精品解析：重庆市第十八中学2025-2026学年高二下学期5月学情调研（衔接班）数学试题

重庆市第十八中学高2027届2025-2026学年（下） 5月学情调研（衔接班）数学试题卷（衔接班） 考试说明：1．考试时间120分钟 2．试题总分150分 3．试卷页数2页 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在点处的切线斜率为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意可知，，当时，， 所以函数在点处的切线斜率为2. 故选：B 2. 下列说法不正确的是（ ）． A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 【答案】A 【解析】 【分析】利用百分位数的定义即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】对A：因为，所以第百分位数为,A错误； 对B：若随机变量服从正态分布，且， 则， 则，B正确； 对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确； 对于D，样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确. 故选：A 3. 用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法原理计算求解. 【详解】用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数个位数字有2种情况，首位数字有3种情况，十位数字有3种情况， 所以三位奇数的个数为种情况. 故选：D. 4. 将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（ ） A. 240种 B. 150种 C. 60种 D. 180种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意要求，有“”或“”两种分配方案，因分配时出现部分平均分组，应在方法数上除以相同数目组数的阶乘. 【详解】依题意，要使每个乡镇至少一名，可以有“”或“”两种分配方案. 按照“”分配时，有种方法； 按照“”分配时，有种方法. 由分类加法计数原理，可得不同分配方案有种. 故选：B. 5. 当是函数的极值点，则的值为 A. -2 B. 3 C. -2或3 D. -3或2 【答案】B 【解析】 【分析】由f，解得或-2，再检验是否函数的极值点，可得结论. 【详解】由， 得， ∵x＝1是函数f（x）的极值点， ∴（1）＝6﹣+a＝0，解得或2， 当2时，恒成立，即单增，无极值点，舍去； 当3时，时，x＝1或x=9， 满足x＝1为函数f（x）的极值点， ∴． 故选B. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值问题，注意在x=处导数值为0不一定满足x=是极值点，属于易错题． 6. 高三某班有 15 名男生和 35 名女生， 在某次月考的数学成绩中， 男生的平均分比女生的平均分多 5 分， 则男生的平均分比全班的平均分（ ） A. 多 1.5 分 B. 多 2.5 分 C. 多 3.5 分 D. 多 4.5 分 【答案】C 【解析】 【分析】由数据的均值性质，根据样本平均值估计总体平均值，从而得所求. 【详解】设男生平均分为，女生平均分为； 则， 总体平均分为， 则男生的平均分减全班的平均分为（分）， 故男生的平均分比全班的平均分多 3.5 分. 故选：C. 7. 已知随机变量，若，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态密度曲线的对称性，得到，再利用“1”的妙用，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，正态密度曲线关于对称，所以，且， 所以， 则， 当且仅当，，即时，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：B 8. 关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过同构构造，利用单调性脱去外层，转化为简单的参数分离与最值分析. 【详解】由题，将不等式变形得，令，则原不等式等价于， 当时，，此时不等式恒成立； 当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因为，所以，，不等式转化为，即（＊）； 令，则，在单调递增，则，且当时，所以为使（＊）对于对恒成立，必须且只需. 综上所述，. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知随机事件，满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，，所以，故B错误； ，故C正确； 因为，所以，故D正确. 10. 一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，下列结论正确的是（ ） A. 从中任取3个球，恰有1个白球的概率是 B. 从中有放回地取球3次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为 C. 从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有1次取到红球的概率为 D. 从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第1次取到红球的条件下，第2次再次取到红球的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据古典摡型的概率计算公式，独立重复试验的概率计算公式，以及对立事件和条件概率的计算公式，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，从中任取3个球，恰有1个白球的概率为，所以A正确； 对于B中，从中有放回地取球3次，每次任取1个球，其中每次取到白球的概率为， 所以恰好有2个白球的概率为，所以B正确； 对于C中，从中有放回地取球3次，每次任取1个球，其中每次取到白球的概率为， 所以至少有1次取到红球的概率为，所以C不正确； 对于D中，设第1次取到红球为事件A，第2次再次取到红球为事件B， 所以第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概率为， 所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，必有两个极值点 B. 过点可以作曲线的3条不同切线，则 C. 若有三个不同的零点，且，则 D. 若有三个不同的零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求导，根据有两个极值点可得，进而判断即可；对于B，根据导数的几何意义转化问题为与图象的交点个数，进而求解判断即可；对于C，由题意可得，化简得到，再结合可得到即可判断；对于D，由题意可得，根据导数的运算法则可得，，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，要使有两个极值点， 故有两个不等实根，所以，即， 所以当时，必有两个极值点，故A正确； 对于B，，设切点为， 在点处的切线方程为， 又切线过点，则， 整理得，即，令， 过点可以作曲线切线条数可转化为与图象的交点个数， 而，令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 要使与图象有3个交点，则，故B正确； 对于C，由题意可得 ， 则， 又，则， 则，即，故C错误； 对于D，由题意可得， 则，， 同理， ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法. 【答案】150 【解析】 【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案． 【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种， 分成1、1、3时，有种分法， 分成2、2、1时，有种分法， 所以共有种分法， 故答案为：． 【点睛】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用． 13. 已知的展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而的展开式中系数最大的项等于54，则正数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值．根据展开式的系数最大的项等于，求得的值． 【详解】展开式的通项为: ， 令，解得，故展开式的常数项为． 由题意可得，故有． 由于展开式的系数最大的项等于，，解得． 由于，所以 故答案为： 14. 已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，根据题干中已知条件凑出问题中的不等式即可求解. 【详解】构造函数，则，且， 因为对于任意的，都有， 所以，故函数在R上单调递减， 所以解不等式即，即解，所以， 故不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，根据导数与单调性的关系求解即可. （2）对不等式分离变量，结合导数与最值的关系求解即可. 【小问1详解】 由题意得的定义域为，. 当时，，所以在上单调递增. 当时，令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由题意得：对时恒成立，即对时恒成立， 所以对时恒成立， 令，即对时恒成立，， 因为，所以，即在上单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 16. 在科技飞速发展的今天，人工智能（AI）领域迎来革命性的突破，各种AI工具拥有强大的解决问题的能力.某企业为了解男女员工对AI工具的使用情况，随机调查了200名员工，得到如下数据： 经常使用 不经常使用 合计 男性 80 20 100 女性 60 40 100 合计 140 60 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该企业员工对AI工具的使用情况是否与性别有关； （2）为鼓励员工使用AI工具，企业采用按性别分层抽样的方式，在被调查的经常使用AI工具的员工中，抽取了7名员工组成AI工具宣传小组.现从这7名员工中随机选出3名担任宣传组长，记选出的3名宣传组长中女员工的人数为随机变量X，求X的数学期望. 参考公式：，. 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）企业员工对AI工具的使用情况与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到列联表；利用公式求得，结合附表即可得到结论； （2）应用分层抽样的等比例性质确定男女人数，确定有X的所有可能取值集合为，求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 零假设为：该企业员工对AI工具的使用情况与性别无关. 根据列联表数据计算得： . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为“该企业员工对AI工具的使用情况与性别无关”，此推断犯错误的概率不超过. 故分析认为企业员工对AI工具的使用情况与性别有关. 【小问2详解】 由题意知，抽取的7名员工中男员工有4名，女员工有3名. 则X可能的取值集合为， 因此，， ，， 所以. 17. 已知函数． （1）若，试求在上的最大值； （2）若对于任意的，恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）当时，求得函数的导数，结合导函数的符号，求得函数的单调区间，进而计算求得最大值； （2）求得函数的导数，令，则在上单调递增，求得函数的最大值，转化为求得，即可求解. 【小问1详解】 当时，函数，可得， 令，解得， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以. 【小问2详解】 由题意，函数，可得， 因为任意的， 恒成立， 又由，所以，则， 令，则在上单调递增， 因为当时， ，所以 ， 因为，所以，使得， 且当时，，则； 当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 由 ，可得， 因为 恒成立，可得，即， 结合，得，所以， 令，则 ， 所以在上单调递增，所以，即， 故实数的最小值为. 18. 甲､乙､丙三名篮球运动员轮流进行篮球“一对一”单挑比赛，每场比赛有两人参加，分出胜负，规则如下：每场比赛中的胜方继续参加下一场比赛，负方下场换该场未参加比赛的运动员上场参加下一场比赛，以此类推.甲运动员实力较强，每场与乙､丙比赛的胜率为，且各场比赛的结果均相互独立.由简单随机抽样中的抽签法决定哪两位运动员参加第一场比赛，记甲参加第场比赛的概率为. （1）求； （2）求； （3）记前场比赛（即从第1场比赛到第场比赛）中甲参加的比赛的场数为，求. 参考资料：若为个随机变量，则. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）第一次由随机事件分析即可，第二次分析参加比赛的情况，进而可得结果； （2）分析第场与第次参加比赛的关系，整理可得，利用构造法结合等比数列分析求解； （3）记甲参加第次比赛的次数为，根据两点分布可知，根据题意结合等比数列求和运算求解. 【小问1详解】 因为第一场比赛由简单随机抽样中的抽签法决定，所以； 对于第二场可知： 若第一次甲参加比赛，则第一次甲胜即可参加第二场比赛； 若第一次甲未参加比赛，则第二次甲必参加比赛； 所以. 【小问2详解】 对于第场可知： 若第次甲参加比赛，则第次甲胜即可参加第场比赛； 若第次甲未参加比赛，则第次甲必参加比赛； 则，可得， 且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以. 【小问3详解】 记甲参加第次比赛的次数为，可知满足两点分布，则， 可得， 所以. 【点睛】方法点睛：根据切比雪夫链的问题，要分析第次与前一次或前几次之间的关系，结合概率知识运算求解，往往结合数列知识分析整理. 19. 已知函数． （1）求在上的单调区间； （2）当时，，求a的范围； （3）令，证明：当时有极大值，且． 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求函数的导数，解导数为零的方程，分区间判断导数的正负，确定函数的单调区间. （2）构造函数，通过多次求导分析函数的单调性，结合端点值分情况讨论，得出参数的取值范围. （3）求的导数，利用导数的单调性与零点存在定理确定极大值点，结合已有结论与构造函数证明不等式. 【小问1详解】 ，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 在上的单调增区间为，单调减区间为，． 【小问2详解】 令，， ，，，， ，时为增函数， 若，则，由，则， 在单调递增，由，则时， 在单调递增，有，则时， 在单调递增，有，则时， 即在成立， 若，则在有解，即， 在时单调递减，则 在时单调递减，则 在时单调递减，则不成立， ∴综上所述． 【小问3详解】 ， ， 在时为减函数，，， ∴存在使得， ∴当时，；当时，； 在单调递增，在单调递减，是的一个极大值点， 由（2）有在恒成立，即① 由则，则需证在恒成立， 令，则，在单调递增，单调递减， ，则②在恒成立， ∴由①②得时， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学高2027届2025-2026学年（下） 5月学情调研（衔接班）数学试题卷（衔接班） 考试说明：1．考试时间120分钟 2．试题总分150分 3．试卷页数2页 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在点处的切线斜率为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 2. 下列说法不正确的是（ ）． A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 3. 用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 18 4. 将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（ ） A. 240种 B. 150种 C. 60种 D. 180种 5. 当是函数的极值点，则的值为 A. -2 B. 3 C. -2或3 D. -3或2 6. 高三某班有 15 名男生和 35 名女生， 在某次月考的数学成绩中， 男生的平均分比女生的平均分多 5 分， 则男生的平均分比全班的平均分（ ） A. 多 1.5 分 B. 多 2.5 分 C. 多 3.5 分 D. 多 4.5 分 7. 已知随机变量，若，，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知随机事件，满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，下列结论正确的是（ ） A. 从中任取3个球，恰有1个白球的概率是 B. 从中有放回地取球3次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为 C. 从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有1次取到红球的概率为 D. 从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第1次取到红球的条件下，第2次再次取到红球的概率为 11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，必有两个极值点 B. 过点可以作曲线的3条不同切线，则 C. 若有三个不同的零点，且，则 D. 若有三个不同的零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法. 13. 已知的展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而的展开式中系数最大的项等于54，则正数的值为__________. 14. 已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 16. 在科技飞速发展的今天，人工智能（AI）领域迎来革命性的突破，各种AI工具拥有强大的解决问题的能力.某企业为了解男女员工对AI工具的使用情况，随机调查了200名员工，得到如下数据： 经常使用 不经常使用 合计 男性 80 20 100 女性 60 40 100 合计 140 60 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该企业员工对AI工具的使用情况是否与性别有关； （2）为鼓励员工使用AI工具，企业采用按性别分层抽样的方式，在被调查的经常使用AI工具的员工中，抽取了7名员工组成AI工具宣传小组.现从这7名员工中随机选出3名担任宣传组长，记选出的3名宣传组长中女员工的人数为随机变量X，求X的数学期望. 参考公式：，. 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数． （1）若，试求在上的最大值； （2）若对于任意的，恒成立，求的最小值． 18. 甲､乙､丙三名篮球运动员轮流进行篮球“一对一”单挑比赛，每场比赛有两人参加，分出胜负，规则如下：每场比赛中的胜方继续参加下一场比赛，负方下场换该场未参加比赛的运动员上场参加下一场比赛，以此类推.甲运动员实力较强，每场与乙､丙比赛的胜率为，且各场比赛的结果均相互独立.由简单随机抽样中的抽签法决定哪两位运动员参加第一场比赛，记甲参加第场比赛的概率为. （1）求； （2）求； （3）记前场比赛（即从第1场比赛到第场比赛）中甲参加的比赛的场数为，求. 参考资料：若为个随机变量，则. 19. 已知函数． （1）求在上的单调区间； （2）当时，，求a的范围； （3）令，证明：当时有极大值，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $