专题23.3一次函数的规律探究问题（期末复习讲义）2025-2026学年人教版数学八年级下册

专题23.3 一次函数的规律探究问题 【重难点突破】 1．（2026·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济宁·二模）正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 3．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 4．（25-26八年级下·河北衡水·期中）如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 5．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）正方形按如图的方式放置，和点,分别在直线和轴上，则点的横坐标是__________，则点的横坐标是__________． 6．（2026·四川达州·模拟预测）如图，都是等腰直角三角形，点均在轴正半轴上，直角顶点均在直线上．设的面积分别为，则_____．    7．（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为________，点的坐标为________． 8．（2026·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，在直线上，若，且都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为．则可表示为_______． 9．（25-26八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 10．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点O为圆心，的长为半径画弧，交直线 于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点按此规律进行下去，则点的坐标为_______ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.3 一次函数的规律探究问题 【重难点突破】 1．（2026·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、、的坐标，同理可得出、、、…的坐标，进而得到、、、、……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得， ． 同理，可得出：，，，……， 的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…， 的横坐标为（为正整数）， ∴点的横坐标是． 2．（2026·山东济宁·二模）正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 【答案】 【分析】首先求出，根据待定系数法，可得直线的解析式，然后求出，，，，得到点Q横纵坐标的规律，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 将代入，得 ∴直线的解析式是 将代入 ∴， ∴，， ∴， 同理可得，， ．．．．．．， ∴． ∴点的坐标是． 3．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意，先找到点，，横纵坐标的规律，然后由求解即可． 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 同理可得，，，… ∵，， ∴ ∵ ∴点的坐标为，即． 4．（25-26八年级下·河北衡水·期中）如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 【答案】 【分析】先根据题意求出，，根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等，垂直于轴的直线上点的横坐标相等及直线的函数表达式可知，，，，求出，；；…，可得规律，即可解答 【详解】解：在直线中，令，则，故， 在直线中，令，则，故， 根据题意将代入直线中得，故， 将代入直线中得，故， ∴， 同理可得，， ∴；；…， 由此可得，， ∴的长度为． 5．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）正方形按如图的方式放置，和点,分别在直线和轴上，则点的横坐标是__________，则点的横坐标是__________． 【答案】 7 【分析】根据正方形的性质得出相等的边，根据一次函数得出各正方形的边长，得出规律求解． 【详解】解：根据题意得， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； ∴， ∴点的横坐标是； ∴点的横坐标是． 6．（2026·四川达州·模拟预测）如图，都是等腰直角三角形，点均在轴正半轴上，直角顶点均在直线上．设的面积分别为，则_____．    【答案】 【分析】 分别过点作轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，然后归纳面积的规律并按照规律求解即可． 【详解】 解：如图，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E，    ∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入得：，解得：， ∴，， ∴， 同理求得， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为________，点的坐标为________． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求得直线的解析式，然后分别求得．．．的坐标，可以得到规律：，据此即可求解 【详解】解：∵，， ∴正方形的边长为1，正方形的边长为2， ∴， 设直线解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∴． ∵，点的坐标为， ∴的纵坐标为，的横坐标为， 的纵坐标为，的横坐标为， 的纵坐标为，的横坐标为， ∴， ∴，即． 8．（2026·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，在直线上，若，且都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为．则可表示为_______． 【答案】 【分析】过点作轴于点，设，则，表示出相关线段的长度，利用锐角三角函数求出角的度数，根据规律表示出相关线段的长度，得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点在上，设，则， ∴， ∴， ∴直线与轴的夹角，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， 可知， ∴， ∴， ， ， ∴． 9．（25-26八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意依次求出点的坐标，观察坐标数值与下标的关系以及点所在象限的变化规律，归纳出规律，进而求解． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为，即； 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即 ⋯⋯ 观察上述点的坐标变化规律可知，点的坐标以4为周期循环变化，且数值部分与2的幂次有关， 对于偶数点： 当为奇数时，点在第一象限，坐标为； 当为偶数时，点在第三象限，坐标为； ∵，且1013为奇数 ∴点符合中为奇数的情况，其中， ∴点的坐标为． 10．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点O为圆心，的长为半径画弧，交直线 于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点；过点作轴交直线于点，以点O为圆心，的长为半径画弧，交直线于点按此规律进行下去，则点的坐标为_______ 【答案】 【分析】根据题意可以求得点的坐标、点的坐标、点的坐标，然后归纳坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为， 设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为， 同理可得：点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， …… 点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $