精品解析：2026年河南洛阳市金水初级中学等校中考数学模拟卷一

九年级数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列四个数中最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：根据实数大小比较的方法，可得， 所以四个实数中，最小的数是． 故选：A． 2. 如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，从上往下看该立体图形得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱和圆台的几何特征，结合俯视图的性质进行判断即可． 【详解】该几何图形是由圆柱和圆台构成，从上往下看，圆柱和圆台的底面都是圆， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆柱和圆台的俯视图的判断，属于容易题． 3. 2022年我国新能源汽车保有量达辆，同比增长．请将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解本题的关键． 4. 下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线的方法，掌握三角尺的正确摆放位置是解题的关键．根据垂线的定义及画法，需保证三角尺的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边经过已知点． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 操作步骤如下： 将三角尺的一条直角边与直线重合； 沿直线移动三角尺，使另一条直角边经过点； 沿经过点的直角边画直线． 观察各选项： A选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； B选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； C选项，三角尺的一条直角边与直线重合，但另一条直角边未经过点，故错误； D选项，三角尺的一条直角边与直线重合，另一条直角边经过点，符合操作规范，故正确． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算法则，分别运用同底数幂的乘法、单项式乘多项式、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则计算各选项，即可判断出正确答案. 【详解】解：选项A：根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加 ∵ ， ∴ A错误. 选项B：根据单项式乘多项式法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 ∵ ∴ B正确. 选项C：根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减 ∵ ， ∴ C错误. 选项D：根据积的乘方法则，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘 ∵ ， ∴ D错误. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根；当时，方程有两个相等的实数根，反之也成立． 7. 下列说法正确的是（） A. 汽车行驶到十字路口遇到绿色的信号灯是必然事件 B. “彩票中奖的概率为”表示买100张彩票肯定会中奖 C. “明天降雨的概率是”表示明天有的时间都在降雨 D. 抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为，表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率，事件的分类等知识，根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案． 【详解】解：A．汽车行驶到十字路口遇到绿色的信号灯是随机事件，原说法错误，不符合题意； B．“彩票中奖的概率为”表示买100张彩票有可能会中奖，原说法错误，不符合题意； C．“明天降雨的概率是” 表示明天下雨的可能性较大，原说法错误，不符合题意； D．抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为，表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近，原说法正确，符合题意， 故选：D． 8. 如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的直径，可知，根据直角三角形的两个锐角互余可以求出，根据圆周角定理可知． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ． 9. 如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【详解】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限， ∴m＞0，n＜0， 则一次函数y=mx+n经过第一、三、四象限． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 10. 已知七（1）班有48名学生，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少10人，并且这两个小组都不参加的人数比这两个小组都参加的人数的多1人，则同时参加这两个小组的人数是（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】设同时参加两个小组的人数为人，根据总人数等于参加数学小组的人数与参加英语小组的人数之和，减去同时参加两个小组的人数，再加上两个小组都不参加的人数，列一元一次方程即可求解. 【详解】解：设同时参加这两个小组的人数为人， 则两个小组都不参加的人数为人， 参加英语小组的人数为人， ∵总人数 = 参加数学小组的人数+参加英语小组的人数-同时参加两个小组的人数+ 两个小组都不参加的人数， ∴列方程得： 整理得： 移项得： 解得：. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知a是4的算术平方根，b是64的立方根，c是的整数部分，则_____________． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据算术平方根定义求出a，根据立方根的定义求出b，估算的大小，然后确定c，计算代数式的值即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴， 故答案为：9． 【点睛】此题考查了算术平方根，立方根，以及无理数的估算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 12. 明代数学家程大位（1533﹣1606年）所著的《算法统宗》是一部应用数学书，列有595个应用题的数字计算，珠算被誉为“世界上古老的计算机”的算盘演算．其中记载一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，问共有多少间客房？多少人？若设共有x间客房，y人，可列方程组为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据两种住宿情况，分别找出总人数与客房数的等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：根据题意，当每间客房住人时，有人无房可住，可得总人数：， 当每间客房住人时，空出一间房，即实际入住的客房为间，可得总人数： 联立两个方程可得方程组：． 13. 某地教育局的教师招聘考试按笔试成绩，面试成绩计算综合成绩，甲的笔试成绩为87分，面试成绩为90分，则其综合成绩为__________分． 【答案】88.8 【解析】 【分析】根据加权平均数求解即可． 【详解】解：根据题意：甲的综合成绩为分； 故答案为：88.8． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟知加权平均数的计算公式，准确计算是解题的关键． 14. 如图，在中，，，，以的中点O为圆心，的长为半径作半圆交于点D，再以点B为圆心，以的长为半径作，交半圆于点D，交于点E，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长公式、等边三角形的判定与性质，先证明是等边三角形，则，进而求得，，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接、， 由题意知，， ∴是等边三角形， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∴图中阴影部分的周长为， 故答案为：． 15. 如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交的延长线于点H，得到，平分，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交的延长线于点H， ∵，， ∴， ∵点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 解得， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 河南省教育厅通知2025年春季学期开始，全省义务教育阶段学校要每天开设一节体育课，确保学生每天两小时综合体育活动时间．某校为鼓励学生积极参与体育活动，举办了一场跳绳比赛．小晶在本班参加比赛的学生中随机抽取了部分学生的跳绳成绩（用x表示，单位：个），将数据整理后分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），得到如下不完整的统计图表（跳绳的成绩均不低于60个，不超过220个）． 部分学生成绩频数分布表 组别 频数 A组： 3 B组： a C组： 7 D组： 6 部分学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生总数是______人， ______， ______； （2）小晶根据以上数据认为所抽取的部分学生成绩的中位数在B组范围内，请判断她的说法是否正确，并说明理由； （3）小晶根据本班学生的成绩，估计全校参加跳绳比赛的3000名学生中有450名学生的成绩低于100个，而实际上只有200名学生的成绩低于100个，请你分析小晶估计不准确的原因． 【答案】（1）20，4，15 （2）不正确，理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，求中位数，抽样调查的可靠性，熟知相关知识是解题的关键． （1）用D组的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，进而可求出a、m的值； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据题意可得小晶抽取的样本不具有随机性和代表性，据此可得答案． 【小问1详解】 解：人， ∴所抽取的学生总数是20人， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：小晶的说法不正确； 理由：将这20名学生的成绩按从大到小（或从小到大）的顺序排列，中位数为第10位和第11位数据的平均数， 第10位和11位数据均在C组范围内， 所抽取的部分学生成绩的中位数在C组范围内， 即小晶的说法不正确； 【小问3详解】 解：估计不准确的原因：选取的样本不对，应该在全校参加比赛的学生中随机抽样，选取特定班级的样本，评估全校情况不具有代表性． 18. 如图，四边形是矩形，连接对角线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）按照垂直平分线的作图步骤画图即可． （2）根据垂直平分线，矩形，平行线的性质可证四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图所示，即为的垂直平分线． 【小问2详解】 证明：∵为的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴四边形是菱形． 19. 【问题背景】对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则 【构建联系】 （1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为、，求直线的解析式； 【深入探究】 （2）如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一动点，且点C在点A的左侧，点C的横坐标为，直线、分别与x轴于点D、E； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接，当时，求出线段的值（用含n的代数式表示） 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）过点P作轴于点H，则，根据题意可证明，进一步求出，再利用待定系数法求出直线解析式即可； （2）①过点C作轴于点W，则，，先求出点A、B坐标，再利用待定系数法求出直线和的解析式，继而得到它们与x轴的交点坐标，从而得到，进一步证明，即可得出结论； ②过点C作轴于点G，作CE的中垂线交CG于点H，则，利用角的转换得到，继而可得，从而，所以，再设，则，利用勾股定理建立方程，求出，即可进一步求得答案． 【详解】解：（1）过点P作轴于点H， 直线与直线为“等腰三角线”， ， ， ， 点P、Q的坐标分别为、， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为；   （2）①如图2，过点C作轴于点W，则，， 联立方程组， 解得，， 、， 设直线的解析式为， 把，的坐标代入，得， 解得， ， 当时，解得， ， 设直线的解析式为， 把，的坐标代入，得， 解得， ， 当时，解得， ， ，， ， ， ， ， 直线与直线为“等腰三角线”； ②如图3，过点C作轴于点G，作CE的中垂线交CG于点H，则， ， ， 由①可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合应用，反比例函数与一次函数的图象的交点问题，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，解直角三角形等知识，综合运用反比例函数与几何图形的性质是解题的关键． 20. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为，求塔的高度．（取，取，结果取整数） 【答案】塔的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．过点D作，垂足为F，根据题意得到，利用锐角三角函数求出的长，列出关于的方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 在中， ， ， 的长为； 由题意得：， 在中，，， ， 在中， 设， ， ， ， 线段的长为； 过点D作，垂足为F， 由题意得：， ， ， 在中， ， ， ， 解得：， ， 塔的高度约为． 21. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，要求购进空调的数量不少于电冰箱的数量并且不能超过电冰箱数量的2倍，问该商城如何进货能使利润最大，最大利润是多少元， 【答案】（1）每台电冰箱与空调的进价分别是2000元和1600元． （2）该商城购进电冰箱34台、空调66台时利润最大，最大利润是13300元． 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式与分式方程的应用，一次函数的应用． （1）设每台电冰箱的进价是元，则每台空调的进价是元，根据“用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”可列出分式方程，故可求解； （2）设购进电冰箱台，则购进空调的数量是台，这100台家电的销售总利润为元，列出不等式组，求得的范围，再求得y关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每台电冰箱的进价是元，则每台空调的进价是元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意 ． 每台电冰箱与空调的进价分别是2000元和1600元； 【小问2详解】 解：设购进电冰箱台，则购进空调的数量是台，这100台家电的销售总利润为元， 根据题意，得， 解得（为整数）． ， ， 随的增大而减小， （为整数）， 当时，值最大，， 此时购进空调的数量是台， 该商城购进电冰箱34台、空调66台时利润最大，最大利润是13300元． 22. 抛物线（是常数，）顶点为，与轴交于点和点，其中，与轴交于点． （1）若，，求抛物线解析式和顶点的坐标； （2）若点分别为线段，线段上的点，连接． ①若，，且，求抛物线解析式和顶点的坐标； ②若在点运动的过程中，始终保持，且，求抛物线解析式和顶点坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为，点的坐标为 （2）①抛物线的表达式为，点；②抛物线的表达式为或，点的坐标为或 【解析】 【分析】（）由待定系数法解答即可求解； （）①求出点的坐标为，在中，，，则，得到，进而求解； ②当时，如图所示为取得最大值的情况，此时点与点（或点）重合，为斜边上的中线，得到；如图所示为为最小值的情况，此时于点，得到，即，则，进而求解；当时，同理可解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵点的坐标， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴为， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：①如图，延长与轴交于点， 由知，点在抛物线的对称轴上， ∴点， 设抛物线的表达式为， 将点代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴点的坐标为， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴抛物线的表达式为， ∴点； ②由题意得，点为以点为圆心长度为半径的圆和线段的交点， 当时，如图所示为取得最大值的情况， 此时点与点（或点）重合，为斜边上的中线， 则， ∵， ∴； 如图所示为为最小值的情况，此时于点， 则， ∴， ∴， 即， 在中，，即， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵点的坐标分别为、， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴点的坐标为； 当时，同理可得，，， ∴抛物线的表达式为， ∴点的坐标为； 综上，抛物线的表达式为或，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直角三角形的性质，圆的基本知识，勾股定理，三角函数，掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点P． （1）如图1，如果，那么______°； （2）如图1，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，作的外角，的平分线交于点Q，试探究与的数量关系． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （3）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵与的平分线交于点P， ∴， ∴ ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：； 理由如下： ， ∵与的平分线交于点P， ∴ ∴ ； 【小问3详解】 解：， ∵的外角，的平分线交于点Q， ∴，， ∴ ， ∵ ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列四个数中最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，从上往下看该立体图形得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 2022年我国新能源汽车保有量达辆，同比增长．请将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 7. 下列说法正确的是（） A. 汽车行驶到十字路口遇到绿色的信号灯是必然事件 B. “彩票中奖的概率为”表示买100张彩票肯定会中奖 C. “明天降雨的概率是”表示明天有的时间都在降雨 D. 抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为，表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近 8. 如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 9. 如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 10. 已知七（1）班有48名学生，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少10人，并且这两个小组都不参加的人数比这两个小组都参加的人数的多1人，则同时参加这两个小组的人数是（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知a是4的算术平方根，b是64的立方根，c是的整数部分，则_____________． 12. 明代数学家程大位（1533﹣1606年）所著的《算法统宗》是一部应用数学书，列有595个应用题的数字计算，珠算被誉为“世界上古老的计算机”的算盘演算．其中记载一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，问共有多少间客房？多少人？若设共有x间客房，y人，可列方程组为_____． 13. 某地教育局的教师招聘考试按笔试成绩，面试成绩计算综合成绩，甲的笔试成绩为87分，面试成绩为90分，则其综合成绩为__________分． 14. 如图，在中，，，，以的中点O为圆心，的长为半径作半圆交于点D，再以点B为圆心，以的长为半径作，交半圆于点D，交于点E，则图中阴影部分的周长为______． 15. 如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为_______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算 （1）计算：； （2）化简：． 17. 河南省教育厅通知2025年春季学期开始，全省义务教育阶段学校要每天开设一节体育课，确保学生每天两小时综合体育活动时间．某校为鼓励学生积极参与体育活动，举办了一场跳绳比赛．小晶在本班参加比赛的学生中随机抽取了部分学生的跳绳成绩（用x表示，单位：个），将数据整理后分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），得到如下不完整的统计图表（跳绳的成绩均不低于60个，不超过220个）． 部分学生成绩频数分布表 组别 频数 A组： 3 B组： a C组： 7 D组： 6 部分学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生总数是______人， ______， ______； （2）小晶根据以上数据认为所抽取的部分学生成绩的中位数在B组范围内，请判断她的说法是否正确，并说明理由； （3）小晶根据本班学生的成绩，估计全校参加跳绳比赛的3000名学生中有450名学生的成绩低于100个，而实际上只有200名学生的成绩低于100个，请你分析小晶估计不准确的原因． 18. 如图，四边形是矩形，连接对角线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形． 19. 【问题背景】对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则 【构建联系】 （1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为、，求直线的解析式； 【深入探究】 （2）如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一动点，且点C在点A的左侧，点C的横坐标为，直线、分别与x轴于点D、E； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接，当时，求出线段的值（用含n的代数式表示） 20. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为，求塔的高度．（取，取，结果取整数） 21. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，要求购进空调的数量不少于电冰箱的数量并且不能超过电冰箱数量的2倍，问该商城如何进货能使利润最大，最大利润是多少元， 22. 抛物线（是常数，）顶点为，与轴交于点和点，其中，与轴交于点． （1）若，，求抛物线解析式和顶点的坐标； （2）若点分别为线段，线段上的点，连接． ①若，，且，求抛物线解析式和顶点的坐标； ②若在点运动的过程中，始终保持，且，求抛物线解析式和顶点坐标． 23. 综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点P． （1）如图1，如果，那么______°； （2）如图1，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，作的外角，的平分线交于点Q，试探究与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $