23.3.2 一次函数与二元一次方程（组）课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数与二元一次方程（组）的内在联系，通过复习一次函数与一元一次方程、不等式的关系搭建旧知支架，再以问题链引导学生探究二元一次方程转化为一次函数及方程组解与图象交点的关系，构建新知学习路径。 其亮点在于以“探究—归纳—应用”为主线，结合具体实例（如方程转化、图象点验证、气球高度问题）培养数学思维的推理意识、数学眼光的几何直观和数学语言的模型意识。采用数形结合教学方法，小结拓展联系实际，帮助学生融会贯通，既提升学生逻辑推理与应用能力，也为教师提供清晰的探究式教学流程。

课前准备 草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 二元一次方程能否转化为一次函数？方程组的解，又和函数图象有着怎样奇妙的关联？今天我们数形结合，探寻二者的内在联系。 23.3.2 一次函数与二元一次方程（组） 学习目标 学习重点 通过经历“代数变形→函数转化→图象绘制→分析验证”的探究过程，总结一次函数与二元一次方程（组）的内在联系，体会“数形结合”思想，培养逻辑推理与抽象概括能力 能熟练地利用一次函数图象求解二元一次方程组和解决实际问题，体会数学的实用价值，增强数学应用意识与自信心. 理解一次函数与二元一次方程（组）的对应关系，掌握“二元一次方程的解对应一次函数图象上的点，二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标”这一核心结论. 能运用“数形结合”思想，利用函数图象求解二元一次方程组。 新知导入 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、的关系是什么？ 从函数值看： 求kx+b=0(k,b是常数，k≠0)的解 一次函数y=kx+b的函数值为0时，求自变量x的值 从函数图象看： 求kx+b=0(k,b是常数，k≠0)的解 求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标 数形结合 一 次 函 数 与 一 元 一 次 方 程 关系 新知导入 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、的关系是什么？ 一 次 函 数 与 一 元 一 次 不 等 式关系 求kx+b>0(或<0)(k,b是常数，k≠0)的解集 求一次函数y=kx+b的函数值大于0(或小于0)，求自变量x的取值范围 求kx+b>0(或<0)(k,b是常数，k≠0)的解集 求直线y=kx+b上纵坐标大于0或小于0的点对应的横坐标x的取值范围 数形结合 从函数值看： 从函数图象看： 新知导入 问题1：（1）写出二元一次方程对应的函数表达式? （2）观察图象，思考直线上的点、、是否满足方程？ 探究一：一次函数与二元一次方程的关系 、、都满足方程 新知导入 （3）根据上述问题，你能发现一次函数图象上的点与二元一次方程解的关系？ 探究一：一次函数与二元一次方程的关系 发现:一次函数图象上点的坐标是二元一次方程的解 新知导入 变式1：已知二元一次方程 （2）写出直线上任意三个点的坐标，并验证 这些坐标是否满足方程； （1）把这个方程转化为一次函数表达式； 比如：取直线上三个点坐标、、 同理，、也满足方程 把带入中 左边，所以左边右边 所以满足方程 新知导入 （3）取方程的两组解和， 在平面直角坐标系中描出这两个点，观察它们 是否在第（1）题得到的直线上. 比如：在 方程中 令时，，得到方程的解 令时，，得到方程的解 由图可知、在直线上. 新知导入 归纳 （1）任何一个含未知数和的二元一次方程都可以转化为： 的形式,所以每一个二元一次方程都对应一个一次函数, 于是也对应一条直线. （2）直线上每个点的坐标都是这个二元一次方程的解. 同样地，以这个二元一次方程的解为坐标的点都在这条直线上. 新知导入 问题2：（1）你能将二元一次方程组转化为几个一次函数，能分别写出它们的函数表达式吗？ （2）在平面直角坐标系中画出（1)中的 函数图象，找到它们的交点； 探究二：一次函数与二元一次方程组的关系 2个 分别对应的一次函数表达式为： 和 新知导入 （3）求二元一次方程组 的解； （4）由（2）和（3）题，你能从函数的角度对方程组的解进行解释吗？ ① ② 由①②得： 把带入①得： 故原方程的解为： 新知归纳 （1）一般地，由含有未知数和的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数,于是也对应两条直线； （2）从“数”的角度看，解这样的二元一次方程组相当于求当自变量为何值时，相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值; 从“形”的角度看，解这样的二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标. 数学应用 1.利用函数图象解方程组 解：由图可知： 一次函数与的图象 交点为 故方程组的解为： 数学应用 2.一次函数与的图象的交点坐标为, 请确定方程组的解和. 解： 为 将代入，得，解得 小结拓展 练习：同时释放两个探测气球，号气球从距离地面高处出发，以的速度上升,2号气球从距离地面高处出发，以的速度上升.两个气球都上升了. （1）分别写出表示两个气球所在位置高度（单位：）关于上升时间（单位：）的函数解析式. 分析：气球上升时间满足. 对于号气球，关于的函数解析式为. 对于号气球，关于的函数解析式为 小结拓展 （2）两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 从数的角度看：就是求自变量（）为何值时，两个一次函数，有相同的值函数值. y=x+5 y=0.5x+15 联立 x-y=5 0.5x-y=-15 x=20 y=25 解得 这就是说，当上升s时，两个气球都距离地面的高度. 小结拓展 从形的角度看：同一坐标系下，两直线的交点坐标为，说明气球上升时，两个两气球都距离地面. 反思总结 赞扬 补 充 疑 问 发言 今天你收获到了哪些知识？ 课外作业 必做题： 教材P130练习第2，3题 选做题： 教材P130习题23.3 第3，4，5题 大美数学 本节课我们发现，二元一次方程对应一条直线，方程组的解就是两条直线的交点坐标。数学知识从来不是孤立零散的，彼此互通、相互印证。学习亦是如此，学会融会贯通、跨界思考，就能换一种方法简化难题。愿大家善用数形结合的思维，打破知识边界，以多元视角看待问题，在不断融合与探索中，收获思维的成长与进步。 $