第1章《整式的乘除》期末单元复习卷（一）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦整式乘除核心知识，以基础运算为起点，通过几何直观与代数推理结合，构建从概念到综合应用的逻辑体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1-6、填空11-13、解答16-17|考查幂运算、整式乘除法则|从同底数幂运算到多项式乘除，形成运算技能链| |公式应用|单选7、9、填空14、解答25|结合图形面积验证乘法公式|通过几何直观理解平方差、完全平方公式的代数本质| |综合探究|单选10、填空15、解答18-24|规律探究、配方法及多项式综合运算|以运算能力为基础，发展推理意识与模型观念，体现知识迁移应用|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 七年级数学下册 第一章 整式的乘除 期末单元复习卷 (一) 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.据《新时代的中国北斗》白皮书介绍，北斗卫星导航系统服务性能优异，免费向全球用户提供定位导航授时服务，授时精度优于0.00000002秒，数据0.00000002用科学记数法表示为（     ） A. B. C. D. 2.下列计算正确的是（             ） A. B. C. D. 3.已知单项式，满足，则等于（       ） A. B. C. D. 4.一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（       ） A. B. C. D. 5.若，则m，n的值为（       ） A. B. C. D. 6.设是一个多项式，且，那么等于（       ）. A. B. C. D. 7.如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（       ） A. B. C. D. 8.对于任意有理数,现用“☆”定义一种运算:☆,根据这个定义,代数式☆可以化简为（       ） A. B. C. D. 9.有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为（       ） A. B. C. D. 10.关于的二次三项式（，均为非零常数），关于的三次三项式（其中，，，均为非零常数），下列说法中正确的个数有（       ） ①当时，； ②当为关于的三次三项式时，则； ③当多项式与的乘积中不含项时，则； ④； A.个 B.个 C.个 D.个 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.计算：__________． 12.若，，，，则，，，的关系是___________．（用“”连接） 13.若关于x的二次三项式则m的值是_______． 14.如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 =______． 15.将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ，，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为__________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(8分) 计算或化简 （1） （2） 17.(9分) 解下列各题： （1）计算：； （2）计算：； （3）利用整式乘法公式进行计算：． 18.（6分）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证 如，为偶数．请把的一半表示为两个正整数的平方和； 探究 设“发现”中的两个已知正整数为，，请论证“发现”中的结论正确． 19.（6分）先化简，再求值：，其中，． 20.(8分) 在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2026年4月份的月历，我们任意选择两组“Z”字形方框，将每个“Z”字形方框4个位置上的数交叉相乘，再相减． 如：；，不难发现结果都是． 2026年4月 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 （1）若设框出的4个数中最小的数为n，请用含n的等式表示以上规律； （2）利用整式的运算验证以上的规律． 21.(9分) 小明在计算一个多项式乘以多项式时，因将乘法看错成了加法，得到的结果为． （1）请求出多项式； （2）请你帮助小明计算出正确的结果． 22.(10分) 已知代数式化简后，不含有项和常数项． （1）求的值． （2）求的值． 23.(11分) 已知； （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值； （4）若，则的值． 24.(11分) 【课内回顾】 （1）若，当满足        时，则； 【阅读材料】 如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数幂，例如； ③底数为的偶数次幂，例如． 【知识运用】 （2）若，求x的值； （3）若，则x=        ． 25.(12分) 如图1，两个正方形、的边长分别是、，将这两个正方形分别按不同的方式摆放，回答下列问题： （1）如图2，将两个正方形叠合摆放，点与点重合，点、分别在、上，并将不重叠的阴影部分沿虚线剪开，重新拼接后，得到一个长方形，用两种不同的方法表示阴影部分面积，可以验证等式________． A．       B． C．       D． （2）如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点在上，连接，若它们边长之和为10，面积之和为52，求阴影部分面积． （3）如图4，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点、分别在、的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 七年级数学下册 第一章 整式的乘除 期末单元复习卷 (一) 考试总分：150 分 考试时间： 120 分钟 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.据《新时代的中国北斗》白皮书介绍，北斗卫星导航系统服务性能优异，免费向全球用户提供定位导航授时服务，授时精度优于0.00000002秒，数据0.00000002用科学记数法表示为（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据科学记数法的表示规则即可求解. 【解答】 解： 2.下列计算正确的是（             ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据同底数幂乘除法、积的乘方、幂的乘方法则，分别计算各选项判断正误. 【解答】 解：选项A： 选项A计算正确； 选项B： 选项B计算错误； 选项C： 选项C计算错误； 选项D： 选项D计算错误. 3.已知单项式，满足，则等于（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则是解题关键。根据等式左边利用单项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件确定出 M、N，即可求解. 【解答】 解： 故选：A. 4.一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据长方体体积的计算方法列式计算即可． 【解答】 解：由长方体的体积计算公式得，， 故选：．  5.若，则m，n的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 利用多项式的除法法则，将等式左边展开并合并，再利用等式的性质课解. 【解答】 ∵， ∴. ∴，. ∴  故选D. 6.设是一个多项式，且，那么等于（       ）. A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据被除数等于商乘以除数，计算即可得到的值． 【解答】 解：根据题意得： 故选 7.如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 将；个图形中的阴影部分的面积分别用代数式表示出来，依据面积相等，即可得到等式． 【解答】 解：由题可得：阴影部分的面积＝和．． 故选：． 8.对于任意有理数,现用“☆”定义一种运算:☆,根据这个定义,代数式☆可以化简为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 此题暂无解析 【解答】 由题意得☆ 故选  9.有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 分别设正方形，的边长为，，再表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，最后通过整式的计算可得此题结果． 【解答】 解：设正方形的边长为，正方形的边长为，可得， ， ， 故选：． 10.关于的二次三项式（，均为非零常数），关于的三次三项式（其中，，，均为非零常数），下列说法中正确的个数有（       ） ①当时，； ②当为关于的三次三项式时，则； ③当多项式与的乘积中不含项时，则； ④； A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 D 【解析】 本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．将代入代数式求出的值，判断①，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为，求出的值，确定②，计算多项式乘多项式后，项的系数为，求出的值判断③，根据恒等式对应项的系数相等，求出的值，判断④．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【解答】 解：， 当时，；故①正确； ，为关于的三次三项式，且，均为非零常数， ， ；故②正确； ， 又多项式与的乘积中不含项， ， ；故③正确； ， ， ， ， ；故④正确； 综上：正确的个数为个； 故选． 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.计算：___________． 【答案】 【解析】 本题考查了积的乘方的逆用，幂的乘方，根据积的乘方，幂的乘方进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【解答】 解： ， 故答案为：． 12.若，，，，则，，，的关系是____________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 本题考查负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂分别计算后再比较大小即可． 【解答】 解：，，，， ， ， 故答案为：． 13.若关于x的二次三项式则m的值是__7______． 【答案】 7 【解析】 根据多项式的乘法法则展开，对比两个结果得到 ，即可求出答案. 【解答】 解： 解得 . 14.如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 =____16____． 【答案】 16 【解析】 本题考查了平方差公式的应用以及通过图形面积关系求解差值，解题的关键是明确与两个正方形面积的关系，再结合已知条件计算．根据图形可知为边长为的正方形面积减去重叠部分面积，为边长为的正方形面积减去重叠部分面积，故等于两个正方形面积之差；利用平方差公式，结合已知和计算差值． 【解答】 解：由图形可知，，． 则． 根据平方差公式， 已知，， 所以． 故答案为：16． 15.将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：， ，，当时，多项式有最小值． 已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为____3________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题意得出，，进而根据，可得，然后得出，根据配方法，即可求解． 【解答】 解： ， 当时，的最大值为， 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.(8分) 计算或化简 （1） （2） 【答案】 5 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解： （2）解： 17.(9分) 解下列各题： （1）计算：； （2）计算：； （3）利用整式乘法公式进行计算：． 【答案】 1 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解: （2）解: （3）解: . 18.（6分）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证 如，为偶数．请把的一半表示为两个正整数的平方和； 探究 设“发现”中的两个已知正整数为，，请论证“发现”中的结论正确． 【答案】 见解答 【解析】 此题暂无解析 【解答】 验证 的一半为，探究 ，故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． 19.（6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 根据完全平方公式、单项式乘以多项式、单项式乘以单项式和多项式除以单项式的运算法则进行化简，再把，代入化简后的式子，即可求得结果. 【解答】 解： 当时，. 20.(8分) 在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2026年4月份的月历，我们任意选择两组“Z”字形方框，将每个“Z”字形方框4个位置上的数交叉相乘，再相减． 如：；，不难发现结果都是． 2026年4月 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 （1）若设框出的4个数中最小的数为n，请用含n的等式表示以上规律； （2）利用整式的运算验证以上的规律． 【答案】 见解析 【解析】 （1）用代数式表示各数，然后写出规律即可； （2）利用多项式的乘法，合并同类项等知识解答即可. 【解答】 （1）解：设最小的数为 ，第二个数为 ，下面的数为 即 ，最后一个数为 即 ； 规律表示为：； （2）解：左边 右边， 规律成立. 21.(9分) 小明在计算一个多项式乘以多项式时，因将乘法看错成了加法，得到的结果为． （1）请求出多项式； （2）请你帮助小明计算出正确的结果． 【答案】 【解析】 （1）根据整式的加减混合运算求出原多项式即可； （2）根据多项式乘多项式法则求出正确的结果即可. 【解答】 （1）解：由题意，小明误算为 ， . （2）解：正确结果为 ，代入 ， . 正确结果为：. 22.(10分) 已知代数式化简后，不含有项和常数项． （1）求的值． （2）求的值． 【答案】 , b=10 【解析】 （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，合并同类项后，根据不含有项和常数项这一条件得到的值. （2）根据乘法公式以及单项式乘多项式的运算法则化简，再合并同类项，最后代入已知字母的值，得到代数式的值. 【解答】 （1）解： 该代数式中不含有项和常数项， , 解得：, 且 , ; （2）解： , 上式. 23.(11分) 已知； （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值； （4）若，则的值． 【答案】 250 2 4 【解析】 （1）根据计算求解即可； （2）先求出的值，再根据计算求解即可； （3）可求出，则可得到，再根据可得答案； （4）根据题意可推出，则，可得，据此可得答案。 【解答】 （1）解： （2）解： 又 （3）解： （4）解： . 24.(11分) 【课内回顾】 （1）若，当满足        时，则； 【阅读材料】 如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数幂，例如； ③底数为的偶数次幂，例如． 【知识运用】 （2）若，求x的值； （3）若，则x=        ． 【答案】 ； -4或-1； -2或-1或-3 【解析】 （1）根据等式的性质，即可求解； （2）根据材料分三种情况讨论①当 且 时，②当 且 为整数时，③当 且 为偶数时，根据一个幂的结果等于1，分别计算即可求解； （3）根据材料分三种情况讨论①当 且 时，②当 且 为整数时，③当 且 为奇数时，根据一个幂的结果等于1，分别计算即可求解. 【解答】 （1）， 当 时，则 ， 因此若 ，当 满足 时，则 ， 故答案为：. （2）分三种情况讨论如下： ①当 且 时，， 由 ，解得：， 此时 ， 当 时，； ②当 且 为整数时， ， 由 ，解得：， 此时 为整数， 当 时， ； ③当 且 为偶数时， ， 由 ，解得：， 此时 不是偶数，故不合题意，舍去. 综上所述：若 ，则 的值为-4或-1. 故答案为：-4或-1. （3）分三种情况讨论如下： ①当 且 时，， 由 ，解得：， 此时 ， 当 时，； ②当 且 为整数时， ， 由 ，解得：， 此时 为整数， 当 时， ， ③当 且 为奇数时， ， 由 ，解得：， 此时 为奇数， 当 时， ， 综上所述：若 ，则 或-1或-3. 25.(12分) 如图1，两个正方形、的边长分别是、，将这两个正方形分别按不同的方式摆放，回答下列问题： （1）如图2，将两个正方形叠合摆放，点与点重合，点、分别在、上，并将不重叠的阴影部分沿虚线剪开，重新拼接后，得到一个长方形，用两种不同的方法表示阴影部分面积，可以验证等式________． A．       B． C．       D． （2）如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点在上，连接，若它们边长之和为10，面积之和为52，求阴影部分面积． （3）如图4，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点、分别在、的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 【答案】 C 12 64 【解析】 （1）结合图2表示出拼接前后阴影部分面积，即可得出答案； （2）由题意得 ， ，结合 ，即可得到阴影部分面积； （3）连接AC，由阴影部分面积 ，结合完全平方公式的变形 ，得到 a-b的值，再利用平方差公式即可求解. 【解答】 （1）解：由图2可得，拼接前阴影部分面积 ，拼接后阴影部分面积 拼接前后，阴影部分面积相等， 故选：C; （2）解： 即 （3）解：如图，连接AC， 两个正方形ABCD、EFGH的边长分别是a、b（ ），阴影部分面积为60， 学科网（北京）股份有限公司 $