2026年高考数学考前增强信心卷01（全国Ⅰ卷）（原卷版）

**基本信息** 2026年高考数学考前信心增强卷（全国Ⅰ卷），以基础题为主，融入篮球联赛、射箭游戏等现实情境，强化应用意识与信心，适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、数列、向量、函数等|注重基础巩固，如等比数列求和、函数奇偶性判断| |填空题|3题/15分|三角、概率统计、立体几何|结合实际，如罚球命中率计算，体现数据意识| |解答题|5题/77分|解三角形、概率分布、立体几何、解析几何、函数导数|综合性强，如正方体体积与外接球表面积，考察空间观念与推理能力；函数导数结合数列不等式，发展创新意识|

亮剑高考・最后一练 2026年高考考前信心增强卷 数学（全国Ⅰ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！ 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：集合， 且集合， 所以. 2．设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．27 B．3 C．24 D．48 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，， 若，则，与的题设矛盾，故； 根据等比数列前项和公式可得 ① ， ② ； 将②除以①，化简得，解得； 又. 3．设向量，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 4．已知，则的值是（ ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出的值，再通过对进行赋值，结合已知等式求出的值，进而求出的值. 【详解】，故， 令，则， . 5．若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用奇函数求解参数，化简函数后通过奇偶性定义验证，再代入自变量计算函数值. 【详解】由为定义在上的奇函数，得， 即，，. 结合，得. 所以. 验证奇偶性：，满足奇函数定义. 因此，. 6．已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求在处的切线方程为；利用导数相等求出的切点横坐标；代入切线方程解得. 【详解】对求导得，当时，，， 曲线在处的切线方程为. 设切线与相切于点，对求导得， 由切线斜率为得，解得， 将切点代入切线方程得，解得. 7．在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程组求出公共直线的方程，计算原点到直线的距离，根据圆心角与弦心距、半径的关系求出的大小. 【详解】 联立方程组，可得直线的方程， 原点到直线的距离为， 在中，过作的垂线，垂足为，则为的中点， ， 在中，， 所以， 所以. 8．如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正三角形面积比等于边长比的平方求出上下底面积比，再利用棱台体积公式求出棱台体积，最后通过三棱锥体积公式求出两部分体积并计算体积比. 【详解】已知正三角形面积比为边长比的平方， 又因为正三棱台上、下底面边长为和， 因此上下底面积比， 设上底面积，则下底面积， 设棱台的高，即上下底面的距离为， 根据棱台体积公式可得： ， 又因为在上底面，到下底面的距离就是棱台的高， 因此：， ， 因此体积比：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．若为第一象限角，则 B．若，则 C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，虽然是第一象限角，但，故A错误； 对于B，由，得，所以，所以，故B正确； 对于C，由，得， 所以，即，故C正确； 对于D，因为，故D错误． 10．数列的前项和记为，且，则（    ） A． B．为等差数列 C．中既有最大项也有最小项 D．中有最大项但无最小项 【答案】ABC 【分析】利用、求出可判断A；利用等差数列的定义可判断B；利用求出判断出单调性可判断CD. 【详解】对于A，当时，， 当时，， 所以 ，故A正确； 对于B，由已知，所以， 当时，，且， 所以是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对于C， 当时，， 所以， 所以当时开始单调递增且为负数， 且当时，为最大项， 为最小项，可得中有最大项也有最小项，故C正确D错误. 11．已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式可判断AD选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项；将代入，结合二次函数的基本性质可判断C选项. 【详解】因为，，， 对于A选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C错； 对于D选项，， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立，D对. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则______． 【答案】 【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可. 【详解】对求导， 可得， 所以，解得. 13．2025年天津市南开中学斩获天津市首届市直属中学篮球联赛冠军，2026年又卫冕成功，第二次夺得冠军．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________，若该队员罚球10次，则平均命中次数为____________． 【答案】 /0.75 7.5// 【分析】根据对立事件的概率公式计算即可得该队员每次罚球的命中率；根据二项分布的均值公式即可求解平均命中次数． 【详解】设该队员每次罚球的命中率为， 则有，故（负值舍去）． 设该队员罚球10次，命中次数为，则， 因为， 所以该队员罚球10次，则平均命中次数为7.5． 14．已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 【答案】 【详解】设该三棱台为正三棱台，且，， 设该三棱台的上、下底面的中心分别为，，则． 在平面中，过作，垂足为，则平面， 且，且该三棱台的侧棱与底面所成的角为． 因为，， 所以， 故． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和差的正弦、余弦公式化简等式即可求出结果. （2）根据正弦定理和三角形面积公式计算即可. 【详解】（1） ． 因为，所以， 所以 ，解得． 因为，所以． （2）由（1）得． 因为，，所以，所以． 由正弦定理，得 ． 因为， 所以的面积． 由题意，得，解得． 16．甲、乙两人进行射箭游戏，规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭．两位同学每次射箭相互独立，甲的命中率为，乙的命中率为，第1次射箭是甲． (1)求第3次射箭的人是甲的概率； (2)甲、乙一共射箭4次，用随机变量X表示乙射箭的次数，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，结合加法概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的乘法公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【详解】（1）记“第3次射箭的人是甲”为事件A，所以，即第3次射箭的人是甲的概率为． （2）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以． 17．在正方体中，为的中点，与平面交于点． (1)求三棱锥的体积； (2)求三棱锥外接球的表面积； (3)证明：，，三点共线． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据计算可得； （2）棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的表面积； （3）连接，根据点、面的位置关系证明即可. 【详解】（1）三棱锥的体积为． （2）三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 又正方体外接球的直径， 所以三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为． （3）连接，，易得，所以四点共面． 由为的中点，得为的中点，则． 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 因为与平面交于点，所以平面，． 因为平面，所以平面，则为平面与平面的公共点， 所以，所以三点共线． 18．在平面直角坐标系中，已知点，、动点满足，，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程： (2)已知点，，过点作斜率为的直线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，若，，成等差数列，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用双曲线定义求出点的轨迹方程，再利用坐标代换法求出曲线的方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率公式列式求解. 【详解】（1）由，得点的轨迹是以为左右焦点，实轴长为2的双曲线， 实半轴长，半焦距，虚半轴长， 因此点的轨迹方程为，设，由，得， 于是，即，所以曲线的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在且不为0，设其方程为，， 由消去得，， 则，，， 由，，成等差数列，得，即， 则，即，所以. 19．已知函数（），. (1)若不存在零点，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求的值； (3)已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值. 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）求导，然后令即可； （2）构造新函数 ，对分类讨论，结合即可得解； （3）利用（2）的结论，写出新数列的表达式，找到新数列的取值范围，代入即可得到结果. 【详解】（1）由题意函数（），求导可得，， 当时，令，得，当时，，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减，所以， 不存在零点，只需 ，解得，所以实数a的取值范围是. （2）因为，所以，其中， 令 ，其中，则恒成立，求导得：，且， 当时，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，满足题意；综上所述. （3）因为，所以， 由（2）可知当时 ，即， 所以当且仅当时取等号，所以，. ， 所以 ， 即：对于任意正整数，恒成立， 且因为为整数，且对于任意正整数， 成立， 当时， ，所以不能恒成立， 所以m的最小值为3. 2 / 12 脚踏实地，全力以赴，顶峰相见1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $亮剑高考・最后一练 2026年高考考前信心增强卷 数学（全国Ⅰ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！ 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．27 B．3 C．24 D．48 3．设向量，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知，则的值是（ ） A．30 B．31 C．32 D．33 5．若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 6．已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：交于两点，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．若为第一象限角，则 B．若，则 C． D． 10．数列的前项和记为，且，则（    ） A． B．为等差数列 C．中既有最大项也有最小项 D．中有最大项但无最小项 11．已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则______． 13．2025年天津市南开中学斩获天津市首届市直属中学篮球联赛冠军，2026年又卫冕成功，第二次夺得冠军．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________，若该队员罚球10次，则平均命中次数为____________． 14．已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为，求． 16．甲、乙两人进行射箭游戏，规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭．两位同学每次射箭相互独立，甲的命中率为，乙的命中率为，第1次射箭是甲． (1)求第3次射箭的人是甲的概率； (2)甲、乙一共射箭4次，用随机变量X表示乙射箭的次数，求X的分布列及数学期望． 17．在正方体中，为的中点，与平面交于点． (1)求三棱锥的体积； (2)求三棱锥外接球的表面积； (3)证明：，，三点共线． 18．在平面直角坐标系中，已知点，、动点满足，，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程： (2)已知点，，过点作斜率为的直线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，若，，成等差数列，求． 19．已知函数（），. (1)若不存在零点，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求的值； (3)已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值. 2 / 12 脚踏实地，全力以赴，顶峰相见1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $