第4节　简单的三角恒等变换课件-2027届高三数学一轮复习

第4节　简单的三角恒等变换 课标要求 1. 会根据相关公式进行化简和求值. 2. 会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题. 目录/ CONTENTS 考点一 三角函数式的化简 01 考点二 三角函数式的求值 02 提能点 三角恒等变换的综合应用 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 三角函数式的化简 目 录 1. 半角公式 sin ＝± ； cos ＝± ；tan ＝± ＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 2. 积化和差公式 cos α cos β＝ [ cos （α＋β）＋ cos （α－β）]； sin α sin β＝－ ； sin α cos β＝ ； cos α sin β＝ . 高中总复习·数学 目 录 3. 和差化积公式 sin α＋ sin β＝2 sin cos ； sin α－ sin β＝2 cos sin ； cos α＋ cos β＝2 cos cos ； cos α－ cos β＝－2 sin sin . 高中总复习·数学 目 录 （1） ＋ 的化简结果为（　　） A. － sin 20° B. － cos 20° C. cos 20° D. sin 20° √ 解析： 　原式＝ ＋ ＝｜ sin 20°－ cos 20°｜＋ ＝ cos 20°－ sin 20°＋ sin 20°＝ cos 20°. 高中总复习·数学 目 录 解：因为α∈（0，π），所以 ∈（ 0， ），所以原式＝ ＝ ＝ ＝ cos α. （2）已知α∈（0，π），化简： . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）若 cos α＝－ ，α是第三象限角，则 ＝（　A　） A. － B. C. 2 D. －2 解析： ∵α是第三象限角，∴ 是第二、四象限角，∴tan ＜0.又∵tan ＝± ，∴tan2 ＝ ，即 cos α＝ ＝－ ，∴tan ＝－ 3，∴ ＝ ＝－ . A 高中总复习·数学 目 录 （2）已知 ＜α＜2π，化简 ＝ 　－ cos 　. 解析：∵ ＜α＜2π，∴ ＜ ＜π，∴ cos α＞0， cos ＜0，则 ＝ ＝ ＝ cos ＝－ cos . － cos 　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 三角函数式的求值 目 录 角度1　给角求值 sin 20°（ ＋tan 50°）＝（　　） A. B. 2 C. D. 1 √ 解析： 　原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1，故选D. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 解给角求值问题的基本思路 　　观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角、半角等公式将 非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值求值，或化为正、负相 消的项化简求值，或化为可约分的项化简求值. 高中总复习·数学 目 录 角度2　给值求值 （2025·全国Ⅱ卷8题）已知0＜α＜π， cos ＝ ，则 sin （α－ ）＝ （　　） A. B. C. D. √ 解析： 　 cos α＝2 cos 2 －1＝2× －1＝－ ，因为0＜α＜π，所以 sin α ＝ ，所以 sin （α－ ）＝ （ sin α－ cos α）＝ × ＝ . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 给值求值问题的解题策略 （1）化简所求式子或已知条件； （2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）； （3）将已知条件代入所求式子，化简求值. 高中总复习·数学 目 录 角度3　给值求角 已知α，β∈（ 0， ）， cos （α－β）＝ ，tan α·tan β＝ ，则α＋β＝ （　　） A. B. C. D. √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为 cos （α－β）＝ ，tan α·tan β＝ ，所以 解得 所以 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ ，又α，β∈（ 0， ），所以α＋β∈（0，π），所 以α＋β＝ . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角 函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，应遵循以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是（0， ）， 选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数；若角的范围 为（－ ， ），选正弦函数. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）（2026·浙江温州模拟）已知 sin （α＋β）＝ ， sin （α－β）＝ ，则 ＝（　B　） A. B. 5 C. － D. －5 B 高中总复习·数学 目 录 解析： sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ ， sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ ，两式相减得2 cos α sin β＝ ，两式相加得2 sin α cos β＝ ，所以 ＝ ＝5，即 ＝5，故选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知α，β∈（ ，π）， sin α＝ ， cos （α＋β）＝ ，则β＝ （　B　） A. B. C. D. B 高中总复习·数学 目 录 解析：由于α，β∈（ ，π），所以α＋β∈（π，2π），所以 sin （α＋β） ＝－ ， cos α＝－ ＝－ ，所以 cos β＝ cos [（α＋β）－ α]＝ cos （α＋β）· cos α＋ sin （α＋β） sin α＝ ×（ － ）＋（ － ）× ＝ ＝－ ，所以β＝ . 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 三角恒等变换的综合应用 目 录 （2026·湖南邵阳模拟）设函数f（x）＝ sin （2x＋ ）＋ sin 2x－ cos 2x－ . （1）将f（x）化简成f（x）＝A sin （ωx＋φ）＋B（－ ＜φ＜ ）的形 式； 解： f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x－ cos 2x－ ＝ sin 2x－ cos 2x－ ＝ sin （2x－ ）－ . 高中总复习·数学 目 录 （2）若x0∈［ ， ］，且f（x0）＝ － ，求 cos （2x0－ ）的值. 解：由f（x0）＝ sin （2x0－ ）－ ＝ － ，得 sin （2x0－ ）＝ ， 又2x0－ ∈［ ，π］， 所以 cos （2x0－ ）＝－ ， 则 cos （2x0－ ）＝ cos （2x0－ ＋ ） ＝ cos （2x0－ ） cos － sin （2x0－ ） sin ＝（－ ）× － × ＝－ . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的 关系；注意公式的逆用和变形应用. 2. 形如y＝a sin x＋b cos x化为y＝ · sin （x＋φ）（ 其中tan φ＝ ），可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性. 高中总复习·数学 目 录 练3 （1）已知函数f（x）＝ sin x cos x－ cos 2x＋ .若f（ α）＝ ， 则 sin 2α的值为 ⁠； 解析： f（x）＝ sin 2x－ · ＋ ＝ sin 2x－ cos 2x＝ sin （ 2x－ ）.因为f（ α）＝ ，所以 sin （ α－ ）＝ ，所以 sin （ α － ）＝ ， sin 2α＝ sin ［2（ α－ ）＋ ］＝ cos 2（ α－ ）＝1－2 sin 2（ α－ ）＝1－2×（ ）2＝－ . － 　 高中总复习·数学 目 录 （2）已知f（x）＝ sin x sin （ x＋ ）－ ，则f（x）的值域为 ⁠ ⁠. 解析： 因为f（x）＝ sin x sin （ x＋ ）－ ＝ sin x（ sin x＋ cos x）－ ＝ sin 2x＋ sin x cos x－ ＝ × ＋ sin 2x－ ＝ sin 2x － cos 2x＝ sin （ 2x－ ），所以－ ≤f（x）≤ . ［－ ， ］ 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：91分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. ＝（　　） A. B. C. D. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　 ＝ ＝ ＝ .故选C. 高中总复习·数学 目 录 2. 化简： · ＝（　　） A. － sin α B. － cos α C. sin α D. cos α √ 解析： 　原式＝ ＝ ＝ cos α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 已知α是第二象限角，且终边经过点（－4，3），则tan ＝（　　） A. 3 B. C. 2 D. 或2 √ 解析： 　∵α是第二象限角，且终边经过点（－4，3），∴ sin α＝ ， cos α＝－ ，∴tan ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·江西萍乡模拟）已知0＜α＜ ＜β＜π且 sin α＝ ， cos （β－α） ＝ ，则β＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为 sin α＝ ，且0＜α＜ ＜β＜π，所以0＜β－α＜π，所以 cos α＝ ＝ ，因为 cos （β－α）＝ ，所以0＜β－α＜ ， sin （β －α）＝ ＝ ，所以 cos β＝ cos [（β－α）＋α]＝ cos （β－α） cos α－ sin （β－α） sin α＝ × － × ＝－ ，所以β ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 〔多选〕下列各式与tan α相等的是（　　） A. B. C. D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A， ＝ ＝ ＝ ；对于B， ＝ ＝ ＝tan α；对于C， ＝ ＝ ＝ ；对于D， ＝ ＝ ＝tan α.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕（2026·山东济南质检）已知 cos （α＋β）＝－ ， cos 2α＝ － ，其中α，β为锐角，以下判断正确的是（　　） A. sin 2α＝ B. cos （α－β）＝ C. cos α cos β＝ D. tan αtan β＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题意，易得α＋β∈（ ，π），2α∈（ ，π），所以 sin 2α ＝ ＝ ，故A正确； sin （α＋β）＝ ＝ ，所以 cos （α－β）＝ cos [2α－（α＋β）]＝ cos 2α cos （α＋β）＋ sin 2α sin （α＋β）＝（ － ）×（ － ）＋ × ＝ ，故B错误； cos α cos β＝ [ cos （α＋β）＋ cos （α－β）]＝ ×（ － ＋ ）＝ ，故C正确； sin α sin β＝ [ cos （α－β）－ cos （α＋β）]＝ ×［ －（ － ）］＝ ，所以tan αtan β＝ ＝ ，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 已知0＜β＜α＜ ，若α－β＝ ， cos （2α＋2β）＝－ ，则 cos α ＝ ⁠. 解析：∵ cos （2α＋2β）＝1－2 sin 2（α＋β）＝－ ，又0＜β＜α＜ ，∴0 ＜α＋β＜ ，∴ sin （α＋β）＝ ，∴α＋β＝ ，又α－β＝ ，∴α＝ ， ∴ cos α＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 已知α为锐角，且 cos α（1＋ tan 10°）＝1，则α＝ ⁠. 解析：由 cos α（1＋ tan 10°）＝1可得 cos α· ＝1， 所以 cos α· ＝1，所以 cos α＝ ＝ ＝ ＝ cos 40°，又α为锐角，所以α＝40°. 40° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：由tan（ θ＋ ）＝－ tan θ，得 ＝－ tan θ，整理得2tan2θ－ 5tan θ－3＝0，解得tan θ＝－ 或tan θ＝3.又因为θ∈（ 0， ），tan θ＞ 0，可得tan θ＝3，所以 ＝ ＝ sin θ（ cos θ－ sin θ）＝ ＝ ＝ ＝－ . 9. （2026·宁夏银川模拟）已知θ∈（ 0， ），tan（ θ＋ ）＝－ tan θ， 则 ＝ 　－ 　. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）证明：（1） cos 4α＋4 cos 2α＋3＝8 cos 4α； 证明： 左边＝2 cos 22α－1＋4 cos 2α＋3＝2（ cos 22α＋2 cos 2α＋1） ＝2（ cos 2α＋1）2＝2（2 cos 2α）2＝8 cos 4α＝右边. （2） ＝ tan α＋ ； 证明： 左边＝ ＝ ＝ ＝ tan α＋ ＝右边. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （3） － ＝－2 sin （ ＜θ＜2π）. 证明： 左边＝｜ sin ＋ cos ｜－｜ sin － cos ｜，∵ ＜θ＜2π， ∴ ＜ ＜π，从而 sin ＋ cos ＜0， sin － cos ＞0.则左边＝－（ sin ＋ cos ）－（ sin － cos ）＝－2 sin ＝右边. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. （2026·福建龙岩模拟）已知0＜β＜α＜ ， cos （α＋β）＝ ， sin （α －β）＝ ，则tan αtan β的值为（　　） A. B. C. D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为0＜β＜α＜ ，所以0＜α－β＜ ，因为 sin （α－β）＝ ， 所以 cos （α－β）＝ ＝ ，即 cos α cos β＋ sin α sin β ＝ 　①，由 cos （α＋β）＝ 得 cos α cos β－ sin α sin β＝ 　②，由①② 可得， cos α cos β＝ ， sin α sin β＝ ，所以tan αtan β＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知 ≤α≤π，π≤β≤ ， sin 2α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，则（　　） A. cos α＝－ B. sin α－ cos α＝ C. β－α＝ D. cos α cos β＝－ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为 ≤α≤π，所以 ≤2α≤2π，又 sin 2α＝ ＞0，故有 ≤2α≤π， ≤α≤ ，解出 cos 2α＝－ ＝2 cos 2α－1⇒ cos 2α＝ ⇒ cos α＝ ，故A错误；（ sin α－ cos α）2＝1－ sin 2α＝ ，又 ≤α≤ ，所以 sin α≥ cos α，所以 sin α－ cos α＝ ，故B正确；因为 ≤α≤ ，π≤β≤ ，所以 ≤α＋β≤2π，又 cos （α＋β）＝－ ＜0，所以 ≤α＋β≤ ，解得 sin （α＋β）＝－ ，所以 cos （β－α） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 ＝ cos [（α＋β）－2α]＝－ × ＋ × ＝－ ，又因为 ≤α＋β≤ ，－π≤－2α≤－ ，所以 ≤β－α≤π，所以β－α＝ ，故C 正确；由 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝－ ， cos （β－α）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝－ ，两式联立得 cos α cos β＝－ ，故D错误. 故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 设a，x，y都是实数，x，y∈［－ ， ］，满足x3＋ sin x＝2a， 4y3＋ sin y cos y＝－a，则3 sin （ ＋y）＝ ⁠. 解析：因为4y3＋ sin y cos y＝－a，所以8y3＋2 sin y cos y＝－2a，即（－ 2y）3＋ sin （－2y）＝2a，则2a＝x3＋ sin x＝（－2y）3＋ sin （－ 2y）.构造函数f（x）＝x3＋ sin x，所以f（x）＝f（－2y）.又因为f （x）在［－ ， ］上单调递增，所以x＝－2y，则3 sin （ ＋y）＝ 3 sin （ ＋ ＋y）＝3 cos （ ＋y）＝3 cos 0＝3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）（2026·江苏镇江模拟）已知a＝（2 cos x，2 sin （x＋ ）），b＝（ cos x，－ cos （x＋ ）），记f（x）＝a·b，x∈R. （1）求函数f（x）的最小正周期； 解： 因为f（x）＝a·b＝2 cos 2x－2 sin （x＋ ） cos （x＋ ） ＝1＋ cos 2x－ sin （2x＋ ） ＝1＋ cos 2x－ sin 2x－ cos 2x ＝－ sin 2x－ cos 2x＋1 ＝－ sin （2x＋ ）＋1， 所以f（x）的最小正周期T＝ ＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）若f（ ）＝ ，x0∈（ ， ），求 cos 2x0的值. 解： 因为f（ ）＝－ sin （x0＋ ）＋1＝ ， 可得 sin （x0＋ ）＝ ， 又因为x0∈（ ， ）， 则x0＋ ∈（ ， ）， 则 cos （x0＋ ）＝－ ＝－ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 则 sin 2（x0＋ ）＝2 sin （x0＋ ） cos （x0＋ ）＝－ ， cos 2（x0＋ ）＝ cos 2（x0＋ ）－ sin 2（x0＋ ）＝ ， 可得 cos 2x0＝ cos ［2（x0＋ ）－ ］ ＝ cos 2（x0＋ ） cos ＋ sin 2（x0＋ ） sin ＝ × ＋（－ ）× ＝ ， 所以 cos 2x0＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $