第03课 分数除法（三）（导学案）六年级数学暑假自学课（北师大版·新教材）

第03课 分数除法（三） 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）能用方程解决简单的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题。 （2）初步体会分数除法与分数乘法的联系，理解“已知部分求整体”用除法的算理。 （3）能正确列出数量关系式，并选择合适的方法（方程法或算术法）进行解答。 2、重难点。 重点： （1）找准单位“1”： 能够准确判断题目中哪个量是单位“1”（标准量），哪个量是比较量。 （2）列方程解题： 掌握用方程解决此类问题的基本步骤：设未知数 -> 找等量关系 -> 列方程 -> 解方程。这是本节课最推荐、最通用的方法。 难点： （1）等量关系的构建： 学生往往习惯于顺向思维（乘法），对于逆向思维（已知结果求原因）感到困难。难点在于如何把文字语言转化为数学符号语言。 （2）方法的灵活选择： 虽然方程法是通法，但部分学生可能更倾向于算术法。难点在于让学生理解算术法背后的逻辑（为什么要除以分率），而不仅仅是死记硬背公式。 模块二 预习引导 一、问题模型：已知部分求整体 1、典型特征： 题目中给出了一个具体的数量（部分量），并告诉了这个数量占总数量的几分之几（分率），要求求出总数量（单位“1”）。 2、例题分析： “有6名同学在跳绳（部分量），是操场上参加活动总人数（单位“1”）的 （分率）。” 二、解题策略一：方程法（推荐方法） 核心步骤： （1）找单位“1”： 确定谁是标准量（本题中是“总人数”）。 （2）设未知数： 设单位“1”为x 。 （3）找等量关系： 根据“单位‘1’×分率 = 对应量”列出方程。 三、 解题策略二：算术法（除法意义） 利用分数除法的意义直接列式计算。 公式：对应量 ÷对应分率 = 单位“1”的量。 四、 借助线段图分析数量关系 将抽象的文字转化为直观的图形，帮助学生清晰地看到“部分”与“整体”的关系，从而准确找到等量关系。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．在一次跳绳比赛中，丽丽跳了150个，是芳芳的个数的，设芳芳跳了x个。下面的方程（ ），能正确表示上面的关系。 A．150－x＝ B．x＝150 C．x＋x＝150 D．＋x＝150 2．少年宫书法班有40人，是绘画班人数的，绘画班有多少人？设绘画班有x人，列出方程为（    ）。 A．40x＝ B．x＝40 C．x÷＝40 3．图书馆有故事书260本，是科幻书的，下列关系错误的是（    ）。 A．科幻书本数×＝故事书本数 B．故事书本书÷科幻书本数＝ C．故事书本数÷＝科幻书本数 D．科幻书本书÷＝故事书本数 4．一条高速公路，已修了全长的，刚好是280千米，全长是多少千米？若设全长为x千米，则方程是（     ）。 A． B． C． D． 5．水果店运来橘子吨，（    ），运来苹果多少吨？可列式为。 A．比苹果多吨B．正好是苹果的C．苹果是橘子的 D．比苹果少吨 6．如图，用纸板遮住a、b两个纸条的一端，露出部分分别占整个纸条的和，两个纸条相比，（    ）。 A．a纸条长 B．b纸条长 C．一样长 D．无法判断 7．一条高速公路已经修了全程的，正好修了300千米，全程为多少千米？设全程为x千米，下列方程正确的是（    ）。 A．x＝300 B．x÷＝300 C．＋x＝300 D．x－＝300 二、填空题 8．一个数的是12，这个数是( )，它的是( )。 9．一根长方体钢管，已经用了它的，如果再用20厘米，那么用了的长度和剩下的长度同样长。这根钢管原来有( )厘米。 10．某校六年级有学生144人，五年级有学生166人，五、六年级的学生人数正好占全校学生人数的，这个学校一共有( )名学生。 11．鹅的孵化期是30天，鸡的孵化期是鹅的孵化期的，鸡的孵化期是( )天，鸡的孵化期是鸭的孵化期的，鸭的孵化期是( )天。 12．有6名同学在跳绳，是操场上参加活动总人数的。操场上参加活动的总人数是多少？ 分析与解答：已知一个数的几分之几是多少，求这个数的应用题，可以用方程来解，也可以用算术方法来解。根据跳绳的小朋友是操场上参加活动总人数的，可以知道参加活动的总人数是单位“1”，而这个单位“1”未知。我们可以用列方程的方法，设操场上活动的总人数为x，列式为( )；或者用算术方法，参加活动的总人数＝跳绳的人数÷，列式为( )。 13．一套西装240元，其中裤子的价格是上衣的。上衣的价格是( )元。 14．看如图列方程解答。 列出的方程是( )。这个方程的解是x＝( )。 15．郑州海昌海洋公园于2023年9月28日启幕，某线上平台预售其门票，第二个小时的销售额达到9600元，是第一个小时的，设第一个小时的销售额是x元，可以列出方程( )。 三、计算题 16．解方程。 （1）     （2）     （3） （4）     （5）     （6） 四、解答题 17．芳芳和欢欢两人各买了一本同样价格的字典。芳芳花去所带钱的，欢欢花去所带钱的。已知芳芳带了42元，你知道欢欢带了多少元吗？ 18．4月23日是世界读书日，星光小学开展为期一周的“相约读书日，幸福润心田”活动。一本课外书，笑笑已经看了48页，还剩下没有看，还剩下多少页没有看？ 19．霞光农场有稻田和鱼塘共35公顷，占农场全部土地的。 （1）霞光农场共有多少公顷土地？ （2）如果鱼塘为12公顷，鱼塘占农场全部土地的几分之几？ 20．小芳在踢毽子比赛中踢了63个，她踢毽子的数量是小云的。小云踢了多少个？（用方程解决问题。） 21．服装店正在开展促销活动，所有服装一律八折出售。 （1）这件衣服的原价是多少元？画一画，想一想。 （2）你能找出题目中的等量关系吗？ （3）列方程解决问题。 22．李健的身高是150厘米。 （1）李健的身高是妈妈身高的，妈妈的身高是多少厘米？ （2）妈妈的身高是爸爸身高的，爸爸的身高是多少厘米？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03课 分数除法（三） 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 （1）能用方程解决简单的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题。 （2）初步体会分数除法与分数乘法的联系，理解“已知部分求整体”用除法的算理。 （3）能正确列出数量关系式，并选择合适的方法（方程法或算术法）进行解答。 2、重难点。 重点： （1）找准单位“1”： 能够准确判断题目中哪个量是单位“1”（标准量），哪个量是比较量。 （2）列方程解题： 掌握用方程解决此类问题的基本步骤：设未知数 -> 找等量关系 -> 列方程 -> 解方程。这是本节课最推荐、最通用的方法。 难点： （1）等量关系的构建： 学生往往习惯于顺向思维（乘法），对于逆向思维（已知结果求原因）感到困难。难点在于如何把文字语言转化为数学符号语言。 （2）方法的灵活选择： 虽然方程法是通法，但部分学生可能更倾向于算术法。难点在于让学生理解算术法背后的逻辑（为什么要除以分率），而不仅仅是死记硬背公式。 模块二 预习引导 一、问题模型：已知部分求整体 1、典型特征： 题目中给出了一个具体的数量（部分量），并告诉了这个数量占总数量的几分之几（分率），要求求出总数量（单位“1”）。 2、例题分析： “有6名同学在跳绳（部分量），是操场上参加活动总人数（单位“1”）的 （分率）。” 二、解题策略一：方程法（推荐方法） 核心步骤： （1）找单位“1”： 确定谁是标准量（本题中是“总人数”）。 （2）设未知数： 设单位“1”为x 。 （3）找等量关系： 根据“单位‘1’×分率 = 对应量”列出方程。 三、 解题策略二：算术法（除法意义） 利用分数除法的意义直接列式计算。 公式：对应量 ÷对应分率 = 单位“1”的量。 四、 借助线段图分析数量关系 将抽象的文字转化为直观的图形，帮助学生清晰地看到“部分”与“整体”的关系，从而准确找到等量关系。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．在一次跳绳比赛中，丽丽跳了150个，是芳芳的个数的，设芳芳跳了x个。下面的方程（ ），能正确表示上面的关系。 A．150－x＝ B．x＝150 C．x＋x＝150 D．＋x＝150 【答案】B 【分析】设芳芳跳了x个，根据题意可得等量关系式：芳芳跳的个数×＝丽丽跳的个数，据此列方程解答即可。 【详解】解：设芳芳跳了x个。 正确的列式是：x＝150，其它方程都错误。 故选：B。 【点睛】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 2．少年宫书法班有40人，是绘画班人数的，绘画班有多少人？设绘画班有x人，列出方程为（    ）。 A．40x＝ B．x＝40 C．x÷＝40 【答案】B 【分析】设绘画班有x人，等量关系为：绘画班的人数×＝书法班的人数，据此列方程。 【详解】根据等量关系列方程为：x＝40 故答案为：B。 【点睛】考查了列方程，解答此题的关键是分析出题中的等量关系。 3．图书馆有故事书260本，是科幻书的，下列关系错误的是（    ）。 A．科幻书本数×＝故事书本数 B．故事书本书÷科幻书本数＝ C．故事书本数÷＝科幻书本数 D．科幻书本书÷＝故事书本数 【答案】D 【分析】把科幻书的本数看作单位“1”，则故事书的本数是科幻书的，根据分数乘法的意义，用科幻书的本数×就是故事书的本数；用故事书的本数÷科幻书的本数＝；根据分数除法的意义，用故事书的本数÷＝科幻书的本数，据此解答。 【详解】根据分析可知，图书馆有故事书260本，，是科幻书的，关系错误的是科幻书本书÷＝故事书本数。 故答案为：D 【点睛】本题考查分数乘法、除法的意义，利用求一个数的几分之几是多少；用这个数乘分率；求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一数；已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率。 4．一条高速公路，已修了全长的，刚好是280千米，全长是多少千米？若设全长为x千米，则方程是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 5．水果店运来橘子吨，（    ），运来苹果多少吨？可列式为。 A．比苹果多吨B．正好是苹果的C．苹果是橘子的 D．比苹果少吨 【答案】B 【分析】由题可知，算式表示一个数的是，求这个数，即吨橘子是苹果的，求苹果的质量；据此解答。 【详解】由分析可知：水果店运来橘子吨，正好是苹果的，运来苹果多少吨？可列式为。 故答案为：B 【点睛】本题考查了根据算式补充条件，理解算式的意义是关键。 6．如图，用纸板遮住a、b两个纸条的一端，露出部分分别占整个纸条的和，两个纸条相比，（    ）。 A．a纸条长 B．b纸条长 C．一样长 D．无法判断 【答案】B 【分析】由图可知，a纸条总长度的和b纸条总长度的长度相等，可以用假设法，假设露出部分的长度为10厘米，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，分别算出a纸条和b纸条的总长度，再进行比较大小，即可解答。 【详解】假设露出部分的长度为10厘米， ＝10×3 ＝30（厘米） 即a纸条总长度为30厘米。 ＝10×4 ＝40（厘米） 即b纸条总长度为40厘米。 40＞30，所以两个纸条相比，b纸条长。 故答案为：B 7．一条高速公路已经修了全程的，正好修了300千米，全程为多少千米？设全程为x千米，下列方程正确的是（    ）。 A．x＝300 B．x÷＝300 C．＋x＝300 D．x－＝300 【答案】A 【分析】分析题目，把高速公路的总长度看作单位“1”，等量关系式为：高速公路的总长度×＝300，据此结合全程为x千米列出方程即可。 【详解】x＝300 解：x÷＝300÷ x＝300× x＝500 一条高速公路已经修了全程的，正好修了300千米，全程为多少千米？设全程为x千米，列出方程：x＝300。 故答案为：A 二、填空题 8．一个数的是12，这个数是( )，它的是( )。 【答案】 36 9 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。已知一个数的是12，用12除以即可求出这个数；求这个数的是多少，用这个数乘即可。 【详解】12÷ ＝12×3 ＝36 36×＝9 一个数的是12，这个数是36，它的是9。 9．一根长方体钢管，已经用了它的，如果再用20厘米，那么用了的长度和剩下的长度同样长。这根钢管原来有( )厘米。 【答案】120 【分析】把长方体钢管的全长看作单位“1”，用了它的，如果再用20厘米，那么用了的长度和剩下的长度同样长，即用了的长度占全长的，则20厘米占全长的（－）；单位“1”未知，根据分数除法的意义解答，求出这根钢管的全长。 【详解】20÷（－） ＝20÷（－） ＝20÷ ＝20×6 ＝120（厘米） 这根钢管原来有120厘米。 10．某校六年级有学生144人，五年级有学生166人，五、六年级的学生人数正好占全校学生人数的，这个学校一共有( )名学生。 【答案】930 【分析】将五年级和六年级的人数相加，求出人数和。将全校学生人数看作单位“1”，单位“1”未知，将两个年级的人数和除以对应的分率，求出这个学校一共有多少人。 【详解】（166＋144）÷ ＝310÷ ＝310×3 ＝930（人） 所以，这个学校一共有930名学生。 11．鹅的孵化期是30天，鸡的孵化期是鹅的孵化期的，鸡的孵化期是( )天，鸡的孵化期是鸭的孵化期的，鸭的孵化期是( )天。 【答案】 21 28 【分析】将鹅的孵化期看作单位“1”，鹅的孵化期×鸡的对应分率＝鸡的孵化期；将鸭的孵化期看作单位“1”，鸡的孵化期÷对应分率＝鸭的孵化期。 【详解】30×＝21（天） 21÷＝21×＝28（天） 鸡的孵化期是21天，鸭的孵化期是28天。 12．有6名同学在跳绳，是操场上参加活动总人数的。操场上参加活动的总人数是多少？ 分析与解答：已知一个数的几分之几是多少，求这个数的应用题，可以用方程来解，也可以用算术方法来解。根据跳绳的小朋友是操场上参加活动总人数的，可以知道参加活动的总人数是单位“1”，而这个单位“1”未知。我们可以用列方程的方法，设操场上活动的总人数为x，列式为( )；或者用算术方法，参加活动的总人数＝跳绳的人数÷，列式为( )。 【答案】 x＝6 6÷ 【分析】设操场上参加活动的总人数是x人，把操场上参加活动的总人数看作单位“1”，它的是6名同学，即参加活动的总人数×＝6名同学，列方程：x＝6； 把操场上参加活动的人数看作单位“1”，其中是跳绳的同学，对应的是6名同学，求单位“1”，用6÷，据此解答。 【详解】有6名同学在跳绳，是操场上参加活动总人数的。操场上参加活动的总人数是多少？ 分析与解答：已知一个数的几分之几是多少，求这个数的应用题，可以用方程来解，也可以用算术方法来解。根据跳绳的小朋友是操场上参加活动总人数的，可以知道参加活动的总人数是单位“1”，而这个单位“1”未知。我们可以用列方程的方法，设操场上活动的总人数为x，列式为x＝6；或者用算术方法，参加活动的总人数＝跳绳的人数÷，列式为6÷。 【点睛】熟练掌握求一个数的几分之几是多少，以及已知一个数的几分之几是多少，求这个数的计算方法是解答本题的关键。 13．一套西装240元，其中裤子的价格是上衣的。上衣的价格是( )元。 【答案】150 【分析】把上衣的价格看作单位“1”，则裤子的价格是上衣的，上衣和裤子的价格（西装的价格）是上衣的（1＋），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答；用240÷（1＋）列式计算即可求出上衣的价格。 【详解】240÷（1＋） ＝240÷ ＝240× ＝150（元） 所以上衣的价格是150元。 14．看如图列方程解答。 列出的方程是( )。这个方程的解是x＝( )。 【答案】 x＝12 16 【分析】把总千米数看作单位“1”，由题可知，总千米数的是12千米，根据分数乘法的意义可得等量关系式：总千米数×＝12千米，根据等量关系，列方程解答即可。 【详解】x＝12 解：x÷＝12÷ x＝12× x＝16 即列出的方程是x＝12，这个方程的解是x＝16。 15．郑州海昌海洋公园于2023年9月28日启幕，某线上平台预售其门票，第二个小时的销售额达到9600元，是第一个小时的，设第一个小时的销售额是x元，可以列出方程( )。 【答案】x＝9600 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，根据等量关系：第一个小时的销售额×＝第二个小时的销售额，据此列方程解答即可。 【详解】由分析可知： 郑州海昌海洋公园于2023年9月28日启落，某线上平台预售其门票，第二个小时的销售额达到9600元，是第一个小时的，设第一个小时的销售额是x元，可以列出方程x＝9600。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 三、计算题 16．解方程。 （1）    （2）    （3） （4）    （5）    （6） 【答案】（1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6） 【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时除以即可； （2）根据等式的性质，方程两边同时除以即可； （3）根据等式的性质，方程两边同时除以即可； （4）根据等式的性质，方程两边同时除以8即可； （5）根据等式的性质，方程两边同时除以即可； （6）根据等式的性质，方程两边同时除以即可。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： （5） 解： （6） 解： 四、解答题 17．芳芳和欢欢两人各买了一本同样价格的字典。芳芳花去所带钱的，欢欢花去所带钱的。已知芳芳带了42元，你知道欢欢带了多少元吗？ 【答案】40元 【分析】已知芳芳带了42元，买一本字典后花去所带钱的，即这本字典是（42×＝24）元，又知欢欢买一本字典花去所带钱的，用字典的钱数除以即可求出欢欢带了多少元。 【详解】42×÷ ＝24÷ ＝24× ＝40（元） 答：欢欢带了40元。 18．4月23日是世界读书日，星光小学开展为期一周的“相约读书日，幸福润心田”活动。一本课外书，笑笑已经看了48页，还剩下没有看，还剩下多少页没有看？ 【答案】72页 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，还剩下没有看，则用1减去可求出已经看了这本书的几分之几； 已知已经看了这本书的具体页数为48页，同时也求出了已经看的页数所占单位“1”的分率，根据分数除法的意义求单位“1”用除法，即用48除以其所占单位“1”的分率，求出这本书的总页数； 最后根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用乘法，即用这本书的总页数乘可求出剩下多少页没有看。 【详解】由分析可得： 1－＝ 48÷ ＝48× ＝120（页） 120×＝72（页） 答：还剩下72页没有看。 19．霞光农场有稻田和鱼塘共35公顷，占农场全部土地的。 （1）霞光农场共有多少公顷土地？ （2）如果鱼塘为12公顷，鱼塘占农场全部土地的几分之几？ 【答案】（1）60公顷 （2） 【分析】（1）把霞光农场的总面积看作单位“1”，已知稻田和鱼塘共35公顷，占农场全部土地的，用稻田和鱼塘的总面积除以稻田和鱼塘占农村总面积的分率，即可求出农村的总面积； （2）用鱼塘的面积除以农村的总面积，即可求出鱼塘占农场全部土地的几分之几。 【详解】（1）35÷ ＝35× ＝60（公顷） 答：霞光农场共有60公顷土地。 （2）12÷60＝ 答：鱼塘占农场全部土地的。 20．小芳在踢毽子比赛中踢了63个，她踢毽子的数量是小云的。小云踢了多少个？（用方程解决问题。） 【答案】84个 【分析】设小云踢了x个，求一个数的几分之几是多少用乘法，根据小云踢的个数×小芳对应分率＝小芳踢的个数，列出方程解答即可。 【详解】解：设小云踢了x个。 x＝63 x÷＝63÷ x＝63× x＝84 答：小云踢了84个。 21．服装店正在开展促销活动，所有服装一律八折出售。 （1）这件衣服的原价是多少元？画一画，想一想。 （2）你能找出题目中的等量关系吗？ （3）列方程解决问题。 【答案】（1）画一画见详解；70元 （2）见详解 （3） 【分析】（1）由题意可知，把衣服原价看作单位“1”，八折就是，已知现价是原价的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。作图可先画一条线段表示原价，把它平均分成10份，其中的8份标注56元，求原价。据此解答。 （2）根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可列等量关系式。 （3）设原价为元，根据等量关系式：原价×＝现价，据此列方程并求解。 【详解】（1）画图如下： （元） 答：这件衣服的原价是70元。 （2）衣服原价×＝衣服现价 （3）解：设原价为元。 答：这件衣服的原价是70元。 22．李健的身高是150厘米。 （1）李健的身高是妈妈身高的，妈妈的身高是多少厘米？ （2）妈妈的身高是爸爸身高的，爸爸的身高是多少厘米？ 【答案】（1）妈妈160厘米 （2）爸爸180厘米 【分析】（1）由题意可知，把妈妈身高看作单位“1”，已知李健的身高是150厘米，是妈妈的，设妈妈的身高为厘米，根据等量关系式妈妈身高×＝李健的身高，据此列方程并求解。 （2）由题意可知，把爸爸身高看作单位“1”，已知妈妈身高是爸爸的，设爸爸的身高为厘米，根据等量关系式爸爸身高×＝妈妈的身高，据此列方程并求解。 【详解】（1）解：设妈妈的身高为厘米。 答：妈妈的身高是160厘米。 （2）解：设爸爸的身高为厘米。 答：爸爸的身高是180厘米。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $