2026年高考数学考前增强信心卷02（全国Ⅱ卷）

**基本信息** 2026年高考数学考前信心增强卷（全国Ⅱ卷）以基础题为主，覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，通过统计概率（如手机使用时长分析）、立体几何体积计算等情境化试题，强化数学眼光、思维与语言，适配考前信心提升与基础巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8题40分|集合、向量、充要条件、三角函数图像变换|基础概念辨析，如向量垂直条件判断| |选择题（多选）|3题18分|复数、函数方程、数列性质|多角度考查，如数列递推关系与等比数列判定| |填空题|3题15分|直线与曲线交点、函数性质、立体几何体积|动态问题，如圆柱内切球体积比及四面体体积范围| |解答题|5题77分|函数恒成立、解三角形、立体几何、双曲线、统计概率|综合应用，如统计题结合正态分布、回归方程与概率模型，体现数据意识与应用能力|

亮剑高考・最后一练 2026年高考考前信心增强卷 数学（全国Ⅱ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！ 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，即，解得， 集合，即， 因此. 2．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 整理得，故，解得， ， ． 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由且在上单调递增，， 若，则， 由且在上单调递减，， 若，则， 显然可推出，反之不一定成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【详解】因为， 所以只需将函数的图象向左平移个单位长度即可得到， 即得到函数的图象. 5．下列说法正确的是（ ） A．设且，则 B．残差平方和越小的模型，拟合效果越好 C．若，，三个事件两两独立，则 D．一组数据，，，，，，，的第百分位数为 【答案】B 【详解】对于A，因为，且，故， 则，A错误； 对于B，残差平方和越小，说明模型对数据的拟合程度越高，拟合效果越好，B正确； 对于C，举例，抛两次硬币，设“第一次正面向上”，“第二次正面向上”，“两次向上结果相同”， 则，, 满足, 即，，三个事件两两独立，而，即C错误； 对于D，将原数据从小到大排序：2，3，3，4，7，8，10，18， 因为，因此第50百分位数为第4个数和第5个数的平均数，即，D错误. 6．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用等差、等比数列的项的对称性性质，先求出、的值，再代入待求式计算即可. 【详解】已知数列是等差数列，数列是等比数列， 则，， 解得，进而，因此. 7．已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数有两个零点，则方程有两个实根， 即有两个实根，即直线与函数的图象有两个交点. 结合函数的图象，可得， 所以的取值范围是. 8．在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过中位线得到异面直线与所成角的平面角，根据题意结合余弦定理即可求解；或者将三棱锥扩充为正方体，得到异面直线与所成角的平面角，根据正方体的性质即可求解. 【详解】解法一：如图，分别取，，的中点，，，分别连结，，，，则， ，所以（或其补角）即为直线与所成角， 设，可得，，， ， 在中，由余弦定理可得，， 由于直线与所成角为锐角，故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 解法二：如图，把三棱锥扩充为正方体，直线与所成角即为直线与所成角， 因为为等边三角形，所以直线与所成角为， 即直线与所成角的余弦值为，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列说法正确的是（   ） A．复数的实部和虚部之和为3 B．复数的共轭复数为 C． D．复数为纯虚数 【答案】BCD 【详解】由题知，所以复数的实部与虚部之和为1+1=2，A错误； 复数的共轭复数，B正确； ，C正确； ，为纯虚数，D正确. 10．已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. 11．已知数列满足，，，是的前项和，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．的前项和小于1 【答案】AD 【分析】根据递推关系可得是首项为，公比为的等比数列，再结合等比数列的定义以及前项和公式依次判断选项即可. 【详解】 对于A，由题可得，且， 故是首项为，公比为的等比数列，故A正确； 对于B，由A易得，于是， 又因为，所以，所以不是等比数列，故B错误； 对于C，由B可知，所以，显然不是等比数列，故C错误； 对于D，易知当时，，所以， 设，则，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图象，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为， 其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当直线与该曲线相切时，点到直线的距离， 解得，设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则实数， 即实数的取值范围是. 13．已知函数的定义域为，且满足．若，则的值为______． 【答案】 【详解】由 ，得 . 所以， 所以函数为周期函数，为函数的一个周期， 又 所以. 14．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 【答案】 2:3/ 【分析】根据球、圆柱的体积公式以及建立函数关系求解即可. 【详解】已知球的半径，则球的体积为. 根据题意得，，则圆柱体积，则. 设为点到平面的距离，则，而平面经过线段的中点， 四面体的体积：. 所以四面体 的体积的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设函数（）满足恒成立. (1)求的值； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由于，恒成立即恒成立，，从而得到(必要条件)，然后再验证当时，通过导数求得函数最小值，再证明（充分条件）； （2）利用第一问可知，把不等式转化为证明不等式. 【详解】（1）由于，所以，恒成立即恒成立，处取最小值， ，故由（必要条件）； 验证充分性：当时，；令，得， 令，得，令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即恒成立. 综上所述， （2）由（1）知恒成立，故； 又 ， 所以，， 故，即. 16．在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解； （2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据正弦函数有界性运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得 ， 则 ，即， 又因为， 则， 即， 且，则，即，可得， 又因为，则， 可得，所以. （2）由正弦定理得，则， 由余弦定理得，即， 可得， 又因为 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可得，即， 所以的取值范围为. 17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面底面，且， (1)证明：； (2)若直线与平面所成角为，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）通过线面垂直证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的夹角. 【详解】（1）取的中点M，连接，． ∵，．则为正三角形，． 又,平面, 平面，又,平面, （2）以为原点，以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系, 由题可知．设，则．．   ，．，， 设平面的法向量是，则， 令，则平面的一个法向量是， 又平面的一个法向量是   ， 所以平面与平面的夹角为． 18．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标； 【详解】（1）解：因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. （2）证明：设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且， 所以，又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. 19．班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 【答案】(1) (2)100 (3)答案见解析 【分析】（1）根据正态分布的性质和概率相关知识计算即可. （2）先求出的平均值，然后代入回归方程即可求出结果. （3）先根据题意列出递推式，然后证明数列是以为公比的等比数列，进而可根据等比数列的通项公式求出，并根据的范围证明结论即可. 【详解】（1）由题意知，因为. 所以任取1人使用手机超过16小时的概率为， 50名同学中有位超过16小时， 那么至少2位同学使用手机超过16小时的概率为. （2）由题意得，. 代入回归方程有，解得. （3）证明：由题意知， 所以 所以是以为公比的等比数列. 所以. 因为时，恒成立，所以. 所以小虹的该复习计划表在寒假每一天均有效. 2 / 12 脚踏实地，全力以赴，顶峰相见1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $亮剑高考・最后一练 2026年高考考前信心增强卷 数学（全国Ⅱ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！ 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．下列说法正确的是（ ） A．设且，则 B．残差平方和越小的模型，拟合效果越好 C．若，，三个事件两两独立，则 D．一组数据，，，，，，，的第百分位数为 6．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（     ） A． B． C．2 D．3 7．已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列说法正确的是（   ） A．复数的实部和虚部之和为3 B．复数的共轭复数为 C． D．复数为纯虚数 10．已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 11．已知数列满足，，，是的前项和，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．的前项和小于1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 13．已知函数的定义域为，且满足．若，则的值为______． 14．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设函数（）满足恒成立. (1)求的值； (2)求证：. 16．在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面底面，且， (1)证明：； (2)若直线与平面所成角为，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角． 18．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 19．班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 2 / 12 脚踏实地，全力以赴，顶峰相见1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $