专题06 一次函数与实际问题11大题型（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材人教版

专题06 一次函数与实际问题（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 阶梯收费问题：★★★ 题型二 行程问题的函数图象分析：★★★ 题型三 工程与工作量问题：★★ 题型四 最优方案选择问题：★★★ 题型五 销售利润与成本问题：★★★ 题型六 跨学科实际应用：★★★ 题型七 含参数的实际问题建模：★★★ 题型八 图象信息类一次函数应用：★★★ 题型九 表格信息类一次函数应用：★★ 题型十 新情境问题：★★★ 题型十一 新考法问题：★★★ 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 分段函数的实际应用 能根据实际情境（如收费、行程）建立分段函数模型，并求解 中档高频考点，常出现在解答题中，需注意分段区间的划分 方案选择问题（成本 / 利润最优） 能建立一次函数模型，分析不同方案的成本或利润，选择最优方案 期末压轴常考题，需结合自变量的取值范围讨论最值 行程问题中的一次函数 能从行程图象中提取信息，建立函数关系并求解速度、时间、路程 数形结合高频考点，需注意图象的横纵坐标意义 工程 / 工作量问题的一次函数 能根据工作效率、时间、总量的关系，建立一次函数模型 中档应用题，常结合实际情境考查函数建模能力 销售利润问题的一次函数 能建立利润关于销量 / 单价的一次函数，分析利润变化趋势 中档常考点，需注意自变量的实际限制条件 跨情境综合应用（如物理、生活场景） 能将实际情境转化为一次函数模型，解决复杂实际问题 培优拔高考点，考查建模能力与跨学科应用能力 知识点01 利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 知识点02 一次函数应用问题的求解思路 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 题型一 阶梯收费问题 【典例1】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）某市出租车采取分段收费方式：起步价为元，即路程不超过千米时收费元，超过部分每千米收费元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图像知，__________，__________，__________． (2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为元，请求出与之间的关系式． (3)若小明共付车费元，那么出租车共行驶了多少千米？ 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【变式2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．若每月用气量不超过（包含），则按第一档收费标准a元/收费；若每月用气量超过，但不大于，则超过部分按第二档收费标准b元/收费；若每月用气量超过，则超过部分按第三档收费标准4元/收费．小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元． (1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/？ (2)设每月用气量为x，应交燃气费为y元，求y与x之间的函数关系式． (3)小明家5月份用气量为，应交燃气费为多少元？ (4)某户6月份的燃气费是182.5元，求该户6月份的用气量． 题型二 行程问题的函数图象分析 【典例2】（25-26八年级下·吉林长春·期中）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出乙货车在到达配货站前，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发 s，乙提速前的速度是每秒 ， ， ； (2)当为 时，乙追上了甲； (3)何时乙在甲的前面？ 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期中）某校“书法社”和“音乐社”两个社团开展课外实践活动．如图①，“书法社”同学骑自行车从中央广场出发前往社区文化站参加书法展，“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从区少年宫出发，途经社区文化站后前往中央广场参加活动（两个社团在社区文化站与中央广场之间沿同一路段行驶），两个社团同时出发且匀速行驶．已知旅游观光车的速度是自行车速度的3倍，如图②表示的是两个社团离社区文化站的距离与行驶时间之间的函数图象．观察函数图象回答下列问题： (1)“书法社”骑自行车的速度为　　　； (2)求图象中a与b的值； (3)请求出P点的坐标，并说明点P表示的实际意义． 【变式3】（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·月考）同一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从B地出发，先匀速驶向C地，到达C地后立即调头（调头时间不计），途经B地驶往A地；同时乙车从A地出发匀速驶向B地，途中休息一个小时，两车同时到达各自目的地．两车距C地路程y（）与两车行驶时间x（）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)乙车行驶速度是_____，B、C两地相距________千米； (2)求线段所表示的甲车距C地的路程y（）与x（）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)请直接写出两车出发多长时间相距240千米． 题型三 工程与工作量问题 【典例3】（23-24八年级上·山东德州·期末）为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，我区政府拟对部分公路两旁的人行道地砖，排水管道等公用设施，进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案： 方案一：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用20天； 方案三：若甲、乙两队合作10天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)完成这项工程的规定日期是多少天? (2)在不耽误工期的前提下，你觉得以上哪一种方案最节省工程款?请说明理由． (3)因区政府行动迅速，比原计划提前10天投入施工，因此实际规定的日期比计划多出10天，请你重新设计一种方案，既能在实际规定的日期内完工，又能使工程费用最少，并求出最少费用． 【变式1】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·月考）某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队合作天可完成；若甲工程队先单独施工天，再由乙工程队单独施工天也可完成． (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)现将该教学楼工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了天，每天需付施工费万元，乙工程队做另一部分工程用了天，每天需付施工费万元，若都是正整数，乙工程队做的时间不到天，求出此项工程总施工费用的最小值． 【变式2】（2020·山东济宁·二模）某县为贯彻落实《中华人民共和国河道管理条例》，对辖区内河道阻水障碍物进行清理．甲、乙两个工程队共同承包此项清理工程，甲队单独施工完成此项工程比乙队单独施工完成此项工程多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同． （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若由甲队先施工天，再由甲、乙两队共同施工天，正好完成该工程，请直接写出与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若每天需支付甲队费用1000元，每天需支付乙队费用2000元，且完成工作总天数不超过24天，则如何安排甲队先施工天数，使总施工费用最少，并求出最少费用． 【变式3】（2025·吉林四平·模拟预测）某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，先由乙队先单独施工20天后甲队返回，两队又共同施工了60天，甲、乙两队共完成土方量108万立方，这时乙队因故暂时停止施工，由甲队单独完成剩余部分，甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系如图所示． (1)乙队每天完成土方量多少万立方； (2)若该公司预计工期100天，甲队能否按期完成剩余部分？ (3)当时，求甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系式； (4)当甲、乙两个工程队共同完成土方量100万立方时，甲、乙两个工程队哪个队完成的土方量多，多多少？ 题型四 最优方案选择问题 【典例4】（25-26八年级下·广东深圳·期中）为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球．已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元． (1)求排球、足球的单价各是多少元？ (2)根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的．若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用． 【变式1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）为响应深圳市在创建国家级文明卫生城市中，提升绿化档次的政策．宝安区某校计划购进，两种树木共100棵进行校园绿化升级．经市场调查：购买种树木2棵，种树木5棵，共需460元；购买种树木3棵，种树木1棵，共需300元． (1)求种，种树木每棵各多少元； (2)因布局需要，购买种树木的数量不少于种树木数量的4倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款种树木按市场价八折优惠，种树木按市场价九折优惠．请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【变式2】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）某健身房推出蛋白能量包和碳水补给包两种食物套餐．套餐中的蛋白粉、燕麦片和水果的质量如下表（不完整）： 食物套餐 蛋白粉/ 燕麦片/ 水果/ 蛋白能量包 碳水补给包 调研发现：份蛋白能量包中燕麦片与蛋白粉的总质量比份碳水补给包中燕麦片与蛋白粉的总质量多克，且份蛋白能量包和份碳水补给包中燕麦片的总质量为． (1)求每份蛋白能量包和碳水补给包中的燕麦片质量； (2)小凯为自己预订了连续天的运动补给套餐（每天只订一种套餐），为了保证训练需求，要求水果的总质量不高于．小凯应怎样选择这两款套餐，才能使这天的套餐中燕麦片的总质量最少？ 【变式3】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案： 方案A：按固定价格进货，每本进价8元； 方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元． 文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本． 设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别写出与，与的函数关系式； (2)文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由． 题型五 销售利润与成本问题 【典例5】（25-26八年级下·四川成都·期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值． (2)在（1）的条件下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克（为正整数），求超市在不同购买方案下哪种方案可获得的利润最大？最大利润值是多少？ 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息： 冰箱贴购进单价信息 商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息： 记录单 型冰箱贴（个） 型冰箱贴（个） 总费用（元） 记录单 记录单 文创店销售信息 信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元． 信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元． 根据以上信息，完成下列3个任务： (1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元． (2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案． (3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润． 【变式2】（25-26八年级下·河北邢台·期中）根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素 材 1 某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素 材 2 甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的每平方米种植成本为36元． 问题解决： (1)任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式 (2)任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值 (3)任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且），问此时x取何值时总费用最少？最少总费用是多少？（可以用含a的代数式表示） 【变式3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）综合与实践 【项目背景】 某乡村合作社现有10公顷种植基地计划全部种植花生，品种可选传统花生或新品种花生，土地不允许空置． 传统花生：每公顷产量，出油率，种子、农资等种植成本约为每公顷9000元． 新品种花生：每公顷可产花生油，出油率的增长率是产量增长率的，种子、农资等种植成本比传统品种增加． 【项目准备】 当前市场花生油收购价为20元/千克，无论哪个品种产出的花生油收购价格一致．若改种新品种，每改造一公顷土地需要一次性投入固定改造费用1100元．合作社本次可用于土地改造与全年农资种植的总预算为万元． 【项目实施】 任务1：基础计算 (1)计算新品种花生的种子、农资等种植成本每公顷为__________元． (2)求出新品种花生产量的增长率，并求出新品种花生每公顷的产量． 任务2：成本与收益建模 (3)设合作社安排公顷种植新品种，剩余土地种植传统花生，用含的代数式表示第一年总净收益．（总净收益花生油总销售额种植与土地改造总投入） 任务3：最优方案 (4)在预算不超过万的前提下，如何安排种植，才能实现第一年总净收益最大?并求出最大净收益． 题型六 跨学科实际应用 【典例6】（25-26八年级下·北京·期中）某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力与弹簧的伸长量之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表： 弹簧受到的弹力（） 弹簧的长度（） 请帮该兴趣小组解决下列问题： (1)处理上表的数据，以弹簧的伸长量为横轴，弹簧弹力为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸长量弹簧受力后的长度弹簧原长度） ①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线； ②写出弹簧弹力与弹簧的伸长量的函数关系式______；（不要求写自变量的取值范围） (2)如果该弹簧受到超过240N的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由． (3)设弹簧的劲度系数，同学们拿来两根劲度系数不同的弹簧甲、乙，分别挂上两物块（如图所示），且物块的质量大于物块的质量（质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大），由图可知，甲、乙两弹簧的劲度系数的大小关系为_________．（填“”，“”或“=”） 弹簧受到的弹力（） 弹簧的伸长量（） 【变式1】（25-26九年级下·福建福州·期中）综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】：小明计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴．小明查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】：小明进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表： 水位高度 5 10 15 20 25 频率 500 420 340 260 180 【数据查询】：同时小明通过查阅资料，查找出以下七个音阶与频率对照表． 音阶 频率 440 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若小明用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问小明应该在玻璃杯中装多少毫升的水． (3)研究结束后，小明想利用实验中4个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲出图片中的旋律，在（2）的条件下，请帮他设计一个方案． 【变式3】（2026·天津河西·一模）【物理知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：①物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． ②当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立数学模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A、B各自的示数（N）与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)填空：①当小铝块下降5cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ②当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ③当小铝块下降10cm时，弹簧测力计B的示数为________N； (2)①当时，直接写出弹簧测力计A的示数关于的函数解析式； ②当时，直接写出弹簧测力计B的示数关于的函数解析式； (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中小铝块受到的浮力为（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块下降的高度为，求，的值．（直接写出结果即可） 题型七 含参数的实际问题建模 【典例7】（21-22八年级上·重庆南岸·期末）为了切实保护长江生态环境，长江实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示： 进价（元/斤） 售价（元/斤） 鲢鱼 a 6 草鱼 b 销量不超过200斤的部分 销量超过200斤的部分 9 8.5 已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要160元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要140元． (1)求a，b的值； (2)老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）． ①求出每天销售获利y（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围： ②元旦节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元（m＞0），草鱼售价全部定为8.5元/斤，为保证元旦节这一天销售这两种鱼获得最小利润，且最小利润为630元，求m的值． 【变式1】（2024·河北邯郸·二模）某地铁一号线全线共28个站点，地铁平均速度1.2千米/分．五一假期甲，乙两人去奥体中心练习游泳，两人住同一小区，甲从小区出发，先用公共自行车骑行5分钟到达地铁站口，已知公共自行车速度是地铁平均速度的，然后进站买票等候a分钟后乘坐地铁，再用时20分钟到达奥体中心，乙直接乘坐私家车去奥体中心，结果他们同时到达．图中折线和线段分别表示甲，乙离开小区的路程与离开时间x（分钟）的函数关系的图象． (1)求的函数解析式，并求s的值； (2)当私家车平均速度是地铁平均速度的，求买票等候上车时间a的值． 【变式2】（22-23八年级下·湖北宜昌·期末）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本（万元）与产品数量（件）之间具有一次函数关系：．当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为7万元． (1)求，的值； (2)当A，B两城生产这批产品的总成本之和为660万元时，求A，B两城各生产产品多少件？ (3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为万元／件和3万元／件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元／件和2万元／件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，若A，B两城总运费之和的最小值为150万元，求的值． 【变式3】（22-23八年级下·河北沧州·月考）甲、乙两个水果店销售同一种苹果．如果购买苹果x千克，甲店付款金额为y元，且，乙店付款金额为元，乙店苹果每千克的价格比甲店高1元，但乙店推出促销活动：若一次性购买a千克以上，超过a千克部分的价格打6折．y关于x的函数图象如图所示．    (1)求k的值，并说出k的实际意义； (2)求关于x的函数解析式； (3)小明一次性购买m千克苹果时，发现甲、乙两个水果店的付款金额相差4元，请直接写出符合条件的m的值； (4)甲水果店也推出了促销活动：对一次性购买25千克及以上苹果的客户按批发价售卖，超过25千克的部分打7折．某超市采购员计划购买n千克苹果，他发现在乙水果店购买更省钱，求n的取值范围． 题型八 图象信息类一次函数应用 【典例8】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为10厘米，6个叠放在一起的纸杯的高为14厘米． (1)2个纸杯叠放在一起的高为 厘米； (2)若设x个纸杯叠放在一起的高为y厘米（如图2），并将这x个纸杯叠放在一起按如图3所示的方式放进竖立的方盒中，方盒的厚度不计． ①求y关于x的函数表达式； ②若竖立的方盒的高为33.5厘米，求x的最大值． 【变式1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）根据以下素材，探索完成任务 探究通过维修路段的最短时长 素材 如图，某路段段需要维修，临时变成双向交替通行，故在，处各设置红绿灯指导交通仅设置红灯与绿灯． 素材 甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过，，段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是． 素材 红绿灯，每秒一个循环，每个循环内红灯，绿灯的时长如图，且每次双向红灯时，已经进入段的车辆都能及时通过该路段． 问题解决 任务 甲车经过段的速度为______； 任务 在图中补全乙车通过维修路段时行驶的路程与时间之间的函数图象； 任务 丙车沿方向行驶，经过段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯时车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，设红绿灯由绿灯变为红灯后的秒后丙车到达，丙车在段从开始等待至离开点需要秒，求关于的解析式； 【变式2】（2026·河南南阳·一模）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示． (1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________； (2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间； (3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围． 【变式3】（24-25八年级下·海南海口·期中）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕．该个体户根据本次销量情况进行了跟踪记录，根据记录的数据绘制出函数图象，其中日销售量（千克）与销售时间（天）之间的函数关系如图①所示，销售单价（元）与销售时间（天）之间的函数关系如图②所示（日销售金额日销售单价日销售量）． (1)求出与之间的函数表达式． (2)求出第15天的销售金额． 题型九 表格信息类一次函数应用 【典例9】（25-26八年级下·河北沧州·月考）综合与实践 【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将58辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图1，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．下表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系（部分数据不完整）： 购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 6 7 … ③ … 车身总长y/米 ① ② … … 素材2：如图2，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格信息，求购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的函数关系式； (2)将表格补充完整：①处应填________，②处应填________，③处应填________； (3)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）“水钟”是我国古代原始的计时工具，如图1，水从上面的多个贮水壶中慢慢流入下方的受水壶，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”），漏箭上标有表示时间的刻度，随着漏水量的增加，受水壶中的浮子会均匀升高．某数学实践小组仿制了如图2所示的一个类似“水钟”的实验装置进行模拟实验，实验开始前圆柱容器中有一定高度的水． 表格记录了圆柱容器内水面高度（厘米）与时间（时）的一些变化情况： 时间（时） … 1 2 3 4 5 … 圆柱容器内水面高度（厘米） … 3 5 7 9 11 … (1)圆柱容器内水面的高度每小时上升________厘米，刚开始容器内水面的高度是________厘米； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表格的各点，作出与的函数图象，并判断容器内水面高度（厘米）与时间（时）符合一次函数关系吗？ (3)已知圆柱容器内壁深50厘米，实验小组早上8时开启装置进行计时实验，第二天早上8时水是否会溢出容器？请通过计算说明． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）【问题情境】排箫是中国的传统乐器，如图①，它由长短不同的竹管组成，现用吸管模拟排箫探索这一乐器的“音”． 【实验操作】将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关仪器测得吸管另一出口发出声音的振动频率，不同长度吸管吹出声音的频率的部分数据如表1： 【补充材料】材料一：在到40℃范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：℃）的关系如表2： 表1 长度 200 150 120 100 80 60 50 振动频率 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 表2 气温 0 10 20 30 声速 325 331 337 343 349 材料二：声音的频率（单位：Hz）是指声波每秒振动的次数．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是． 材料三：声音的波长（单位：）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离．声音的频率和波长与声音的传播速度（单位：）满足公式：． 【探索发现】（1）请你根据实验操作中的表格数据，在图②中描点、连线．观察图象发现，吸管越短，振动频率越__________（填“高”或“低”）． （2）当气温为10℃时，声速为____________；当声速为时，气温为____________℃． （3）根据材料一中的表格数据，求声速与气温之间函数的关系式（不要求写出的取值范围）． 【实际应用】（4）目前国际通用的钢琴标准音A4频率为，在气温为23℃的情况下，求钢琴标准音A4的波长． 【变式3】（21-22八年级下·山东德州·期末）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式，设一个月内使用移动电话主叫的时间为x分钟（x≥0），方式一，方式二的月使用费分别为y1元，y2元，两种计费方式被叫均免费．其中方式一月使用费详情见如表，方式二的月使用费y2元与主叫时间x分钟的函数图像如图所示． 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费/（元/分钟） 被叫 方式一 38 120 0.1 免费 方式二 (1)根据题意填表： 表格一： 主叫时间x分钟 x＝100 x＝320 x＞120 方式一计费/元 y1＝ 表格二 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费/（元/分钟） 被叫 方式二 360 免费 (2)结合图像信息，求y2与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)选用哪种计费方式花钱少． 题型十 新情境问题 【典例10】（25-26八年级下·福建漳州·期中）项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 为响应科技强国、人工智能发展的社会热点，某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购智能机器人模型与科创文具作为奖品，激励积极参与科普活动的学生． 学校决定购买款智能机器人模型和款科创笔记本共件，已知款机器人模型单价元/件，款科创笔记本单价元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件款智能机器人模型，剩余奖品均为款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·期中）第六届亚洲沙滩运动会，是由亚奥理事会主办的沙滩类综合性体育运动会，于年月日至日在中国海南省三亚市举行．某工厂收到加工赛事挡板的订单，该工厂有两种设备加工挡板，已知用台型设备和台型设备，每天可加工块挡板，用台型设备和台型设备，每天可加工块挡板． (1)求台型设备和台型设备每天分别可以加工多少块挡板； (2)该工厂计划使用两种设备共台完成此订单，要求型设备的数量不低于型设备的，则该工厂应该怎样分配，才能使每天生产的挡板数量最多，是多少？ 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，需要五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根门条长y是胸腹高的一次函数，且当时，；当时，．单根门条比单根膀条短，图1中、的长均等于胸腹高．单根尾条的长度与总高满足，所有竹条长度单位统一为厘米． 请解答以下问题： (1)求门条长度关于胸腹高的函数表达式； (2)①单根膀条的长度为______(用含的式子表示)；单根尾条的长度为______(用含的式子表示)； ②在实际制作过程中，要求门条中的不小于的倍，制作风筝的膀条单根长度不超过．求的取值范围？ (3)费师傅是北京有名的京燕风筝手艺人，其加工门条、膀条、尾条的单价分别元/、元/、元/．从函数的角度分析，求制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用是多少元？ 【变式3】（25-26八年级下·重庆·月考）春纳新喜，岁律回周．某厂家推出的“马跃新程”新春文创礼盒深受人们的喜爱．某商店准备购进其中的“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫两种文创品．已知每个“萌能陪伴”手机支架比“艺蕴流光”杯垫进价多15元，用3500元购进“萌能陪伴”手机支架的数量与用2000元购进“艺蕴流光”杯垫的数量相同． (1)“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫每个的进价各是多少元？ (2)若该商店计划购进“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫共300件，“艺蕴流光”杯垫的数量不超过“萌能陪伴”手机支架数量的2倍．设购进“萌能陪伴”手机支架个（）．请问购进“萌能陪伴”手机支架多少个时，可使总进价最低？最低总进价是多少元？（请用函数的相关知识求解） 题型十一 新考法问题 【典例11】（25-26八年级上·河南·期中）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度 2 6 10 … 单层部分的长度 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的． 请根据以上素材，解答下列问题： (1)如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； (2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式，直接写出x的取值范围； (3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 【变式1】（22-23八年级上·浙江温州·期末）探究通过维修路段的最短时长，素材1：如图1，某路段（段）需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯）． 素材2：甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过AB，BC，CD段的时间分别为，，，它的路程y（m）与时间t（s）的关系如图2所示；两车经过BC段的速度相等，乙车经过AB段的速度是． 素材3：红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯、绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段． 【任务1】求段的总路程和甲车经过段的速度． 【任务2】在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程y（m）与时间t（s）之间的函数图像． 【任务3】丙车沿方向行驶，经段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯的车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，问丙车在段从开始等待至离开点A至少需要几秒钟？ 【变式2】（2025·北京·模拟预测）为了解某款饮水机的工作原理与用电情况，综合实践活动小组展开了以下研究． 【问题背景】 如图1，某饮水机内有两个不同大小的立方体水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱的水位为时1号管启动，将乙箱中的水（此时乙箱水满）匀速注入甲箱．甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，两水箱分别注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）． 【解决问题】 小明根据研究过程分别绘制了甲、乙水箱的水位关于时间的函数图象，如图2所示 根据以上信息，回答下列问题： (1)图中表示甲的函数图象的是_________（填①或②）； (2)图中a的值为_________，b的值为_________； (3)当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； 当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； (4)为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电0.06度，另外每根水管工作1分钟均耗电0.01度，则图2中从到的整个过程中所消耗的电量为_________度． 【变式3】（2024·广西·三模）【综合与实践】 【问题背景】 如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景． 如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 28.1 27 25.8 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； (2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ (3)经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值； 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（23-24八年级下·上海闵行·期中）甲、乙两位同学一次晨跑的路程S（米）与时间t（分）的关系如图所示．已知他们从同一地点出发，跑步的路线和总路程（1500米）也相同，其中甲先出发，途中由于鞋子问题耽误了一些时间．图中．根据图形所提供的信息，回答下列问题： (1)甲在途中耽误了______分钟； (2)乙跑步的速度是______米/分； (3)如果甲想与乙同时到达终点，那么他在解决鞋子问题后速度应提高到______米/分． 2．（2026·贵州·模拟预测）年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 3．（25-26八年级下·河南郑州·期中）“一窟一世界，一壁一史书”，洛阳龙门石窟，文化底蕴深厚．某校同学分三个小组进行“石窟中的文化”的项目式学习研究，第一小组负责调查龙门石窟的历史及结构特点，第二小组负责研究石窟中蕴含的数学知识，第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 龙门石窟位于河南省洛阳市，始建于北魏孝文帝时期，现有2345座佛龛，十万余尊造像，2800余块碑刻题记，是世界上建造时间最长、造像最多、规模最大的石窟，与敦煌莫高窟、大同云冈石窟并称为中国三大石窟． 【数学情境】 龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品．下面是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）： 序号 规格 单位 数量 单价 金额 1 A款 件 28 ■ 共4190 2 B款 件 30 ■ 店员说：“这次进货，B款文创产品的单价比A款文创产品的单价少15元．” 【建立模型】 请你解决下列问题． (1)求A，B两款文创产品的进货单价各是多少元． (2)已知A款文创产品每件的售价为110元，B款文创产品每件的售价为85元．根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售．问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 4（25-26八年级下·山东青岛·期中）某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时．两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示： 运输工具 运输费单价（元/吨·千米） 冷藏费单价（元/吨·小时） 过路费（元） 装卸及管理费（元） 汽车 2 5 200 0 火车 1.8 5 0 1600 注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费． (1)设该批发商待运的海产品有x（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2（元），试求y1和y2与x的函数关系式； (2)若该批发商待运的海产品不少于45吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务？ 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）杆秤是中国人发明的人类最早的衡器．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为．根据杠杆原理，可得：．已知．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)随着的变化而变化，求出关于的函数表达式． (2)在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离． (3)在保持秤杆和秤盘不变的基础上，对于提纽的位置和秤砣的质量，改变其中一个时，另一个保持不变． ①在下列选项中，能使称重范围变大的有___________（填写所有正确的选项） A．提纽的位置向左移        B．提纽的位置向右移 C．秤砣的质量变小        D．秤砣的质量变大 ②若将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为___________． ③由于生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，则生锈秤砣的质量为___________． 2．（22-23八年级下·广东佛山·期末）某果园实验基地推广甲、乙两种芒果苗，已知乙种芒果苗比甲种芒果苗每株贵元，且用元钱购买甲种芒果苗的株数与用元钱购买乙种芒果苗的株数刚好相同． (1)求甲、乙两种芒果苗每株的价格； (2)果农准备从甲、乙两种芒果苗中选购一种，已知购买数量相同且数量不少于株，该果园实验基地负责人可给予以下优惠：购买甲种芒果苗每株按原售价九折优惠；购买乙种芒果苗，不多于株按原售价付款不优惠，超过株每株按原售价五折优惠请帮助果农判断购买哪种芒果苗更省钱． (3)果农计划购买甲、乙两种芒果苗共株调查统计发现，甲、乙两种芒果苗的成活率分别为、，要使这批芒果苗的成活率不低于，且使购买芒果苗的费用最低，应如何选购芒果苗？最低费用是多少？ 3．（2023·四川内江·中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克） 甲 a 20 乙 b 23 该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元． (1)求a，b的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数与实际问题（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 阶梯收费问题：★★★ 题型二 行程问题的函数图象分析：★★★ 题型三 工程与工作量问题：★★ 题型四 最优方案选择问题：★★★ 题型五 销售利润与成本问题：★★★ 题型六 跨学科实际应用：★★★ 题型七 含参数的实际问题建模：★★★ 题型八 图象信息类一次函数应用：★★★ 题型九 表格信息类一次函数应用：★★ 题型十 新情境问题：★★★ 题型十一 新考法问题：★★★ 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 分段函数的实际应用 能根据实际情境（如收费、行程）建立分段函数模型，并求解 中档高频考点，常出现在解答题中，需注意分段区间的划分 方案选择问题（成本 / 利润最优） 能建立一次函数模型，分析不同方案的成本或利润，选择最优方案 期末压轴常考题，需结合自变量的取值范围讨论最值 行程问题中的一次函数 能从行程图象中提取信息，建立函数关系并求解速度、时间、路程 数形结合高频考点，需注意图象的横纵坐标意义 工程 / 工作量问题的一次函数 能根据工作效率、时间、总量的关系，建立一次函数模型 中档应用题，常结合实际情境考查函数建模能力 销售利润问题的一次函数 能建立利润关于销量 / 单价的一次函数，分析利润变化趋势 中档常考点，需注意自变量的实际限制条件 跨情境综合应用（如物理、生活场景） 能将实际情境转化为一次函数模型，解决复杂实际问题 培优拔高考点，考查建模能力与跨学科应用能力 知识点01 利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 知识点02 一次函数应用问题的求解思路 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 题型一 阶梯收费问题 【典例1】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）某市出租车采取分段收费方式：起步价为元，即路程不超过千米时收费元，超过部分每千米收费元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图像知，__________，__________，__________． (2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为元，请求出与之间的关系式． (3)若小明共付车费元，那么出租车共行驶了多少千米？ 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据分段收费的定义和图像信息来确定、、的值即可． （2）根据待定系数法即可求解． （3）根据已知的车费判断行驶路程是否超过起步路程，然后代入相应的关系式求解即可． 【详解】（1）解：从图象可知，当行驶路程为到千米时，乘车费固定为元， 此时对应的乘车费为元，即， 当乘车费开始变化时，对应的行驶路程就是的值，从图像可得， 从图像可知，当行驶路程为千米时，乘车费为元； 当行驶路程为千米时，乘车费为元， 那么超过千米的部分行驶了千米，费用增加了元， 所以每千米收费元． （2）解：当时，设与之间的关系式为． 将与代入关系式， 则有，解得， 则与之间的关系式为． （3）解：当时，可知行驶路程已超过起步路程， 则，解． 答：出租车共行驶了千米． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)他2月份外卖送餐950单 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论． （1）分两种情况，列出函数关系式即可； （2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 综上，当时，；当时，． （2）解：（元，（元； 元元 ； ∴当时，得 ， 解得， 他2月份外卖送餐950单． 【变式2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．若每月用气量不超过（包含），则按第一档收费标准a元/收费；若每月用气量超过，但不大于，则超过部分按第二档收费标准b元/收费；若每月用气量超过，则超过部分按第三档收费标准4元/收费．小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元． (1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/？ (2)设每月用气量为x，应交燃气费为y元，求y与x之间的函数关系式． (3)小明家5月份用气量为，应交燃气费为多少元？ (4)某户6月份的燃气费是182.5元，求该户6月份的用气量． 【答案】(1)第一档燃气费单价为3元/，第二档燃气费单价为元/ (2) (3)元 (4) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出方程组和对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元建立方程组求解即可； （2）分，和三种情况，根据所给收费标准列式求解即可； （3）把代入中求出y的值即可得到答案； （4）可推出该户的用气量超过，把代入中求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． 答：第一档燃气费单价为3元/，第二档燃气费单价为元/； （2）解：由（1）可得，当时，， 当时，； 当时，, 综上所述，； （3）解：在中，当时，， 答：应交燃气费为元； （4）解：在中，当时，， ∵， ∴该户的用气量超过， 在中，当时，则 解得． 答：该户6月份的用气量为． 题型二 行程问题的函数图象分析 【典例2】（25-26八年级下·吉林长春·期中）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出乙货车在到达配货站前，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】(1)30；40 (2) (3) 【分析】（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度距离时间即可得； （2）由图象可知和，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案； （3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，根据甲、乙两货车与配货站的距离相等，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为， ∴甲货车到达配货站之前的速度是，乙货车到达配货站路程为， ∵到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地， ∴总路程为， ∴乙货车的速度为． （2）解：∵甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，比甲货车晚半小时到达B地． ∴和， 设的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴的解析式为． （3）解：设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，由题意可得，甲货车与配货站的距离为，乙货车与配货站的距离为， ∴， 解得：， 答：乙货车在到达配货站前，出发甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发 s，乙提速前的速度是每秒 ， ， ； (2)当为 时，乙追上了甲； (3)何时乙在甲的前面？ 【答案】(1)15；15；31；45 (2)24 (3)时，乙在甲的前面 【分析】（1）根据图像时，可知：乙比甲晚；由时，可求得提速前速度；根据时间等于路程除以速度可求提速后所用时间，即可得到m值，进而得出n的值； （2）先分别求得段、段对应的函数关系式，根据题意列一元一次方程求解即可； （3）先根据（2）得结论得到和的交点横坐标，再根据函数图像即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，可知乙比甲晚； 当时，；当时，； 故乙提速前的速度是； ∵乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴乙提速后速度为， 故提速后乙行走所用时间为：， ∴， ∵甲的速度是； ∴． （2）解：设段对应的函数关系式为， ∵在上， ∴，解得， ∴y=10x． 设段对应的函数关系式为， ∵在BC上， ∴，解得：， ∴， 由乙追上了甲，得，解得． 答：当x为24秒时，乙追上了甲． （3）解：由（2）可知：当x为24秒时，乙追上了甲，即和的交点横坐标为24， 由函数图像可知：当时乙在甲的前面． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期中）某校“书法社”和“音乐社”两个社团开展课外实践活动．如图①，“书法社”同学骑自行车从中央广场出发前往社区文化站参加书法展，“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从区少年宫出发，途经社区文化站后前往中央广场参加活动（两个社团在社区文化站与中央广场之间沿同一路段行驶），两个社团同时出发且匀速行驶．已知旅游观光车的速度是自行车速度的3倍，如图②表示的是两个社团离社区文化站的距离与行驶时间之间的函数图象．观察函数图象回答下列问题： (1)“书法社”骑自行车的速度为　　　； (2)求图象中a与b的值； (3)请求出P点的坐标，并说明点P表示的实际意义． 【答案】(1) (2)， (3)，它表示“书法社”和“音乐社”同学相遇的时间和距离社区文化站的距离 【分析】（1）根据速度=路程÷时间求解即可； （2）根据图象，得中央广场与区少年宫的距离为，区少年宫与社区文化站的距离为，根据公式计算即可； （3）利用待定系数法，相遇的意义求解即可． 【详解】（1）解：根据图象，得中央广场与社区文化站的距离为，“书法社”骑自行车用时间为， 故速度为； （2）解：根据题意，得旅游观光车的速度是自行车速度的3倍， 故旅游观光车的速度为； 根据图象得区少年宫与社区文化站的距离为，社区文化站与中央广场的距离为， 故“音乐社”从少年宫到文化站用时为， 即； 因为“音乐社”从社区文化站与中央广场用时为， 所以； （3）解：设“书法社”运动的图象解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为； 设返回文化站运动的图形解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为； 根据题意，得， 解得， 故. 点P表示的实际意义是“书法社”同学骑自行车从中央广场到社区文化站的途中，与“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从社区文化站前往中央广场的途中相遇． 【变式3】（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·月考）同一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从B地出发，先匀速驶向C地，到达C地后立即调头（调头时间不计），途经B地驶往A地；同时乙车从A地出发匀速驶向B地，途中休息一个小时，两车同时到达各自目的地．两车距C地路程y（）与两车行驶时间x（）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)乙车行驶速度是_____，B、C两地相距________千米； (2)求线段所表示的甲车距C地的路程y（）与x（）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)请直接写出两车出发多长时间相距240千米． 【答案】(1)80，100 (2) (3)或 【分析】（1）用乙车前半段行驶路程除以前半段行驶时间即可求出乙车行驶速度，求出乙车后半段行驶路程，即可求出B、C两地距离； （2）先求出甲车行驶速度，进而求出E表示的数，可知自变量的取值范围，设线段的函数关系式为，将，代入计算即可； （3）设两车出发相距240千米，分情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：乙车行驶速度是； ∴乙车后半段行驶路程为， ∴B、C两地相距； （2）解：由图象结合（1）可知D表示100， ∴甲车行驶速度为， ∴甲车行驶用时， 即E表示， ∴ 设线段的函数关系式为，则， 由图象可知函数经过，， ∴， 解得：， ∴线段的函数关系式为； （3）解：设两车出发相距240千米． ∵两车出发前相距，且甲车速度比乙车快， ∴段不存在两车相距240千米的情况； 在段：当乙车休息前， 两车出发相距240千米时，乙车距C地路程为千米，甲车距C地路程为千米， 此时， 解得：，在范围内； 当乙车休息后， 两车出发相距240千米时，乙车距C地路程为千米，甲车距C地路程为千米， 此时， 解得：，在范围内； 由图可知乙车休息时两车距离小于乙车行驶时，即此时不存在两车相距240千米的情况； 综上所述，两车出发或相距240千米． 题型三 工程与工作量问题 【典例3】（23-24八年级上·山东德州·期末）为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，我区政府拟对部分公路两旁的人行道地砖，排水管道等公用设施，进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案： 方案一：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用20天； 方案三：若甲、乙两队合作10天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． (1)完成这项工程的规定日期是多少天? (2)在不耽误工期的前提下，你觉得以上哪一种方案最节省工程款?请说明理由． (3)因区政府行动迅速，比原计划提前10天投入施工，因此实际规定的日期比计划多出10天，请你重新设计一种方案，既能在实际规定的日期内完工，又能使工程费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1)规定日期为20天 (2)在不耽误工期的前提下，方案三最节省工程款 (3)当甲队施工5天，乙队施工30天时，工程费用最少为21万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设规定日期为x天，根据题意列出分式方程，求解即可； （2）分别求出三个方案的费用，选出符合题意的方案即可； （3）设甲队施工m天，乙队施工n天，工程费为y元，由题目所给条件得出，再根据n的取值范围和一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）设规定日期为x天，由题意得 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意； 所以，规定日期为20天； （2）方案一：（万元）， 方案二：需要40天，超过工期，不符合题意； 方案三：（万元）， ∵， ∴在不耽误工期的前提下，方案三最节省工程款； （3）由题意得，实际规定日期为（天）， 设甲队施工m天，乙队施工n天，工程费为y元， 则， ∴， 工程款为：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，y最小，此时， 所以，当甲队施工5天，乙队施工30天时，工程费用最少为21万元． 【变式1】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·月考）某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队合作天可完成；若甲工程队先单独施工天，再由乙工程队单独施工天也可完成． (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)现将该教学楼工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了天，每天需付施工费万元，乙工程队做另一部分工程用了天，每天需付施工费万元，若都是正整数，乙工程队做的时间不到天，求出此项工程总施工费用的最小值． 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要30天 (2)此项工程总施工费用的最小值为万元 【分析】（1）设甲工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为，依题意可列出分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）依题意，，得出，设此项工程总施工费用为，依题意可函数关系，根据一次函数的性质，求得最小值即可求解． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为，依题意得， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙工程队需要：（天）， 答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要30天． （2）解：依题意，， ∴， 即， 设此项工程总施工费用为， 则 ， ∵，随的增大而减小， 又，当时，取得最小值， (万元)， ∴此项工程总施工费用的最小值为万元． 【点睛】本题考查了分式方程应用，一次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系是解题的关键． 【变式2】（2020·山东济宁·二模）某县为贯彻落实《中华人民共和国河道管理条例》，对辖区内河道阻水障碍物进行清理．甲、乙两个工程队共同承包此项清理工程，甲队单独施工完成此项工程比乙队单独施工完成此项工程多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同． （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若由甲队先施工天，再由甲、乙两队共同施工天，正好完成该工程，请直接写出与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若每天需支付甲队费用1000元，每天需支付乙队费用2000元，且完成工作总天数不超过24天，则如何安排甲队先施工天数，使总施工费用最少，并求出最少费用． 【答案】（1）甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需20天；（2）；（3）当时，元 【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需天，根据工作量相同列方程求解即可； （2）利用甲，乙完成的工作量之和为，列关系式，整理可得答案； （3）利用（2）的结论，根据甲，乙完成的工作时间列出函数解析式，再求解自变量的范围，利用一次函数的性质可得答案． 【详解】解：（1）设乙队单独完成此项工程需天，则甲队单独完成此项工程需天．根据题意，得 ． 解这个方程，得． 经检验：是所列方程的解． 所以． 答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需20天． （2）由题意得： ． （3）设总施工费用元．根据题意，得 ． ∵，∴．解得：． ∵，∴随增大而减小． ∴当时，（元） 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用及利用一次函数求费用的最小值问题，掌握以上知识是解题的关键． 【变式3】（2025·吉林四平·模拟预测）某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，先由乙队先单独施工20天后甲队返回，两队又共同施工了60天，甲、乙两队共完成土方量108万立方，这时乙队因故暂时停止施工，由甲队单独完成剩余部分，甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系如图所示． (1)乙队每天完成土方量多少万立方； (2)若该公司预计工期100天，甲队能否按期完成剩余部分？ (3)当时，求甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系式； (4)当甲、乙两个工程队共同完成土方量100万立方时，甲、乙两个工程队哪个队完成的土方量多，多多少？ 【答案】(1)0.6万立方 (2)能按期完成，见解析 (3) (4)甲多，多10（万立方） 【分析】本题考查了函数图象的应用，涉及函数图象，求一次函数解析式，求函数值等知识，理解题意，正确求解是关键； （1）由函数图象知，乙队20天完成了12万立方，即可求得乙每天完成的土方量； （2）甲队单独完成剩余部分为12万立方，根据两队60天共完成108万立方土方量，即可求得甲队每天完成的土方量，完成剩余部分所需的时间，从而可判断剩余部分可否如期完成； （3）当时，函数过点，利用待定系数法即可求得线段的函数解析式； （4）求出当（3）中的函数值为100时的自变量的值，则可分别计算出两队完成的土方量，从而可求解． 【详解】（1）解：由图象知：乙队20天完成了12万立方，则乙队每天完成：（万方）； 答：乙队每天完成土方量万立方； （2）解：能按期完成；理由如下： 甲队单独完成剩余部分为（万立方）； 两队60天完成了（万立方）， 则甲队每天完成的土方量为：（万立方）， 甲完成剩余土方的时间为（天），而（天）（天）； 所以能按期完成剩余部分； （3）解：当时，函数图象为线段， 设函数解析式为； ∵函数过点， ∴，解得：， ∴函数解析式为； （4）解：对于，当时，解得； 甲完成土方量为：（万立方），乙完成土方量为：（万立方），（万立方）； 答：甲比乙完成的土方量多，多10万立方． 题型四 最优方案选择问题 【典例4】（25-26八年级下·广东深圳·期中）为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球．已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元． (1)求排球、足球的单价各是多少元？ (2)根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的．若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用． 【答案】(1)排球的单价是90元，足球的单价是70元 (2)最省钱的一种购买方案为：购买45个排球，15个足球，此时的总费用是5100元 【分析】（1）设排球的单价是x元，足球的单价是y元，根据题意，列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购买m个排球，则购买个足球，根据题意列出一元一次不等式组，求出，设学校购买排球和足球的总费用为w元，得到，推导出w随m的增大而增大，且m为整数，则当时，w取得最小值5100，此时（个），即可解答． 【详解】（1）解：设排球的单价是x元，足球的单价是y元， 根据题意，得， 解得． 答：排球的单价是90元，足球的单价是70元； （2）解：设购买m个排球，则购买个足球，根据题意，得 ， 解得． 设学校购买排球和足球的总费用为w元，则， 即， ， ∴w随m的增大而增大， 又，且m为整数， ∴当时，w取得最小值5100，此时（个）． 答：最省钱的一种购买方案为：购买45个排球，15个足球，此时的总费用是5100元． 【变式1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）为响应深圳市在创建国家级文明卫生城市中，提升绿化档次的政策．宝安区某校计划购进，两种树木共100棵进行校园绿化升级．经市场调查：购买种树木2棵，种树木5棵，共需460元；购买种树木3棵，种树木1棵，共需300元． (1)求种，种树木每棵各多少元； (2)因布局需要，购买种树木的数量不少于种树木数量的4倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款种树木按市场价八折优惠，种树木按市场价九折优惠．请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【答案】(1)种树每棵80元，种树每棵60元 (2)当购买种树木80棵，种树木20棵时所需费用最少，最少为6200元 【分析】（1）设种树每棵元，种树每棵元，列出二元一次方程即可求解； （2）设购买种树木为棵，则购买种树木为棵，列出一元一次不等式，一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设种树每棵元，种树每棵元， 依题意得：， 解得． 答：种树每棵80元，种树每棵60元． （2）解：设购买种树木为棵，则购买种树木为棵， 则， 解得， 设实际付款总金额是元， 则，即， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的最小值为（元）， 此时，（棵）． 答：当购买种树木80棵，种树木20棵时所需费用最少，最少为6200元． 【变式2】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）某健身房推出蛋白能量包和碳水补给包两种食物套餐．套餐中的蛋白粉、燕麦片和水果的质量如下表（不完整）： 食物套餐 蛋白粉/ 燕麦片/ 水果/ 蛋白能量包 碳水补给包 调研发现：份蛋白能量包中燕麦片与蛋白粉的总质量比份碳水补给包中燕麦片与蛋白粉的总质量多克，且份蛋白能量包和份碳水补给包中燕麦片的总质量为． (1)求每份蛋白能量包和碳水补给包中的燕麦片质量； (2)小凯为自己预订了连续天的运动补给套餐（每天只订一种套餐），为了保证训练需求，要求水果的总质量不高于．小凯应怎样选择这两款套餐，才能使这天的套餐中燕麦片的总质量最少？ 【答案】(1)每份蛋白能量包中燕麦片质量为，每份碳水补给包中燕麦片质量为． (2)选择天订蛋白能量包，天订碳水补给包，可使天燕麦片总质量最少． 【分析】（1）设每份蛋白能量包和碳水补给包中的燕麦片质量分别为、，根据题目给出的两个等量关系建立二元一次方程组，求解方程组得到两种套餐的燕麦片质量． （2）设预订蛋白能量包天，则预订碳水补给包天，根据水果总质量的限制列出一元一次不等式，求出的取值范围；再建立燕麦片总质量关于的一次函数，根据函数单调性求出最小值对应的值，确定最优套餐选择方案． 【详解】（1）解：设每份蛋白能量包中的燕麦片质量为，每份碳水补给包中的燕麦片质量为． ， 解得 答：每份蛋白能量包中的燕麦片质量为，每份碳水补给包中的燕麦片质量为． （2）解：设预订蛋白能量包天，则预订碳水补给包天． ， 解得， 设燕麦片总质量为，则 ， ∴， ， 随的增大而减小． 当时，取得最小值． （天）． 答：小凯应预订蛋白能量包天，碳水补给包天，才能使燕麦片总质量最少． 【变式3】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案： 方案A：按固定价格进货，每本进价8元； 方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元． 文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本． 设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别写出与，与的函数关系式； (2)文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由． 【答案】(1)， 、． (2)当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可． 【详解】（1）利润等于总售价减去总进价，总售价等于． 方案A：每本进价元，总进价等于， ． 方案B：分两种情况讨论： 1、当时，总进价为， ． 2、当，前100本进价10元，超过部分进价6元， 总进价， ． 综上，方案B的函数关系式： 、． （2）已知，分两段分析： 当时： ，显然，此时方案A利润更大． 当时： 比较和： 令，解得； 令，解得； 即时，； 时，． 综上所述，当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可． 题型五 销售利润与成本问题 【典例5】（25-26八年级下·四川成都·期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值． (2)在（1）的条件下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克（为正整数），求超市在不同购买方案下哪种方案可获得的利润最大？最大利润值是多少？ 【答案】(1) (2)购进60千克甲种蔬菜、40千克乙种蔬菜时利润最大，最大利润为520元 【分析】（1）根据购买甲、乙两种蔬菜的金额列出二元一次方程组，求解m和n的值即可． （2）设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜为千克，根据投入资金范围列出不等式组，求解x的取值范围，得到购买方案；利润函数为一次函数，根据系数判断增减性，从而找到最大利润即可． 【详解】（1）解：根据题意，得方程组： ， 解得； ∴． （2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜千克， 投入资金为：， ∵投入资金不少于1160元又不多于1168元， ∴，即， 解得， x为正整数，即， 购买方案： 方案1：甲58千克，乙42千克； 方案2：甲59千克，乙41千克； 方案3：甲60千克，乙40千克； 设利润y元， 则利润， ∵，即y随x增大而增大， 当时，利润y最大为． 答：方案3可让超市获得最大利润，最大利润是520元． 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息： 冰箱贴购进单价信息 商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息： 记录单 型冰箱贴（个） 型冰箱贴（个） 总费用（元） 记录单 记录单 文创店销售信息 信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元． 信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元． 根据以上信息，完成下列3个任务： (1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元． (2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案． (3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元． (2)共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个． (3)最大利润的购进方案为购进型个，型个，最大利润为元． 【分析】（1）根据表格中的总费用信息，列二元一次方程组求解、两种冰箱贴的购进单价． （2）设购进型冰箱贴个，根据总费用限制和数量要求列一元一次不等式，求出符合条件的正整数解，得到所有购货方案． （3）根据利润关系列出总利润关于的一次函数，利用一次函数的增减性求出最大利润及对应方案． 【详解】（1）解：设型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元， ， 解得， ∴型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元． （2）解：设购进型冰箱贴个，则购进型冰箱贴个， ， 解不等式组得， ∵为正整数， ∴，，． 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有种购货方案：方案一：购进型个，型个； 方案二：购进型个，型个； 方案三：购进型个，型个． 答：共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个． （3）解：设总利润为元， 单个型冰箱贴利润：元，单个型冰箱贴利润：元， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， ， 此时对应方案为购进型个，型个． 【变式2】（25-26八年级下·河北邢台·期中）根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素 材 1 某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素 材 2 甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的每平方米种植成本为36元． 问题解决： (1)任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式 (2)任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值 (3)任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且），问此时x取何值时总费用最少？最少总费用是多少？（可以用含a的代数式表示） 【答案】(1) (2)种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，W最小，W的最小值为3820元 (3)当时，总费用最少，最少费用元 【分析】（1）利用待定系数法可得甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式； （2）依据题意，求出，再根据一次函数性质可得答案； （3）依据题意，求出，再根据a的范围结合一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为， 根据函数图象可得：， 解得：， ∴甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为． （2）解：根据题意得：， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，W取最小值，最小值为（元）， ∴种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，W最小，W的最小值为3820元． （3）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W最小，最小值为：， ∴当时，总费用最少，最少费用元． 【变式3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）综合与实践 【项目背景】 某乡村合作社现有10公顷种植基地计划全部种植花生，品种可选传统花生或新品种花生，土地不允许空置． 传统花生：每公顷产量，出油率，种子、农资等种植成本约为每公顷9000元． 新品种花生：每公顷可产花生油，出油率的增长率是产量增长率的，种子、农资等种植成本比传统品种增加． 【项目准备】 当前市场花生油收购价为20元/千克，无论哪个品种产出的花生油收购价格一致．若改种新品种，每改造一公顷土地需要一次性投入固定改造费用1100元．合作社本次可用于土地改造与全年农资种植的总预算为万元． 【项目实施】 任务1：基础计算 (1)计算新品种花生的种子、农资等种植成本每公顷为__________元． (2)求出新品种花生产量的增长率，并求出新品种花生每公顷的产量． 任务2：成本与收益建模 (3)设合作社安排公顷种植新品种，剩余土地种植传统花生，用含的代数式表示第一年总净收益．（总净收益花生油总销售额种植与土地改造总投入） 任务3：最优方案 (4)在预算不超过万的前提下，如何安排种植，才能实现第一年总净收益最大?并求出最大净收益． 【答案】(1)元 (2)，； (3)元 (4)合作社安排6公顷种植新品种，4公顷种植传统花生，总净收益最大，最大为万元． 【分析】（1）根据题意，得求解即可． （2）设出油率的增长率是，则产量增长率是，根据题意，得，求解即可； （3）设合作社安排公顷种植新品种，种植传统花生的土地有公顷，根据净收益的定义列式计算即可； （4）根据题意，得，设总净收益为y元，根据题意，得，利用一次函数的性质，不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得（元）； （2）解：设出油率的增长率是，则产量增长率是， 根据题意，得， 整理，得， 解得或，增长率不能是负数，故舍去； 故出油率的增长率是， 故产量增长率是， 新品种花生每公顷的产量为． （3）解：设合作社安排公顷种植新品种，种植传统花生的土地有公顷，新品种花生每公顷可产花生油，传统花生每公顷可产花生油， 花生油收购价为20元/千克，花生油的总销售额为：（元）； 传统花生种植，种子、农资等种植成本约为每公顷9000元． 新品种花生种植，种子、农资等种植成本为每公顷9900元，且每改造一公顷土地需要一次性投入固定改造费用1100元． 故种植与土地改造总投入为：（元）； 故第一年总净收益为：（元）． 故第一年总净收益为元． （4）解：根据题意，得， 整理，得， 解得， 设总净收益为y元， 根据题意，得， 因为， 故y随x的增大而增大， 故当时，y取得最大值，且最大值为（万元）， 此时，传统花生种植面积为：公顷， 答：合作社安排6公顷种植新品种，4公顷种植传统花生，总净收益最大，最大为万元． 题型六 跨学科实际应用 【典例6】（25-26八年级下·北京·期中）某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力与弹簧的伸长量之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表： 弹簧受到的弹力（） 弹簧的长度（） 请帮该兴趣小组解决下列问题： (1)处理上表的数据，以弹簧的伸长量为横轴，弹簧弹力为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸长量弹簧受力后的长度弹簧原长度） ①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线； ②写出弹簧弹力与弹簧的伸长量的函数关系式______；（不要求写自变量的取值范围） (2)如果该弹簧受到超过240N的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由． (3)设弹簧的劲度系数，同学们拿来两根劲度系数不同的弹簧甲、乙，分别挂上两物块（如图所示），且物块的质量大于物块的质量（质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大），由图可知，甲、乙两弹簧的劲度系数的大小关系为_________．（填“”，“”或“=”） 【答案】(1)①见解析；②； (2)不会发生永久形变；见解析． (3) 【分析】（1）①根据题意，处理表格，然后描点、连线即可；②根据题意得：每伸长，弹力增加，即可确定关系式； （2）根据题意计算出受到的弹力，进行比较即可． （3）根据，依题意，则 【详解】（1）解：①根据题意，处理表格如下： 弹簧受到的弹力（） 弹簧的伸长量（） 如图所示； ②根据题意得：每伸长，弹力增加， ∴； （2）解：不会发生永久形变． 理由如下： 当弹簧的长度为21时，弹簧的伸长量， 当时，． ， 不会发生永久形变． （3）解：∵弹簧的劲度系数， ∵物块的质量大于物块的质量，质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大 ∴， 根据图形可得， ∴ 【变式1】（25-26九年级下·福建福州·期中）综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 【答案】(1) (2) (3) (4)准确性较高，原因见解析 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式； （2）利用题干所给偏差计算公式求出对应的值； （3）通过比较偏差确定最优函数表达式； （4）结合实际情况作答即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式是， ，，时，， 则， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ； （3）解：由题意可知： 对于，， 的值为， 的值为， 其中对应的值最小为， 即的偏差最小， 为最优函数表达式； （4）解：准确性较高． 因为随着h降低，液体对容器底部压强变小，会使得水流速度变慢，满足题中出现的方程， 因此数据准确性较高． 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】：小明计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴．小明查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】：小明进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如下表： 水位高度 5 10 15 20 25 频率 500 420 340 260 180 【数据查询】：同时小明通过查阅资料，查找出以下七个音阶与频率对照表． 音阶 频率 440 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若小明用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问小明应该在玻璃杯中装多少毫升的水． (3)研究结束后，小明想利用实验中4个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲出图片中的旋律，在（2）的条件下，请帮他设计一个方案． 【答案】(1) (2) (3)将4个玻璃杯编号为1，2，3，4，1号杯和3号杯分别装的水（发出的音阶为），2号杯装的水（发出的音阶为），4号杯装的水（发出的音阶为） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，求出时，h的值，再计算需要的水的体积即可； （3）分别求出，和这三个音阶对应的水的高度，进而求出对应的水的体积即可得到答案． 【详解】（1）解：设该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为， 由题意得，，解得， ∴该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为； （2）解：在中，当时，则， 解得， ∴想发出的音阶为，则玻璃杯中的水的高度为， ， 答：小明应该在玻璃杯中装的水； （3）解：在中，当时，则， 解得， 当时，则， 解得， 当时，则， 解得， ，，， 设计方案如下：将4个玻璃杯编号为1，2，3，4，1号杯和3号杯分别装的水（发出的音阶为），2号杯装的水（发出的音阶为），4号杯装的水（发出的音阶为）． 【变式3】（2026·天津河西·一模）【物理知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：①物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． ②当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立数学模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A、B各自的示数（N）与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)填空：①当小铝块下降5cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ②当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ③当小铝块下降10cm时，弹簧测力计B的示数为________N； (2)①当时，直接写出弹簧测力计A的示数关于的函数解析式； ②当时，直接写出弹簧测力计B的示数关于的函数解析式； (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中小铝块受到的浮力为（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块下降的高度为，求，的值．（直接写出结果即可） 【答案】(1)4；2.8；2.5 (2)①当时，,当时,；② (3)； 【分析】（1）①根据解答；②和③，观察图象可得答案； （2）观察图象根据待定系数法求出关系式即可； （3）先将代入第一个函数关系式求出，再根据题意将代入第二个函数关系式可得答案 【详解】（1）解：①当小铝块下降时，小铝块位于液面上方，此时，所以弹簧测力计A的示数为； ②当小铝块下降时， 观察图象可知弹簧测力计A的示数是； 观察图象可知弹簧测力计B的示数是； （2）解：①当时，弹簧测力计A的示数. 当时，设弹簧测力计A的示数，根据题意，得 ， 解得， ∴； ②当时，设弹簧测力计B的示数，根据题意，得 ， 解得， ∴； （3）解：当时，， 当小铝块浸入液面后，且甲，乙两个弹簧测力计上的小铝块重力相同，甲乙液体的浮力相同，所以两个小铝块所受的相等， ∴， 解得， 即． 题型七 含参数的实际问题建模 【典例7】（21-22八年级上·重庆南岸·期末）为了切实保护长江生态环境，长江实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示： 进价（元/斤） 售价（元/斤） 鲢鱼 a 6 草鱼 b 销量不超过200斤的部分 销量超过200斤的部分 9 8.5 已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要160元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要140元． (1)求a，b的值； (2)老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）． ①求出每天销售获利y（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围： ②元旦节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元（m＞0），草鱼售价全部定为8.5元/斤，为保证元旦节这一天销售这两种鱼获得最小利润，且最小利润为630元，求m的值． 【答案】(1)的值分别为： (2)①；②的值为：. 【分析】（1）根据题意：购进10斤鲢鱼和20斤草鱼的总费用等于160元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼的总费用等于140元．再列方程组，解方程组即可； （2）①由题意可得：求解 再分两种情况讨论：当时，当时，再分别写出函数关系式即可；②设每天销售鲢鱼x斤，则草鱼购进斤，则利润： 再根据一次函数的性质得到：当时，的最小值为元，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：由题意得： ，即 解得： 答：的值分别为： （2）解：①设每天销售鲢鱼x斤，则草鱼购进斤，且 则 当时，即时， 当时，即时， 综上： ②设每天销售鲢鱼x斤，则草鱼购进斤，则利润： 则随的增大而减少， 当时，的最小值为元， 解得： 答：的值为： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用及一次函数的性质，熟练的运用一次函数的性质求解函数的最值，再建立方程是解本题的关键. 【变式1】（2024·河北邯郸·二模）某地铁一号线全线共28个站点，地铁平均速度1.2千米/分．五一假期甲，乙两人去奥体中心练习游泳，两人住同一小区，甲从小区出发，先用公共自行车骑行5分钟到达地铁站口，已知公共自行车速度是地铁平均速度的，然后进站买票等候a分钟后乘坐地铁，再用时20分钟到达奥体中心，乙直接乘坐私家车去奥体中心，结果他们同时到达．图中折线和线段分别表示甲，乙离开小区的路程与离开时间x（分钟）的函数关系的图象． (1)求的函数解析式，并求s的值； (2)当私家车平均速度是地铁平均速度的，求买票等候上车时间a的值． 【答案】(1)， (2)买票等候上车时间 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题关键是能够读懂函数图象，得出正确的信息． （1）根据已知条件求出公共自行车的速度，甲5分钟离开小区的路程，从而求出甲离开小区的总路程，求出，设解析式为，利用待定系数法求出即可； （2）根据已知条件求出私家车的速度，由甲离开小区的路程乙离开小区的路程，列出方程，求出即可． 【详解】（1）∵地铁的平均速度为1.2千米/分， 公共自行车速度是千米/分， 甲5分钟走的路程为：千米， ，甲离开小区的总路程为：千米， ， 设直线的解析式为，把代入得：， 的函数解析式为：； （2）∵甲乙同时到达， 甲走的时间=乙走的时间=分， ∵私家车平均速度是地铁平均速度的， 私家车的速度是千米/分， ∵甲离开小区的路程=乙离开小区的路程， ， 解之得：， 买票等候上车时间． 【变式2】（22-23八年级下·湖北宜昌·期末）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本（万元）与产品数量（件）之间具有一次函数关系：．当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为7万元． (1)求，的值； (2)当A，B两城生产这批产品的总成本之和为660万元时，求A，B两城各生产产品多少件？ (3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为万元／件和3万元／件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元／件和2万元／件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，若A，B两城总运费之和的最小值为150万元，求的值． 【答案】(1) (2)A，B两城各生产产品20件，80件 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出，的值； （2）先根据（1）的结论得出与之间的函数关系，从而可得出，两城生产这批产品的总成本的和，据此建立方程求解即可； （3）设从城运往C地的产品数量为件，， 两城总运费的和为，则从城运往地的产品数量为件，从城运往地的产品数量为件，从城运往地的产品数量为件，从而可得关于的不等式组，解得的范围，然后根据运费信息可得关于的一次函数，将的数值代入即可求得． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得； （2）解：设A城生产产品x件，则B城生产产品件， 由题意得，， 解得， ∴ ， 答：A，B两城各生产产品20件，80件； （3）解：设从城运往C地的产品数量为件，， 两城总运费的和为，则从城运往地的产品数量为件，从城运往地的产品数量为件，从城运往地的产品数量为件， 由题意得：， 解得：， ∴， 整理得：， 当时，则， ∴P随n增大而减小， ∴当，P最小，最小值为， 又∵A，B两城总运费之和的最小值为150万元， ∴， ∴（舍去）； 当时，，不符合题意； 当时，则， ∴P随n增大而增大， ∴当，P最小，最小值为， 又∵A，B两城总运费之和的最小值为150万元， ∴， ∴； 综上所述，． 【点睛】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，一元一次不等式组的实际应用，理清题中的数量关系并明确一次函数的相关性质是解题的关键． 【变式3】（22-23八年级下·河北沧州·月考）甲、乙两个水果店销售同一种苹果．如果购买苹果x千克，甲店付款金额为y元，且，乙店付款金额为元，乙店苹果每千克的价格比甲店高1元，但乙店推出促销活动：若一次性购买a千克以上，超过a千克部分的价格打6折．y关于x的函数图象如图所示．    (1)求k的值，并说出k的实际意义； (2)求关于x的函数解析式； (3)小明一次性购买m千克苹果时，发现甲、乙两个水果店的付款金额相差4元，请直接写出符合条件的m的值； (4)甲水果店也推出了促销活动：对一次性购买25千克及以上苹果的客户按批发价售卖，超过25千克的部分打7折．某超市采购员计划购买n千克苹果，他发现在乙水果店购买更省钱，求n的取值范围． 【答案】(1)，的实际意义为甲店苹果的价格为每千克4元 (2) (3)m的值为4或6或14 (4) 【分析】(1)把点代入解析式计算，说明即可． (2) 根据乙店苹果每千克的价格比甲店高1元，得到乙店的苹果价格为5元，根据图像当时，是正比例函数，故；当时，是一次函数，，代入确定a值即可． (3) 根据，得到甲店的费用元，乙店的费用为元或元；分求解即可． (4) 根据题意，甲店的费用为或元；乙店的费用为元或元；根据在乙水果店购买更省钱，得到，或计算即可． 【详解】（1）将点代入中， 解得； k的实际意义为甲店苹果的价格为每千克4元． （2）∵乙店苹果每千克的价格比甲店高1元， ∴乙店的苹果价格为5元， ∵当时，是正比例函数， 故； 把代入得， 解得； 当时，是一次函数，且， 故． （3）根据题意，得 当时， 解得； 当时， 解得； 当时， 解得， 综上所述，甲、乙两个水果店的付款金额相差4元时，m的值为4或6或14． （4）根据题意， 甲店的费用为或元； 乙店的费用为元或元； ∵在乙水果店购买更省钱， ∴，（舍去）或， 解得或 故． 若在乙水果店购买更省钱，则n的取值范围是． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式，一次函数的性质，实际应用，熟练掌握函数的性质，待定系数法，分类思想是解题的关键． 题型八 图象信息类一次函数应用 【典例8】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为10厘米，6个叠放在一起的纸杯的高为14厘米． (1)2个纸杯叠放在一起的高为 厘米； (2)若设x个纸杯叠放在一起的高为y厘米（如图2），并将这x个纸杯叠放在一起按如图3所示的方式放进竖立的方盒中，方盒的厚度不计． ①求y关于x的函数表达式； ②若竖立的方盒的高为33.5厘米，求x的最大值． 【答案】(1) (2)①；②x的最大值为30． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出函数关系式以及不等式是解题的关键． （1）依据题意，由每增加1个纸杯，高度增加，进而可以得解； （2）①依据题意，由待定系数法求解析式即可得解； ②依据题意，列出一元一次不等式，解不等式，求得最大正整数解即可求解． 【详解】（1）解：由题意，量得1个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯的高为， 个叠放在一起的纸杯增加的高度为， 增加1个纸杯，高度增加， 个叠放在一起的纸杯的高为， 故答案为：； （2）解：①由题意，是的一次函数，设， 将，；，代入得， ， 解得， 关于的函数表达式为； ②由题意，， 解得：． 为正整数， 的最大值为30． 【变式1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）根据以下素材，探索完成任务 探究通过维修路段的最短时长 素材 如图，某路段段需要维修，临时变成双向交替通行，故在，处各设置红绿灯指导交通仅设置红灯与绿灯． 素材 甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过，，段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是． 素材 红绿灯，每秒一个循环，每个循环内红灯，绿灯的时长如图，且每次双向红灯时，已经进入段的车辆都能及时通过该路段． 问题解决 任务 甲车经过段的速度为______； 任务 在图中补全乙车通过维修路段时行驶的路程与时间之间的函数图象； 任务 丙车沿方向行驶，经过段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯时车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，设红绿灯由绿灯变为红灯后的秒后丙车到达，丙车在段从开始等待至离开点需要秒，求关于的解析式； 【答案】任务1：；任务2：见解析；任务3： 【分析】本题主要考查一次函数的应用、一次函数的性质，理清题意，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数是解题关键． 任务1、根据函数图象（图2）中的数据，即可作答； 任务2、根据函数图象（图2）中的数据，得出、、的路程，再结合图3中的红绿灯时间得出乙车行驶的总时间，进而求出经过、、时的时间，即可作图； 任务3、设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒，记车在段等待红灯至离开点A需要y秒，则可得，再整理即可． 【详解】解：任务1：段的路程为：（米）， 甲车经过段的时间为：（秒）， 则甲车经过段的速度为：； 故答案为：8； 任务2：根据函数图象（图2）中的数据，可知：、、， 根据图4中可得乙车经过段的时间：， 乙车经过段的时间为：， 甲车经过段的速度为：， 则乙车经过段的速度为， 即乙车经过段的时间为： ∴， 即补全函数图象如图． 任务3：设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒， 记车在段等待红灯至离开点A需要y秒， 则， 【变式2】（2026·河南南阳·一模）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示． (1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________； (2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间； (3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2，14 (2)当甲乙水深相同时，注水时间为2分钟 (3) 【分析】（1）注水过程与函数图象结合，可知折线是乙槽中水位的变化情况，观察图象即可得注水前乙槽中水深 为，玻璃块的高度为； （2）求甲、乙水槽水位相同的注水时间，即是求线段与线段交点的横坐标，求出解析式，联立求交点即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）解：由题意可知，乙槽在注入水的过程中，水的高度不断增加，当水位达到玻璃块顶端时，高度变化情况又同前面不同， 折线表示的是乙槽的水深与注水时间的关系； 注水前乙槽中水深 为，折线拐角处表示深度有所变化， 此时表示水位达到玻璃块顶端即玻璃块的高度为． （2）解：如图， 设的解析式为， 将点代入得： ，解得， 的解析式为， 设的解析式为，将点代入得： ， 解得， 的解析式为， ， 解得， 答：注水时，甲、乙两个水槽中水深相同． （3）解：根据函数图象可得：当时，乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象在甲水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象的上面，所以乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，的取值范围为． 【变式3】（24-25八年级下·海南海口·期中）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕．该个体户根据本次销量情况进行了跟踪记录，根据记录的数据绘制出函数图象，其中日销售量（千克）与销售时间（天）之间的函数关系如图①所示，销售单价（元）与销售时间（天）之间的函数关系如图②所示（日销售金额日销售单价日销售量）． (1)求出与之间的函数表达式． (2)求出第15天的销售金额． 【答案】(1) (2)第15天的销售金额为270元 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）设所求关系式为，再分段分别利用待定系数法求解即可； （2）设所求关系式为．待定系数法求出．令时，求得，结合题意计算即可得解． 【详解】（1）解：设所求关系式为． 当时，把、代入，得， 解得， ． 当时，把，代入，得， 解得：， ， ； （2）解：设所求关系式为． 把、代入，得， 解得， ． 令时，， ∴（元）． 答：第15天的销售金额为270元． 题型九 表格信息类一次函数应用 【典例9】（25-26八年级下·河北沧州·月考）综合与实践 【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将58辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图1，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．下表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系（部分数据不完整）： 购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 6 7 … ③ … 车身总长y/米 ① ② … … 素材2：如图2，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格信息，求购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的函数关系式； (2)将表格补充完整：①处应填________，②处应填________，③处应填________； (3)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)2，，45 (3)能，见解析 【分析】（1）根据表格，每增加1辆购物车，车身总长增加0.2米，即可列出函数关系式； （2）代入函数关系式，计算即可； （3）根据勾股定理，求出，再计算58辆购物车列的车身总长，比较即可求解． 【详解】（1）解：根据表格，每增加1辆购物车，车身总长增加0.2米， 则， 车身总长y与购物车数量x之间的关系式为； （2）由（1）知，， 当时，； 当时，； 当时，，解得； （3）解：该超市员工能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 理由：在中，根据勾股定理，得（米）， 当时，（米）， ， 该超市员工能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）“水钟”是我国古代原始的计时工具，如图1，水从上面的多个贮水壶中慢慢流入下方的受水壶，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”），漏箭上标有表示时间的刻度，随着漏水量的增加，受水壶中的浮子会均匀升高．某数学实践小组仿制了如图2所示的一个类似“水钟”的实验装置进行模拟实验，实验开始前圆柱容器中有一定高度的水． 表格记录了圆柱容器内水面高度（厘米）与时间（时）的一些变化情况： 时间（时） … 1 2 3 4 5 … 圆柱容器内水面高度（厘米） … 3 5 7 9 11 … (1)圆柱容器内水面的高度每小时上升________厘米，刚开始容器内水面的高度是________厘米； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表格的各点，作出与的函数图象，并判断容器内水面高度（厘米）与时间（时）符合一次函数关系吗？ (3)已知圆柱容器内壁深50厘米，实验小组早上8时开启装置进行计时实验，第二天早上8时水是否会溢出容器？请通过计算说明． 【答案】(1)2，1 (2)作图见解析，符合 (3)水不会溢出容器 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格数据即可求解； （2）根据题意描出各点，然后连线即可，从图象可知这些点在同一直线上，故符合题意一次函数关系； （3）求出函数解析式为，把代入求出的值，与圆柱容器内壁深50厘米比较即可． 【详解】（1）解：由表格可知每小时上升， ∴刚开始容器内水面的高度为， 故答案为：2，1； （2）解：如图： 从图象可知这些点在同一直线上，故符合题意一次函数关系； （3）解：设解析式为，当；， ∴， 解得：， ∴解析式为， ∵从早上8时到第二天早上8时经过了24小时， ∴， ∵， ∴水不会溢出． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）【问题情境】排箫是中国的传统乐器，如图①，它由长短不同的竹管组成，现用吸管模拟排箫探索这一乐器的“音”． 【实验操作】将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关仪器测得吸管另一出口发出声音的振动频率，不同长度吸管吹出声音的频率的部分数据如表1： 【补充材料】材料一：在到40℃范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：℃）的关系如表2： 表1 长度 200 150 120 100 80 60 50 振动频率 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 表2 气温 0 10 20 30 声速 325 331 337 343 349 材料二：声音的频率（单位：Hz）是指声波每秒振动的次数．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是． 材料三：声音的波长（单位：）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离．声音的频率和波长与声音的传播速度（单位：）满足公式：． 【探索发现】（1）请你根据实验操作中的表格数据，在图②中描点、连线．观察图象发现，吸管越短，振动频率越__________（填“高”或“低”）． （2）当气温为10℃时，声速为____________；当声速为时，气温为____________℃． （3）根据材料一中的表格数据，求声速与气温之间函数的关系式（不要求写出的取值范围）． 【实际应用】（4）目前国际通用的钢琴标准音A4频率为，在气温为23℃的情况下，求钢琴标准音A4的波长． 【答案】（1）见解析；高（2）337；30（3）（4） 【分析】（1）观察表1中吸管长度与振动频率的变化关系，判断吸管长短对应的频率变化； （2）直接从表2中查找对应气温的声速、对应声速的气温； （3）根据表2数据的变化规律，确定声速与气温是一次函数关系，用待定系数法求出函数关系式； （4）先利用（3）的函数关系式求出对应气温的声速，再结合公式计算波长． 【详解】解：（1）根据表1中的数据描点、连线，如图． 观察表 1：吸管长度越短，振动频率越大，故填：高． （2）气温为时，声速为； 声速为时，气温为． （3）根据表格信息，声速随着气温的增大而增大， 设声速与气温的函数关系式为． 把，代入，得，解得， 声速与气温的函数关系式为． 当时，代入得，与表2中对应声速一致； 当时，代入得，与表2中对应声速一致； 当时，代入得，与表2中对应声速一致； 由此可验证该函数关系式正确． （4）由（2）可知声速与气温的函数关系式为， 当气温为时，． 声音的频率和波长与声音的传播速度满足公式：， ， 在气温为的情况下，钢琴标准音的波长为． 【点睛】本题考查了表格数据的读取、一次函数的实际应用及物理公式的结合计算，掌握从表格提取对应数据、用待定系数法求一次函数关系式、利用公式进行物理量换算是解题的关键． 【变式3】（21-22八年级下·山东德州·期末）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式，设一个月内使用移动电话主叫的时间为x分钟（x≥0），方式一，方式二的月使用费分别为y1元，y2元，两种计费方式被叫均免费．其中方式一月使用费详情见如表，方式二的月使用费y2元与主叫时间x分钟的函数图像如图所示． 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费/（元/分钟） 被叫 方式一 38 120 0.1 免费 方式二 (1)根据题意填表： 表格一： 主叫时间x分钟 x＝100 x＝320 x＞120 方式一计费/元 y1＝ 表格二 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费/（元/分钟） 被叫 方式二 360 免费 (2)结合图像信息，求y2与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)选用哪种计费方式花钱少． 【答案】(1)38,，58，0.1x+26，58，0.1 (2)y2与x的函数解析式为 (3)当时，选方式一省钱；当时，选方式一和方式二一样；当时，选方式二省钱 【分析】（1）根据两种方式的收费标准进行计算即可； （2）分两种情况，利用待定系数法即可求解； （3）计算出两种方式在此取值范围的收费函数，画出函数图像，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）解：方式一， 根据题意：当x≤120时，y1=38； 当x>120时，y1=38+0.1(x-120)=0.1x+26； ∴x=100时，y1=38； x=320时，y1=0.1×320+26=58； ∴填表如下： 主叫时间x分钟 x=100 x=320 x>120 方式一计费/元 38 58 y1=0.1x+26 方式二， 填表如下： 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费/（元/分钟） 被叫 方式二 58 360 0.1 免费 故答案为38,，58，0.1x+26，58，0.1． （2）解：根据题意：当0≤x≤360时，y2=58； 当x>360时，设y2=kx+b， 把(360，58)，(480，70)代入得：，解得：， ∴当x>360时，y2=0.1x+22， ； （3）解：依题意画出两个函数的图像如下： 观察图像得：当x=320时，两种方式费用相同，都是58元； 当0≤x＜320时，方式一花钱少； 当x＞320时，方式二花钱少． 【点睛】本题主要考查一次函数的实际运用，根据题意分段得出函数解析式是解答本题的关键． 题型十 新情境问题 【典例10】（25-26八年级下·福建漳州·期中）项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 为响应科技强国、人工智能发展的社会热点，某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购智能机器人模型与科创文具作为奖品，激励积极参与科普活动的学生． 学校决定购买款智能机器人模型和款科创笔记本共件，已知款机器人模型单价元/件，款科创笔记本单价元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件款智能机器人模型，剩余奖品均为款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)（，且为整数） (2)元 (3)当款智能机器人模型件，款科创笔记本件时，总费用最少，最少是元 【分析】（1）根据两种奖品的单价和总数量，建立总费用与款数量的一次函数关系； （2）直接将给定的款机器人数量代入函数，计算总费用； （3）根据一次函数的增减性，在给定的取值范围内找到使总费用最小的采购方案． 【详解】（1）解：根据题意，得： ，其中，且为整数， 故总费用（元）与机器人模型的数量（件）之间的关系式为（，且为整数）． （2）解：当时，， 故当购买了件款智能机器人模型时，总费用是元． （3）解：由题意，得， 由（1）可知为， 且， 随的增大而增大， 当时，有最小值为元， 款科创笔记本为（件）， 故总费用最少的采购方案是款智能机器人模型件，款科创笔记本件，总费用最少是元． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·期中）第六届亚洲沙滩运动会，是由亚奥理事会主办的沙滩类综合性体育运动会，于年月日至日在中国海南省三亚市举行．某工厂收到加工赛事挡板的订单，该工厂有两种设备加工挡板，已知用台型设备和台型设备，每天可加工块挡板，用台型设备和台型设备，每天可加工块挡板． (1)求台型设备和台型设备每天分别可以加工多少块挡板； (2)该工厂计划使用两种设备共台完成此订单，要求型设备的数量不低于型设备的，则该工厂应该怎样分配，才能使每天生产的挡板数量最多，是多少？ 【答案】(1) 台型设备每天加工块挡板，台型设备每天加工块挡板 (2) 安排型设备台，型设备台时，每天生产的挡板数量最多，最多为块 【分析】（）设台型设备每天加工块挡板，台型设备每天加工块挡板，根据题意列二元一次方程组解答即可； （）设安排型设备台，则型设备为台，根据题意列一元一次不等式组解答即可；设每天总生产挡板数为，再建立总产能关于的一次函数，由函数的增减性确定取最小值时总产能最大，进而算出型设备数量和最大总产能． 【详解】（1）解：设台型设备每天加工块挡板，台型设备每天加工块挡板， 根据题意列二元一次方程组：， 解得， 答：台型设备每天加工块挡板，台型设备每天加工块挡板； （2）解：设安排型设备台，则型设备为台（为正整数）， 根据条件列不等式：， 解得：， 设每天总生产挡板数为， 则：， ∵一次项系数，随增大而减小， ∴取最小值时，最大， 此时， 最大总产能． 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，需要五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根门条长y是胸腹高的一次函数，且当时，；当时，．单根门条比单根膀条短，图1中、的长均等于胸腹高．单根尾条的长度与总高满足，所有竹条长度单位统一为厘米． 请解答以下问题： (1)求门条长度关于胸腹高的函数表达式； (2)①单根膀条的长度为______(用含的式子表示)；单根尾条的长度为______(用含的式子表示)； ②在实际制作过程中，要求门条中的不小于的倍，制作风筝的膀条单根长度不超过．求的取值范围？ (3)费师傅是北京有名的京燕风筝手艺人，其加工门条、膀条、尾条的单价分别元/、元/、元/．从函数的角度分析，求制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用是多少元？ 【答案】(1) (2)①；；② (3)制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用为元 【分析】（1）根据题意待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据题意得出单根膀条的长度为，进而求得的关系式，即可得出单根尾条的长度； ②由图2可得，则，根据要求门条中的不小于的倍，制作风筝的膀条单根长度不超过，建立不等式组，解不等式组，即可求解； （3）根据（2）得出的最小值为，分别求得门条、膀条、尾条的长度进而乘以单价，即可求解． 【详解】（1）解：∵单根门条长y是胸腹高的一次函数，设函数表达式为 ∵当时，；当时，． ∴ 解得： ∴门条长度关于胸腹高的函数表达式为 （2）解：①∵单根门条比单根膀条短， ∴单根膀条的长度为 ∵头部高、胸腹高与尾部高的比是． ∴ ∵单根尾条的长度与总高满足 ∴， ②由图2可得，， ∴ ∵要求门条中的不小于的倍， ∴ ∴ 解得： ∵制作风筝的膀条单根长度不超过， ∴， 解得： ∴ （3）解：由（2）可得的最小值为 ∴门条长度 单根膀条的长度为 单根尾条的长度为 ∴制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用为：（元） 答：制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用为元 【变式3】（25-26八年级下·重庆·月考）春纳新喜，岁律回周．某厂家推出的“马跃新程”新春文创礼盒深受人们的喜爱．某商店准备购进其中的“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫两种文创品．已知每个“萌能陪伴”手机支架比“艺蕴流光”杯垫进价多15元，用3500元购进“萌能陪伴”手机支架的数量与用2000元购进“艺蕴流光”杯垫的数量相同． (1)“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫每个的进价各是多少元？ (2)若该商店计划购进“萌能陪伴”手机支架和“艺蕴流光”杯垫共300件，“艺蕴流光”杯垫的数量不超过“萌能陪伴”手机支架数量的2倍．设购进“萌能陪伴”手机支架个（）．请问购进“萌能陪伴”手机支架多少个时，可使总进价最低？最低总进价是多少元？（请用函数的相关知识求解） 【答案】(1)“艺蕴流光”杯垫每个的进价是20元，则“萌能陪伴”手机支架每个的进价是35元 (2)购进100个“萌能陪伴”手机支架时，总进价最低，最低总进价为7500元 【分析】（1）设“艺蕴流光”杯垫每个的进价是元，则“萌能陪伴”手机支架每个的进价是元，根据等量关系，列出分式方程，求解检验即可； （2）设总进价为元，可得，根据不等关系，列出不等式组，求出的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设“艺蕴流光”杯垫每个的进价是元，则“萌能陪伴”手机支架每个的进价是元， 根据题意得，，解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， 答：“艺蕴流光”杯垫每个的进价是20元，则“萌能陪伴”手机支架每个的进价是35元； （2）解：设总进价为元， 则， 由题意得，，解得， ，，且为整数， 随的增大而增大 当时，购进这两种文创品的总进价最低，最低总进价为（元）， 答：购进100个“萌能陪伴”手机支架时，总进价最低，最低总进价为7500元． 题型十一 新考法问题 【典例11】（25-26八年级上·河南·期中）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度 2 6 10 … 单层部分的长度 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的． 请根据以上素材，解答下列问题： (1)如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； (2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式，直接写出x的取值范围； (3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 【答案】(1)图见解析，； (2)； (3)此时双层部分的长度为． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、利用待定系数法求函数关系式、求出小明爸爸的身高是本题的关键． （1）直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出的最大值和最小值； （2）根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和与之间的函数关系式，用含的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将表示为的函数的形式即可； （3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：描点并作图如图所示： 根据图象可知，变量、满足一次函数关系． 设、为常数，且， 将，和，代入， 得， 解得， ． 当背带都为单层部分时，； 当背带都为双层部分时，，即，解得， 的取值范围是； （2）解：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和， 总长度为， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得， ∴； （3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，． 背包提在手上，且背包的悬挂点离地面高度为， 手到地面的距离为，即． 设小明爸爸的身高为 ． 臂展和身高一样，且肩宽为， 小明爸爸一条胳膊的长度为， ，解得， 根据任务2，得，解得， 此时双层部分的长度为． 【变式1】（22-23八年级上·浙江温州·期末）探究通过维修路段的最短时长，素材1：如图1，某路段（段）需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯）． 素材2：甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过AB，BC，CD段的时间分别为，，，它的路程y（m）与时间t（s）的关系如图2所示；两车经过BC段的速度相等，乙车经过AB段的速度是． 素材3：红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯、绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段． 【任务1】求段的总路程和甲车经过段的速度． 【任务2】在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程y（m）与时间t（s）之间的函数图像． 【任务3】丙车沿方向行驶，经段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯的车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，问丙车在段从开始等待至离开点A至少需要几秒钟？ 【答案】任务1：总路程：千米，速度：；任务2：见解析；任务3：47秒 【分析】（1）根据函数图象（图2）中的数据，即可作答； （2）根据函数图象（图2）中的数据，得出、、的路程，再结合图3中的红绿灯时间得出乙车行驶的总时间，进而求出经过、、时的时间，即可作图； （3）设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒，记车在DN段等待红灯至离开点A需要y秒，则，根据一次函数的增减性即可作答． 【详解】任务1：由图2可知：总的路程为：千米； 段的路程为：（千米）， 甲车经过段的时间为：（秒）， 则甲车经过段的速度为：， 故答案为：千米，； 任务2：根据函数图象（图2）中的数据，可知：、、， 根据图3中的红绿灯时间得出乙车行驶的总时间为：， 乙车经过段的时间为：， 甲车经过段的速度为：， 则乙车经过段的速度为， 即乙车经过段的时间为：， ∴乙车经过段的时间为：， 即补全函数图象如图． 任务3：设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒， 记车在段等待红灯至离开点A需要y秒， 则， ∵随x的增大而减小，， ∴当时，y取得最小值，最小值为秒， 即丙车在段等待红灯至离开点A至少需要47秒钟． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用、一次函数的性质，理清题意，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数是解题关键． 【变式2】（2025·北京·模拟预测）为了解某款饮水机的工作原理与用电情况，综合实践活动小组展开了以下研究． 【问题背景】 如图1，某饮水机内有两个不同大小的立方体水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱的水位为时1号管启动，将乙箱中的水（此时乙箱水满）匀速注入甲箱．甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，两水箱分别注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）． 【解决问题】 小明根据研究过程分别绘制了甲、乙水箱的水位关于时间的函数图象，如图2所示 根据以上信息，回答下列问题： (1)图中表示甲的函数图象的是_________（填①或②）； (2)图中a的值为_________，b的值为_________； (3)当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； 当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； (4)为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电0.06度，另外每根水管工作1分钟均耗电0.01度，则图2中从到的整个过程中所消耗的电量为_________度． 【答案】(1)① (2)30，10 (3)， (4)0.35 【分析】本题考查一次函数的应用．根据甲箱至最低水位时1号管启动，判断出甲的函数图象是解决本题的关键；难点是判断出需要加热的时间；易错点是得到消耗电量的相等关系． （1）根据甲箱至最低水位时1号管启动，可得图中表示甲的函数图象的是①； （2）根据甲水箱在8分钟内水面上升了，可得甲水箱水面上升的速度，计算出当时，甲水箱水面上升的高度，加上原来的，即为a的值；前2分钟，乙水箱向甲水箱注水，乙水箱水面2分钟下降，第8分钟开始，甲水箱已注满，仅剩外部自来水匀速注入乙箱，并且自来水管和乙水箱的注水速度相同，可得乙水箱中的水上升从至，也需要2分钟，那么； （3）分别设出一次函数解析式，表示出当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式和当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式，把直线上的两点代入后求得一次项系数和常数项，即可求得所求的函数解析式； （4）求出当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式，分别算出甲、乙两水箱水位差恰好是的时间．计算出时间差即为需要加热的时间．用电量=加热的时间+乙水箱水管工作的8分钟的用电量+外部自来水水管10分钟的用电量． 【详解】（1）解：∵甲箱至最低水位时1号管启动， ∴图中表示甲的函数图象的是①． 故答案为：①； （2）解：由题意得：甲水箱在8分钟内水面上升了， ∴甲水箱水面上升的速度为：． 当时，水面上升， ∴． ∵前2分钟，乙水箱向甲水箱注水，乙水箱水面2分钟下降．第8分钟开始，甲水箱已注满，仅剩外部自来水匀速注入乙箱，并且自来水管和乙水箱的注水速度相同， ∴乙水箱中的水上升从至，也需要2分钟． ∴． 故答案为：30，10； （3）解：当时，设甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． ∴当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：； 当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点，， ∴． 解得：． ∴当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． 故答案为：，； （4）解：①当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． 当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热， ∴． 解得：． ②当时，． 解得：． ③当时，， 解得． ∴需要加热的时间为：． ∴消耗的电量为：（度）． 故答案为：0.35． 【变式3】（2024·广西·三模）【综合与实践】 【问题背景】 如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景． 如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 28.1 27 25.8 【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； (2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ (3)经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数、新定义偏差w的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关键． （1）水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； （2）令（1）解析式中，代入求解即可； （3）根据w的定义代入计算. 【详解】（1）设水面高度h与流水时间t的函数解析式为， 时，；时，； ， 解得：， 水面高度h与流水时间t的函数解析式为； （2）将代入解析式得： 解得：    又初始时间为                                                      水面高度为时的时间是 （3）根据（1）中解析式求出所对应的函数值 t 0 10 20 30 40 30 29 28 27 26 根据w的定义得： ． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（23-24八年级下·上海闵行·期中）甲、乙两位同学一次晨跑的路程S（米）与时间t（分）的关系如图所示．已知他们从同一地点出发，跑步的路线和总路程（1500米）也相同，其中甲先出发，途中由于鞋子问题耽误了一些时间．图中．根据图形所提供的信息，回答下列问题： (1)甲在途中耽误了______分钟； (2)乙跑步的速度是______米/分； (3)如果甲想与乙同时到达终点，那么他在解决鞋子问题后速度应提高到______米/分． 【答案】(1)10 (2)75 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和速度的相关知识解答即可． （1）根据函数图像的数据可以得到答案； （2）先求出的表达式，再利用求出的值，求出的表达式，从而求出点的坐标，最后利用速度路程时间求出速度即可； （3）分别求出甲到达终点要用的时间和需要走的路程，最后用速度路程时间求出速度即可． 【详解】（1）解：由图像可知甲是从，所以是耽误的时间， (分钟) （2）由图像可知是正比例函数， 设的表达式是， 将点代入得：，解得， ， 设的表达式为， 将点代入得：，解得， ， 当时，代入解得， ， 乙的速度为：(米/分) （3）(分钟) (米) (米/分) 2．（2026·贵州·模拟预测）年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【答案】(1)款手表每块进价元，款手表每块进价元 (2)元 【分析】（1）设款手表每块进价元，款手表每块进价元，根据“用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块款手表利润元，每块款手表利润元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款手表每块进价元，款手表每块进价元； （2）解：设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元， ∵进货总费用不超过元， ∴， 解得：， 又∵购进款手表块， ∴， 解得：， ∴（为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为元． 3．（25-26八年级下·河南郑州·期中）“一窟一世界，一壁一史书”，洛阳龙门石窟，文化底蕴深厚．某校同学分三个小组进行“石窟中的文化”的项目式学习研究，第一小组负责调查龙门石窟的历史及结构特点，第二小组负责研究石窟中蕴含的数学知识，第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 龙门石窟位于河南省洛阳市，始建于北魏孝文帝时期，现有2345座佛龛，十万余尊造像，2800余块碑刻题记，是世界上建造时间最长、造像最多、规模最大的石窟，与敦煌莫高窟、大同云冈石窟并称为中国三大石窟． 【数学情境】 龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品．下面是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）： 序号 规格 单位 数量 单价 金额 1 A款 件 28 ■ 共4190 2 B款 件 30 ■ 店员说：“这次进货，B款文创产品的单价比A款文创产品的单价少15元．” 【建立模型】 请你解决下列问题． (1)求A，B两款文创产品的进货单价各是多少元． (2)已知A款文创产品每件的售价为110元，B款文创产品每件的售价为85元．根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售．问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A款文创产品的进货单价是80元，B款文创产品的进货单价是65元 (2)购进A款文创产品60件，B款文创产品40件时，获得的利润最大，最大利润是2600元 【分析】（1）设A款文创产品的进货单价是x元，B款文创产品的进货单价是y元，根据“进货单里的总金额4190元”，“B款文创产品的单价比A款文创产品的单价少15元”列出方程组，求解即可； （2）设购进A款文创产品件，则购进B款文创产品件，总利润为元，由题意得，可得．根据题意列出W关于a的一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A款文创产品的进货单价是x元，B款文创产品的进货单价是y元，根据题意，得 ， 解得， 答：A款文创产品的进货单价是80元，A款文创产品的进货单价是65元． （2）解：设购进A款文创产品件，则购进B款文创产品件，总利润为元， 根据题意，得， 解得． 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最大，W的最大值为， 此时， 答：购进A款文创产品件，B款文创产品40件时，获得的利润最大，最大利润是2600元． 4（25-26八年级下·山东青岛·期中）某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时．两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示： 运输工具 运输费单价（元/吨·千米） 冷藏费单价（元/吨·小时） 过路费（元） 装卸及管理费（元） 汽车 2 5 200 0 火车 1.8 5 0 1600 注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费． (1)设该批发商待运的海产品有x（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2（元），试求y1和y2与x的函数关系式； (2)若该批发商待运的海产品不少于45吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务？ 【答案】(1)， (2)当待运海产品不少于45吨且不足50吨时，选择汽车货运公司；当待运海产品恰好为50吨时，两家公司费用相同；当待运海产品超过50吨时，选择铁路货运公司 【分析】（1）根据总费用=运输费+冷藏费+固定收费，分别列出两个函数的关系式； （2）分情况比较两个函数的大小，结合海产品不少于45吨的条件，得到不同重量下的最节省运费的方案． 【详解】（1）解：由题意得，汽车运输时间为 小时， ∴.； 火车运输时间为 小时， ∴ ； （2）解：分三种情况讨论： 当 时，.，解得， ∴当待运海产品恰好为50吨时，两家公司费用相同； 当时，，解得， ∴当待运海产品超过50吨时，选择铁路货运公司.； 当时，，解得, ∴当待运海产品不少于45吨且不足50吨时，选择汽车货运公司； 答：当待运海产品不少于45吨且不足50吨时，选择汽车货运公司；当待运海产品恰好为50吨时，两家公司费用相同；当待运海产品超过50吨时，选择铁路货运公司． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）杆秤是中国人发明的人类最早的衡器．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为．根据杠杆原理，可得：．已知．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)随着的变化而变化，求出关于的函数表达式． (2)在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离． (3)在保持秤杆和秤盘不变的基础上，对于提纽的位置和秤砣的质量，改变其中一个时，另一个保持不变． ①在下列选项中，能使称重范围变大的有___________（填写所有正确的选项） A．提纽的位置向左移        B．提纽的位置向右移 C．秤砣的质量变小        D．秤砣的质量变大 ②若将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为___________． ③由于生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，则生锈秤砣的质量为___________． 【答案】(1) (2)零刻度所对应的点与点之间的距离为. (3)①AD；②，③ 【分析】本题考查的是一次函数的应用，方程的应用，理解难度大. （1）根据公式代入已知数量可得答案. （2）由零刻度时，，可得. （3）①结合与逐一分析即可；②由，，，，，可得，再进一步解方程即可；③求解当一个物体的质量为，可得，设生锈的秤砣的质量为，结合，进一步建立方程可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴. （2）解：∵零刻度时，， ∴， ∴零刻度所对应的点与点之间的距离为. （3）解：①∵，提纽的位置向左移， ∴变小，则最大， ∵， ∴最大，故A符合题意， 同理可得：提纽的位置向右移，减小，故B不符合题意， ∵，秤砣的质量变小， ∴变小，故C不符合题意； ∵，秤砣的质量变大， ∴变大，故D符合题意. 故答案为：AD ②∵，，，，， ∴， ∴， 解得：， ∴将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为. ③∵当一个物体的质量为， ∴， ∵，设生锈的秤砣的质量为， ∴， 解得：， ∴生锈秤砣的质量为． 2．（22-23八年级下·广东佛山·期末）某果园实验基地推广甲、乙两种芒果苗，已知乙种芒果苗比甲种芒果苗每株贵元，且用元钱购买甲种芒果苗的株数与用元钱购买乙种芒果苗的株数刚好相同． (1)求甲、乙两种芒果苗每株的价格； (2)果农准备从甲、乙两种芒果苗中选购一种，已知购买数量相同且数量不少于株，该果园实验基地负责人可给予以下优惠：购买甲种芒果苗每株按原售价九折优惠；购买乙种芒果苗，不多于株按原售价付款不优惠，超过株每株按原售价五折优惠请帮助果农判断购买哪种芒果苗更省钱． (3)果农计划购买甲、乙两种芒果苗共株调查统计发现，甲、乙两种芒果苗的成活率分别为、，要使这批芒果苗的成活率不低于，且使购买芒果苗的费用最低，应如何选购芒果苗？最低费用是多少？ 【答案】(1)甲果苗的单价为元，乙果苗的单价为元 (2)当购买果苗数量超过株时，买乙果苗省钱；当购买果苗数量少于株时，买甲果苗省钱；当购买果苗数量等于株时，买甲或乙果苗一样钱； (3)购买甲果苗株．乙果苗株时费用最低为元 【分析】本题考查分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题． （1）设甲种芒果苗每株元，则乙种芒果苗每株，根据题干：用元钱购买甲种芒果苗的株数与用元钱购买乙种芒果苗的株数刚好相同，列分式方程，解方程即可； （2）设果农购买芒果苗株，买甲果苗费用为，乙果苗费用为，由题意写出，的解析式，分情况讨论：①当时，②当时，③当时，即可求解； （3）设果农计划购买甲芒果苗共株，则买乙果苗株，总费用为元，写出W的解析式，根据题干：甲、乙两种芒果苗的成活率分别为、，要使这批芒果苗的成活率不低于，列不等式，得到n的取值范围，最后根据一次函数的增减性，即可得到适合题目的n值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设甲种芒果苗每株元，则乙种芒果苗每株， 根据题意可得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解， 则元， 甲果苗的单价为元，乙果苗的单价为元； （2）解：设果农购买芒果苗株，买甲果苗费用为，乙果苗费用为， ， 则， ， 即，， 当时，则， 解得：， 当购买果苗数量超过株时，买乙果苗省钱； 当时，则， 解得：， 当购买果苗数量少于株时，买甲果苗省钱； 当时，则， 解得：， 当购买果苗数量等于株时，买甲或乙果苗一样钱； （3）解：设果农计划购买甲芒果苗共株，则买乙果苗株，总费用为元， 由于没有超过株， 则， 即， 甲、乙两种芒果苗的成活率分别为、，要使这批芒果苗的成活率不低于， ， 解得：， ， ， 随的增大而减小， 当时，取最小值为元， 购买甲果苗株．乙果苗株时费用最低为元． 3．（2023·四川内江·中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克） 甲 a 20 乙 b 23 该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元． (1)求a，b的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值． 【答案】(1) (2) (3)1.2 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克，根据题意分两种情况：和，然后分别表示出总利润即可； （3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（）不低于列出不等式求解即可． 【详解】（1）由题意列方程组为：， 解得； （2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克， ∴当时， ； 当时， ； 综上所述，； （3）当时，， ∴当时，y取最大值，此时（元）， 当时，， ∴（元）， ∴由上可得：当时，y取最大值520（元）， ∴由题意可得，， ∴解得． ∴m的最大值为1.2． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $