11.1.1不等式及其解集课件2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件围绕“不等式及其解集”展开，涵盖不等式概念、解与解集的区别联系及数轴表示等核心知识点。课堂导入从超市优惠等生活实例出发，通过汽车行驶问题抽象出不等式，以问题链引导学生逐步理解概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境激发兴趣体现数学眼光，通过问题链引导推理培养数学思维，用数轴表示解集渗透数形结合的数学语言。如猕猴桃种植问题强化模型意识，小结梳理知识脉络。能提升学生抽象能力与应用意识，为教师提供清晰教学流程和丰富实例。

课前准备 草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 当两家超市推出不同的优惠方案时，到哪家超市购物花费较少？你还能举出其他生活中存在不等关系的例子吗？ 11.1.1 不等式及其解集 学习目标 学习重点 了解不等式及不等式的解、解集的概念； 能在数轴上正确表示不等式的解集，体会数形结合的思想； 理解不等式的解集及解不等式的意义； 学会并准确运用不等式表示数量关系； 理解并掌握不等式及不等式的解集的概念. 新知探究 问题1 一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6:00时汽车距前方的A地210km，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ 解：设车速为x千米/时 时间小于2小时 2小时驶过的路程大于210km 从时间看 从路程看 2x>210 “ ≤ ” “ ≥ ” 归纳：像以上式子中，用符号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫作不等式. 　　问题 2　你能用式子表示下列不等关系吗？ 　　（1）m 的 4 倍小于 9； 　　（2）a 与 2 的和不等于 a 与 2 的差． 4m a＋2 9 ＜ ； ≠ ． a－2 和 差 积 商 ＋ － × ÷ 有些不等式中不含字母，例如3<4, -1>-2;有些不等式中含有字母. 我们常用不等式来表示不等关系. 像a+2≠a-2这样用“≠”表示的式子也是不等式. 例题精练 例1.判断下列式子是不是不等式： (1)3>1; (2)4x<0; (3)x=3; (4)x2+xy+y2; (5)x≠5; (6)x+2≥y+5 是 不是 是 是 是 不是 例2.用不等式表示下列不等关系: (1)a与15的和大于27; (2)b的一半与3的差是负数; (3)某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333 hm2猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍. a+15>27 - 3 <0 设这个县原有猕猴桃种植面积为x hm，那么1333> 18x(18x<1333) 新知探究 问题3 下面给出的数中，能使不等式2x>210成立吗？ x 80 90 105 110 120 123 2x>210是否成立 是 是 是 否 否 否 我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 例如：110是不等式2x>210的解，90不是不等式2x>210的解. 你还能找出其他的数使不等式2x>210成立吗？ 思考：（1）不等式2x>210的无数个解都满足什么条件？ （2）我们能否找到一种方法将所有的解全部表示出来？ 都满足x>105 不等式法（代数法） 归纳：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫作解不等式. 　　问题 4　除了用 x＞105 表示不等式 2x＞210 的解集，还有其他表示 方法吗？ 一般来说，一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况(a>0) 数 形 转化 画数轴、定界点、定方向 数轴法 （几何法） 不等式的解集 x>a x<a x≥a x≤a 数轴表示 例题精练 例3.将下列不等式的解集在数轴上表示出来. ① x ≤ -2 ② x＞1.2 当堂检测 1.用不等式表示下列不等关系: (1) a是正数; (2)5与x的和小于7; (3)-4与m的积大于8; (4)m与1的差小于m的3倍; (5)经检测，某公园的环境噪声在50 dB(分贝)以下， (6)某市有公交车12000辆，其中新能源公交车所占比例超过66%. 2.下列数中哪些是不等式x+3>6的解?哪些不是? -4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12. 3.直接说出下列不等式的解集: (1) x+3>6; (2) 2x<8; (3)x-2>0. 小结巩固 　　通过本节课的学习，你有哪些收获？让我们梳理并尝试回答以下 问题： 　　1. 怎样根据具体问题中的数量关系列不等式？ 　　（1）分析题意，找出题目中的数量关系； 　　（2）寻找其中的不等关系； 　　（3）列出相应的数学式子——不等式． 　　2. 你能说说不等式的解和不等式的解集之间的区别与联系吗？ 　　不等式的解集包括了不等式的全体的解，解集中任何一个数都是不 等式的一个解． 　　3. 用数轴表示不等式解集时需要注意哪些问题？ 　　（1）画数轴，定界点，定方向； 　　（2）在表示某个数的点上画空心圆圈，表示解集不包含这个点所对 应的数；若画成实心圆圈，则表示解集包含这个点所对应的数． 课后作业 　　教科书习题 11.1 第 1，2，3 题． $课前准备 草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 让我们一起走进奇妙的数学世界 11.1.2.1 不等式的性质 学习目标 学习重点 理解不等式的性质； 通过类比等式的性质，探索不等式的性质，体会不等式与等式的异同，初步掌握类比的思想方法； 通过实例操作，培养学生观察、分析、比较的能力，会用不等式的基本性质解简单的不等式. 探索并理解不等式的性质； 会用不等式的性质进行简单的判断. 情境引入 问题1：等式的性质有哪些？ 文字语言 符号语言 等式的性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等 如果a=b，那么a±c=b±c. 等式的性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数, 结果仍相等. 如果a=b，那么ac=bc； 对称性 ：如果 a＝b，那么 b＝a． 传递性：如果 a＝b，b＝c，那么a＝c． 问题3：类比等式的性质，猜想不等式的性质有哪些？ 　　问题 2：你能梳理一下等式性质这一节的研究思路吗？ 新知探究 　　问题 4：类比关于等式的基本事实，你能猜想不等式的基本事实吗？ 　　请你用“＞”或“＜”填空： 　　如果 5＞－3，那么－3 _______ 5， 　　如果 5＞x，那么 x _______ 5， 　　如果 a＞b，那么 b _______ a． ＜ ＜ ＜ 　　不等式的基本事实： 　　交换不等式两边，不等号的方向改变：如果 a＞b，那么 b＜a． 　　问题 4：类比关于等式的基本事实，你能猜想不等式的基本事实吗？ 　　请你用“＞”或“＜”填空： 　　如果 x＞0，0＞－3，那么 x _______ －3， 　　如果 x＞y，y＞3，那么 x _______ 3， 　　如果 a＞b，b＞c，那么 a _______ c． ＞ ＞ ＞ 　　不等式的基本事实： 　　不等关系可以传递：如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c． 　　如何借助数轴理解不等式的这两个基本事实？ 　　（1）交换不等式两边，不等号的方向改变：如果 a＞b，那么 b＜a． 　　（2）不等关系可以传递：如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c． b a c a b 问题5：用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，并总结其中的规律： 5＞3 -1 ＜3 ①5+2 3+2 ① -1+4 3+4 ②5+0 3+0 ②-1+0 3+0 ③5+(-2) 3+(-2) ③-1+(-7) 3+(-7) ④5-(-2) 3-(-2) ④-1-(-5) 3-(-5) 归纳：【不等式的性质1】不等式的两边加（或减）同一个数(或式子)，不等号的方向不变。（如果a>b ，那么 a±c>b±c.） < < < > > > > < 问题6：用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，并总结其中的规律： 6＞2 -2 ＜3 ①6×5 2×5 ① -2×4 3×4 ②6÷2 2÷2 ② -2÷3 3÷3 归纳：【不等式的性质2】不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.（如果a>b ，c>0，那么ac>bc， .） < > > < 问题7：用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，并总结其中的规律： 6＞2 -2 ＜3 ①6×5 2×5 ① -2×4 3×4 ②6÷2 2÷2 ② -2÷3 3÷3 归纳：【不等式的性质2】不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.（如果a>b ，c>0，那么ac>bc， .） < > > < 思考交流 等式的基本事实和不等式的基本事实有什么异同？等式性 质与不等式性质有什么异同？   等式的基本事实 不等式的基本事实 （1） 对称性 （2） 传递性 等式两边可以交换： 如果 a＝b，那么 b＝a． 相等关系可以传递： 如果 a＝b，b＝c， 那么 a＝c． 交换不等式两边，不等号的方向改变： 如果 a＞b，那么 b＜a． 不等关系可以传递： 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c． 等式的性质 不等式的性质   文字语言 符号语言   文字语言 符号语言 性质 1 性质 1 性质 2 性质 2 性质 3 等式两边加（或减）同 一个数（或 式子），结 果仍相等． 如果 a＝b， 那么 a±c ＝b±c． 不等式两边加（或 减）同一个数（或 式子），不等号的 方向不变． 如果 a＞b， 那么 a±c＞b±c． 等式两边乘 同一个数， 或除以同一 个不为 0 的 数，结果仍 相等． 不等式两边乘（或 除以）同一个正数， 不等号的方向不变． 不等式两边乘（或 除以）同一个负数， 不等号的方向改变． 如果 a＝b， 那么 ac＝bc． 如果 a＝b， c≠0， 那么 　＝　. 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc（或　＞ ）． 如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc（或　＜ ）． 例题精练 例1.已知a>b,比较下列两个式子的大小，并说明依据. (1)a+3与b+3; (2)-2a与-2b 解： （1）∵a>b ∴a+3>b+3（不等式的性质1） （2）∵a>b ∴-2a<-2b（不等式的性质3） 巩固练习 1.根据不等式的性质，判断下列变形是否正确. （1）若a＞b，则a-1＞b-1 ( ) （2）若a＞b，则-a＞-b ( ) （3）若a＞b，则ac＞bc ( ) （4）若ac＞bc，则a＞b ( ) （5）若a＞b，则 ( ) （6）若 ，则a＞b ( ) （7）若a＞b，则ac2>bc2 ( ) （8）若ac2>bc2 ，则a＞b ( ) √ × √ × × × × × 2.已知p>q，用“>”或“<”填空，并说明依据: (1)p+ q+; (2)p-2 q-2; (3)p+2m q+2m; (4)-5p -5q; (5) ; (6)4p+1 4q+1. 3. 已知m>3，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围: (1)m+5; (2)； (3)-2m ; (4)3m-4. 小结归纳 　　请回顾本节课所学的内容，回答以下问题： 　　（1）不等式的性质是什么？ 　　（2）比较不等式的性质 2 和性质 3，它们有什么区别？ 　　（3）比较不等式的性质和等式的性质，有哪些区别和联系？ 课后作业 　　教科书习题 11.1 第 4，7 题． $课前准备 草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 让我们一起走进奇妙的数学世界 12.4 数据的收集、整理与描述 小结与复习 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 德阳市聂忠林名师工作室 了解全面调查的概念，总体和个体的概念. 会设计简单的调查问卷，收集数据；掌握划记法，会用表格整理数据. 能用统计图描述数据. 学习目标 知识框架 知识梳理 知识一 统计调查方法 1. （1）全面调查：考察 对象的调查叫做全面调查. （2）抽样调查：只抽取 对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况. 备注：全面调查适用于调查范围小，调查不具有破坏性，数据要求全面准确；抽样调查适用于调查范围大，或受条件限制，或具有破坏性. 全体　 一部分　 过关小练 1. 在下面的调查中，最适合用全面调查的是（　B　） A. 了解一批节能灯管的使用寿命 B. 了解某校八年级3班学生的视力情况 C. 了解某省初中生每周上网时长情况 D. 了解京杭大运河中鱼的种类 2. 下列调查中，适合采用抽样调查的是（　B　） A. 了解神舟飞船的设备零件的质量情况 B. 了解一批袋装食品是否含有防腐剂 C. 全国人口普查 D. 企业招聘，对应聘人员进行面试 B　 B　 知识梳理 2. （1）总体：所要考察的 对象叫做总体； （2）样本：被抽取的那些 组成一个样本； （3）个体：组成总体的 考察对象称为个体； （4）样本容量：样本中个体的 ⁠. 备注：抽样调查中的抽取的样本必须具有代表性，样本容量是一个数字，没有单位. 全体　 个体　 每一个　 数目　 知识二 总体、个体、样本及样本容量 过关小练 3. 某校有4 000名学生，随机抽取了400名学生进行体重调查，下列说法错误的是（　B　） A. 总体是该校4 000名学生的体重 B. 个体是每一个学生 C. 样本是抽取的400名学生的体重 D. 样本容量是400 B　 知识梳理 3. （1）常见统计图有 、 、 ⁠ 、 . （2）条形统计图显示每组中的 ，折线统计图显示数据 的 ，扇形统计图显示部分在总体中所占的 ，频数分布直方图显示数据的 ⁠. 备注：①扇形统计图中各组百分比之和为1，各组所占百分×360°＝各组扇形圆心角度数.②频数分布直方图中各组频率之和为1，数据总数×各组频率＝各组频数. 知识三 几种常见的统计图 条形统计图　 折线统计图　 扇形统计图 具体数据　 变化趋势　 百分比　 分布情况　 频数分布直方图　 过关小练 4.某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动.开设以下五个球类项目:A（羽毛球）,B（乒乓球）,C（篮球）,D（排球）,E（足球）.要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目.为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下. 根据以上信息，解决下列问题： （1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； （2）图②中项目E对应的圆心角的度数为 ； （3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B （乒乓球）的人数. 72° （3）800× ＝240（人）. 答：估计本校七年级800名 学生中选择项目B（乒乓球） 的有240人. 解： （1）如图所示. 重点探究 常考点 统计图表的信息提取 1. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查.家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等.学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图. 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为 ； （2）补全条形统计图； 100 解：如图所示. （3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ； （4）若该校有学生1 200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数. 解：（4）1 200× ＝300（人）. 答：估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生有300人. 36° 2. “五谷者，万民之命，国之重宝.”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑.农业科研人员小李在实验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究. 【确定调查方式】 （1）小李计划从实验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 （填序号）. ①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本 ②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本 ③随机抽取100个麦穗的长度作为样本 （2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下. 【整理分析数据】 根据图表信息，解答下列问题： ①频率分布表中的m＝ ；②请把频数分布直方图补充完整. 0.12 解：如图所示. （3）请你估计长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占的比例. 【作出合理估计】 解：（3）（45＋30＋9）÷100＝84％. 答：估计长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占的比例为84％. 能力提升 为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学.该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初的线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评.根据第一次测试的数学成绩制成的频数分布直方图如图①所示. 复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表. 根据以上图表信息，完成下列问题： （1）m＝ ； 14 （2）请在图②中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）； （3）某同学第二次测试数学成绩为78分， 这次测试中，分数高于78分的至少有 　　　人，至多有 　　　人； （4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数. 解：（2）折线图如图②所示. 复学后，学生的成绩总体上有 了明显的提升. 20 34 解：（4）800× ＝320（人）. 答：估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的有320人. 归纳小结 　　1. 本章的知识之间存在哪些联系？ 全面调查 抽样调查 收 集 数 据 整理数据 描述数据 分析数据 得出结论 制表 绘图 扇形图 条形图 折线图 直方图 趋势图 　　2. 如何选用合适的统计图描述数据？ 　　描述分组、分类数据可以选择条形图或扇形图，如果比较数量大小， 大多选择条形图；如果要观察部分占整体的百分比，则选择扇形图． 　　如果数值类数据表现为数字，我们在整理时通常是对其进行分组， 数据分组的主要目的是观察数据的分布特征．对此类数据我们可以采用 直方图描述． 　　当需要直观表示数量的多少，并能直观反映数据的增减变化趋势时，我们可以采用折线图描述数据． 　　当需要描述两个量之间的关系，并能根据一个量的变化预测另一个量的变化趋势时，我们可以采用趋势图描述数据． 课外作业 　　教科书复习题 12 第 6，7 题． $课前准备 草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 让我们一起走进奇妙的数学世界 11.1.2.2 不等式的性质 学习目标 学习重点 1.利用不等式的基本性质解不等式; 2.利用不等式的性质求参数的取值范围; 3.会用不等式的性质解简单的实际应用，不等式性质的综合应用. 利用不等式的基本性质解不等式 回顾旧知 问题1 回顾不等式的基本性质有哪些？ 文字语言 符号语言 不等式的性质1 不等式的两边加（或减）同一个数(或式子)，不等号的方向不变. 如果a>b ，那么 a±c>b±c 不等式的性质2 不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b ，c>0，那么ac>bc, 不等式的性质3 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 如果a>b ，c<0，那么ac<bc, 　　问题2　类比利用等式的性质解一元一次方程的过程和方法，你能设想一下如何解不等式吗？ 　　（1）不等式的性质是解一元一次不等式的依据； 　　（2）解不等式的目标：将不等式逐步转化为 x＞m 或 x＜m（m 为常 数）的形式． 例题精讲 例1.利用不等式的性质解下列不等式： (1)x-7>26; (2)3x<2x+1; (3)x>50; (4)-4x>3. 思路： 解未知数为x的不等式 化归为“x>a”或“x<a” 方法：不等式的性质1、2、3 目标 (1)x-7>26; (2)3x<2x+1; 解： （1）根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变 ∴ x-7+7>26+7 x>33 （2）根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变 ∴ 3x-2x<2x+1-2x x<1 (3)x>50; (4)-4x>3. 解： （3）根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变 ∴×x>×50 x>75 （4）根据不等式的性质3，不等式两边除以-4，不等号的方向改变 ∴ 知识应用 　　问题 2　生活中也有很多不等关系可以用形如 a≥b 或 a≤b 的不等式 表示．如图所示的高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的 最低车速应为80 km/h，最高车速应为 100 km/h． 如果用 υ（单位：km/h）表示汽车的速度，请用 不等式表示汽车速度 υ 的范围． 　　a≥b 或 b≤a，“≥”读作“大于或等于”， “≤”读作“小于或等于”． 　　解：υ 的范围是：υ≥80 且 υ≤100，或表示为80≤υ≤100． 巩固练习 1.利用不等式的性质解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来. 解： 1.利用不等式的性质解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来. 解： 例题精练 例2.如图，一个长方体形状的鱼缸长10 dm，宽3.5 dm，高7 dm.若鱼缸内已有水的高度为1 dm,现准备向鱼缸内继续注水.用V (单位：dm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示. 解： 因为，“已有水的体积＋新注入水的体积V≤鱼缸的容积” 所以，10×3.5×1+V≤10×3.5×7, 解得：V≤210 又由于新注入水的体积V不能是负数，所以V的取值范围是： 0≤V≤210 在数轴上表示V的取值范围为： 巩固练习 2.陶器和瓷器被誉为“土与火的艺术”，陶瓷的制作工艺离不开人们对火焰的利用和温度的控制.我国古代窑工根据火焰的不同色调，就可以推测窑内的大致温度，其对照情况如 右表所示.设窑内温度为t ℃. (1) 用不等式表示当火焰色调为“暗赤至樱桃红”时，窑内温度的范围; (2)烧制某瓷器时，窑内温度的范围是 1 260≤t≤1 310,窑内火焰的色调是怎样的? 650 ℃ ≤ t ≤ 750 ℃ 黄色至浅黄色 例题精练 例3.（1）若不等式(a+1)x>a+1的解集为x>1,求a的取值范围. （2）若不等式(a－1)x＜4的解集为x>-2,求a的值. 解：(1)由题意得：a+1>0 ∴a>-1 (2)由题意得：a-1<0，即a<1 又∵x>-2 ∴a=-1 巩固练习 3.（1）若不等式(a－2)x＜1的解集为x>，则a的取值范围是 . （2）若不等式(a-4)x>4-a的解集为x>-1,则a的取值范围是 . （3）若不等式2x- m ≤1的解集为x ≤-1,则m= . a<2 a>4 -3 当堂检测 1.关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，写出相应的解集. 2.利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集: (1)x+5>-1; (2)4x<3x+5； (3)x≤ ; (4)-8x>10. 3.某日北京的最低气温是19°C，最高气温是28°C，用不等式表示这天的气温t(单位:°C)的变化范围. 4.已知a-5<b-5，试比较-8a+1与-8b+1的大小. 归纳小结 1.本节课你学到了哪些知识？ 2.本节课你体会到了哪些数学思想方法？ 化归思想 利用不等式的性质：解简单不等式 求参数的取值范围 解决简单的实际问题 课后作业 　　教科书习题 11.1 第 5，6 题． $