2026年高考数学考前增强信心卷04（全国Ⅰ卷）（原卷版）

**基本信息** 以基础题为主，覆盖集合、复数、数列等核心知识点，通过梯度设计增强考前信心，适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合（1）、复数（2）、统计（3）、解三角形（4）|注重基础，如集合子集个数考查抽象能力，体现数学眼光| |选择题（多选）|3/18|不等式（9）、函数性质（10）、立体几何（11）|梯度设计，如立体几何结合侧面积计算，考查空间观念| |填空题|3/15|三角恒等变换（12）、函数单调性（13）、抛物线（14）|强调运算，如抛物线距离最值考查模型观念，贴合真题趋势| |解答题|5/77|三角函数与解三角形（15）、数列证明（16）、椭圆综合（19）|综合应用，如数列证明（16）考查推理能力，椭圆综合（19）体现数学语言表达|

亮剑高考・最后一练 2026年高考考前信心增强卷 数学（全国Ⅰ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！ 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，⫋则符合条件的集合B的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法表示出集合，再根据给定条件即可求出集合的可能情况. 【详解】集合，， 所以可能的取值为，即集合，是的真子集，有个，故C正确． 2．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，其对应点为， 复数对应的点与复数对应的点关于直线对称， 对应点为，则． 3．一组数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9，，，若该组数据的第百分位数、中位数、平均数分别是a，b，c，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9，，， 第百分位数位置，为第2和第3项的平均值， 故； 中位数的位置，为第4和第5项的平均值， 故； 平均数， ． 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理建立边角的等量关系，代入已知条件求解的值 【详解】在中，由正弦定理得，交叉变形可得，已知， 因此，结合题设，将上述值代入，可得： ，解得 5．若双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的渐近线方程计算即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 所以，即． 6．已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．84 B．96 C．100 D．103 【答案】C 【分析】设出首项和公差，得到基本量，最后求解即可. 【详解】设首项为，公差为，由题意得， 可得，解得， 则. 7．在平行四边形中，是边上的点，，是线段的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是线段DE的中点，所以， 又， 所以， 所以． 8．已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可. 【详解】选项A. 由基本不等式，则，平方得，当且仅当时等号成立，A正确. 选项B.对平方得，由A知， 因此， 因为，开方得， 当且仅当时等号成立，B正确. 选项C.，由，所以，即，C错误. 选项D.，因此，所以，D错误. 10．已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，令和求解判定；对于B，令和，再结合平方差公式求解判定；对于C，令，求导并令求解判断；对于D，由题知，，都大于0，，，都小于0，再令即可求解判断. 【详解】对于选项A，因为， 令，可得；令，， 所以，故选项A错误； 对于选项B，令，； 令，； 所以.故选项B正确； 对于选项C，令， 则. 再令，，故选项C错误； 对于选项D， 解法一：展开式的通项为，，，，，，，由通项可知： ，，1，2，3，4，5，所以，，都大于0，，，都小于0， ， 令，可得， 所以，故选项D正确. 解法二：令， 由 得. 令可得，故选项D正确. 11．若圆锥的母线长为，其轴截面是等腰直角三角形，点是弧的中点，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B． C．平面 D．三棱锥的体积为 【答案】ABD 【分析】由题意可得，根据圆锥侧面积公式计算可判断A；由等边三角形可判断B；假设成立，得到矛盾可判断C；根据三棱锥体积公式计算可判断D. 【详解】因为圆锥的母线长为，其轴截面是等腰直角三角形， 所以， 对于A，圆锥的侧面积为，故A正确； 对于B，点是弧的中点， 所以是等腰直角三角形，故， 则是等边三角形，故，故B正确； 对于C，若平面， 而平面，所以， 由B可知，是等边三角形，故不成立， 所以平面不成立，故C错误； 对于D，三棱锥的体积为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则______. 【答案】/ 【详解】因为， 且， 所以， 所以. 由，得， 所以. 13．已知函数，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】先判断函数为奇函数且为上的增函数，据此可求函数不等式的解. 【详解】因为，故， 而的定义域为，故为上的奇函数. 而均为上的增函数，故为上的增函数. 因，故即，故. 14．设抛物线上的一点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为__________． 【答案】 / 【分析】利用抛物线定义将转化为点到焦点的距离，进而将的最小值转化为焦点到直线的距离求解. 【详解】对于抛物线，可得，即，因此焦点为， 由抛物线的定义可知，故，其中为点到直线的距离， 由几何性质可知，的最小值为焦点到直线的距离，当且仅当位于向直线所作的垂线段上时取等号， 根据点到直线的距离公式，焦点到直线的距离为： 因此的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式和单调递减区间； (2)在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，求的最大值． 【答案】(1) ，单调递减区间为 (2) 6 【分析】（1）根据图象求出、、的值确定解析式，再利用正弦函数的单调性求解； （2）由函数值求出角，结合余弦定理和基本不等式求得的最大值。 【详解】（1）由图象可知，函数的最大值为1，最小值为，又，所以； 观察图象，函数的半个周期， 所以周期； 由且，解得，此时； 由图象可知，函数图象过点，且该点位于单调递增区间上， 所以，， 即，； 因为，令，解得， 所以函数的解析式为； 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为. （2）由知， 因为，所以，即，因为为三角形内角，所以， 由余弦定理，由基本不等式，设，则，当且仅当时等号成立，故 16．在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明； （2）根据（1）求出的通项公式，利用错位相减法可求出数列的前n项和为，即可证. 【详解】（1）由，可得， 又因为，所以， 所以是首项为1，公差为3的等差数列. （2）由（1）知，，所以. ，① ，② ①-②得， ， 所以， 又，所以. 17．设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求定义域和单调性，再根据单调性解不等式. （2）先对不等式进行化简，然后分离参数，将问题转化为求函数的最值问题. 【详解】（1）的定义域为且在单调递增. ，，解得. 故不等式的解集为. （2）. 恒成立等价于恒成立，，. 令，. 令，则，在单调递减. 又，时，，即，在单调递增，时，，即，在单调递减. ，，即的取值范围是 18．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，点D是棱PA的中点，点E满足，点F是棱BP上的一点（不包含端点）．    (1)若平面ABC，求证：； (2)若直线AF与平面BCD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用线面平行性质推得线线平行，结合向量线段比例关系，借助相似三角形比例证得线段倍数关系； （2）依据垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面法向量，套用线面角公式列方程求解参数，再利用等体积转化与线段比例，算出几何体体积． 【详解】（1）    在中，点是棱的中点，点满足，所以是的重心， 连接，并延长交于点，连接，如图所示，则， 因为平面，平面平面，平面PEF， 所以，所以，即． （2）因为平面，平面，所以，， 又，，所以， 所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    所以，，，，， 设平面BCD的法向量为， 又，， 所以，令，得， 设， 所以， 所以， 解得，所以， 所以三棱锥的体积． 19．已知椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线：与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)直线过定点，证明见解析 【分析】（1）由抛物线方程和双曲线方程分别可焦点坐标，进而可得，，再由椭圆的性质可得，因此可得椭圆方程； （2）设交点坐标，再联立直线的方程与椭圆的方程消去，由根与系数关系及可得，进而可得直线过定点. 【详解】（1）由抛物线，得焦点， 因为椭圆过抛物线的焦点，所以. 由双曲线，得焦点， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以. 由椭圆的性质，， ∴椭圆的方程为. （2）设，， 联立，消去得， ， ，， 由已知， 所以， 所以， 则， ， ，解得，满足， ∴直线的方程为，故直线恒过定点 2 / 12 脚踏实地，全力以赴，顶峰相见1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $亮剑高考・最后一练 2026年高考考前信心增强卷 数学（全国Ⅰ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！ 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，⫋则符合条件的集合B的个数为（   ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 3．一组数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9，，，若该组数据的第百分位数、中位数、平均数分别是a，b，c，则（   ） A． B． C． D． 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（   ） A． B． C．2 D． 5．若双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．84 B．96 C．100 D．103 7．在平行四边形中，是边上的点，，是线段的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11．若圆锥的母线长为，其轴截面是等腰直角三角形，点是弧的中点，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B． C．平面 D．三棱锥的体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则______. 13．已知函数，若，则实数的取值范围是________． 14．设抛物线上的一点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式和单调递减区间； (2)在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，求的最大值． 16．在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：. 17．设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 18．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，点D是棱PA的中点，点E满足，点F是棱BP上的一点（不包含端点）．    (1)若平面ABC，求证：； (2)若直线AF与平面BCD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 19．已知椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线：与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点． 2 / 12 脚踏实地，全力以赴，顶峰相见1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $