专题13 概率之马尔科夫链、数列、赛制、决策性问题（4大题型）（期末复习专项训练）高二年级数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦概率综合应用，以马尔科夫链、数列结合、赛制、决策四大模块构建知识网络，通过分层题型（难点/重点）实现从递推建模到实际决策的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |马尔科夫链|11小题|含传球、状态转移等情境，需建立概率递推关系|以随机过程为核心，关联概率与数列递推，培养数学建模与推理意识| |概率与数列结合|9小题|涉及等比数列证明、通项公式求解|融合概率事件与数列性质，强化数学思维的逻辑性与抽象能力| |赛制问题|10小题|涵盖三局两胜、五局三胜等规则，计算比赛结果概率|立足比赛规则抽象概率模型，体现数学眼光观察现实情境| |决策性问题|10小题|含方案选择、期望比较等实际场景|通过数据分析与期望计算实现决策，落实数学语言表达现实世界的应用意识|

专题13 概率之马尔科夫链、数列、赛制、决策性问题 题型1 马尔科夫链（难点） 题型3 赛制问题（重点） 题型2 概率与数列结合（难点） 题型4决策性问题（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 马尔科夫链（共11小题） 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班的2人中随机选1人值班，则第天甲值班的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件：甲第天值班，，则，设，则，构造等比数列即可求解． 【详解】设事件：甲第天值班，，则， 设，则，， 又， 是首项为，公比为的等比数列， ， 故选：C． 多选题 2．（24-25高二下·山东临沂·期中）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为．则（   ） A． B．若第3次传球后，戊开始加入传球训练，则 C．若第2次传球后，球恰好在丁手中，他将球传出后便离开了，则 D．若添加规定：当球在甲手中时，甲只能传给乙，乙再等可能传给其他人，则 【答案】AC 【分析】对于A，由题意可得传球递推关系，且初始条件，由递推关系可算得； 对于B，由A可知当传球3次后，球在甲手中的概率，接下来的递推关系不同，可算得此时； 对于C，第3次传球后球在甲手中的概率，接下来递推关系为，由此可算得； 对于D，添加规定后传球递推关系仍为，所以的值与A选项相同，由此可得出答案. 【详解】对于A，由题意可知第次传球后，球在甲手中的概率为，所以在其他人手中的概率为， 因为每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他3人中的任意1人， 所以第次传球后，球在甲手中的概率为，可以得到传球递推关系： ，且，由此可算得，所以A正确； 对于B，当传球3次后，球在甲手中的概率，而接下来， ，所以B错误； 对于C，第2次传球后，球恰好在丁手中，第3次传球丁传给甲、乙、丙的概率均相等为， 故第3次传球后球在甲手中的概率，而接下来，， ，所以C正确； 对于D，添加的规定不影响传球递推关系：，所以，所以D错误． 故选：AC. 3．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知甲、乙两个人爱好中国象棋，甲乙两人进行对弈，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲第局赢的概率为. (1)求乙第2局赢的概率； (2)求； (3)若存在，使得成立，求整数的最小值. 【参考：，，，】 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式结合意求解即可； （2）由已知得当时，，再利用构造法，结合等比数列通项公式求出 （3）由已知得，令，利用导数可判断在上递减，则问题转化为求的最大值，进而求得答案. 【详解】（1）依题意，甲第2局赢的概率为， 所以乙赢的概率为. （2）当时，， 整理得，又， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，则， 所以. （3）不等式， 令，求导得， 函数和在上递减，则函数在上递减， 而，则当时，，即函数在上递减， 又，因此当取最大值时，取最小值， 又，则当为偶数时，， 当为奇数时，，且是单调递减的，， 因此的最大值为，依题意，， 又， 所以满足的整数的最小值为. 4．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间，每天统一安排分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为. (1)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列； (2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率； (3)测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3) 【分析】这道题考查的是条件概率性质的应用、利用二项分布求分布列、求递推关系式、利用全概率公式求概率的综合运用. （1）设为三人满分的人数，可知，可得的分布列； （2）根据条件概率公式、全概率公式求解即可； （3）设数列，表示第次传球后球在乙手中的概率，先探索数列的递推公式，再求它的通项公式. 【详解】（1）该校随机抽取三人，每个人满分的概率为， 设抽取的三人中满分人数为，则， 则，， ，， 则的分布列为： （2）用表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”， 则，， 用表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”， 则，且， 又因为 所以， 故， 所以. （3）记表示事件“经过次传球后，球在乙的手中”， 设次传球后球在乙手中的概率为，， 则有，所以， 所以 ， 即，， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 即第次传球后球在乙手中的概率. 5．（2026·湖南长沙·二模）某工业系统内初始装有1个A类部件和2个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到A类部件的概率为，第n次操作后系统内A类部件的数量为. (1)求与的值； (2)求与的关系式； (3)求. 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式以及全概率公式直接计算即可得； （2）由题意可得，利用期望公式可得，则由计算即可得解； （3）由（2）可得，即可得 ，再利用累加法计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，； （2）第次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望， 第 次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望， 故有，， 若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量不变， 若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量加， 故， 故， 即； （3）由， 则， 即 ， 则 ，， ，， 则 ， 即，则， 故， 故. 6．（2026·四川德阳·二模）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． (1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； (2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 【答案】(1) X 0 1 2 3 P ， (2)①；；② 【分析】（1）分析可知，结合二项分布求X的分布列、均值和方差； （2）①分析人气值1点或2点所对应的可能性情况，结合独立事件概率的乘法公式运算求解；②分析可得，利用构造法和累加法，结合等比数列求. 【详解】（1）由题意可知：， 则，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的均值，且方差. （2）①因为每位游客选择东门入园的概率是，则选择其他门入园的概率是， 若人气值为1点，则仅有1人入园且选择其他门入园，所以； 若人气值为2点，则仅有1人且选择东门入园，或仅有2人入园且均选择其他门入园， 所以； ②若人气值为点，可知在人气值为点的前提下仅有1人且选择东门入园，或在人气值为点的前提下仅有1人且选择其他门入园， 则，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则， 当时，则 ， 且符合上式，所以. 7．（2026·海南儋州·一模）如图，已知一个质点每隔相等时长，按随机方向，等可能地沿着正方体的棱从1个顶点移动到另1个顶点．设一个质点从顶点出发，第次运动后，质点回到点的概率为． (1)求和； (2)设第次运动后，质点移动到点的概率分别为、、． ①证明：，； ②求． 【答案】(1)；； (2)①证明见详解；②. 【分析】（1）通过质点在不同时间的移动路径来确定回到点的概率； （2）①利用正方体的对称性以及质点移动的概率关系即可证明等式； ②通过质点到达各点的概率关系，化简可得，通过对的取值进行奇偶讨论，即可求得. 【详解】（1）质点从出发，第1次运动有3个方向，即、、，概率均为， 第2次要回到，必须从第1次到达的顶点（、、）沿原路返回，每个顶点返回的概率为， 所以； 第3次运动要回到，第二次必须在与相邻的顶点（、、）， 但第2次运动质点不可能出现在顶点、、，所以； （2）①设第次到达，其概率为，则第次一定出现在与相邻的、、，每个顶点到达的概率均为， 因为质点从出发，顶点与顶点为其对称点， 所以第次到达顶点的概率与第次到达顶点的概率相同，均为， 又质点第次到达顶点的概率为, 所以； 同理，设第次到达，其概率为，则第次一定出现在与相邻的、、，每个顶点到达的概率均为， 因为质点从出发，顶点与顶点为其对称点， 所以第次到达顶点的概率与第次到达顶点的概率相同，均为， 又质点第次到达顶点的概率为, 所以； ②根据①的计算，可得，，与，联立， 可得，化简整理得，即， 所以， 又，，，，， 所以，， ， 当为偶数时，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以        ， 当为奇数时，，，，，，， 所以， 即，所以， 所以当为偶数时， ， 所以当为奇数时， ， 综上所述，. 8．（2026·辽宁·三模）为提升用户的“数字资产积累”体验，某区块链平台推出“幸运盲盒”游戏：盲盒内有编号的个数字代币（质地均匀），每次随机有放回抽取个代币，抽取相互独立．规则为：抽到号代币得个积分，抽到号代币得个积分．定义“安全积累状态”为：抽取过程中从未出现连续两次抽到号代币，记第次抽取后处于“安全积累状态”的概率为． (1)①求抽取次后，总积分为分的概率； ②求的值； (2)设抽取次后处于“安全积累状态”，且积分和为．求满足条件的的取值范围，并求当最大时共有多少种抽取方法； (3)证明：当时，． 【答案】(1)①；② (2)，125 (3)证明见解析 【分析】（1）①由题意得总积分为分，应满足恰好抽到次号代币，次号代币，利用概率的乘法公式即可求解；②分类讨论次抽取过程中从未出现连续两次抽到号代币的情况即可求解； （2）根据题意得出抽到号的次数与的关系即可求解； （3）将第次抽取后处于安全积累状态，分两种情况讨论，得到即可判断. 【详解】（1）①由题意，抽到号的概率为，抽到号的概率为；抽取次后，总积分为分，应满足恰好抽到次号代币，次号代币． 总积分为分的概率为：， ②根据题意，次抽取过程中从未出现连续两次抽到号代币，有种情况 三次均未抽到号：， 三次中有一次抽到号：， 三次中有两次抽到号，只能第一次和第三次抽到号：， 则． （2）设抽到号次，则 ，得； 因为个号不连续，故至少有次抽到其他号码， 所以有 ，即，又， 联立解得． 故的最大值为，此时：共 种抽取方法． （3）第次抽取后处于安全积累状态，分两种情况： 第一种情况：第次抽号，概率为，前次抽取后处于安全积累状态的概率为，概率为； 第二种情况：第次抽号，其概率为，第次抽号，概率为， 前次抽取后处于安全积累状态的概率为，概率为； 故， 则， 所以当时，， 当时，由（1）知，， 故，当时，． 9．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某单位食堂有两个餐厅，员工每天中午必须在其中一个餐厅就餐.员工小王第一天午餐时随机选择一个餐厅，如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.7；如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.4. (1)小王第二天选择餐厅就餐的概率； (2)若餐厅拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小王从这些菜品中随机选择3种菜品，记选择素菜的种数为，求的最大值，并求此时的值； (3)设员工小王第天选择餐厅就餐的概率为，求. 【答案】(1)0.45 (2)最大值为，或4. (3) 【分析】（1）抽象为全概率公式，结合题意，代入数据，即可求解； （2）首先根据组合数公式，结合古典概型概率公式，得到，设最大，则，列式求解； （3）首先根据全概率公式，列出的递推关系式，利用构造法求通项公式. 【详解】（1）根据题意，设“第i天在餐厅就餐”为事件，设“第i天在餐厅就餐”为事件， 则 （2）可能的取值为， 大为， 令， 设最大，则 即 所以，因为为正整数， 所以当， 故的最大值为，此时或4. （3）根据题意，设， 则， 则有 ， 则有，即， 变形可得， 又由，则， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以， 故. 10．（24-25高二下·山东菏泽·期末）在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局．现有8支球队随机编号到对阵位置，所有球队在任何一场比赛中获胜的概率均为．已知甲、乙两队参赛．    (1)求甲队获得冠军的概率； (2)求甲、乙在第轮（其中）相遇的概率； (3)为使得甲、乙两队在比赛过程中相遇的概率小于0.001，组委会计划增加球队支数到支，对阵图和上图类似，求的最小值． 【答案】(1) (2)第1轮相遇的概率为，第2轮相遇的概率为，第3轮相遇概率为. (3)11 【分析】（1）由每轮比赛甲都必须获胜即可求解； （2）假设甲的位置固定，分析甲乙要想在第轮相遇乙的位置，然后结合相互独立事件的概率乘法公式可得； （3）法一：分析甲乙要想在第轮相遇乙的位置，求出相应概率，然后求和，解不等式即可得解；法二：求出参赛球队为、时，甲乙相遇的概率关系，利用累加法求解，然后解不等式可得. 【详解】（1）设甲队获得冠军为事件A，甲如果想获得冠军，每轮比赛都要获胜， 则. （2）设甲乙第一轮相遇概率为，甲乙第二轮相遇概率为，甲乙第三轮相遇概率为， 设甲的位置固定，若乙要与甲在第一轮相遇只能在同一组， 所以甲乙在第一轮相遇的概率， 甲乙要在第二轮相遇，则甲乙在同一个半区，但不在同一组的概率为， 同时甲乙在第一轮都要获胜，则. 甲乙要在第三轮相遇，则甲乙不在同一个半区的概率为， 同时甲乙在第一､二轮都要获胜，则. 综上，第1轮相遇的概率为，第2轮相遇的概率为，第3轮相遇概率为. （3）解法一：记比赛的轮次为事件，甲乙在比赛过程中相遇的事件为， 要使甲乙能在第轮相遇，则甲乙必须得在同一个区内的不同半区，概率为， 同时甲乙在前轮都要获胜， 所以. 所以甲乙相遇的概率为. 要使得甲乙相遇的概率小于0.001，即，即， 又因为为整数，所以最小的值为11. 解法二：设支球队参赛，甲乙相遇的概率为，则当时，甲乙一定相遇，此时. 当支球队参赛，甲乙相遇的概率为. 考虑将个选手分成上下两个区，每区名选手，这时有2种情况， 情形一：乙和甲在同一区，此时甲乙相遇的概率为， 情形二：乙和甲不在同一区，两人相遇必须都进入决赛，即前轮比赛均获胜. 所以， 于是，， 累加得，所以. 要使得甲乙相遇的概率小于0.001，即，即 又因为为整数，所以，所以最小的值为11. 11．（2026·河南·模拟预测）某篮球队安排编号为1，2，…，m的名队员进行远程投篮训练，编号为1，4，7，…的队员为甲组，编号为2，5，8，…的队员为乙组，编号为3，6，9，…的队员为丙组，甲、乙、丙组队员投篮命中率分别为，，.1号队员先投篮，再按以下规则继续进行：若号队员投入，则由号队员继续投；若k号队员未投入，则由号队员继续投，各队员命中与否相互独立. (1)前4次投篮结束，求丙组队员一次未投的概率. (2)若第次由甲组、乙组、丙组队员投篮的概率分别为，，. （ⅰ）求； （ⅱ）证明：存在正整数，使得当时，. 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）应用独立事件乘法公式求丙组队员一次未投的概率； （2）（i）根据已知及概率的性质得到，构造法确定为等比数列，从而写出其通项公式；（ii）由题设，，两式作差且令，应用累加法、等比数列的前n项和公式求，从而得到的通项，应用分类讨论判断证明结论. 【详解】（1）若前4次投篮结束，丙组队员一次未投， 则前3次投篮情形为1号中，2号未中，4号中，其概率为. （2）（i）由题意知， 且， 所以，， 所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以. （ⅱ）依题意，，， 所以. 两边同乘，得. 令，则. 当时， ，其中， ， 所以. 当为奇数且时，即时，. 当为偶数且时，， 当为偶数且时，令，可化为. 因为，所以， 故存在，使得当时，. 题型二 概率与数列结合（共9小题） 12．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使记，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据计数原理计算出满足的事件的个数以及事件的总数，再根据古典概率公式即可求解. 【详解】投掷7次必须5次正面向上，2次反面向上，抛掷7次不同结果有种，故. 故选：A 多选题 13．（24-25高二下·安徽滁州·期末）数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据数列的递推关系，通过构造，求出数列通项公式，即可判断A，B；理解数列的前项积的概念，并通过运算即可判断C；根据组合数以及概率的计算公式，即可判断D． 【详解】，，， 又，所以数列是首项为3，公差为1的等差数列.， 即，， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：所以，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：显然为奇数时，为奇数，为偶数时，为偶数， 因此要满足两项之和为奇数，则取奇偶各一个， 所以，故D正确. 故选：ABD. 14．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）若数列不是等差数列，但使得，那么称数列为“局部等差数列”.若从集合中依次抽取4个数构成一个数列，则数列为局部等差数列的概率为______. 【答案】/0.2 【分析】先求出一共有的情况数，并列举出满足要求的情况数，相除可得概率. 【详解】依次抽取4个数构成一个数列，共有种情况， 依题意数列中仅连续三项等差，这三项可以为2，4，6（或6，4，2）； 4，6，8（或8，6，4）；6，8，10（或10，8，6）；2，6，10（或10，6，2）四类， 其中2，4，6（或6，4，2）有6种情况， 分别是8，2，4，6；10，2，4，6；2，4，6，10；6，4，2，8；6，4，2，10；10，6，4，2； 4，6，8（或8，6，4）有4种情况， 分别是10，4，6，8；4，6，8，2；8，6，4，10；2，8，6，4； 6，8，10（或10，8，6），有6种情况， 分别是2，6，8，10；6，8，10，2；6，8，10，4； 2，10，8，6；10，8，6，2；4，10，8，6； 2，6，10（或10，6，2）有8种情况， 分别为4，2，6，10；8，2，6，10；2，6，10，4；2，6，10，8； 4，10，6，2；8，10，6，2；10，6，2，4；10，6，2，8； 列举可得共有种情形. 则概率为. 故答案为： 15．（24-25高三下·云南·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，小明第1天随机等可能选择一家用午餐．若他在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择去餐厅的概率为．记小明同学第天选择去餐厅用午餐的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式． 【答案】(1); (2)证明见解析，． 【分析】（1）设“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，，由题意得，根据全概率公式计算即可； （2）利用全概率公式得，再利用构造法即可证明并求得的通项公式. 【详解】（1）设“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，， 与互斥．由题意，，，， 所以， 由全概率公式得； （2）“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，． 与互斥且对立．由题意，，当，时， ，，，，， 所以li ， 所以， 又，故，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，所以． 16．（24-25高二下·湖北·期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：（一）每局胜者得1分，负者得0分；（二）若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立. (1)求； (2)记表示比赛停止时已比赛的局数，求的分布列及数学期望； (3)若不限定局数（即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件），设为比赛进行局后仍未停止比赛的概率，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）第二局比赛结束时比赛停止，即甲连赢2局或连输2局，列式即可求解； （2）的可能取值为2，4，6，结合题意分析列式求出相应概率，列出分布列，再根据期望公式求解即可； （3）当为奇数（）时，第局没有停，甲乙得分均为分，则，当为偶数时，，利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】（1）由得：或， ∵，∴； （2）的可能取值为2，4，6， 由（1）知，当时 ，， ， ， 所以的分布列如表所示： 2 4 6 的均值为； （3）由题可得， 当为奇数（）时，第局没有停，甲乙得分均为分，则， 当为偶数时，， ∴当为偶数时，数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴， 当为奇数时，为偶数， ∴，当时，也满足. 所以通项公式. 17．（24-25高二下·广东广州·期末）甲对某运动项目进行挑战，若第一天挑战不成功，则第二天继续挑战；若第一天挑战成功，则第二天休息一天，第三天继续挑战，依此类推…假设甲挑战成功的概率均为，设第天甲挑战的概率为． (1)求，； (2)求证数列为等比数列，并求； (3)若随机变量服从两点分布，且，，则．记前天（即从第1天到第天）中甲挑战的天数为，求． 【答案】(1)，. (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）根据对立事件概率公式和独立事件乘法公式求解即可； （2）由，即可得，即可利用等比数列定义证明结论，然后利用等比数列的通项公式求解即可； （3）利用两点分布求得，然后利用等比数列求和公式求解即可. 【详解】（1）根据题意，. （2）当时，，所以，又, 所以是以为首，为公比的等比数列，所以， 即. （3）因为，， 所以， 因为，， 所以当时，， 故. 18．（24-25高二下·安徽滁州·期末）某同学在做投篮训练，已知该生每次投中的概率为，投不中的概率为．为提高该生训练的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．某同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分． (1)若投篮2次，最终得分为，求随机变量的分布列和期望； (2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式． 【答案】(1)分布列见详解； (2)证明见详解； 【分析】（1）由题意可知：最终得分的可能取值为2，3，4，结合二项分布求分布列和期望； （2）根据独立事件概率乘法公式可得，，且，根据等比数列的定义结合累加法求通项公式. 【详解】（1）由题意可知：最终得分的可能取值为2，3，4， 则，，， 可得随机变量的分布列为 2 3 4 期望为. （2）由题意可知：，，且， 因为，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则，，，， 相加可得， 则， 且时，符合上式，所以. 19．（24-25高二下·浙江·期末）若无穷正项数列同时满足以下两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质． (1)若； （ⅰ）判断数列是否具有性质，并说明理由； （ⅱ）记为数列的前项和，判断数列是否具有性质，并说明理由； (2)某同学投篮命中率为，每次投篮相互独立，设随机变量为投篮次命中的次数，记，证明：数列具有性质． 【答案】(1)（ⅰ）不具有，具有，理由见解析；（ⅱ）具有，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（ⅰ）根据题设证的新定义，结合，利用等差、等比数列的性质，即可求解； （ⅱ）数列具有性质，利用乘公比错位相减法，求得 ，结合数列的单调性，即可求解； （2）由因为，记是奇数时的概率和为，是偶数时的概率和为，分别求得和，得到，进而得到答案. 【详解】（1）解：（ⅰ）假设存在，使得， 则有，因为，所以数列不具有性质； 因为，且为单调递减数列，所以数列具有性质； （ⅱ）数列具有性质， 两式作差得： ， 所以数列满足条件①； 因为， 所以为单调递增数列，满足条件②，所以数列具有性质； （2）解：因为， 记是奇数时的概率和为，是偶数时的概率和为， ， ， 可得，故随着的增大而增大， 所以数列具有性质． 20．（2025·江西·二模）某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分.连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束. (1)设员工在游戏过程中累计得分的概率为. ①求； ②求证数列为等比数列. (2)得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？（精确到1元） 【答案】(1)①；②证明见解析； (2)1499元. 【分析】（1）①根据事件发生概率，依次分类进行求解即可； ②由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数为奇数或获得分时掷骰子点数为偶数，而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为，所以，结合数列递推关系，即可证明是公比为的等比数列. （2）由（1），运用累加法可求得，进而可求得员工获得二等奖和一等奖的概率，设一等奖的奖金为元，进而可得，解不等式即可. 【详解】（1）①由题意，员工游戏过程中累计得1分，即第一次投掷为奇数，其概率为； 累计得2分，即第一次投掷为偶数或连续两次投掷都是奇数，其概率为；累计得3分，即前两次投掷一次为偶数，一次为偶数或连续三次投掷都是奇数，其概率为； ②由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数为奇数或获得分时掷骰子点数为偶数，而掷骰子点数为奇数和偶数的概率均为. 所以， 则，又 故为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知， 将所有等式相加得， 所以， 所以， 设一等奖的奖金为元，二等奖的奖金为元， 由题意知元， 解得，即一等奖的奖金最多不超过1499元. 题型三 赛制问题（共10小题） 21．（24-25高二下·江苏徐州·期中）2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为，且每局比赛相互独立． (1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （ⅰ）为多少？ （ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数的分布列． (2)如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求的取值范围？ 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析 (2) 【分析】（1）（ⅰ）计算两次交手记录郑钦文获胜的频率即可； （ⅱ）按照独立事件和互斥事件的概率公式求，再利用即可求出分布列； （2）按照独立事件和互斥事件的概率公式分别求出两种情况下的郑钦文获胜的概率，再解关于的不等式即可. 【详解】（1）（ⅰ）根据两次交手记录，郑钦文共胜2局，负3局，因此的估计值为． （ⅱ）由题知，可取值为、， ，， 所以的分布列为 2 3 0.52 0.48 （2）三局两胜制郑钦文最终获胜概率， 五局三胜制中郑钦文最终获胜的概率 所以，化简得， 因为，，所以，即，所以， 所以使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率的取值范围是． 22．（24-25高二下·广东佛山·期末）甲乙两人进行投篮，抛硬币决定谁先投篮，并约定：一人先投篮，若未命中，则换为对方投篮；若后投篮者还没命中，则由先投篮者再投篮，如此往复下去直到有人命中为止，先命中者胜，比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且甲乙是否命中相互独立. (1)假设，，求第2次投篮后比赛结束的概率； (2)已知甲先投篮，求甲获胜的概率； (3)从最终获胜的角度出发，根据与的大小关系，判断先投篮者的优势是否更大？说明理由. 【答案】(1)； (2) (3)答案见解析； 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可得出答案； （2）应用独立事件概率公式结合全概率公式可求概率； （3）由（2）得出先投篮者获胜的概率判断即可. 【详解】（1）设第2次投篮后比赛结束为事件， 由题意得； （2）设甲先投篮甲获胜为事件，为甲第一投命中， 则， 因为第1,2次投篮没中后，相当于重新开始比赛，此甲获胜的概率也为， 故， 因此，故； （3）设甲先投篮甲获胜为事件，为乙先投乙获胜， 则由（2）可得，， 同理，， 则先投占优等价于，即， 则先投不占优等价于或， 综上，当时，先投占优； 当或，先投不占优. 23．（24-25高二下·江苏徐州·期末）为了解学生对某项运动的喜欢情况，学校进行了一次抽样调查，得到如下数据： 男生 女生 合计 喜欢 65 35 100 不喜欢 50 50 100 合计 115 85 200 (1)能否有99%的把握认为是否喜欢该项运动与性别有关？ (2)若学校有甲，乙两队进行此项运动比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（有一队先胜3局即获胜，比赛结束），甲队每局获胜的概率为（）． ①若比赛打满5局的概率为，求的最大值； ②若，在甲队赢得该场比赛的条件下，求比赛的局数的概率分布及数学期望． 附：，其中． 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)没有99%的把握认为是否喜欢该项运动与性别有关 (2)①；②分布列见解析， 【分析】（1）计算卡方，进行独立性检验即可； （2）①求得，结合基本不等式即可得解；②，计算出对应的概率可得分布列，进一步根据期望公式计算期望即可. 【详解】（1）提出假设：学生对该项运动的喜欢情况与性别无关， 根据列联表中的数据，得， 所以没有99%的把握认为是否喜欢该项运动与性别有关． （2）①比赛打满5局的概率． 因为， 当且仅当，即时，取得最大值． ②设甲队赢得该场比赛为事件，该场比赛结束时，进行了局为事件（）， 且，， ， 则． 在甲队赢得该场比赛的条件下，比赛的局数为（）， 则， ， 所以的分布列为 3 4 5 ． 24．（24-25高二下·浙江宁波·期末）为了推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年4月23日为“世界读书日”.某高中为了促进学生阅读，组织了一场知识竞赛，比赛按照班为单位参与，分为预选赛和决赛.预选赛的规则是每个班在规定的时间内分别答题，答对题目数量最多的前两个班进入决赛.决赛规则是两个班轮流答题，无论是否答对，第一个班答完后第二个班即进入答题. (1)若甲班在预选阶段前面2道题每题答对的概率是，从第3题开始每道题答对的概率是，用表示在前4次答题中答对的题目数量，求. (2)若乙班在预选阶段每道题答对的概率是，用表示在前10次答题中答对的次数，以概率作为判断标准，乙班最有可能答对的题目数量是多少？ (3)为了增加比赛的趣味性，在决赛中增加如下环节：抽签决定先回答问题的班级，第一道题目由主持人给出，第一个班级在答完题目后，选择一个题目给另一个班级作答，然后再抽签决定第二轮首先回答问题的班级，以此类推.当两个班级都答过一次题目后称为一轮比赛，一轮比赛中，如果只有一个班级答对，答对的班级得1分，答错的班级得分；如果两个班级都答对或者都答错，均得0分.用事件分别表示在一轮比赛中甲班和乙班答对题目.已知有如下关系：①；②，从以上两个条件中任选一个判断的关系，并在时计算经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率. 【答案】(1) (2)6 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意的所有可能取值为：，再利用独立事件的乘法公式计算出所有情况的概率，接着计算期望即可； （2）由，再确定最大概率的项即可； （3）先判断事件的关系，得到条件①②下独立，再利用独立性计算两班得分相同的概率，即同时答对或同时打错的概率之和即可. 【详解】（1）的所有可能取值为：， ， ， ， ， ， . （2），假设最有可能答对题目的数量是次，则， ，即， ， 解得，又，所以，即乙班最有可能答对6个题. （3）选择①：， 知 ， 故，即相互独立. 选择②：，由已知等式知， 则， ，即相互独立， 用表示“经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同”， ， 经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率为. 25．（24-25高二下·四川泸州·期末）甲、乙两人参加投篮比赛活动，比赛规则如下：投中者得1分且下一轮继续投篮，未投中者对方得1分且下一轮由对方投篮.已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别为，且命中与否相互独立，通过抽签决定首轮投篮方，用表示第轮为甲投篮，用表示甲积分，用表示事件发生的概率，若总共投篮两轮. (1)求； (2)求甲得分的分布列及数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）根据题设分析得表示第2轮甲投篮的情况下甲积2分，即可得； （2）由题意，结合对应事件求出对应的概率，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）由题意，表示第2轮甲投篮的情况下甲积2分， 要使第2轮甲投篮，则第1轮甲投篮且投中，或第1轮乙投篮且未投中，显然两种情况甲均积1分， 所以要使第2轮甲积2分，则甲必投中，故； （2）由题设， 当，第1轮甲投篮未投中，第2轮乙投篮且投中，或第1轮乙投篮且投中，第2轮乙投篮且投中，则， 当，第1轮甲投篮且投中，第2轮甲投篮未投中，或第1轮甲投篮未投中，第2轮乙投篮未投中，或第1轮乙投篮且投中，第2轮乙投篮未投中，或第1轮乙投篮未投中，第2轮甲投篮未投中， 则， 当，第1、2轮甲投篮且投中，或第1轮乙投篮未投中，第2轮甲投篮且投中， 则， 综上，的分布列如下， 0 1 2 . 26．（24-25高二下·安徽合肥·期末）为了激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养，合肥八中将举办一次数学文化知识竞赛，共进行4轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：题库中有艺术题和历史题两类问题，每一轮比赛中，参赛者在20分钟内完成艺术题和历史题各2道，若有不少于3道题答对，将获得一枚数学文化奖章，4轮比赛中，获得3枚及以上奖章的同学将进入决赛.甲同学十分喜欢数学，积极报名参加竞赛. (1)若一轮比赛中题库有5道艺术题和5道历史题，其中甲会2道艺术题，4道历史题，老师随机各抽取2道，求甲同学在这一轮比赛中答对1道艺术题，2道历史题的概率； (2)若每道艺术题甲答对的概率为，历史题答对的概率为.为提高参赛成绩，甲进行了赛前突击，使得艺术题和历史题答对的概率共增加了0.3，记增加后答对艺术题概率为（），答对历史题概率为（）； ①求提高后甲在一轮比赛中获得奖章的概率（用，表示）； ②以4轮比赛甲获得奖章的个数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛. 【答案】(1)0.36 (2)①；②预测该同学不能进入决赛. 【分析】（1）根据超几何分布概率公式计算； （2）①由4题全对，或只错一个艺术题，或只错一个历史题可得；②求出提高后甲在一轮比赛中获得奖章的概率，利用甲获得奖章的个数，求得期望，再确定其取值与3比较后可得. 【详解】（1）由题意； （2）①甲在一轮比赛中获得奖章，4题全对或只错1题，概率为， 又， 所以； ②由题意知4轮比赛甲获得奖章的个数， 所以， 其中， 又，所以， 所以， 设， 又在时是减函数，所以， 所以预测该同学不能进入决赛. 27．（24-25高二下·辽宁·期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛中甲胜乙的概率为． (1)采取五局三胜制（在不超过5局比赛中先累计胜3局者赢得比赛，比赛结束） （ⅰ）求一场比赛中，甲以的比分赢得比赛的概率； （ⅱ）求一场比赛中（不一定打满5局），甲最终赢得比赛的概率； (2)判断“五局三胜制”和“三局两胜制”哪一种赛制对乙赢得比赛更有利？说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)选择“三局两胜制”对乙赢得比赛更有利；理由见解析 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）由相互独立事件的概率乘法公式求解两种情况下的概率，比较大小即可作答. 【详解】（1）（ⅰ）前4局甲乙各胜2局，最后1局甲胜．； （ii）甲赢得比赛分三种情况： ①，； ②，； ③，由（1）已得； 所以甲赢得比赛的概率为． （2）由（1）可知在“五局三胜制”比赛中，乙赢得比赛的概率为； 而在“三局两胜制”比赛中，乙赢得比赛分两种情况： ①，；②，； 所以在“三局两胜制”比赛中，乙赢得比赛的概率， 因为，所以选择“三局两胜制”对乙赢得比赛更有利 28．（24-25高二下·广东·期末）在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. (1)若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率； (2)记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：； (3)教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）方法一：根据二项分布直接求解即可；方法二：讨论甲获得最终胜利的情况，针对每种情况求对应的概率，它们的和即为所求结果. （2）讨论甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的情况，然后利用全概率公式进行求解即可. （3）先根据题意将的表达式列出来，然后利用组合数的公式进行化简，从而证明不等式成立. 【详解】（1）设事件为“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利 法一： 事件等效于甲乙进行5局比赛且甲至少赢3局. 记5局比赛中甲赢的局数为，由题意得 . 法二： 事件分三种情况 ①比赛局数为3，甲3局全胜 ②比赛局数为4，甲第4局胜，前3局输1局 ③比赛局数为5，甲第5局胜，前4局输2局 . （2）设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则 且. “局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利 若第2局甲输，则后续打满局比赛，甲至少胜局 若第2局甲胜，则后续打满局比赛，甲至少胜局 由全概率公式得 故. （3）不妨设有无数支粉笔 题意“用了支白粉笔时，至多用了支黄粉笔”     “总共用了支粉笔时，至少用了支白粉笔”.. 设总共用了支粉笔时，白粉笔用了支，则 事件“”等效于甲乙进行“局胜”制游戏，甲乙每局获胜概率都为，最终甲获胜，由对称性可知. 注意到 得证. 29．（24-25高二下·山东泰安·期末）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：①每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局；②总共进行奇数局比赛；③全部比完后，分数高者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响. (1)当时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为X，现在规定：若，则甲队可额外获得一次特殊训练机会，求甲队获得一次特殊训练机会的概率； (2)若两人共进行局比赛，当且时，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”，事件B表示“甲最终获胜”，求，的值； (3)若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，已知，试判断与的大小关系，并说明理由. 【答案】(1)； (2)，； (3)，理由见解析. 【分析】（1）应用独立重复试验的概率求法及互斥加法公式求概率； （2）由题设前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢局，则剩余2局的赢局数，总分满足，应用二项分布的概率及对立事件概率求法求，； （3）由全概率公式得，即，再应用作商、基本不等式得，即可得结论. 【详解】（1）， ∴甲队获得一次特殊训练机会的概率为； （2）由题设，前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢局， 则剩余2局的赢局数，总分满足， 所以对应，即，又，故， 对于对应，即，又，所以； （3）由全概率公式得     ， ∴， 当时，， ， ∵， ∴， ∴. 30．（24-25高二下·湖北武汉·期末）甲、乙两校进行乒乓球比赛，比赛规则为：①共进行奇数局比赛，且没有平局；②全部比完后，所胜局数多者获胜．现假设每局比赛甲校胜利的概率都是，并且各局比赛之间的结果互不影响． (1)时，若两校共进行5局比赛．记事件A表示“在前3局比赛中甲胜1局”，事件B表示“甲最终胜利”，求； (2)时，若两人共进行且）局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了k局”．事件B表示“甲最终获胜”．请计算 的值； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：时，． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析； 【分析】（1）分析条件概率的意义，计算结果. （2）根据给定的信息直接写出结果. （3）利用由全概率公式求出及，再利用作商法并结合基本不等式推理得证. 【详解】（1） 表示在前3局比赛中甲胜1局的条件下甲最终胜利的概率， 已知共5局比赛，此种情形下，甲要取得最终胜利，必须保证最后2局均胜利， 所以 . （2）当时，共进行且）局比赛， 前局，甲胜的局数不足局，即使再胜2局，甲也不能获胜， 因此； 前局，甲已胜局，最后2局需要全胜，甲才能获胜， 因此； 前局，甲已胜局，最后2局甲至少胜1局，就能获胜， 因此； 前局，甲已胜至少局，甲必胜，因此. （3）由全概率公式得，        则， 当时，，， ， 因此，所以. 题型四 决策性问题（共10小题） 31．（2025·河南郑州·三模）某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”警报．历史数据表明，警报与服务器状态（正常/故障）高度相关．从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取500条，统计如下： 触发警报时状态分布 未触发警报时状态分布 正常 25台 正常 450台 故障 475台 故障 50台 运维单台服务器时，可选操作及经济损失（单位：千元）如下： 状态/操作 保持运行 快速诊断 深度检修 正常 0 1 3 故障 10 4 6 假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立． (1)若服务器触发高温警报，求其处于故障状态的概率； (2)某次维护中，发现1台触发警报的服务器和1台未触发警报的服务器．现有三种操作方案： 方案甲：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的保持运行； 方案乙：触发警报的服务器快速诊断，未触发警报的保持运行； 方案丙：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的快速诊断． 从总经济损失期望最小的角度，判断哪种方案更优． 【答案】(1) (2)方案乙更优. 【分析】（1）根据条件概率公式计算； （2）分别计算三种方案下总经济损失的期望，然后比较大小. 【详解】（1）设服务器触发警报时其处于故障状态设为事件A，服务器未触发报警记时其处于故障状态记为B． 由题意可知，；， 由古典概型知识可知，. （2）∵，∴， 又，∴． ∴. 方案甲：触发警报的服务器深度检修的经济损失的数学期望为： （千元）． 未触发警报的服务器保持运行的经济损失的数学期望为： （千元）． ∴（千元） 方案乙：触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为： （千元）． 所以，（千元） 方案丙：未触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为： （千元）， 所以（千元） ∵，所以方案乙更优． 32．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额5%的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响.每人只能选择一种方案. (1)若甲的消费金额为288元，他选择方案二且抽到的代金券总额为8元的概率为，求p； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为X元，当最大时，求p； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案. 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据独立性乘法公式得到方程，求解即得； （2）根据二项分布的均值和期望公式求得，然后由二次函数性质求解； （3）对消费金额进行合理分段讨论. 【详解】（1）甲的消费金额为288元，他选择方案二，抽奖2次，抽到的代金券总额为8元的概率为，解得； （2）设抽奖次数为，抽到10元代金券的次数为，则， 得． 因为， 所以．. ， 所以时，取得最大值，所以； （3）①当消费金额（单位：元）在时，不能参与方案二，只能选择方案一． ②当消费金额（单位：元）在时，设消费金额为， 当时，由（2）得，方案二的代金券总额的数学期望， 方案一的代金券总额为，此时， 当消费金额（单位：元）为时，选择方案一、方案二都可以， 当消费金额（单位：元）在，且不为时，选择方案一. 所以当消费金额（单位：元）大于0，且不为时，选择方案一； 当消费金额（单位：元）为时，选择方案一、方案二都可以. 33．（2025·上海长宁·二模）为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种） 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）； ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理． 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；②选择方案 【分析】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”，求解在第一次摸到红球后，从7个球中不放回摸2个球的情况和摸出两球为红球和一红一蓝两种情况的种数，即可求解； （2）①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元，由二项分布即可求解；②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元，根据超几何分布求得均值，比较随机变量和的均值即可判断. 【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”， 在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩4个红球和3个蓝球，共7个球， 享受优惠包含摸出2个红球和摸出3个红球这两种情况， 从7个球中不放回摸2个球，总情况有种， 摸出两个红球的情况有种， 摸出1红1蓝的情况有种， 所以； （2）①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元， 从装有5个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为， 当摸出0个红球时，， 当摸出1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以实付金额的分布列为 800 650 500 150 实付金额的期望为 ； ②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元， 当摸出0个红球或1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以， 所以，所以从实付金额的期望值分析，顾客B选择抽奖方案2更合理. 34．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）为了了解某市高中生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市的高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表： 性别 关注度 合计 关注 不关注 男生 女生 合计 n (1)依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与性别有关，求样本容量n的最小值； (2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注度，举办了一次航天知识闯关比赛，采用三局两胜制，每局2名选手参加比赛，为了增加比赛的趣味性，设置两种积分方案：方案一：最终获胜者得3分，失败者扣除2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分．若每局甲获胜的概率为p，输的概率为，每局比赛结果是相互独立的．请讨论选择哪个方案，使得甲获得积分的数学期望更大； (3)经过比赛后，高中生对航天事业的关注度持续变化，每年关注的比例会按照以下规律变化：每年原本关注的学生中，有会转为不关注；每年原本不关注的学生中，有会转为关注．初始比例关注航天事业的学生比例为，记第n年时，关注航天事业的学生比例为，证明：数列是等比数列． 附： 0.1 0.05 0.0025 2.706 3.841 5.024 【答案】(1)40 (2)选择方案一 (3)证明见解析 【分析】（1）依据卡方公式计算即可； （2）计算甲赢得比赛的概率，然后分别列出两个方案得分布列，分别计算出对应的期望，然后作差（），利用导数比较判断； （3）找到，化简变形即可. 【详解】（1）， ∴  ∴， 由于n为10的整数倍  ∴样本容量n的最小值为40. （2）甲赢得比赛的概率为， 方案一的分布列为： X 3 P 方案二的分布列为： Y 1 0 P 故；， ∴（）， ∴ ∴单调递增， ∵时 ∴，∴ ∴选择方案一，使得甲获得积分的数学期望更大. （3）由题可知：，， ∴，且，∴为等比数列. 35．（24-25高二下·山东枣庄·期末）某贫困地区直播带货有统计数据显示，2024年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（岁~岁）和“非年轻人”（岁及以下或者岁及以上）两类，将一周内使用的次数为次或次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为次或不足次的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”． (1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，请你根据图表中的数据，判断是否有的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关？ (2)某投资公司在2025年年初准备将万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，对如下两方案： 方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为； 方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为． 请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由． 参考数据：独立性检验临界值表 其中，． 【答案】(1)有 (2)答案见解析 【分析】（1）结合图1和图2，写出2×2阶列联表，计算出即可判断； （2）分别计算2种方案下的分布列，计算期望与方差，通过比较期望和方差来判断即可. 【详解】（1）由图1知，“年轻人”占比为， 即有（人），“非年轻人”有（人） 由图2知，“经常使用直播销售用户”占比为， 即有（人），“不常使用直播销售用户” 有（人）． “经常使用直播销售用户的年轻人”有中有（人）， “经常使用直播销售用户的非年轻人”有（人） 列联表如下： 年轻人 非年轻人 合计 经常使用直播销售用户 不常使用直播销售用户 合计 零假设网络直播销售与年龄无关， 于是． ， 所以我们有的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关． （2）若按方案一，设获利万元，则可取的值为行，的分布列为： （万元）， 若按方案二，设获利万元，则可取的值为，的分布列为： （万元）， ， 由方案二的方差要比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一线下销售更稳妥，故选方案一． 由于方案二的期望大于方案一的期望，选方案二． 36．（24-25高二下·广西钦州·期末）甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制（三轮两胜制是指在一场比赛中，参赛者进行三轮比赛，其赢得两轮比赛即为获胜）.在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响. (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得4分，失败者得3分；方案二：最终获胜者得2分，失败者得1分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）甲最终获胜有两种情况：前2局赢、三场输一场赢两场，据此求解概率； （2）由（1）可得甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作差比较其大小即可. 【详解】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即甲最终获胜的概率为． （2）由（1）可知，， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 4 则， 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 2 1 则， 所以，所以应该选第一种方案． 37．（24-25高二下·陕西汉中·期末）为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得0分.②方案二：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到4道题答完为止，每题2分，答对获得相应的分数，答错得0分.已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立. (1)若小明选择方案一，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由. 【答案】(1)分布列见解析 (2)小明应选择方案二，理由见解析 【分析】（1）由题意可得X的可能取值为0，1，4，9，16，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列； （2）根据期望公式分别求出方案一和方案二的期望，进行比较即可. 【详解】（1）X的可能取值为0，1，4，9，16. ， . X 0 1 4 9 16 P （2）由（1）可知若小明选择方案一， 则. 若小明选择方案二，记Y为小明的累计得分，Z为小明答对题目的数量，则， 又，所以， 则. 因为，所以小明应选择方案二. 38．（24-25高二下·河北石家庄·期末）有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束. (1)求首次摸球后试验就结束的概率； (2)在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率； (3)在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球； 方案二：从另外一个袋子中摸球. 请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大. 【答案】(1)； (2)； (3)方案二. 【分析】（1）利用全概率公式计算可得； （2）利用条件概率概率公式计算可得； （3）分别求出两种方案中摸到白球的概率，再比较即可. 【详解】（1）设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件． 则， 所以首次摸球后试验就结束的概率为. （2）由题意，和为对立事件，则， 则， 所以选到的袋子是乙袋的概率是. （3）方案一：从原袋中摸球 若首次在甲袋中摸出红球，则， 原袋（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为； 若首次在乙袋中摸出红球，则， 原袋（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为. 综上，方案一使第二次摸球后试验结束的概率为. 方案二：从另外一个袋子中摸球 若首次在甲袋中摸出红球，则， 另一个袋子（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为； 若首次在乙袋中摸出红球，则， 另一个袋子（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为. 综上，方案二使第二次摸球后试验结束的概率为. 因为，所以方案二使第二次摸球后试验结束的概率更大. 39．（24-25高二下·宁夏银川·期末）2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 【答案】(1) (2)选择第二种抽奖方案，理由见详解 【分析】（1）根据题意结合独立重复性实验的概率公式运算求解； （2）根据题意结合二项分布以及期望的性质分别求两种方案的期望值，比较大小分析判断. 【详解】（1）若选择方案一，则每一次摸到红球的概率为， 每一次摸到白球的概率为， 设“最终获得60元奖金”为事件，所以. （2）因为每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为， 设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，则，可得， 若按方案一抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 若按方案二抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 因为，所以应选择第二种抽奖方案. 40．（24-25高二下·四川绵阳·期末）在一次程序设计竞赛中，需要通过逐一运行测试点的方式对选手编写的程序进行评测．评测共有6个测试点，分为3个基本功能点与3个强测优化点．每通过1个基本功能点，选手将获得5分；每通过1个强测优化点，选手将获得10分．选手最终得分为所有测试点得分之和．主办方准备了两种评测方案，可供选手选择，每种方案都按确定的次序进行评测，每个测试点只测试1次． 方案一：先测试3个基本功能点，在这个过程中只要有测试点不通过则终止评测；选手通过所有基本功能点后才能测试3个强测优化点，在这个过程中即使有测试点不通过，也将继续测试，直到所有强测优化点测试完毕． 方案二：选手按1个基本功能点，1个强测功能点，1个基本功能点……进行交叉测试，过程中出现任何1个测试点不通过的情况都立刻终止测试． 小张编写的程序通过每一个基本功能点的概率均为，通过每一个强测优化点的概率均为．每个测试点是否通过都相互独立，且． (1)若，小张选择了方案一进行评测.求小张最终得分不少于30分的概率； (2)设小张的最终得分为随机变量为，分别求出方案一与方案二中的分布列； (3)以小张的最终得分的期望为依据，判断小张应该选择哪一种方案？ 【答案】(1)0.013 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可； （2）分别求出两种方案的随机变量的取值，再求出对应的概率，即可求出两种方案的分布列； （3）利用期望公式求出两种方案的期望，则 ，令，利用导数法得在上恒小于0，令．，再利用导数法求得，进而得在上存在唯一零点，即可得解. 【详解】（1）小张最终得分不少于30分，说明小张通过了3个基本功能点，并至少通过了2个强测优化点， ∴概率为：； （2）①若选择方案一，则， ， ， ， ， ， 故的分布列为： ②若选择方案二，则， ， ， ， 故的分布列为： （3）若选择方案一，则其得分期望： ， 若选择方案二，其得分期望： ， 故有 ， 令，则， ∴在上单调递增并存在唯一零点， 故在单调递减，在上单调递增， 而，故在上恒小于0， 令． 故为开口向下的二次函数，， 令，则， 在上单增并存在唯一零点， 故在单调递减，在单调递增， 且，故在上恒小于0，即， 故在上存在唯一零点：， 因此，当时，． 当时，． 综上所述：当时，选择方案二； 当时，两种方案都可选择； 当时，选择方案一． $专题13 概率之马尔科夫链、数列、赛制、决策性问题 题型1 马尔科夫链（难点） 题型3 赛制问题（重点） 题型2 概率与数列结合（难点） 题型4决策性问题（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 马尔科夫链（共11小题） 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班的2人中随机选1人值班，则第天甲值班的概率为（    ） A． B． C． D． 多选题 2．（24-25高二下·山东临沂·期中）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为．则（   ） A． B．若第3次传球后，戊开始加入传球训练，则 C．若第2次传球后，球恰好在丁手中，他将球传出后便离开了，则 D．若添加规定：当球在甲手中时，甲只能传给乙，乙再等可能传给其他人，则 3．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知甲、乙两个人爱好中国象棋，甲乙两人进行对弈，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲第局赢的概率为. (1)求乙第2局赢的概率； (2)求； (3)若存在，使得成立，求整数的最小值. 【参考：，，，】 4．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间，每天统一安排分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有的人满分，而该校有的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为. (1)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列； (2)现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率； (3)测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第次由甲将球传出，求第次传球后球在乙手中的概率. 5．（2026·湖南长沙·二模）某工业系统内初始装有1个A类部件和2个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到A类部件的概率为，第n次操作后系统内A类部件的数量为. (1)求与的值； (2)求与的关系式； (3)求. 6．（2026·四川德阳·二模）东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． (1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； (2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 7．（2026·海南儋州·一模）如图，已知一个质点每隔相等时长，按随机方向，等可能地沿着正方体的棱从1个顶点移动到另1个顶点．设一个质点从顶点出发，第次运动后，质点回到点的概率为． (1)求和； (2)设第次运动后，质点移动到点的概率分别为、、． ①证明：，； ②求． 8．（2026·辽宁·三模）为提升用户的“数字资产积累”体验，某区块链平台推出“幸运盲盒”游戏：盲盒内有编号的个数字代币（质地均匀），每次随机有放回抽取个代币，抽取相互独立．规则为：抽到号代币得个积分，抽到号代币得个积分．定义“安全积累状态”为：抽取过程中从未出现连续两次抽到号代币，记第次抽取后处于“安全积累状态”的概率为． (1)①求抽取次后，总积分为分的概率； ②求的值； (2)设抽取次后处于“安全积累状态”，且积分和为．求满足条件的的取值范围，并求当最大时共有多少种抽取方法； (3)证明：当时，． 9．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某单位食堂有两个餐厅，员工每天中午必须在其中一个餐厅就餐.员工小王第一天午餐时随机选择一个餐厅，如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.7；如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.4. (1)小王第二天选择餐厅就餐的概率； (2)若餐厅拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小王从这些菜品中随机选择3种菜品，记选择素菜的种数为，求的最大值，并求此时的值； (3)设员工小王第天选择餐厅就餐的概率为，求. 10．（24-25高二下·山东菏泽·期末）在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局．现有8支球队随机编号到对阵位置，所有球队在任何一场比赛中获胜的概率均为．已知甲、乙两队参赛．    (1)求甲队获得冠军的概率； (2)求甲、乙在第轮（其中）相遇的概率； (3)为使得甲、乙两队在比赛过程中相遇的概率小于0.001，组委会计划增加球队支数到支，对阵图和上图类似，求的最小值． 11．（2026·河南·模拟预测）某篮球队安排编号为1，2，…，m的名队员进行远程投篮训练，编号为1，4，7，…的队员为甲组，编号为2，5，8，…的队员为乙组，编号为3，6，9，…的队员为丙组，甲、乙、丙组队员投篮命中率分别为，，.1号队员先投篮，再按以下规则继续进行：若号队员投入，则由号队员继续投；若k号队员未投入，则由号队员继续投，各队员命中与否相互独立. (1)前4次投篮结束，求丙组队员一次未投的概率. (2)若第次由甲组、乙组、丙组队员投篮的概率分别为，，. （ⅰ）求； （ⅱ）证明：存在正整数，使得当时，. 题型二 概率与数列结合（共9小题） 12．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使记，则的概率为（    ） A． B． C． D． 多选题 13．（24-25高二下·安徽滁州·期末）数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）若数列不是等差数列，但使得，那么称数列为“局部等差数列”.若从集合中依次抽取4个数构成一个数列，则数列为局部等差数列的概率为______. 15．（24-25高三下·云南·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，小明第1天随机等可能选择一家用午餐．若他在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择去餐厅的概率为．记小明同学第天选择去餐厅用午餐的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式． 16．（24-25高二下·湖北·期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：（一）每局胜者得1分，负者得0分；（二）若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立. (1)求； (2)记表示比赛停止时已比赛的局数，求的分布列及数学期望； (3)若不限定局数（即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件），设为比赛进行局后仍未停止比赛的概率，求数列的通项公式. 17．（24-25高二下·广东广州·期末）甲对某运动项目进行挑战，若第一天挑战不成功，则第二天继续挑战；若第一天挑战成功，则第二天休息一天，第三天继续挑战，依此类推…假设甲挑战成功的概率均为，设第天甲挑战的概率为． (1)求，； (2)求证数列为等比数列，并求； (3)若随机变量服从两点分布，且，，则．记前天（即从第1天到第天）中甲挑战的天数为，求． 18．（24-25高二下·安徽滁州·期末）某同学在做投篮训练，已知该生每次投中的概率为，投不中的概率为．为提高该生训练的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．某同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分． (1)若投篮2次，最终得分为，求随机变量的分布列和期望； (2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式． 19．（24-25高二下·浙江·期末）若无穷正项数列同时满足以下两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质． (1)若； （ⅰ）判断数列是否具有性质，并说明理由； （ⅱ）记为数列的前项和，判断数列是否具有性质，并说明理由； (2)某同学投篮命中率为，每次投篮相互独立，设随机变量为投篮次命中的次数，记，证明：数列具有性质． 20．（2025·江西·二模）某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分.连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束. (1)设员工在游戏过程中累计得分的概率为. ①求； ②求证数列为等比数列. (2)得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？（精确到1元） 题型三 赛制问题（共10小题） 21．（24-25高二下·江苏徐州·期中）2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为，且每局比赛相互独立． (1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （ⅰ）为多少？ （ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数的分布列． (2)如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求的取值范围？ 22．（24-25高二下·广东佛山·期末）甲乙两人进行投篮，抛硬币决定谁先投篮，并约定：一人先投篮，若未命中，则换为对方投篮；若后投篮者还没命中，则由先投篮者再投篮，如此往复下去直到有人命中为止，先命中者胜，比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且甲乙是否命中相互独立. (1)假设，，求第2次投篮后比赛结束的概率； (2)已知甲先投篮，求甲获胜的概率； (3)从最终获胜的角度出发，根据与的大小关系，判断先投篮者的优势是否更大？说明理由. 23．（24-25高二下·江苏徐州·期末）为了解学生对某项运动的喜欢情况，学校进行了一次抽样调查，得到如下数据： 男生 女生 合计 喜欢 65 35 100 不喜欢 50 50 100 合计 115 85 200 (1)能否有99%的把握认为是否喜欢该项运动与性别有关？ (2)若学校有甲，乙两队进行此项运动比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（有一队先胜3局即获胜，比赛结束），甲队每局获胜的概率为（）． ①若比赛打满5局的概率为，求的最大值； ②若，在甲队赢得该场比赛的条件下，求比赛的局数的概率分布及数学期望． 附：，其中． 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 24．（24-25高二下·浙江宁波·期末）为了推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年4月23日为“世界读书日”.某高中为了促进学生阅读，组织了一场知识竞赛，比赛按照班为单位参与，分为预选赛和决赛.预选赛的规则是每个班在规定的时间内分别答题，答对题目数量最多的前两个班进入决赛.决赛规则是两个班轮流答题，无论是否答对，第一个班答完后第二个班即进入答题. (1)若甲班在预选阶段前面2道题每题答对的概率是，从第3题开始每道题答对的概率是，用表示在前4次答题中答对的题目数量，求. (2)若乙班在预选阶段每道题答对的概率是，用表示在前10次答题中答对的次数，以概率作为判断标准，乙班最有可能答对的题目数量是多少？ (3)为了增加比赛的趣味性，在决赛中增加如下环节：抽签决定先回答问题的班级，第一道题目由主持人给出，第一个班级在答完题目后，选择一个题目给另一个班级作答，然后再抽签决定第二轮首先回答问题的班级，以此类推.当两个班级都答过一次题目后称为一轮比赛，一轮比赛中，如果只有一个班级答对，答对的班级得1分，答错的班级得分；如果两个班级都答对或者都答错，均得0分.用事件分别表示在一轮比赛中甲班和乙班答对题目.已知有如下关系：①；②，从以上两个条件中任选一个判断的关系，并在时计算经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率. 25．（24-25高二下·四川泸州·期末）甲、乙两人参加投篮比赛活动，比赛规则如下：投中者得1分且下一轮继续投篮，未投中者对方得1分且下一轮由对方投篮.已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别为，且命中与否相互独立，通过抽签决定首轮投篮方，用表示第轮为甲投篮，用表示甲积分，用表示事件发生的概率，若总共投篮两轮. (1)求； (2)求甲得分的分布列及数学期望. 26．（24-25高二下·安徽合肥·期末）为了激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养，合肥八中将举办一次数学文化知识竞赛，共进行4轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如下：题库中有艺术题和历史题两类问题，每一轮比赛中，参赛者在20分钟内完成艺术题和历史题各2道，若有不少于3道题答对，将获得一枚数学文化奖章，4轮比赛中，获得3枚及以上奖章的同学将进入决赛.甲同学十分喜欢数学，积极报名参加竞赛. (1)若一轮比赛中题库有5道艺术题和5道历史题，其中甲会2道艺术题，4道历史题，老师随机各抽取2道，求甲同学在这一轮比赛中答对1道艺术题，2道历史题的概率； (2)若每道艺术题甲答对的概率为，历史题答对的概率为.为提高参赛成绩，甲进行了赛前突击，使得艺术题和历史题答对的概率共增加了0.3，记增加后答对艺术题概率为（），答对历史题概率为（）； ①求提高后甲在一轮比赛中获得奖章的概率（用，表示）； ②以4轮比赛甲获得奖章的个数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛. 27．（24-25高二下·辽宁·期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛中甲胜乙的概率为． (1)采取五局三胜制（在不超过5局比赛中先累计胜3局者赢得比赛，比赛结束） （ⅰ）求一场比赛中，甲以的比分赢得比赛的概率； （ⅱ）求一场比赛中（不一定打满5局），甲最终赢得比赛的概率； (2)判断“五局三胜制”和“三局两胜制”哪一种赛制对乙赢得比赛更有利？说明理由． 28．（24-25高二下·广东·期末）在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. (1)若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率； (2)记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：； (3)教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：. 29．（24-25高二下·山东泰安·期末）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：①每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局；②总共进行奇数局比赛；③全部比完后，分数高者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响. (1)当时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为X，现在规定：若，则甲队可额外获得一次特殊训练机会，求甲队获得一次特殊训练机会的概率； (2)若两人共进行局比赛，当且时，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”，事件B表示“甲最终获胜”，求，的值； (3)若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，已知，试判断与的大小关系，并说明理由. 30．（24-25高二下·湖北武汉·期末）甲、乙两校进行乒乓球比赛，比赛规则为：①共进行奇数局比赛，且没有平局；②全部比完后，所胜局数多者获胜．现假设每局比赛甲校胜利的概率都是，并且各局比赛之间的结果互不影响． (1)时，若两校共进行5局比赛．记事件A表示“在前3局比赛中甲胜1局”，事件B表示“甲最终胜利”，求； (2)时，若两人共进行且）局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了k局”．事件B表示“甲最终获胜”．请计算 的值； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：时，． 题型四 决策性问题（共10小题） 31．（2025·河南郑州·三模）某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”警报．历史数据表明，警报与服务器状态（正常/故障）高度相关．从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取500条，统计如下： 触发警报时状态分布 未触发警报时状态分布 正常 25台 正常 450台 故障 475台 故障 50台 运维单台服务器时，可选操作及经济损失（单位：千元）如下： 状态/操作 保持运行 快速诊断 深度检修 正常 0 1 3 故障 10 4 6 假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立． (1)若服务器触发高温警报，求其处于故障状态的概率； (2)某次维护中，发现1台触发警报的服务器和1台未触发警报的服务器．现有三种操作方案： 方案甲：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的保持运行； 方案乙：触发警报的服务器快速诊断，未触发警报的保持运行； 方案丙：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的快速诊断． 从总经济损失期望最小的角度，判断哪种方案更优． 32．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额5%的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响.每人只能选择一种方案. (1)若甲的消费金额为288元，他选择方案二且抽到的代金券总额为8元的概率为，求p； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为X元，当最大时，求p； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案. 33．（2025·上海长宁·二模）为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种） 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）； ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理． 34．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）为了了解某市高中生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市的高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表： 性别 关注度 合计 关注 不关注 男生 女生 合计 n (1)依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与性别有关，求样本容量n的最小值； (2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注度，举办了一次航天知识闯关比赛，采用三局两胜制，每局2名选手参加比赛，为了增加比赛的趣味性，设置两种积分方案：方案一：最终获胜者得3分，失败者扣除2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分．若每局甲获胜的概率为p，输的概率为，每局比赛结果是相互独立的．请讨论选择哪个方案，使得甲获得积分的数学期望更大； (3)经过比赛后，高中生对航天事业的关注度持续变化，每年关注的比例会按照以下规律变化：每年原本关注的学生中，有会转为不关注；每年原本不关注的学生中，有会转为关注．初始比例关注航天事业的学生比例为，记第n年时，关注航天事业的学生比例为，证明：数列是等比数列． 附： 0.1 0.05 0.0025 2.706 3.841 5.024 35．（24-25高二下·山东枣庄·期末）某贫困地区直播带货有统计数据显示，2024年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（岁~岁）和“非年轻人”（岁及以下或者岁及以上）两类，将一周内使用的次数为次或次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为次或不足次的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”． (1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，请你根据图表中的数据，判断是否有的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关？ (2)某投资公司在2025年年初准备将万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，对如下两方案： 方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为； 方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为． 请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由． 参考数据：独立性检验临界值表 其中，． 年轻人 非年轻人 合计 经常使用直播销售用户 不常使用直播销售用户 合计 36．（24-25高二下·广西钦州·期末）甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制（三轮两胜制是指在一场比赛中，参赛者进行三轮比赛，其赢得两轮比赛即为获胜）.在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响. (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得4分，失败者得3分；方案二：最终获胜者得2分，失败者得1分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大. 37．（24-25高二下·陕西汉中·期末）为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得0分.②方案二：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到4道题答完为止，每题2分，答对获得相应的分数，答错得0分.已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立. (1)若小明选择方案一，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由. 38．（24-25高二下·河北石家庄·期末）有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束. (1)求首次摸球后试验就结束的概率； (2)在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率； (3)在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球； 方案二：从另外一个袋子中摸球. 请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大. 39．（24-25高二下·宁夏银川·期末）2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 40．（24-25高二下·四川绵阳·期末）在一次程序设计竞赛中，需要通过逐一运行测试点的方式对选手编写的程序进行评测．评测共有6个测试点，分为3个基本功能点与3个强测优化点．每通过1个基本功能点，选手将获得5分；每通过1个强测优化点，选手将获得10分．选手最终得分为所有测试点得分之和．主办方准备了两种评测方案，可供选手选择，每种方案都按确定的次序进行评测，每个测试点只测试1次． 方案一：先测试3个基本功能点，在这个过程中只要有测试点不通过则终止评测；选手通过所有基本功能点后才能测试3个强测优化点，在这个过程中即使有测试点不通过，也将继续测试，直到所有强测优化点测试完毕． 方案二：选手按1个基本功能点，1个强测功能点，1个基本功能点……进行交叉测试，过程中出现任何1个测试点不通过的情况都立刻终止测试． 小张编写的程序通过每一个基本功能点的概率均为，通过每一个强测优化点的概率均为．每个测试点是否通过都相互独立，且． (1)若，小张选择了方案一进行评测.求小张最终得分不少于30分的概率； (2)设小张的最终得分为随机变量为，分别求出方案一与方案二中的分布列； (3)以小张的最终得分的期望为依据，判断小张应该选择哪一种方案？ $