第2章《相交线与平行线》期末单元复习卷（一）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

### 基本信息 以相交线与平行线核心概念为基础，通过辨析、计算、证明及实际应用构建从基础到综合的逻辑训练体系，突出几何直观与推理意识培养。 ### 综合设计 |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选题1-4|考查对顶角、邻补角、垂线性质等基础概念的准确理解|从概念内涵到易错点辨析，夯实知识根基| |性质应用|单选题5-10、填空题12-14|结合图形考查平行线判定与性质的灵活运用，涉及角度转化|性质推导→多线相交角关系→平行线性质应用链| |综合推理|解答题17-25|包含推理补全、位置关系证明及动态探究，强调逻辑表达|已知条件→判定定理→性质应用→结论推导的完整推理路径| |实际应用|填空题11、解答题16|联系生活场景（引水渠、道闸设计）考查垂线段最短等性质|数学知识→现实问题建模→最优解获取，体现应用意识|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 七年级数学下册 第二章相交线与平行线 期末单元复习卷 (一 ) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列说法正确的是（       ） A.两直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B.垂线段最短 C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.互补的两个角一定有一个锐角 2.如图，直线、被直线所截，则下列说法错误的是（       ） A.与是邻补角 B.与是对顶角 C.与是同位角 D.与是内错角 3.如图，直线相交于点于点，则（       ） A. B. C. D. 4.如图所示，直线，相交于点，于点，平分，，则下列结论中不正确的是（       ） A. B. C.与互为补角 D.的余角等于 5.如图，下列说法中，正确的是（       ） A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果，所以 D.如果，那么 6.如图，要得到，则需要条件（       ） A.， B. C.， D.，， 7.如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则度数为（       ） A. B. C. D. 8.如图，，若，，则为（       ） A. B. C. D. 9.如图，已知，，则下列说法不正确的是（       ） A. B. C.若还知道，则能得到 D.若连接，则一定平行于 10.如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（       ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.如图，计划把河AB中的水引到水池C中，可以先作，垂足为D，然后沿开渠，则能使所开渠最短，这种方案设计根据是________． 12.如图，直线，相交，若与互余，则＝      ． 13.已知：如图，，那么________。 14.当车道对闸杆长度的需求大于场地高度时，需要用到曲臂道闸．如图所示，若，，，则________． 15.将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，若与的某一边平行（不共线）时，的值为________． 三、解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.如图，平原上有，，，四个村庄，为解决当地饮水问题，政府准备出资修建一个蓄水池． （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位置，使它到四个村庄的距离之和最小． （2）计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短？请画出来，并说明依据． 17.如图，已知，，证明：．     补全下面的推理过程，并在括号内填写推理依据． 证明：∵ (已知) ∴ (______________________________) ∴ ______(______________________________) 又∵ (已知) ∴ (                            ) ∴ (________________________________) 18.如图所示，直线与相交于点，于点，平分，且． （1）求的度数． （2）求的度数． 19.如图，已知，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 20.如图，已知，与交于点，点、分别在、上，连结、，，． （1）判断与是否平行，并说明理由； （2），，求的度数． 21.如图，点为延长线上的一点，点为延长线上的一点，交于点，交于点，若，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）请说明与相等的理由． 22.如图，平分平分． （1）求的度数； （2）求的度数，并判断与是否互补； （3）若，判断与是否互补，并说明理由． 23.如图，在中，平分交于点，点在的延长线上，点在线段上，与相交于点． （1）问与的数量关系是什么？请说明理由． （2）若点在的延长线上，且，则与相等吗，请说明理由． 24.已知，在线段延长线上，，连接，若，． （1）求证：； （2）求的度数． 25.某数学兴趣小组利用含角的直角三角板在两条平行线间的摆放开展数学活动，已知，，． （1）【基础探究】如图①，已知，则的度数为          ； （2）【巩固提升】如图②，小组成员琳琳将直线向上移动，并改变的位置，请写出此时与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展探究】如图③，小组成员阳阳在琳琳操作后，又作了两个角的平分线，使得，，且延长与相交于点．现将三角板绕点旋转，在旋转过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 七年级数学下册 第二章相交线与平行线 期末单元复习卷 (一 ) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列说法正确的是（       ） A.两直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B.垂线段最短 C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.互补的两个角一定有一个锐角 【答案】 B 【解析】 根据平面几何基础概念与性质逐一判断各选项的正误. 【解答】 解：对于A选项，∵ 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，选项缺少“两直线平行”的前提，∴ A错误； 对于B选项，由垂线的基本性质可知，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，∴ B正确； 对于C选项，∵ 只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项缺少“同一平面内”的限定条件，∴ C错误； 对于D选项，∵ 两个90°的角也互补，这两个角都是直角，没有锐角，∴ 互补的两个角不一定有锐角，D错误. 2.如图，直线、被直线所截，则下列说法错误的是（       ） A.与是邻补角 B.与是对顶角 C.与是同位角 D.与是内错角 【答案】 D 【解析】 解：、与是邻补角，故原说法正确； 、与是对顶角，故原说法正确； 、与是同位角，故原说法正确； 、与是同旁内角，故原说法错误； 故选：． 【解答】 此题主要考查了邻补角、对顶角、同位角、同旁内角，关键是掌握各种角的定义． 利用邻补角、对顶角、同位角、同旁内角定义解答即可． 3.如图，直线相交于点于点，则（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 利用对顶角的性质结合垂线的性质得出求出即可． 【解答】 解：，，则． 故此题答案为． 4.如图所示，直线，相交于点，于点，平分，，则下列结论中不正确的是（       ） A. B. C.与互为补角 D.的余角等于 【答案】 D 【解析】 根据垂直的定义及角平分线的性质判断，利用对顶角的性质判断，利用邻补角的性质判断，根据余角的定义判断． 【解答】 于点，, 平分， ，故正确； 直线，相交于点， 与是对顶角， ，故正确， , 与互为补角，故正确； ， 的余角，故错误， 故此题答案为． 5.如图，下列说法中，正确的是（       ） A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果，所以 D.如果，那么 【答案】 D 【解析】 依据平行线的判定方法对各选项进行分析，即可得到正确结论． 【解答】 ．如果，那么不能得到； ．如果，那么不能得到； ．如果，那么不能得到； ．如果，那么，故选项正确． 故选．  6.如图，要得到，则需要条件（       ） A.， B. C.， D.，， 【答案】 D 【解析】假设，则，，再通过，之间的关系，确定与以及与的关系． 【解答】 ．，，，，故条件不充分，错误；     ．与不是与形成的内错角，故推不出，故错误；     ．与不是与形成的内错角，与不是与形成的同旁内角，故推不出，故错误；     ．当时，则，当时，，要使，则需，，所以要使，则需要，，同时．     故选． 7.如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则度数为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 先由平行线的性质求出，再由直角和平角的定义，角的和差关系求出． 【解答】 如图： 直线 又 又 所以 故选：  8.如图，，若，，则为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 过作，可得，由平行于同一条直线的两条直线互相平行可得，可求，进而可求出． 【解答】 过作，则， ， ， ， ， ， 故此题答案为． 9.如图，已知，，则下列说法不正确的是（       ） A. B. C.若还知道，则能得到 D.若连接，则一定平行于 【答案】 D 【解析】 根据垂线的定义可得 ，则可证明 得到 ，据此可判断A、B；若 ，则可推出DG//BC，得到 ，根据现有条件无法得到GF平行于AB，据此可得答案。 【解答】 解： ， ， ， ，故A说法正确，不符合题意； ，故B说法正确，不符合题意； 若 ，则 ， ， ，故C说法正确，不符合题意； 根据现有条件无法得到GF平行于AB，故D说法错误，符合题意。 10.如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（       ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 A 【解析】 ①根据平行线的传递性可以判断出来；②AC CE所以 ，然后根据两直线平行同旁内角互补可得 ，即 ，联立可求得结果；③根据 以及 ，可求得结果；④根据 即 以及 ，可求得结果. 【解答】 解： ， , 平分 ， ，即 ， ① ， ， ， 故①正确； ② ， , ，即 ， ， ， 即 ， 故②正确； ③由①可得 ， ， ，即 ， 又 ， ， 即 ， 将 代入 ， 化简可得： ， 故③正确； ④ ， ， ， ， ， 故④正确； 正确的个数共有4个， 故选：D. 二、填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.如图，计划把河AB中的水引到水池C中，可以先作，垂足为D，然后沿开渠，则能使所开渠最短，这种方案设计根据是___垂线段最短_____． 【答案】 垂线段最短 【解析】 根据垂线段的性质进行解答即可。 【解答】 解：根据题意可知，这种方案设计根据是垂线段最短.  12.如图，直线，相交，若与互余，则＝      ． 【答案】 ． 【解析】 由与互余，且，可求出，进而根据补角的性质可求出的度数. 【解答】 解：与互余，，， 13.已知：如图，，那么__80°______。 【答案】 80° 【解析】 先计算 ，根据同旁内角互补，两直线平行，得 a ；再根据两直线平行，同旁内角互补，得出 ，最后根据对顶角相等即可得到 【解答】 解：设 的对顶角为 ，则 ，如图 又 14.当车道对闸杆长度的需求大于场地高度时，需要用到曲臂道闸．如图所示，若，，，则____117°____． 【答案】 117 【解析】 本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键，过点B作BF ，首先根据“两直线平行，同旁内角互补”确定 的值，进而可得 的度数，然后证明CD//BF，由“两直线平行，同旁内角互补”即可获得答案. 【解答】 解：如下图，过点B作BF 即 故答案为：117°.  15.将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，若与的某一边平行（不共线）时，的值为___或 _____． 【答案】 或 【解析】 分三种情况讨论， ， ， 再根据平行线的性质求解即可. 【解答】 解：当 时，如图， 则 则 的值为 15° 当BC//DE时，如图，则 当 时，如图， 的值为 则 的值为 （不符合题意）.综上，若BC与 的某一边平行（不共线）时， 的值为 或 三、解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.如图，平原上有，，，四个村庄，为解决当地饮水问题，政府准备出资修建一个蓄水池． （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位置，使它到四个村庄的距离之和最小． （2）计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短？请画出来，并说明依据． 【答案】 见解析 见解析；依据：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短. 【解析】 （1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置； （2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直 的线段. 【解答】 （1）解：如图，点H即为所求. （2）解：如图，过点H作 ，垂足为G.沿线段HG开渠最短. 依据：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短. 17.如图，已知，，证明：．     补全下面的推理过程，并在括号内填写推理依据． 证明：∵ (已知) ∴ (______________________________) ∴ ______(______________________________) 又∵ (已知) ∴ (                            ) ∴ (________________________________) 【答案】 ；内错角相等，两直线平行； ；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行 【解析】 本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定方法和性质定理，进行作答即可. 【解答】 证明： ，(已知) （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 又 （已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） 故答案为： ；内错角相等，两直线平行； ；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行. 18.如图所示，直线与相交于点，于点，平分，且． （1）求的度数． （2）求的度数． 【答案】 40° 110° 【解析】 （1）根据垂直得到∠COE=90°，再由∠AOC=180°-∠COE-∠BOE求解即可; （2）根据对顶角相等得到∠AOD=∠BOC=140°，再由角平分线得到∠AOF=∠AOD=70°，最后由∠COF=∠AOC+∠AOF求解即可. 【解答】 （1）解：因为EOper CD， 所以∠COE=90°， 因为∠BOE=50° 所以∠AOC=180°-90°-50°=40°. （2）解：因为∠COE=90°，∠BOE=50°， 所以∠AOD=∠BOC=140°. 因为OF平分∠AOD， 所以∠AOF=∠AOD=70°. 所以∠COF=∠AOC+∠AOF=40°+70°=110° 19.如图，已知，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】 ；理由见解析 【解析】 （1）根据同旁内角互补两直线平行可得答案； （2）先求出 的度数，再证明 ，最后根据平行线的性质得出答案. 【解答】 （1）解： ，理由如下： ， （2）解： ， 20.如图，已知，与交于点，点、分别在、上，连结、，，． （1）判断与是否平行，并说明理由； （2），，求的度数． 【答案】 ，详见解析 【解析】 （1）根据题意，结合图形，得到 ，利用同位角相等，两直线平行，证得结论； （2）根据题意，先计算出 ，再得到 ，利用两直线平行，内错角相等，得到结果. 【解答】 （1）解：，理由如下： ，， ， ; （2）解：， ， ， ， ， ， ， . 21.如图，点为延长线上的一点，点为延长线上的一点，交于点，交于点，若，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）请说明与相等的理由． 【答案】 ；见解析 见解析 【解析】 （1）由 ，，即可证明； （2）根据 ，可得 ，结合 ，可证明 ，进而得到 . 【解答】 （1）解： ，理由如下： ，， ， ； （2）证明： ， ， ， ， ， . 22.如图，平分平分． （1）求的度数； （2）求的度数，并判断与是否互补； （3）若，判断与是否互补，并说明理由． 【答案】 120° 60°，是 ∠DOE与∠AOB不一定互补，见解析 【解析】 （1）直接利用角的和差解答即可； （2）由角平分线的定义可得∠DOC=35°，∠COE=25°，再根据角的和差可求得∠DOE的度数，再根据补角的定义即可判断； （3）由角平分线的定义可得∠DOC=，∠COE=，再根据角的和差可求得∠DOE的度数，再根据补角的定义即可判断. 【解答】 （1）解：∵ ∠BOC=70°，∠AOC=50°， ∴ ∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°. （2）解：∵ OD平分∠BOC, OE平分∠AOC， ∴ ∠DOC=∠BOC=×70°=35°，∠COE=∠AOC=×50°=25° ∴ ∠DOE=∠DOC+∠COE=35°+25°=60°. 由(1)知，∠AOB=120°， ∴ ∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°， ∴ ∠DOE与∠AOB互补. （3）解：∠DOE与∠AOB不一定互补，理由如下： ∵ OD平分∠BOC, OE平分∠AOC， ∴ ∠DOC=∠BOC=，∠COE=∠AOC=， ∴ ∠DOE=∠DOC+∠COE=， ∴ ∠DOE+∠AOB=. ∵ α+β的度数不确定， ∴ ∠DOE与∠AOB不一定互补. 23.如图，在中，平分交于点，点在的延长线上，点在线段上，与相交于点． （1）问与的数量关系是什么？请说明理由． （2）若点在的延长线上，且，则与相等吗，请说明理由． 【答案】 ；见解析 相等，见解析 【解析】 （1）根据平行线的性质得到 ，再结合邻补角的定义求解即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义，得出 ，由平行线的判定和性质，可得 ，即可得出结论. 【解答】 （1）解：， ， 又， ； （2）解：，理由如下： 平分 ， ， ，， ， ， ， 。 . 24.已知，在线段延长线上，，连接，若，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】 见解析 【解析】 （1）根据平行线的性质及等量代换即可解答; （2）设，根据角的和差关系及平行线的性质可得方程解方程即可.本题考查了平行线的性质，角的和差倍数关系，熟练运用平行线的性质是解题的关键. 【解答】 （1）解：， , , , ; （2）解：, 设, ，， , ， 平分， ， , ， ， ， , ， ， ， . 25.某数学兴趣小组利用含角的直角三角板在两条平行线间的摆放开展数学活动，已知，，． （1）【基础探究】如图①，已知，则的度数为          ； （2）【巩固提升】如图②，小组成员琳琳将直线向上移动，并改变的位置，请写出此时与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展探究】如图③，小组成员阳阳在琳琳操作后，又作了两个角的平分线，使得，，且延长与相交于点．现将三角板绕点旋转，在旋转过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数． 【答案】 ，理由见解析 的度数保持不变，为 【解析】 （1）根据两直线平行同位角相等，以及平角为 ，利用角的和差关系得到 的度数. （2）过点C作CE ，根据CE ，得到CE ，根据两直线平行内错角相等，同旁内角互补，以及 ，得到 和 的关系. （3）过点O作 ，得到 ，根据两直线平行内错角相等，同位角相等，得到 ，由（2）可知， ，继而得到 即 在三角板ABC旋转的过程中保持不变. 【解答】 （1）解：如图，标注 直线 ; （2）解： ，理由如下： 如图，过点C作 即 （3）解： 的度数保持不变，理由如下：如图，过点O作OF 由（2）知 由（2）知 ，且在三角板ABC旋转的过程中保持不变. 学科网（北京）股份有限公司 $