第1章《整式的乘除》期末单元复习卷（二）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 以整式乘除为核心，通过基础运算、公式推导、几何应用及规律探究构建系统性训练，融合数学抽象、几何直观与运算推理，实现知识逻辑与方法体系的统一。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |基础运算|单选1-2、解答16-17|直接运算法|幂的运算规则→整式乘除法则，强化运算能力| |公式应用|单选5、解答24|数形结合法|平方差/完全平方公式推导→应用，体现几何直观与代数推理| |几何与代数|单选3/8/9、填空13/15|图形转化法|从面积表示到整式关系，构建数与形的联系，发展空间观念| |规律探究|填空14、解答20-23|归纳与方程思想|新运算定义、速算规律→模型建立，培养创新意识与推理能力|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 七年级数学下册 第一章 整式的乘除 期末单元复习卷 (二) 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列运算正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：A、，该选项运算错误，不符合题意； B、，该选项运算正确，符合题意； C、，该选项运算错误，不符合题意； D、，该选项运算错误，不符合题意． 2.计算的结果是（     ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题只需分别计算系数乘积，同底数幂的乘积，再确定符号即可得到结果. 【解答】 解： . 3.如图，阴影部分的面积为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 阴影部分面积可以表示为大长方形加上小长方形面积的差，大长方形的面积为，小长方形的面积为，然后直接计算． 【解答】 解：如图，将原不规则图形分割成两个长方形，则阴影部分的面积， 故选 4.若，则的值是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了多项式乘多项式，解二元一次方程组的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将左边多项式展开后与右边比较对应项的系数，建立方程组求解和，再计算的值即可． 【解答】 解：左边展开： ， 右边为：， ，， 解得：，， ， 故选： 5.数形结合是初中数学重要的思想方法，图①到图②的变化过程描述了一个重要的数学公式，这个公式是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据两个图形的面积相等，列出等式即可. 【解答】 解：图①中长方形的面积为：， 图②中相应图形的面积为：， 因此可以得出相应的公式：. 6.若，则的值等于（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 完全平方公式：，条件，，所以要把拆分组合成，的形式，直接代入即可解题． 【解答】 ， ＝ ＝ ＝ 故选． 7.规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（     ） A.嘉嘉对，琪琪错 B.嘉嘉错，琪琪对 C.两人都对 D.两人都错 【答案】 A 【解析】 根据新定义的运算分别计算嘉嘉和琪琪的运算，进而判断对错即可. 【解答】 解： ，则嘉嘉的说法正确. 的结果与x的取值无关， ， ，则琪琪的说法错误. 8.下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由图可得，阴影部分的面积可以有三种表达方式：大长方形的面积-空白小长方形的面积；边长为、的长方形的面积+边长为的正方形的面积；边长为、的长方形的面积+边长为、的长方形的面积，据此作答． 【解答】 解：由图可得，阴影部分的面积可以有三种表达方式：，故选项正确； ，故选项正确； ，故选项正确； 所以，选项是错误的． 故选：． 9.如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，，，将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一长方形中．记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为，若，则与满足的关系为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含，，的式子表示出，，，，代入进行运算，即可求解；能表示出各个量，正确进行整式运算是解题的关键． 【解答】 解：由图可知，长方形的长为，宽为， ， ， ， ， ，， ， ， 解得，即， 故选：． 10.定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是（       ） ①若，则； ②对于任意有理数和，恒成立； ③； ④若异号，则或． A.①③ B.①② C.②③ D.①④ 【答案】 D 【解析】 本题考查新定义运算、整式的混合运算，解题的关键是理解新定义运算.通过逐一验证每个结论的正确性：结论 ①由绝对值的非负性推导；结论 ②通过反例证明不成立；结论 ③考虑a的符号情况；结论 ④根据a、b异号时分情况讨论即可. 【解答】解： ①若 ，则 且 且 解得 ，故 ①正确； ②取 左边： 右边： 左边≠右边，故 ②错误； ③ 当 时， ，故 ③错误； ④若a、b异号，设 当 时， 当 时， 当 时， 故 或 ，故 ④正确. 综上所述， 正确， 故选D. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.碘是人体必需的微量元素之一，碘原子的半径约为，数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：   12.已知代数式与的积是一个关于x的三次多项式，且化简后含项的系数为，则的值为________． 【答案】 【解析】 利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项将 化简，再根据积是一个关于x的三次多项式，且化简后含x²项的系数为 ，进而求得m，n的值，将其代入中计算即可. 【解答】 解： , 由题意得，与积是一个关于x的三次多项式，且含x²项的系数为， 不含x⁴项， ，, ， 13.如图，从边长为（ ）的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为____2m+4____． 【答案】 2m+4 【解析】 观察图形，根据面积的和差，可得大长方形的面积，根据大长方形的面积公式，可得大长方形的长. 【解答】 解： 大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 拼成的大长方形的面积为 大长方形的宽为4， 大长方形的长为（8m+16） 14.数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ；． 总结规律，解答下列问题． （1）__1______． （2）________． 【答案】 1, 【解析】 直接利用从题干示例中总结出 的规律计算即可， (2) 将原式拆分变形，再运用规律计算. 【解答】 （1） 解： (2) 解： 15.如图，四边形和四边形都是正方形，且，，三点都在同一条直线上，连接，，，当＝时，的面积为___18_____． 【答案】 【解析】 根据正方形的性质和线段的和差解答即可． 【解答】 因为正方形的边长为，设正方形的边长为， 所以线段＝＝，线段＝＝； 三角形的面积＝ ＝ ＝， 可得的面积为． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(6分) 用乘法公式计算： （1）； （2）． 【答案】 （1）100 （2）4 【解析】 （1）8.5化为2×4.25，利用完全平方和公式计算； （2）将原式中的乘法变形，利用平方差公式化简后计算即可. 【解答】 （1）解：原式. （2）解：   17.(12分) 计算或化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】 12 【解析】 （1）先计算负整数指数幂、零指数幂，再计算加减即可得出结果； （2）先计算同底数幂相乘、积的乘方以及同底数幂相除，再合并同类项即可得出结果； （3）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果； （4）利用完全平方公式以及单项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果. 【解答】 （1）解： ; （2）解： ; （3）解： ; （4）解： . 18.(6分) 已知m，n是整数，解决以下问题： （1）若，且，，求的值． （2）若，且，求的值． 【答案】 8 27 【解析】 （1）根据同底数幂乘法法则的逆运算计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则计算即可. 【解答】 （1）解：； （2）解： 19.（6分）先化简，再求值：，其中和满足． 【答案】 5x+4y,-6. $ 【解析】 本题考查了整式的混合运算、平方和绝对值的非负性，先根据完全平方公式和平方差公式以及单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后根据整式的加减计算法则合并，再计算多项式除以单项式，最后通过平方和绝对值的非负性求出 的值即可，熟练掌握整式的混合运算法则及平方和绝对值的非负性是解题的关键. 【解答】 解： 原式 20.（8分）基础体验：若实数，满足，，求的值 进阶实践：若实数满足，求的值． 高阶探索：如图，已知正方形与正方形的面积之和为，，求长方形的面积． 【答案】 ；； 【解析】 本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，则，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； （3）设正方形的边长为，正方形是边长为，根据题意可得，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【解答】 ，， ． （2）设， ， ， ， ； （3）设正方形的边长为，正方形是边长为， 正方形与正方形的面积之和为， ， ， ， ， ， ， ， 长方形的面积为．  21.(10分) 在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“⊙”，对于任意的实数a和b，有，其中m，n是正整数． （1）已知， ①求m，n的值； ②若，，求a与b的积． （2）对于任意非零实数a，b，c，若新运算“⊙”满足，且存在某个常数k，使得，求m，n的值和常数k． 【答案】 ①m=2,n=3；②a与b的积为12 m=2,n=1,k=4 【解析】 （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据a(b+c) = (ab) + (ac)，推出，进而得到n=1，根据a(k-3) = a^2，得到a，进行求解即可. 【解答】 （1）解：① = 500， ， ； ②∵= 1024= 243，且m=2,n=3， ， ， ， ， ， ; （2）解：， 由题意得，， ， ， ， ， 对于正整数n，仅当n=1时，成立， ， ， ， ， 指数：m=2，系数：k-3=1， 。 22.(10分) 小颖和小超同做一道题：已知，求，的值． 小颖的思路是：将左边化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得，的值． 小超的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的取同一个值时，等式成立．他将，分别代入，可以得到关于，的一个二元一次方程组，从而求得，的值． （1）请用小颖或小超的思路（选一种方法）分别求出，的值． （2）将代数式表示成的形式，请选择其中一种方法求出m，n的值． 【答案】 【解析】 （1）分别根据小颖和小超的思路进行运算求解即可; （2）分别根据小颖和小超的思路进行运算求解即可. 【解答】 （1）解: 小颖的思路: 小超的思路: 把代入可得: 把代入可得: 联立得, 解得 （2）解: 选用小颖的思路: 解得 选用小超的思路: 把代入可得: 把代入可得: 23.(10分) 请阅读下面材料，完成相应的任务： “速算”指利用数与数之间的特殊关系进行较快的加减乘除运算．如：十位数字相同，个位数字的和为的两个两位数相乘时，它的“速算”方法是：用乘十位数字，再乘比十位数字大的数，所得的结果加上两个个位数字的积，就得到这两个两位数的积． 如：，其结果为，，其结果为． （1）仿照上面的方法，写出计算的“速算”过程与结果：______________； （2）若两个两位数的个位数字分别是和，十位数字为，用含的式子分别表示这两个两位数为_______和_______，并用含的式子表示上述“速算”的过程为：_______．(写出等式) （3）若两个两位数的个位数字分别为，，且，十位数字为，用含，，的式子表示上述“速算”结论，并写出推理过程． 【答案】 ， ，， ，见解析 【解析】 （1）根据“速算”方法计算即可； （2）用含的式子分别表示这两个两位数并根据“速算”方法计算即可； （3）用含，，的式子表示“速算”结论并证明即可． 【解答】 （1）解： ． 故答案为：，． （2）这两个两位数为和， ． 故答案为：，，． （3）结论：． 推理过程：这两个两位数分别是和， ． 24.(11分) 如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） （1）如图1，可以求出阴影部分的面积是         （写成平方差的形式）． （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是        ，长是 ，面积是               ．（写成多项式乘法形式） （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式                        ． （4）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，则 ． ②计算：． 【答案】 ，， 【解析】 （1）用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得解; （2）根据图形，即可得到长方形的长和宽，利用长乘宽就可得到长方形的面积; （3）根据阴影面积相等，列出等式即可; （4）①利用公式进行计算即可；②利用（3）中公式，逐项展开，进行计算即可. 【解答】（1）解：阴影部分的面积是：; 故答案为：; （2）解：由图可知：长方形的宽为，长为，面积为; 故答案为：，，; （3）解：由题意，得：; 故答案为：; （4）解：①由，可知：， ; 故答案为：3; ②原式 . 25.(11分) 阅读材料：已知，求的值． 解： 参考上面的方法求解下列问题： （1）已知满足，求的值． （2）如图①，已知长方形的周长为，分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为 ①求长方形的面积； ②如图②，连接、、，求的面积． 【答案】  解：（1）； （2）① , ②  . 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1） 解：（1）设 ，        ； （2）①设 ，      又    , ②        , , . 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 七年级数学下册 第一章 整式的乘除 期末单元复习卷 (二) 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列运算正确的是（     ） A. B. C. D. 2.计算的结果是（     ） A. B. C. D. 3.如图，阴影部分的面积为（       ） A. B. C. D. 4.若，则的值是（       ） A. B. C. D. 5.数形结合是初中数学重要的思想方法，图①到图②的变化过程描述了一个重要的数学公式，这个公式是（       ） A. B. C. D. 6.若，则的值等于（       ） A. B. C. D. 7.规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（     ） A.嘉嘉对，琪琪错 B.嘉嘉错，琪琪对 C.两人都对 D.两人都错 8.下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（       ） A. B. C. D. 9.如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，，，将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一长方形中．记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为，若，则与满足的关系为（       ） A. B. C. D. 10.定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是（       ） ①若，则； ②对于任意有理数和，恒成立； ③； ④若异号，则或． A.①③ B.①② C.②③ D.①④ 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.碘是人体必需的微量元素之一，碘原子的半径约为，数据用科学记数法表示为________． 12.已知代数式与的积是一个关于x的三次多项式，且化简后含项的系数为，则的值为_____． 13.如图，从边长为（ ）的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为______． 14.数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ；． 总结规律，解答下列问题． （1）_______． （2）_______． 15.如图，四边形和四边形都是正方形，且，，三点都在同一条直线上，连接，，，当＝时，的面积为______． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(6分) 用乘法公式计算： （1）； （2）． 17.(12分) 计算或化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 18.(6分) 已知m，n是整数，解决以下问题： （1）若，且，，求的值． （2）若，且，求的值． 19.（6分）先化简，再求值：，其中和满足． 20.（8分）基础体验：若实数，满足，，求的值 进阶实践：若实数满足，求的值． 高阶探索：如图，已知正方形与正方形的面积之和为，，求长方形的面积．   21.(10分) 在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“⊙”，对于任意的实数a和b，有，其中m，n是正整数． （1）已知， ①求m，n的值； ②若，，求a与b的积． （2）对于任意非零实数a，b，c，若新运算“⊙”满足，且存在某个常数k，使得，求m，n的值和常数k． 22.(10分) 小颖和小超同做一道题：已知，求，的值． 小颖的思路是：将左边化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得，的值． 小超的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的取同一个值时，等式成立．他将，分别代入，可以得到关于，的一个二元一次方程组，从而求得，的值． （1）请用小颖或小超的思路（选一种方法）分别求出，的值． （2）将代数式表示成的形式，请选择其中一种方法求出m，n的值． 23.(10分) 请阅读下面材料，完成相应的任务： “速算”指利用数与数之间的特殊关系进行较快的加减乘除运算．如：十位数字相同，个位数字的和为的两个两位数相乘时，它的“速算”方法是：用乘十位数字，再乘比十位数字大的数，所得的结果加上两个个位数字的积，就得到这两个两位数的积． 如：，其结果为，，其结果为． （1）仿照上面的方法，写出计算的“速算”过程与结果：______________； （2）若两个两位数的个位数字分别是和，十位数字为，用含的式子分别表示这两个两位数为_______和_______，并用含的式子表示上述“速算”的过程为：_______．(写出等式) （3）若两个两位数的个位数字分别为，，且，十位数字为，用含，，的式子表示上述“速算”结论，并写出推理过程． 24.(11分) 如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） （1）如图1，可以求出阴影部分的面积是       （写成平方差的形式）． （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是       ，长是 ，面积是               ．（写成多项式乘法形式） （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式                        ． （4）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，则 ． ②计算：． 25.(11分) 阅读材料：已知，求的值． 解： 参考上面的方法求解下列问题： （1）已知满足，求的值． （2）如图①，已知长方形的周长为，分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为 ①求长方形的面积； ②如图②，连接、、，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $