23.2.2 一次函数的图象和性质 课件-2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一次函数的图象和性质，从复习正比例函数入手，通过对比y=2x与y=2x-3等函数的图象，引导学生发现一次函数由正比例函数平移得到，构建前后知识的学习支架。 其亮点在于通过“数学思考”让学生动手画图培养几何直观，对比k值推理函数性质发展推理意识，结合“成长之路”比喻用数学语言表达现实。采用数形结合教学，学生能深化理解，教师可高效实施教学。

草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具、本章知识点思维导图、美丽的数学心 正比例函数图象过原点，那一次函数的图象有何特点？斜率和截距又藏着什么秘密？今天我们探究一次函数的图象和性质。 课前准备 23.2.2 一次函数的图象和性质 情境引入 1.会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象理 解一次函数的增减性；（重点） 2.能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问 题．（难点） 3.感受数学数形之美，激发函数知识的学习兴趣与探索欲望 学习目标 形如 的函数，叫做正比例函数； 形如 的函数，叫做一次函数； 当b=0时，y=kx+b就变成了 ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 正比例函数的图象是一条经过 点的 . y=kx（k是常数，k≠0） y=kx+b(k,b是常数，k≠0) y=kx 原 直线 课堂引入 正比例函数 解析式 y =kx（k≠0） 性质：k＞0，y 随x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小． 一次函数 解析式 y =kx+b（k≠0） 针对函数 y =kx+b，要研究什么？怎样研究？ 图象：经过原点和（1，k）的一条直线 x y O k＞0 k＜0 x y O ？ ？ 2 -2 -4 -6 -2 2 x y O x … -2 -1 0 1 2 … y … -7 -5 -3 -1 1 … 描点 连线 列表 (1)画一次函数 y =2x-3 的图象． (2)画正比例函数 y =2x的图象． y =2x-3 y =2x 4 一次函数的图象 1 数学思考 比较上面两个函数的图象回答下列问题： （2）函数 y=2x 的图象经过 ， 函数y= 2x-3的图像与y轴交 于点( )，即它可以看作 由直线 y=2x向 平移 个 单位长度而得到. （1）这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 . 原点 0 ，-3 下 3 一条直线 相同 (1)在同一直角坐标系画一次函数 y =-6x与y =-6x +5 的图象． (2)一次函数y =-6x +5的图象与y轴交于点 ， 可以看作由直线 y =-6x向 平移 个单位 长度而得到． (3)在同一直角坐标系中，直线 y =-6x +5与 y =-6x 的位置关系是 . 上 5 (0，5) 平行 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，b），可以由正比例函数y=kx的图象平移 个单位长度得到（当b＞0时，向 平移；当b＜0时，向 平移）. 下 上 怎样画一次函数的图象最简单？为什么？ 思考：与x轴的交点坐标是什么？ 由于两点确定一条直线，画一次函数图象时我们只需描点(0，b)和点 或 (1，k+b)，连线即可. 提示：y=kx+b与x轴的交点坐标是 例题讲解 O 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： （1） y=2x-1；（2） y=-0.5x+1. x 0 1 y=-2x-1 y=0.5x+1 -1 1 1 y=2x-1 0.5 y=-0.5x+1 也可以先画直线 y=2x与 y=-0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=2x-1与 y=-0.5x+1. 例 　　画出下列一次函数的图象： 　 （1）y =x+1； 　（2）y =3x+1； 　 （3）y =-x+1；　（4）y =-3x+1． 思考：仿照正比例函数的做法，你能看出当 k 的符号 变化时，函数的增减性怎样变化吗？ 一次函数的性质 2 6 -2 -5 5 x y O 2 4 A B C D E y =x+1 y =3x+1 y =-x+1 y =-3x+1 k＞0时，直线左低右高，y 随x 的增大而增大； k＜0时，直线左高右低，y 随x 的增大而减小． 我们先通过观察发现图象(形)的规律，再根据这些规律得出关于变量数值大小的性质，这种数形结合的研究方法在数学学习中很重要. 在一次函数y=kx+b中， 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小. 由此得到一次函数性质： k 0，b 0 > > k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 > > > < < < < < = = 思考：根据一次函数的图象判断k，b的正负，并说出直线经过的象限： 一次函数y=kx＋b中，k，b的正负对函数图象及性质有什么影响？ 当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大而增大. 当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随x的增大而减小. ① b>0时，直线经过第 一、二、四象限； ② b<0时，直线经过第二、三、四象限. ① b>0时，直线经过第一、二、三象限； ② b<0时，直线经过第一、三、四象限. 例题讲解 已知函数y＝－x＋2. 当－1<x ≤ 1 时，y 的取值范围是( ) A.1 ≤ y<3 B.－1 ≤ y<3 C.1<y<3 D.1<y ≤ 3 解题秘方：先根据一次函数解析式中自变量的系数判断出函数的增减性，再根据自变量的取值范围求出函数值的取值范围. 例 例题讲解 答案：A 解：因为在一次函数y＝－x＋2 中，k＝－1<0， 所以y 随x 的增大而减小. 因为－1<x ≤ 1，且当x＝－1 时，y＝－(－1)＋2＝3； 当x＝1 时，y＝－1＋2＝1，所以1 ≤ y<3. x O D x O C y x O B 已知函数 y = kx的图象在第二、四象限，那么函数y = kx-k的图象可能是（ ） B y y y x O A 分析：由函数 y = kx的图象在第二、四象限，可知k<0，所以-k>0，所以函数y = kx-k的图象经过第一、二、四象限，故选B. 知识巩固 1. 一次函数y=x-2的大致图象为（ ） C A B C D 2.下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是 ( ) A.y=-2x B.y=-2x+1 C.y=x-2 D.y=-x-2 C 课堂检测 3.直线y =2x-3 与x 轴交点的坐标为________；与y 轴交点的坐标为_______；图象经过第 _______ 象限， y 随x 的增大而________． 4.若直线y=kx+2与y=3x-1平行，则k= . 3 5.点A(-1,y1),B(3,y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点， 则y1-y2 0(填“>”或“<”). > （0，-3） 一、三、四 增大 （1.5，0） 20 6.已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m的图象与 y轴的 交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m 为整数，求m的值 . 解: 由题意得 解得 又∵m为整数, ∴m＝2. 一次函数函数的图象和性质 当k>0时，y的值随x值的增大而增大； 当k<0时，y的值随x值的增大而减小. 与y轴的交点是（0，b）， 与x轴的交点是（ ，0）， 当k>0， b>0时，经过一、二、三象限； 当k>0 ，b<0时，经过一、三、四象限； 当k<0 ，b>0时，经过 一、二、四象限； 当k<0 ，b<0时，经过二、三、四象限. 图象 性质 归纳小结 课外作业 必做题：画出下列一次函数的图象（要求用最简画法）： （1）y=3x+2；（2）y=−2x+4；（3）y=x−1。 2.已知一次函数y=−4x+5，回答下列问题： （1）该函数图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？ （2）该函数图象经过哪些象限？ （3）当x增大时，y的变化趋势是什么？ （4）当0≤x≤2时，求y的取值范围 选做题：结合本节课 “数学文化中的一次函数” 内容，尝试举例说明一次函数在生活中的应用（至少 1 个实例），并简要分析其解析式中k和b的实际意义 古老的定义：几何原本 直线是数学中最古老的几何图形之一。古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中定义：“直线是点在平面上向两个方向无限延伸的轨迹”。 现代的抽象：函数表达 从朴素的几何直观到精确的代数语言，一次函数 y=kx+b 完美地实现了对直线的抽象表达。 直线的美，跨越千年，是数学文化的传承之美。 示意图：从《几何原本》到函数坐标系 从古籍中的定义到坐标系中的直线，中间的箭头象征着数学思想跨越时空的传承与演进。 数学文化中的一次函数 · 传承之美 大美数学 今天我们摸清了一次函数的 “脾气”：斜率决定直线倾斜方向，截距锚定它与坐标轴的交点。这条直线，就像我们的成长之路，斜率是前行的速度与方向，截距是出发时的基础与初心。无论起点高低，只要选对方向、稳步发力，就能走出属于自己的精彩轨迹。愿大家带着这份数学智慧，在人生的坐标系里，画好每一段向上的直线。 $