.多边形截角后边数与内角和问题 4．一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为______． 【答案】6或7或8 【分析】存在三种情况，根据图示进行分析． 【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图 一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8， 故答案为：6或7或8． 【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解． 5．如图，在正六边形ABCDEF中，若去掉一个角得到一个七边形，则∠1+∠2=________度． 【答案】300 【分析】利用正六边形外角和为可以求出正六边形的每一个内角为，再利用三角形内角和定理与平角的定义即可求解． 【详解】解： 任意一个多边形的外角和都为， 在正六边形中，它的每一个外角都相等且为， 正六边形每一个内角都相等且为， 如图所示，在中，， 根据三角形内角和定理可得， ，， ， 故答案为300． 【点睛】本题主要考查多边形中角度求解问题．涉及到平角定义的理解以及多边形外角和与三角形内角和定理的应用，掌握这些常用结论是求解角度的关键． 6．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】根据截线经过的位置不同分三种情况讨论，即可得到剩下多边形的形状。 【详解】解：分三种情况讨论： ∵当截线经过四边形的两个不相邻顶点，即沿对角线截去一个角时，剩余多边形为三角形； 当截线经过四边形的一个顶点和不与该顶点相邻的边上的一点时，剩余多边形为四边形； 当截线经过四边形相邻两条边上非顶点的两点时，剩余多边形为五边形； ∴剩下的多边形是三角形或四边形或五边形． 7．如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】B 【分析】分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可得解． 【详解】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和＝（3﹣2）×180°＝180°， 若边数不变，则内角和＝（4﹣2）×180°＝360°， 若边数增加1，则内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， 所以，所得多边形内角和的度数可能是180°，360°，540°，不可能是270°． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，要注意剪去一个角有三种情况． （1）如图1，这是一个五角星，则___8___． （2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． （3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由三角形的外角性质，把五个角转化到一个三角形内部来求解即可； （2）延长与相较于点，由三角形的外角性质，得到，再结合图1的结论内来求解即可； （3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，从而求出截去五个角后的所有的角的度数． 【详解】解：（1）如图，      由三角形的外角性质，得，， ∵ ∴， 故答案为：； （2）如图，延长与相较于点，   和是的两个外角，则，， ， ， 故的度数为． （3）由（2）知，每截去图1中的一个角，剩余角的度数会增加，图1中，， 在题图3中，去掉五个角后， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和和外角的性质定理，熟练运用三角形的内角和和外角性质进行角度的转化和计算是解题的重点． 题型03.多边形对角线相关问题 9．从八边形的某一顶点出发的对角线条数为（    ） A．4条 B．5条 C．6条 D．8条 【答案】B 【分析】根据对角线定义得到n边形从一个顶点出发的对角线条数规律，代入八边形边数计算即可. 【详解】解：∵ 对n边形，从一个顶点出发，不能向自身和相邻的两个顶点作对角线， ∴ 从一个顶点出发的对角线条数为， ∵ 该多边形为八边形，即 ， ∴ 对角线条数为 . 10．过某个多边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成个三角形，这个多边形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据过某个多边形一个顶点画对角线，把多边形分成个三角形，再结合题意可得，解方程即可得答案．此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握过某个多边形一个顶点画对角线，把多边形分成个三角形． 【详解】解：设多边形边数为， 过某个多边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成个三角形， ， 解得：． 故选：C． 11．过多边形某个顶点的对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形是___边形，它的内角和为____度． 【答案】 八 【分析】根据多边形的性质，边形过一个顶点的所有对角线将多边形分成个三角形，先根据分成三角形的个数求出多边形的边数，再利用分成的所有三角形内角和之和计算多边形的内角和． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得， 解得：， 多边形内角和： ， 即这个多边形是八边形，它的内角和为度． 12．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍大，则这个多边形的所有对角线的条数是________． 【答案】27 【分析】任何多边形的外角和是，n边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得，， 解得， ∴（条）， 即这个多边形的所有对角线的条数是27． 13．阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】(1)①，② (2) (3)44个 【分析】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用． （1）根据所给图形总结规律解答即可； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． （3）根据（2）的结论求解即可． 【详解】（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 5边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 6边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 7边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 8边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， …， ∴n边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 故答案为：①，②； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：； （3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）． 题型04.多边形内角和问题 14．如图，在五边形中，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】边形的内角和为，据此求出五边形的内角和即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴． 15．五边形的内角和等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵n边形的内角和公式为， 五边形的边数， ∴代入公式得． 16．如图，，是四边形的外角，若，，则的度数为______． 【答案】/180度 【分析】根据多边形内角和得到，根据，可知的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 17．如图，中，点是，角平分线的交点，点是两外角，的角平分线的交点，延长，相交于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B．点到的三个顶点的距离相等 C． D．点到的三边所在直线的距离相等 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质定理可判断选项B、D；根据角平分线的定义和平角的定义，可求得，结合四边形的内角和为，可判断选项A；根据三角形外角的性质和三角形内角和定理，可求得，结合和，，可推出，然后由，可知，即可判断选项C． 【详解】解：A、∵点是，角平分线的交点，点是两外角，的角平分线的交点， ∴，，，， ∴， ， ∵， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、∵点是，角平分线的交点， ∴点到直线和的距离相等，到直线和的距离相等， 即点到的三边所在直线的距离相等，故B选项说法不正确，符合题意； C、∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； D、∵点是两外角，的角平分线的交点， ∴点到直线和的距离相等，到直线和的距离相等， 即点到的三边所在直线的距离相等，故D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及其性质定理，三角形内角和定理，四边形的内角和，三角形外角的定义和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 18．如图，在四边形中，平分平分，交于点E，交于点F． (1)求； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义和平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据，得出，根据四边形的内角和为，进而得出，再根据角平分线的定义即可得出答案； （2）由，得，结合（1）中的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 由（1）知，， 所以， 所以． 题型05.多(少)算一个角问题 19．一个多边形多算一个内角后的和等于，则这个内角应等于________度． 【答案】 【分析】设出多边形边数和所求内角度数，根据多边形内角和公式列出等式，结合n为正整数和多边形内角度数的取值范围，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为，所求内角度数为， 根据多边形内角和公式可得：， 整理得：， 为正整数，且， 为的正整数倍， 计算得， ，满足，符合条件． 20．一个n边形去掉一个角后，内角和为，求这个多边形去掉的内角度数及n的值． 【答案】， 【分析】先计算得到商和余数，再根据多边形的内角和的特点可得多边形的边数与去掉的那个内角的大小． 【详解】解：设多边形的边数是，而 ， ∴， 解得：， ∴这个多边形去掉的内角度数为． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，难点在于理解多边形的内角和的特点． 21．看图回答问题：    (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ 【答案】(1)理由见详解 (2)十三或十四 【分析】（1）根据多边形的内角和定理即可求解； （2）设多边形的边数为，这个内角的度数为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵设多边形的边数为，则边形的内角和是， ∴内角和一定是度的倍数， ∵， ∴内角和为不可能． （2）解：设多边形的边数为，这个内角的度数为，由题意得： ， 解得：， ∵n为正整数， ∴必为180的倍数， ∵， ∴， ∴或14． ∴小华求的是十三边形或十四边形的内角和． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 题型06.多边形内角和问题 22．如图，蚂蚁先从点A出发前进，向右转，再前进，又向右转，…，这样一直走下去，那么蚂蚁第一次回到出发点A时，一共走了____________．   . 【答案】30 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角的应用，解题的关键是判断出蚂蚁所走的路线为正多边形，牢记任何一个多边形的外角和都是，正多边形的每一个外角都相等． 由题意可知蚂蚁所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：蚂蚁从点出发最后回到出发点时正好走了一个正多边形， 根据外角和定理可知正多边形的边数为， 则一共走了（厘米）． 故答案为：30． 23．如图，，，，是六边形的四个外角，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形的外角和为360度和三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， ∴. 24．如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据五边形内角和求解即可； （2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （3）延长NE交AB于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）五边形广场的内角和， 故答案为：； （2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度， 故答案为：； （3）延长NE交AB于点F    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵在五边形中 ∴ 【点睛】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点． 题型07.多边形内角和与外角和综合 25．一个正多边形的内角和是它的外角和的两倍，则这个正多边形是正________边形． 【答案】 六 【详解】解：设正多边形的边数为， 由题意，得， 解得. 故这个正多边形是正六边形. 26．一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】已知多边形的外角和为，结合题意，利用多边形的内角和公式列方程并解方程即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 则， 解得：， 即这个多边形的边数是14． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，利用方程思想将外角和与内角和建立等量关系是解题的关键． 27．已知一个多边形的边数为． (1)若时，则这个多边形的内角和为多少度？ (2)若这个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的边数． 【答案】(1) (2)多边形的边数为8 【分析】（1）n边形的内角和为； （2）n边形的外角和为，列关于n的方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： 解得：， ∴这个多边形的边数为8． 28．请根据对话回答问题： (1)小明为什么说这个凸多边形的内角和不可能是？ (2)小敏求的是几边形的内角和？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形的内角和 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，熟练掌握多边形内角和计算公式是解题的关键． （1）根据多边形内角和定理进行解答即可； （2）设小敏求的是边形得内角和，这个外角为，根据公式列出不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：边形的内角和为， 故多边形的内角和一定是的正整数倍， ， 故这个凸多边形的内角和不可能是； （2）解：设小敏求的是边形得内角和，这个外角为， 由题意得：， ， ， ， ， 为正整数， ． 答：小敏求的是十三边形的内角和． 题型08.平行四边形性质求解 29．如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 【答案】 【分析】先证，得，所以，又因为，所以，再根据平行四边形性质得，所以，把代入即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 30．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，设与交于点，则为中点，，当时，最小，即最小，然后通过勾股定理即可求解 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为边上一动点， ∴当时，的值最小，此时的值最小，如图 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 31．如图，点E在平行四边形的边上，为对角线，平分． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，然后证明即可； （2）先根据平行四边形得到，，即可求出，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解，即可求解的度数，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中， ∴ ∵平分． ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：中，， 又， ， ， ， ， 中， ． 32．如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长度（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，四边形是平行四边形； (3)当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由． 【答案】(1) (2)为 (3)点在线段的垂直平分线上．见解析 【分析】（1）根据平行四边形得，再根据“角边角”证明，可得 ，进而得出答案； （2）当时，四边形是平行四边形，可得，求出解即可； （3）作直线，垂足为，与交于，根据勾股定理求出，再根据，求出，可得，进而求出，当时，，然后根据可得点是的中点，则此题可解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ． ， ． ， ， ； （2）解：， 当时，四边形是平行四边形， 即，解得， 当为时，四边形是平行四边形； （3）解：结论：点在线段的垂直平分线上． 理由：如图，过点作直线，垂足为，与交于， 在中，， ， ． ， ， ， ， ， ． 当时，， ，即点是的中点， 点在线段的垂直平分线上． 题型09.平行四边形性质证明 33．如图，在中，点是的中点，连接并延长，与的延长线相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得出相等的线段和平行线，根据平行线的性质得出相等的角，证明，得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．如图，在中，对角线与相交于点O，过点A作于E，过点C作于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】由四边形是平行四边形，可得，，从而可证明，即可得． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中, , ∴， ∴． 35．如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与相交于点． (1)，求平行四边形其他各个内角的度数． (2)若，周长为，求各边的长； (3)求证：； (4)若，求的面积． 【答案】(1)；； (2) (3)见解析 (4)48 【分析】（1）根据平行四边形的对角相等，邻角互补的性质求解即可． （2）根据题意，再结合即可得答案； （3）证明即可； （4）根据勾股定理，求得，结合的面积等于求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，； （2）解：∵四边形是平行四边形，周长为， ∴，， ∴， 又， ∴， 故平行四边形的各边长为：； （3）证明：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． （4）解：∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为：． 题型10.平行四边形性质的应用 36．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先证△BOE≌△DOF(AAS)，得S△BOE=S△DOF，所以S阴影=2S△BOE，又因为，所以S△BOE=S△AOB，再根据平行四边形性质得S△AOB=，所以S阴影=，把=16代入即可求解． 【详解】解：∵□ABCD， ∴OB=OD，ABCD， ∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO， ∴△BOE≌△DOF(AAS)， ∴S△BOE=S△DOF， ∴S阴影=2S△BOE， ∵， ∴S△BOE=S△AOB， ∵□ABCD， ∴S△AOB=， ∴S阴影=2×S△AOB=2××＝＝×16=， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，求得S△BOE=S△AOB，S△AOB=是解题的关键． 37．如图，点O是的对称中心，点E为边的中点，点F为边上的点，且．若分别表示和的面积，则与之间的等量关系是______． 【答案】 【分析】根据三角形性质可得S1=， S2=，根据平行四边形性质可得 ，然后可以得到解答． 【详解】解：如图，连结OC，则A、O、C三点在同一直线上， ∵O是AC中点，E是BC中点， ∴S1=， ∵DF=， ∴S2=， ∴S1：S2=， 即， 故答案为． 【点睛】本题考查三角形与平行四边形的综合应用，熟练掌握三角形中线的性质及平行四边形的对称性是解题关键． 38．进入世纪后，我国科技技术高速发展，很多行业领先于全球其他国家，物流快递行业就是其中之一，随着快递数量的暴增，某大型物流企业为提高效率，启用机器人分拣快递，在仓储中心有机器人的环形轨道，环形轨道是一个直角梯形（图①），且轨道和轨道在东西方向上，如图所示，，，，，，若机器人从点出发，搬运大件快递到点，运动速度是，机器人从点出发，搬运小件快递到点，然后返回点，运动速度是，假设两个机器人同时出发，机器人的运动时间是秒． (1)在机器人从点到点的运动过程中，若用字母t表示下列线段长，则________，________； (2)在机器人从点到点的运动过程中，当四边形是平行四边形时，求时间； (3)从运动开始到机器人回到点的过程中，是否会出现机器P刚好在机器人的正北方向的时候，若存在，请算出机器人的运动时间，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，机器刚好在机器人的正北方向的时候，的值为或 【分析】（）根据路程、速度、时间之间的数量关系即可解答； （）根据平行四边形的性质列方程即可解答； （）根据矩形的性质分①当点由到时；②当点返回到时即可解答． 【详解】（1）解：∵机器人从点出发，搬运大件快递到点，运动速度是，机器人的运动时间是秒， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：当四边形是平行四边形时，， ∵，， ∴， 解得； （3）解：存在，理由如下， 当点在点的正北方向时，四边形是矩形， ①当点由到时，，， ∵， ∴， 解得； ②当点返回到时，， ∵， ∴， 解得， 综上，机器刚好在机器人的正北方向的时候，的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，路程、速度、时间之间的数量关系，掌握矩形的性质及平行四边形的性质是解题的关键． 题型11.数图形中平行四边形的个数 39．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 40．如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 【答案】 3 ，， 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握有两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定数出平行四边形的个数即可． 【详解】解：，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 则图中共有个平行四边形，它们分别是，，， 故答案为：；，，． 41．在中，，，则图中平行四边形的个数是（） A．13 B．14 C．15 D．18 【答案】D 【分析】这些线将大平行四边形分割成一个网格，任意两条横线与两条竖线相交，围成一个平行四边形 【详解】解：依题意，，， ∴最小平行四边形（）有：行列，共个 横向拼接（）有：每行个，共行，共个 纵向拼接（）有：每列个（连续两行），共列，共个 大小有：高度方向有种（行、行），宽度种，共个 整列高（）有：左列和右列各个，共个 整个图形（）有：，共个 综上所述，总数为：个 题型12.四边形的不稳定性 42．四边形的不稳定性是指当四边形的边长一定时，不能确定的是（    ） A．四边形的内角大小 B．四边形的内角和 C．四边形的外角和 D．四边形的周长 【答案】A 【详解】解：∵ 任意四边形的内角和恒为 ，外角和也恒为 ， ∴ B和C选项的量都是确定的； ∵ 四边形周长为四条边长的和，边长一定时，周长也一定， ∴ D选项的量是确定的； ∵ 四边形具有不稳定性，边长确定时，四边形可改变形状，内角大小会发生变化， ∴ 不能确定的是四边形的内角大小. 43．2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了______． 【答案】平行四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 【详解】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 44．平行四边形具有不稳定性，当一个平行四边形的形状发生改变时，发生变化的是（ ） A．平行四边形的外角和 B．平行四边形的边长 C．平行四边形的周长 D．平行四边形某些角的大小 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的不稳定性． 平行四边形具有不稳定性，形状改变时，内角的大小发生变化，但外角和、边长和周长均不变． 【详解】解：∵多边形的外角和恒为， ∴外角和不变； ∵变形时边长不变， ∴周长不变； ∵平行四边形的不稳定性源于角度的变化， ∴某些角的大小发生变化． 故选：D． 题型13.求平行线间的距离 45．如图，的面积为4，则点到的距离为（   ） A．4 B．2 C．12 D．10 【答案】B 【分析】根据平行线间的距离处处相等，可知点 到 的距离等于点 到 的距离，即 的高，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设点 到 的距离为 ， 点 到 的距离等于点 到 的距离，均为 ， ， ， ， ， ∴点 到的距离为2． 46．如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是___________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，两条平行线之间的距离等，熟练掌握相关知识点，作出适当的辅助线是解题的关键； 过点P作的垂线，交于点M，交于点N，先说明与之间的距离等于线段的长，再利用角平分线的性质定理求出的长． 【详解】解：如图，过点P作的垂线，交于点M，交于点N， 则，， ， ， ， 与之间的距离等于线段的长， ，，平分， ， 同理可得，， ， 与之间的距离等于． 故答案为：． 47．如图，直线，点在直线上，过点向直线引直线，与的交点分别是、D，若测得，并且其中有一条是表示直线与直线之间的距离，那么你认为直线与直线之间的距离应该是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，即可得出结果. 【详解】解：直线 ，且其中有一条线段表示直线与直线之间的距离， 该线段即为点到直线的垂线段， 从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短， 该距离应为中的最小值， ， ， 直线与直线之间的距离是. 48．如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求直线与的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线，根据平行线的性质得出，再由，根据垂直的定义即可得到结果； （2）过作于，根据，即可求解． 【详解】（1） ∵ ∴ 又∵ ∴ （2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离 ∵，， 是直角三角形 ∵ ∴ ∴直线与的距离 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 题型14.利用平行线间距离解决问题 49．如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，且，若的面积为3，则四边形的面积为_____． 【答案】9 【分析】根据平行线间间距相等得到，据此得到的面积为6，则四边形的面积为． 【详解】解：直线， ， 的面积为3， 的面积为6， 四边形的面积为． 50．如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②三角形的周长；③三角形的面积；④的大小．其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的周长和面积计算．熟练掌握平行线的性质以及三角形的周长和面积计算是解题的关键． 通过分析点移动时各值得变化情况来判断即可． 【详解】解：直线， 点到直线n的距离不变，故①不符合题意； ，的长度随点的移动而变化， 的周长会随点的移动而变化，故②符合题意； 点P到直线n的距离不变，的大小不变， 的面积不变，故③不符合题意； 的大小随点的移动而变化，故④符合题意； 综上所述，随点P的移动而变化的是②④． 故选C． 51．如图，在中，．射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，当点E先出发后，点F也从点B出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点F运动时间为t（s），其中． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，． 【答案】(1)或时，； (2)当时，． 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的面积，解一元一次方程以及解一元一次不等式． （1）分类讨论：当点F在点C左侧时，点F再点C的右侧时，可得关于t的一元一次方程，根据解方程，可得答案； （2）根据平行线间的距离相等，可得三角形的高相等，根据等高的三角形的底边越长，三角形的面积越大，可得不等式，计算即可． 【详解】（1）解：分两种情况讨论： ①点F在点C左侧时，， 则， 解得； ②当点F在点C的右侧时，， 则， 解得； 综上所述，或时，； （2）解：∵平行线间的距离相等， ∴、、的高相等， 当时，， ， 解得， 当时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04多边形与平行四边形的性质期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解多边形、内角、外角、对角线等相关概念，区分凸多边形与凹多边形。 2.熟记多边形内角和、外角和公式，掌握公式推导思路。 3.掌握正多边形定义与基本特征，能判断正多边形边角性质。 4.理解平行四边形的定义，熟记边、角、对角线三大类性质。 5.明确平行四边形的中心对称特征，理清性质之间的内在联系。 1.熟练运用内角和、外角和公式，求解边数、内角度数、外角度数。 2.会计算多边形对角线条数，解决相关计算问题。 3.能利用平行四边形性质进行角度、线段长度的计算与证明。 4.结合图形进行等量转化、线段平移、角度推导，提升几何推理能力。 5.能结合平行线、三角形等旧知识，完成综合题型解答。 1.基础题：概念辨析、多边形角度计算、平行四边形简单求值，做到零失误。 2.中档题：多边形边数求解、对角线计算、利用平行四边形性质证明线段 / 角相等，步骤规范完整。 3.综合题：结合三角形、平行线知识的几何计算与证明，灵活转化条件。 4.规避易错点：混淆内角和与外角和公式、忽略平行四边形边角对应关系、证明过程逻辑疏漏，做到会做全对。 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角后边数与内角和问题 题型03.多边形对角线相关问题 题型04.多边形内角和问题 题型05.多(少)算一盒角问题 题型06.多边形内角和问题 题型07.多边形内角和与外角和综合 题型08.平行四边形性质求解 题型09.平行四边形性质证明 题型10.平行四边形性质的应用 题型11.数图形中平行四边形的个数 题型12.四边形的不稳定性 题型13.求平行线间的距离 题型14.利用平行线间距离解决问题 知识点01:多边形基础概念 1. 定义 由不在同一直线上的线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形，叫做多边形。 2. 相关名词 3. 多边形分类 凸多边形：所有内角＜180°，对角线全部在图形内部（考试全部考凸多边形） 凹多边形：至少一个内角＞180° 知识点02:两大必考定理 1.多边形内角和: n边形内角和：(n−2)×180∘边数越大，内角和越大。 ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 2.多边形外角和 任意多边形的外角和永远等于 360°与边数多少无关，是本节解题关键秒杀点。 知识点03:核心公式｜必考3个，记准“不变量” 公式名称 核心公式 关键提醒（避坑） 简单推导/口诀 内角和公式 n边形：(n-2)×180°（n≥3） 易错：漏减2，错算成n×180° 口诀：n减2，乘180，分三角形来推导 外角和公式 任意n边形：360° 重点：与边数n无关！ 口诀：外角和，永不变，不管几边都是360 对角线条数公式 n边形： 易错：忘记除以2（避免重复计算） 每个顶点连(n-3)条，n个顶点再减半 知识点04:平行四边形 核心定义 1.精准定义：两组对边分别互相平行的四边形，叫作平行四边形 本质逻辑：平行是平行四边形的源头属性，所有性质、判定都围绕 “对边平行” 延伸。 几何判定句式：∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 2.基本元素：边（4 条，分对边、邻边）、角（4 个，分对角、邻角）、对角线（2 条，互相相交）、对称中心（对角线的交点）。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点05:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点06:平行线衍生性质 平行线间距离：两条平行线之间的垂线段长度，叫做平行线间的距离； 关键规律：平行线间距离处处相等； 延伸结论：夹在两条平行线之间的所有平行线段，长度全部相等。 . 题型01.多边形的概念与分类 1．如图所示的图形中，多边形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．如图，在的方格纸中，、在格点上，如果、在格点上，且是邻余线，那么该方格纸中符合条件的邻余四边形的个数有______个． 3．如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 题型02.多边形截角后边数与内角和问题 4．一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为______． 5．如图，在正六边形ABCDEF中，若去掉一个角得到一个七边形，则∠1+∠2=________度． 6．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 7．如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° （1）如图1，这是一个五角星，则___8___． （2）如图2，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． （3）如图3，将五角星的每个角都截去，求的度数．    题型03.多边形对角线相关问题 9．从八边形的某一顶点出发的对角线条数为（    ） A．4条 B．5条 C．6条 D．8条 10．过某个多边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成个三角形，这个多边形是（    ） A． B． C． D． 11．过多边形某个顶点的对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形是___边形，它的内角和为____度． 12．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍大，则这个多边形的所有对角线的条数是________． 13．阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 题型04.多边形内角和问题 14．如图，在五边形中，若，则的度数为___________． 15．五边形的内角和等于（     ） A． B． C． D． 16．如图，，是四边形的外角，若，，则的度数为______． 17．如图，中，点是，角平分线的交点，点是两外角，的角平分线的交点，延长，相交于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B．点到的三个顶点的距离相等 C． D．点到的三边所在直线的距离相等 18．如图，在四边形中，平分平分，交于点E，交于点F． (1)求； (2)证明：． 题型05.多(少)算一个角问题 19．一个多边形多算一个内角后的和等于，则这个内角应等于________度． 20．一个n边形去掉一个角后，内角和为，求这个多边形去掉的内角度数及n的值． 21．看图回答问题：    (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ 题型06.多边形内角和问题 22．如图，蚂蚁先从点A出发前进，向右转，再前进，又向右转，…，这样一直走下去，那么蚂蚁第一次回到出发点A时，一共走了____________．   . 23．如图，，，，是六边形的四个外角，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 24．如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 题型07.多边形内角和与外角和综合 25．一个正多边形的内角和是它的外角和的两倍，则这个正多边形是正________边形． 26．一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 27．已知一个多边形的边数为． (1)若时，则这个多边形的内角和为多少度？ (2)若这个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的边数． 28．请根据对话回答问题： (1)小明为什么说这个凸多边形的内角和不可能是？ (2)小敏求的是几边形的内角和？ 题型08.平行四边形性质求解 29．如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 30．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 31．如图，点E在平行四边形的边上，为对角线，平分． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 32．如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长度（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，四边形是平行四边形； (3)当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由． 题型09.平行四边形性质证明 33．如图，在中，点是的中点，连接并延长，与的延长线相交于点．求证：． 34．如图，在中，对角线与相交于点O，过点A作于E，过点C作于点F．求证：． 35．如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与相交于点． (1)，求平行四边形其他各个内角的度数． (2)若，周长为，求各边的长； (3)求证：； (4)若，求的面积． 题型10.平行四边形性质的应用 36．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（    ） A． B． C．2 D．3 37．如图，点O是的对称中心，点E为边的中点，点F为边上的点，且．若分别表示和的面积，则与之间的等量关系是______． 38．进入世纪后，我国科技技术高速发展，很多行业领先于全球其他国家，物流快递行业就是其中之一，随着快递数量的暴增，某大型物流企业为提高效率，启用机器人分拣快递，在仓储中心有机器人的环形轨道，环形轨道是一个直角梯形（图①），且轨道和轨道在东西方向上，如图所示，，，，，，若机器人从点出发，搬运大件快递到点，运动速度是，机器人从点出发，搬运小件快递到点，然后返回点，运动速度是，假设两个机器人同时出发，机器人的运动时间是秒． (1)在机器人从点到点的运动过程中，若用字母t表示下列线段长，则________，________； (2)在机器人从点到点的运动过程中，当四边形是平行四边形时，求时间； (3)从运动开始到机器人回到点的过程中，是否会出现机器P刚好在机器人的正北方向的时候，若存在，请算出机器人的运动时间，若不存在，请说明理由． 题型11.数图形中平行四边形的个数 39．如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 40．如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 41．在中，，，则图中平行四边形的个数是（） A．13 B．14 C．15 D．18 题型12.四边形的不稳定性 42．四边形的不稳定性是指当四边形的边长一定时，不能确定的是（    ） A．四边形的内角大小 B．四边形的内角和 C．四边形的外角和 D．四边形的周长 43．2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了______． 44．平行四边形具有不稳定性，当一个平行四边形的形状发生改变时，发生变化的是（ ） A．平行四边形的外角和 B．平行四边形的边长 C．平行四边形的周长 D．平行四边形某些角的大小 题型13.求平行线间的距离 45．如图，的面积为4，则点到的距离为（   ） A．4 B．2 C．12 D．10 46．如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是___________． 47．如图，直线，点在直线上，过点向直线引直线，与的交点分别是、D，若测得，并且其中有一条是表示直线与直线之间的距离，那么你认为直线与直线之间的距离应该是（     ） A． B． C． D． 48．如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求直线与的距离． 题型14.利用平行线间距离解决问题 49．如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，且，若的面积为3，则四边形的面积为_____． 50．如图，P是直线m上一动点，A、B是直线n上的两个定点，且直线；对于下列各值：①点P到直线n的距离；②三角形的周长；③三角形的面积；④的大小．其中会随点P的移动而变化的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 51．如图，在中，．射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，当点E先出发后，点F也从点B出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点F运动时间为t（s），其中． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $