第四节　简单的三角恒等变换课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角恒等变换专题，覆盖半角公式、降幂升幂公式等核心考点，对接高考评价体系，通过真题与模拟题分析化简、求值、综合应用三大高频题型，明确考查要求，构建系统复习框架。 课件亮点在于“知识清单+考向突破+真题演练”模式，如以2024年新高考Ⅰ卷给值求值题为例，用“拆角配角”法培养推理能力，学霸笔记总结弦切互化等技巧提升运算能力，助力学生掌握得分关键，教师可据此高效指导复习。

第四节　简单的三角恒等变换 1 知识清单 半角公式 sin ＝± ， cos ＝± ， tan ＝± . 返回导航 2 【常用结论】 1．降幂公式 sin2θ＝，cos2θ＝ 2．升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α； 1－cos2α＝2sin2α； 1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2； 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2. 返回导航 3 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin .(　　) (2)辅助角公式a sin x＋b cos x＝ sin (x＋φ)中的φ是唯一的．(　　) (3)tan .(　　) (4)函数f(x)＝sin2－是非奇非偶函数．(　　) × × √ × 返回导航 4 2．(人教A版必修一P226T2改编)已知cosθ＝，且270°＜θ＜360°，则sin ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：B 返回导航 5 3．(人教A版必修一P227例9(2)改编)已知函数y＝3sin x＋4cos x，则它的最小正周期是________，最大值是________． 2π 5 返回导航 6 4．(人教A版必修一P226T3改编)已知等腰三角形的顶角的余弦等于，则这个三角形的一个底角的正切值为________． 返回导航 7 02.考教衔接·活用教材 返回导航 8 命题点一　三角函数式的化简 例1 (1)化简：. 返回导航 9 (2)已知α∈(0，π)，化简. 返回导航 10 学霸笔记：三角函数式化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升幂． 返回导航 11 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版必修一P229T6(6)改编)化简：＝________． tan (β－α) 返回导航 12 (2)已知＜α＜2π，化简 ＝________． 返回导航 13 命题点二　三角函数式的求值 考向1　给角求值 例2 (1)计算＝(　　) A．1 B． C． D．2 答案：D　 返回导航 14 返回导航 15 (2)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°＝________． 返回导航 16 学霸笔记：给角求值问题中一般给出的角都是非特殊角，求解时，需要观察分析所给角与特殊角的关系、分析函数名称的关系，通过公式的正用、逆用、变形，使得式子中的角以及式子的结构发生变换，从而达到化简计算的目的，通常有以下三种思路： (1)通过变换，化为特殊角的三角函数值． (2)通过变换，产生正负抵消的项消去求值． (3)通过变换，产生分子分母约分的项约分求值． 返回导航 17 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P255T13(4)改编)化简：sin 50°·＝________． 1 返回导航 18 考向2　给值求值 例3(链接·2024年新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m 答案：A 返回导航 19 返回导航 20 学霸笔记：将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行三角恒等变换，使其转化为所求函数式能够使用的条件，然后用代入法求出三角函数式的值，也可以将所求的函数式经过适当的变形，再利用条件求值． 返回导航 21 　跟踪训练　(2026·邯郸模拟)已知sin (α－β)＝，tan α＝3tan β，则sin (α＋β)＝(　　) A．　　　B． C．　　　D． 答案：D 返回导航 22 返回导航 23 考向3　给值求角 例4 已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝，则2α＋β的值为(　　) A． B．π C． D． 答案：A 返回导航 24 返回导航 25 学霸笔记：给值求角问题实质上是转化为给值求值问题，先求角的某一三角函数值，再求角的取值范围，最后确定角．遵循以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数． (2)已知正弦、余弦函数值，若角的取值范围是，选正弦、余弦皆可；若角的取值范围是(0，π)，选余弦较好；若角的取值范围是，选正弦较好． 返回导航 26 　跟踪训练　已知tan α，tan β是方程x2－4x－3＝0的两根，且α，β∈(0，π)，则α＋β的值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 返回导航 27 返回导航 28 命题点三　三角恒等变换的综合应用 例5 (2026·重庆模拟)已知函数f(x)＝cos －2cos2x＋. (1)求f(x)在 返回导航 29 返回导航 30 (2) 返回导航 31 学霸笔记：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝A sin⁡(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题． 返回导航 32 　跟踪训练 (1) 返回导航 33 (2)若α∈，且f(α)＝，求cos 2α的值． 返回导航 34 03.课时作业25 返回导航 35 1．已知α为第四象限角，且cos 2α＝，则sin α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：C 解析：∵cos 2α＝1－2sin2α＝，∴sinα＝±，又α为第四象限角，sin α<0，∴sin α＝－.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 2．计算：sin 16°cos 134°＋sin 74°sin 46°＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：sin 16°cos 134°＋sin 74°sin 46°＝sin 16°cos (180°－46°)＋sin (90°－16°)sin 46°＝－sin 16°cos 46°＋cos 16°sin 46°＝sin (46°－16°)＝sin 30°＝.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 3．(2026·阳江模拟)若tan α＝6，则cos2α＋sin2α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：由tan α＝6，则cos2α＋sin2α＝cos2α＋2sinαcos α＝.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 4．已知cos α＋sin α＝，则sin ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：B 解析：因为cosα＋sin α＝2(cos α＋＝，所以2sin ＝，所以sin ＝.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 5．(2026·怀化模拟)已知tan α＋＝7，则sin 2α＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：tan α＋＝7，故sin 2α＝.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 6．已知a＝－1，则下列选项正确的是(　　) A．a>c>b B．c>a>b C．a>b>c D．b>a>c 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 解析：化简可得a＝＝sin 33°，由30°<33°<90°，则sin 30°<sin 33°<sin 90°，即<a<1；b＝＝tan 64°>tan 45°＝1，c＝2cos234°－1＝cos68°，由60°<68°<90°，则cos 60°>cos 68°>cos 90°，即0<c<，所以c<a<b.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 7．(2026·邢台模拟)已知sinα＝，则3＋cos 4α－4cos 2α的值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 解析：由二倍角公式，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，由二倍角公式，3＋cos4α－4cos 2α＝3＋2cos22α－1－4cos2α＝2cos22α－4cos2α＋2，将cos 2α＝代入得2cos22α－4cos2α＋2＝2×2－4×.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 8．已知α∈，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值是(　　) A．－ B．－ C． D．－或 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 解析：∵tan (α－β)＝，tan β＝－，∴tan α＝tan [(α－β)＋β]＝，∴tan (2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝＝1.∵0<α<，tan α＝<1，∴0<α<，∴0<2α<.∵0<β<π，tan β＝－>－1，∴<β<π，∴－π<－β<－，∴－π<2α－β<－，∴2α－β＝－.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 9．下列等式成立的是(　　) A．sin26°－cos26°＝cos12° B．4sin 15°cos 15°＝1 C．sin 6°－cos 6°＝－sin 39° D．＝1 答案：BCD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 解析：对于A，sin26°－cos26°＝－cos12°，A错误；对于B，4sin 15°cos 15°＝2sin 30°＝1，B正确；对于C，sin 6°－cos 6°＝＝sin (－39°)＝－sin 39°，C正确；对于D，＝tan (60°－15°)＝tan 45°＝1，D正确．故选BCD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 10．已知5cos αcos β＝2，5cos (α－β)＝4，则(　　) A．sin αsin β＝ B．cos (α＋β)＝0 C．tan αtan β＝1 D．tan (α－β)＝tan α－tan β 答案：ABC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 解析：由cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，cos αcos β＝，得sin αsin β＝，A正确；cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＝0，B正确；tan αtan β＝＝1，C正确；因为tan (α－β)＝，所以2tan (α－β)＝tan α－tan β，D错误．故选ABC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 11．已知α为第一象限角，sin α＝，则tan ＝________. 解析：∵α为第一象限角，∴是第一象限角或第三象限角，0，cos α>0.∵sin α＝，∴cos α＝，∴根据半角公式可得tan. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 12．(2026·邵阳模拟)已知α∈，cos2α＝cos ，则tan α＝________． 解析：由cos2α＝coscos ＝cos cos ＝cos ·sin sin ＝，又α∈，得cos α＝，所以α＝，得tan α＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 13．(13分)(2026·衡水模拟)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x. (1)求函数f(x)在 解析：根据题意f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin ， 设t＝2x＋，因为x∈ ， 所以f(x)＝sin 的值域为. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 (2)若f(α)＝ 解析：因为f(α)＝，所以f(α)＝sin ＝， 可得sin ＝，因为<α<，可得<2α＋<π， 所以cos ＝－， 所以cos 2α＝cos ＝cos ＋sin ＝－. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 14．(15分)(2026·绵阳模拟)已知α∈ (1)求cos α； 解析：由α∈，得<α＋<. ∵cos ＝，∴sin ＝， ∴cos α＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 (2)若β∈ 解析：由α∈，cos α＝得sin α＝，由β∈，sin β＝得cos β＝－， ∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋. 又∵α∈，β∈，∴<α＋β<，∴α＋β＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 15．(5分)已知α，β为锐角，且sin α＝，则tan β的最大值为(　　) A． B． C． D． 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 解析：∵α，β为锐角，且sin α＝，分式上下除以cos β得，sin α＝，∴cos αsin α＝(sin2α＋2)tanβ.∵α为锐角，∴tan α>0，∴tan β＝，当且仅当3tan α＝，即tan α＝时取等号，∴tan β的最大值为.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 16.(5分)(2026·无锡模拟)若则＝________． － 解析：根据题意，sin (α－20°)＝＝，cos (2α＋140°)＝cos [2(α－20°)＋180°]＝－cos [2(α－20°)]＝－[1－2sin2(α－20°)]＝－[1－2×()2 ]＝－. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 解析：因为270°＜θ＜360°，所以135°＜＜180°，所以sin ＝＝. 解析：y＝3sin x＋4cos x＝sin (x＋φ)＝5sin (x＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，所以函数的最小正周期是2π，最大值是5. 解析：设等腰三角形顶角为α，则这个三角形底角为，且cos α＝，sin α＝，于是tan ＝＝＝＝＝＝＝. 解析：原式＝tan (90°－2α)·＝··＝··＝. 解析：因为α∈(0，π)，所以∈(0，)， 所以原式＝ ＝＝cos α. 解析： ＝＝ ＝＝tan (β－α). －cos 解析：∵＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos α＞0，cos ＜0，则＝ ＝＝ ＝－cos . 解析：原式＝＝ ＝＝＝ ＝＝2.故选D. 解析：原式＝·＝·＝·＝·＝. 解析：原式＝cos 40°·(1＋)＝cos 40°·＝cos 40°·＝＝1. 解析：由tan αtan β＝2，可得＝2，即sin αsin β＝2cos αcos β.由cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝m，可得cos αcos β＝－m，sin αsin β＝－2m，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.故选A. 解析：由tan α＝3tan β，得＝3，所以sin αcos β＝3cos αsin β，又sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，所以cos αsin β＝，sin αcos β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝.故选D. 解析：因为α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－，所以sin α＝，cos α＝，sin (α＋β)＝，α∈(0，)，α＋β∈(，π)，所以2α＋β∈(，)，则sin (2α＋β)＝sin [(α＋β)＋α]＝sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α＝×－×＝，所以2α＋β＝.故选A. 解析：由题意，则tan (α＋β)＝＝＝1，且tan α，tan β一正一负，因为α，β∈(0，π)，则<α＋β<，故α＋β＝.故选C. 解析：由f(x)＝cos 2x＋sin 2x－(2cos 2x－1)＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x＝sin (2x－)， 由x∈，则2x－∈， 故2x－∈[－，)时，f(x)单调递增；2x－∈(，]时，f(x)单调递减， 所以f(x)的单调递增区间为[0，)，单调递减区间为(，]，且值域为. 解析：由f(x0)＝sin (2x0－)＝，且2x0－∈，则cos (2x0－)＝－， 所以cos 2x0＝cos ＝cos (2x0－)cos －sin (2x0－)sin ＝－×－×＝－. 解析：f(x)＝4cos x cos (x＋)－＝4cos x(cos x－sin x)－ ＝2cos2x－2sinx cos x－＝(2cos2x－1)－2sinx cos x ＝cos 2x－sin 2x＝2cos (2x＋)， f()＝2cos ＝2×(－)＝－. 解析：因为f(α)＝2cos (2α＋)＝，所以cos (2α＋)＝. 因为0≤α≤，所以≤2α＋≤， 则≤2α＋≤，所以sin (2α＋)＝， 则cos 2α＝cos ＝cos (2α＋)cos ＋sin (2α＋)sin ＝×＋×＝. $