2025-2026学年北师大版数学七年级下册第二次月考质量监测试题【测试范围：七年级下册第1章-第5章】

**基本信息** 七年级下学期第二次月考数学试卷（北师大版1-5章），以汉字演变、梁启超名言等文化情境为载体，通过几何综合、代数运算、统计概率的梯度设计，考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称、平行线、三角形三边关系|汉字轴对称（题1）结合文化传承，考查几何直观| |填空题|6/18|频率计算、整式运算、三角形内角和|梁启超名言中“国”字频率（题11），体现数据意识| |解答题|8/72|全等证明、几何综合探究|等边三角形全等及数量关系探究（题24），层次分明，考查推理能力与创新意识|

七年级下学期第二次月考质量监测试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【测试范围：七年级下册第1章-第5章】（北师大版2024） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．汉字是中华文明的标志，它经历了甲骨文、金文、篆书、隶书、草书、楷书、行书的演变过程，每种书体都有着鲜明的艺术特征．下面文字属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2.如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　） A. B. C. D. 3.下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 5．如图，在△ABC中，，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．某小组做“用频率估计概率”的试验时,统计了某结果出现的频率,绘制了如图的折线统计图,则符合这一结果的试验最有可能的是（ ） A．在“石头、剪刀、布的游戏中小明随机出的是“剪刀” B．暗箱中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球 C．掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是4 D．掷一枚一元硬币,落地后正面朝上 7．如图，，则下列结论 ①；②；③；④． 其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．，，则的值为（ ） A. B. 8 C. D. 2 9．如图，平分，若的面积是9，则的面积是（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 10．如图，是△ABC的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．梁启超先生曾说：“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”，在划线部分这句话中，“国”字出现的频率是 ． 12.计算：______． 13．如图，已知，，，则___度． 14．如图，△ABC中，，，垂足分别为点D，E，相交于点H，，，则的长为__________． 15．如图，直线是多边形的对称轴，若，则的度数为 ． 16．如图，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC延长线于F，且垂足E，则以下结论：①AD=BF；②CD=CF；③AC+CD=AB；④AD=2BE．正确的个数是 ． 三．解答题（本题共8小题，共72分，17-21，每题8分，22-23，每题10分, 24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．第一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4,估计袋中红球的个数. 18．已知(x2＋px＋8)(x2－3x＋q)的展开式中不含x2和x3项，求p，q的值 19. 如图，已知∠1=∠BDE，∠2+∠FED=180°． （1）证明：AD∥EF． （2）若EF⊥BF于点F，且∠FED=140°．求∠BAC的度数． 20．已知：如图，，求证：． 21如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 22．如图，在△ABC中，点是BC的中点，，，垂足分别是点，，． (1)求证：平分； (2)若△ABC的面积为，，求的长． 23．如图，在△ABC中，，是过点A的直线，于D，于点E； （1）若B、C在的同侧（如图1所示）且．求证：； （2）若B、C在的两侧（如图2所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由． 24．问题情境：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接． （1）小明发现：△ACD≌△BCE，请你帮他写出推理过程； （2）李洪受小明的启发，求出了的度数，请直接写出为______°； （3）轩轩在前面两人的基础上又探索出了与的位置关系为______； （4）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为的边上的高，连接，试探究，，之间有怎样的数量关系． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下学期第二次月考质量监测试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【测试范围：七年级下册第1章-第5章】（北师大版2024） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．汉字是中华文明的标志，它经历了甲骨文、金文、篆书、隶书、草书、楷书、行书的演变过程，每种书体都有着鲜明的艺术特征．下面文字属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 2.如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：∵时，， ∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是． 3.下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解： A、，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，不符合题意； 4．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为2和5， ∴第三边，即第三边， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， ∴该三角形的周长为， 5．如图，在△ABC中，，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴由等腰三角形三线合一可知垂直平分， ∴， 6．某小组做“用频率估计概率”的试验时,统计了某结果出现的频率,绘制了如图的折线统计图,则符合这一结果的试验最有可能的是（ ） A．在“石头、剪刀、布的游戏中小明随机出的是“剪刀” B．暗箱中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球 C．掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是4 D．掷一枚一元硬币,落地后正面朝上 【答案】D 【详解】解： A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故A选项错误； B、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为， 故B选项错误； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故C选项错误 D．掷一枚一元硬币，落地后正面上的概率为. 7．如图，，则下列结论 ①；②；③；④． 其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，，， ∴即． 故①②③④正确，正确结论的个数有4个 8．，，则的值为（ ） A. B. 8 C. D. 2 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴ = =， 9．如图，平分，若的面积是9，则的面积是（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】D 【详解】解：延长交于点， 平分， ∴∠BAD=∠EAD， 又于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 10．如图，是△ABC的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：∵是△ABC的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①②正确； ∴垂直平分，故③正确； 根据现有条件无法证明垂直平分，故④错误； 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．梁启超先生曾说：“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”，在划线部分这句话中，“国”字出现的频率是 ． 【答案】 【详解】解：∵在“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”这18个字中，“国”字有3个， ∴“国”字出现的频率是； 12.计算：______． 【答案】－2 【详解】解： =－2． 故答案为：－2． 13．如图，已知，，，则___度． 【答案】65° 【详解】解：过点作∥，如图： ， ． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：． 14．如图，△ABC中，，，垂足分别为点D，E，相交于点H，，，则的长为__________． 【答案】3 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在和△BEC中， ， ∴， ∴， 则． 故答案为：3． 15．如图，直线是多边形的对称轴，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：根据轴对称图形的性质得， ∴故答案为：． 16．如图，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC延长线于F，且垂足E，则以下结论：①AD=BF；②CD=CF；③AC+CD=AB；④AD=2BE．正确的个数是 ． 【答案】①②③④ 【详解】解：∵∠ACB=90°，BF⊥AE， ∴∠ACB=∠BED=∠BCF=∠FEA=90°， ∴∠F+∠FBC=90°，∠F+∠DAC=90°， ∴∠FBC=∠DAC， 在△BCF和△ACD中， ， ∴△BCF≌△ACD（ASA）， ∴AD=BF，CD=CF；①②正确； ∵△BCF≌△ACD， ∴AD=BF， ∵AE平分∠BAF，AE⊥BF， ∴∠BEA=∠FEA=90°，∠BAE=∠FAE， 在△BEA和△FEA中， ， ∴△BEA≌△FEA， ∴AB=AF，BE=EF， ∴AD=BF=2BE，④正确； ∵△BCF≌△ACD， ∴CD=CF， ∴AC+CD=AF， 又∵AB=AF， ∴AC+CD=AB．③正确； 综上，①②③④都正确， 故答案为：①②③④ 三．解答题（本题共8小题，共72分，17-21，每题8分，22-23，每题10分, 24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．第一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4,估计袋中红球的个数. 【答案】估计袋中红球8个． 【详解】解：由题意可得：摸到黑球和白球的频率之和为：， 总的球数为：， 红球有：（个． 答：估计袋中红球8个． 18．已知(x2＋px＋8)(x2－3x＋q)的展开式中不含x2和x3项，求p，q的值 【答案】p＝3，q＝1 【详解】解：(x2＋px＋8)(x2－3x＋q) ＝x4－3x3＋qx2＋px3－3px2＋pqx＋8x2－24x＋8q ＝x4＋(p－3)x3＋(q－3p＋8)x2＋(pq－24)x＋8q. 因为展开式中不含x2和x3项， 所以p－3＝0，q－3p＋8＝0， 解得p＝3，q＝1. 19. 如图，已知∠1=∠BDE，∠2+∠FED=180°． （1）证明：AD∥EF． （2）若EF⊥BF于点F，且∠FED=140°．求∠BAC的度数． 【答案】（1）详见解析；（2）50° 【详解】解：（1）∵∠1=∠BDE， ∴AC∥DE ∴∠2=∠ADE 又∵∠2+∠FED=180°， ∴∠ADE+∠FED=180°， ∴AD∥EF （2）∵∠FED=140°，∠2+∠FED=180° ∴∠2=40° 又∵AD∥EF，EF⊥BF， ∴AD⊥BF，即∠BAD=90°， ∴∠BAC=∠BAD-∠2=90°-40°=50° 20．已知：如图，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 21如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， 为的中点， ， 又， ； （2）解：由（1）知， ，， ， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ． 22．如图，在△ABC中，点是BC的中点，，，垂足分别是点，，． (1)求证：平分； (2)若△ABC的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7cm 【详解】（1）解：证明：∵点是的中点， ∴． ∵于点，于点． ∴． 在和中 ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴平分． （2）∵，则, ∴△ABC为等腰三角形，且． ∵，， ∴． 由（1）得， ∴， 解得， ∴的长为． 23．如图，在△ABC中，，是过点A的直线，于D，于点E； （1）若B、C在的同侧（如图1所示）且．求证：； （2）若B、C在的两侧（如图2所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：．理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴，即， ∴． 24．问题情境：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接． （1）小明发现：△ACD≌△BCE，请你帮他写出推理过程； （2）李洪受小明的启发，求出了的度数，请直接写出为______°； （3）轩轩在前面两人的基础上又探索出了与的位置关系为______； （4）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为的边上的高，连接，试探究，，之间有怎样的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2）60 （3）平行 （4） 【小问1详解】 证明：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， 即：， 在和中，， ∴； 【小问2详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵△ACD≌△BCE， ∴， ∴， 故答案为：60； 小问3详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：， 证明如下： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理可知△ACD≌△BCE，则， ∴． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $