专题05利用三角形全等测距离 专项训练（7大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

**基本信息** 以三角形全等判定为基础，通过8类题型系统整合辅助线技巧与模型方法，实现从基础到综合的逻辑递进，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型梳理归纳|8类核心题型|提炼倍长中线、旋转等6大模型及辅助线添加技巧|从全等判定（SAS/ASA等）到模型应用，构建“判定-模型-综合”推理链| |核心题型精讲|每题型3道梯度例题|强调“构造全等”思想，结合实际情境（如测距离）培养模型意识|通过变式训练深化知识内在联系，突出解题思路迁移性| |分层精练|10道综合题|整合多模型交叉应用，强化批判性思维|覆盖中考高频考点，实现从知识理解到问题解决的能力提升|

专题05利用三角形全等测距离专项训练 题型梳理归纳 题型1添加条件使三角形全等 题型2连接两点构造全等三角形 题型3倍长中线模型 题型4旋转模型 题型5垂线模型 题型6其他模型 题型7全等三角形综合问题 题型8.分层精练10道题 核心题型精讲 题型1.添加条件使三角形全等 1.如图，已知△ABM和△CDN的顶点A、C、B、D在同一直线上，已知 MA=NC,∠MAB=∠NCD,下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN() B A.∠M=∠NB.AC=BD C.MB∥ND D.BM=DN 【答案】D 【分析】根据已知条件结合各选项提供的条件，利用全等三角形的判定定理 (SSS、SAS、ASA、AAS和HL)进行判断即可，注意“AAA、SSA”不 能判定三角形全等. 【详解】解：已知MA=NC,∠MAB=∠NCD 对于A,添加∠M=∠N,根据ASA可判定△ABM≌△CDN,故不符合题意； 对于B,添加AC=BD,AC=BD.AC+CB=BD+CB,即AB=CD, 试卷第1页，共3页 根据SAS可判定△ABM≌aCDN,故不符合题意； 对于C,添加MB∥ND,.∠MBA=∠D,根据AAS可判定△ABM≌aCDN ，故不符合题意； 对于D,添加BM=DN,此时为两边及其中一边的对角对应相等(SSA),不 能判定△ABM△CDN,故符合题意. 2.如图，在ABC和△DBE中，BC=BE,∠C=∠E,请添加一个条件 使△ABC DBE. D 【答案】AC=DE,∠ABC=∠DBE,∠A=∠D(答案不唯一) 【分析】已知BC=BE,∠C=∠E,可根据SAS、ASA、AAS三种判定定 理补充条件，分别为边AC=DE,角∠ABC=∠DBE,角∠A=∠D. 【详解】解：已知BC=BE,∠C=∠E, BC=BE, 若添加条件AC=DE,在ABC和ADBE中， ∠C=LE, AC=DE, .△ABC≌ADBE(SAS). ∠C=LE, 若添加条件∠ABC=∠DBE,在ABC和△DBE中， BC=BE, ∠ABC=∠DBE, .△ABC≌△DBE(ASA). ∠A=∠D, 若添加条件∠A=∠D,在ABC和△DBE中， ∠C=∠E, BC=BE, ∴.△ABC≌ADBE(AAS). 试卷第1页，共3页 故答案为：AC=DE或∠ABC=∠DBE或∠A=∠D(答案不唯一). 3.数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知∠C=∠F=90°，BC=EF, 请补充一个条件，使得△ABC≌△DEF.三位同学展示了自己补充的条件： B (1)请补全三位同学展示的答案； 甲补充条件AC=DF,全等的判定依据是_： 乙补充条件∠B=∠E,全等的判定依据是_； 丙补充条件，全等的判定依据是AAS; (2)AF与DC什么数量关系，写出完整证明过程 【答案】(I)SAS;ASA;∠BAC=∠EDF (2)AF=DC,证明见解析 【分析】(1)根据已知∠C=∠F=90°，BC=EF,甲补充条件AC=DF, 全等的判定依据是SAS;乙补充的条件是∠B=∠E,可知全等的判定依据是 ASA,根据丙全等的判定依据是AAS,可知丙补充条件是∠BAC=∠EDF; (2)甲补充AC=DF,结合∠C=∠F=90°，BC=EF,得 △ABC≌△DEF(SAS);乙补充∠B=∠E,结合已知得 △ABC≌△DEF(ASA);丙补充AB=DE,结合己知得 Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). 【详解】(1)解：：∠C=∠F=90°，BC=EF, :.甲补充条件AC=DF,全等的判定依据是SAS; 试卷第1页，共3页 乙补充条件∠B=∠E,全等的判定依据是ASA; 丙补充条件∠BAC=∠EDF,全等的判定依据是AAS; (2)解：AF=DC 证明如下：甲：~AC=DF, ·AC-AD=DF-AD; ·AF=DC; 乙：'∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F=90°， ·△ABC≌△DEF(ASA; ·AC=DF, ·AC-AD=DF-AD; ·AF=DC; 丙：'∠BAC=∠EDF,∠C=∠F=90°，BC=EF, ·△ABC≌△DEF(AAS: ·AC=DF, ·AC-AD=DF-AD; .AF=DC. 题型2.连接函点构造全等三角形 1.如图，在ABC中，AB=10,AC=8,则BC上中线AD的取值范围为() A.0<AD<10B.2<AD<18C.1<AD<9D.无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系.注意：倍长 试卷第1页，共3页 中线是常见的辅助线之一 延长AD至E,使DE=AD,连接CE.根据SAS证明△ABD≌△ECD,得 CE=AB,再根据三角形的三边关系即可求解， 【详解】解：延长AD至E,使DE=AD,连接CE AD是BC上中线， .BD CD, ∠ADB=∠EDC,AD=DE, .△ABD≌△ECD, .CE=AB. 在△ACE中，CE-AC<AE<CE+AC, .AB=10,AC=8, .CE=10 即10-8<2AD<10+8, :.2<2AD<18 .1<AD<9. 故选C. 2.中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍 长中线法添加辅助线.如图，ABC中，若AB=4,AC=6,求BC边上的中线 AD的取值范围.同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点 E,使DE=DA,连接CE. 试卷第1页，共3页 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到△ABD≌AECD,其依据是 (用字母表示)； ②由三角形的三边关系可以求得AD的取值范围是 (直接填空). 【答案】 SAS 1<AD<5/5>AD>1 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，证明 △ABD≌△ECD是关键， ①利用SAS证明△ABD≌△ECD即可； ②根据三角形三边关系得到2<AE<10,由AD=二AE得到答案. 【详解】解：①：AD是中线， ∴.BD=CD, 在△ABD和△ECD中， CD=BD ∠ADB=∠EDC, AD=ED △ABD≌△ECD(SAS 故答案为：SAS; ②：△ABD≌△ECD, ∴.CE=AB=4, .AC-CE<AE<AC+CE, ∴.6-4<AE<6+4,即2<AE<10, AD=DE, 试卷第1页，共3页 1 ∴.AD=二AE, 2 ∴.1<AD<5, 故答案为：1<AD<5. 3.【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在ABC中，AD是BC边上的中线， AB=3,AD=2,若AC边的长为整数，求AC边的长.小张同学在组内经过 合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使DE=AD,连结BE, 能得到△EDB≌△ADC,所以AC=BE,进而利用三角形的任意两边之和大于 第三边解决问题。 G 图① 图② 图③ 图④ 【思考发现】 (I)如图①，△EDB≌△ADC的理由是 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA (2)根据小明的方法思考，可得AC的长可能为 ；(写出一个即可) 【类比迁移】 (3)如图②，AD是ABC的中线，BG交AC于点G,交AD于点F, AC=BF. 求证：AG=FG 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长AD至点E,使DE=AD,连结BE· 请完成上述证明过程。 试卷第1页，共3页 【学以致用】 (4)如图④，在ABC和△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB, CD=CE,连结AD、BE,取AD的中点F,连结CF.若CF=2,则 BE=」 【答案】(1)B (2)2(或3,4,5,6之一) (3)见解析 (4)4 【分析】(I)由题意知AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD,可得 △EDB≌ADC(SAS: (2)由△EDB≌AADC得BE=CA,在△ABE中，根据三角形三边关系可得 AE-AB<BE<AE+AB,进而即可求解： (3)倍长AD至E,连BE,同(1)可证△EDB≌△ADC(SAS,得出 BE=AC,∠GAF=∠E,结合AC=BF,可得BE=BF,由等边对等角可 得∠E=∠BFE=∠AFG,等量代换后可得∠AFG=∠GAF,根据等角对等边 即可得出结论： (4)倍长CF至G,连DG,同(1)，可证△DFG≌△AFC(SAS),进而证明 △BCE≌AGDC(SAS),可得BE=CG=2CF. 【详解】(1)解：在△EDB和△ADC中， AD=DE ∠ADC=∠EDB, CD=BD △EDB≌△ADC(SAS), 故选：B; 试卷第1页，共3页 (2)解：.△EDB2△ADC, .'BE=CA, 在△ABE中，AB=3,AE=2AD=4,AE-AB<BE<AE+AB, .4-3<BE<4+3,即1<BE<7, :AC为整数，BE=CA, .AC的长可以为2,3,4,5,6中之一. (3)证明：如图③，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE· B D E 图③ 同(1)，可证△EDB≌△ADC(SAS), .BE=AC,∠GAF=∠E, AC=BF, :BE=BF, .∠E=∠BFE=∠AFG, ∠AFG=∠GAF: .AG=FG. (4)解：如图，延长CF至点G,，使FG=CF,连DG, 试卷第1页，共3页 G E 图3 .CG=2CF=4, 同(1)，可证△DFG≌AAFC(SAS), .DG=AC=BC,∠GDF=∠CAF. :∠ACB=∠DCE=90°， .∠ACD+∠BCE=180°. 在△ACD中，∠ACD+∠CAD+∠ADC=180°， :.∠BCE=∠CAD+∠ADC=∠GDF+∠ADC=∠GDC, 又DC=CE, :△BCE≌AGDC(SAS), .BE=GC=4. 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线 的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关 键。 题型3.倍长中线模型 1.如图所示的正方形ABCD中，点E在边CD上，把ADE绕点A顺时针旋 转得到△ABF,∠FAB=20°.旋转角的度数是() 试卷第1页，共3页 A.110° B.90° C.70° D.20° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD,∠BAD=90°，由旋转的性质推出 ADE兰△ABF,求出∠FAE∠BAD=90°，即可得到答案. 【详解】：四边形ABCD是正方形， .∴AB=AD,∠BAD=90°， 由旋转得ADE≌△ABF, :∠FAB=∠EAD, ∴.∠FAB+∠BAE=∠EADH∠BAE, .∠FAE-∠BAD=90°， .旋转角的度数是90°， 故选：B 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解 题的关键， 2.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3,将斜边AB绕点A顺时 针旋转90°至AB,连接BC,则△AB'C的面积为 B B 【答案】8 【分析】根据题意过点B作BH⊥AC于H,由全等三角形的判定得出△ACB≌△ BHA(AAS),得AC=BH=4,则有SA4Bc= 2ACBH即可求得答案. 试卷第1页，共3页 【详解】解：过点B作BH⊥AC于H, B .∠AHB=90°，∠BAB=90°， :.∠HAB+∠HBA=90°，∠BAC+∠CAB=90°， ∴.∠HBA=∠CAB, 在△ACB和△BHA中， ∠ACB=∠AHB' ∠CAB=∠AB'H, AB=AB' ·.△ACB≌△BHA(AAS), ..AC=B'H, .∠ACB=90°，AB=5,BC=3, “AC=VBA2-BC2=V52-32=4, ..AC=B'H=4, .S△ABC= 2AC-BH= 2×4×4=8. 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质和旋转的性质以及勾股定理，根 据题意利用全等三角形的判定证明△ACB≌△BHA是解决问题的关键. 3.如图，在ABC中，AB=BC=AC,∠A=∠ABC=∠ACB=60°，D,E 分别为AC,AB边上的点，连接BD,CE交于点F,AD=BE. 试卷第1页，共3页 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠ABD=∠BCE; (2)如图2，以AF为边作△AFH,AF=FH=AH, ∠FAH=∠AFH=∠AHF=60°，连接CH,G为BC中点，连接FG,求证： AF=2FG; (3)如图3，P为AB上一点，连接CP,H为CP中点，连接BH,M,N分别为 BC,BP上的点，连接PM,CN交于点O,若BM=BN,∠MON=120°， BH=6.6,PM=5.4,直接写出CN的长. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)CN=7.8 【分析】(1)证明△ABD≌△BCE(SAS)即可得出结论； (2)延长FG至点P,使得PG=FG,连接CP,则PF=2FG,证明 △BFG≌△CPG(SAS),得到∠6=∠7，BF=CP.由∠BAC=∠FAH=60°得 到∠1=∠3，从而证明△ABF≌△4CH(SAS,得到BF=CH,∠4=∠8，因此 CP=CH.证明∠PCF=∠HCF,得出△PCF≌△HCF(SAS),因此FP=FH ,进而即可得出结论 (3)延长BH至点K,使得HK=BH,连接CK,则BK=13.2,证明 △BPH≌△KCH(SAS),得到∠PBH=∠K,BP=KC,得出AB∥CK,因 此∠BCK=180°-∠ABC=120°.延长PM至点L,使得ML=NC,连接BL 试卷第1页，共3页 根据∠1+∠2=360°-（∠ABC+∠MON)=180°，∠2+∠3=180°，得到 ∠I=∠3，从而证明△BCN≌△BLM(SAS),得到BC=BL,∠PBL=∠KCB ,证明△PBL≌△KCB(SAS),得到PL=BK=I3.2,求出 ML=PL-PM=7.8,得到CN=ML=7.8. 【详解】(1)证明：：在△ABD与△BCE中， AB=BC ∠A=∠CBE AD=BE .△ABD≌△BCE(SAS) .∠ABD=∠BCE. (2)证明：延长FG至点P,使得PG=FG,连接CP, H .PF=PG+FG=2FG, 6 B G G为BC中点， .BG=GC, :在△BFG与△CPG中， BG=CG ∠BGF=∠CGP, FG=PG ∴.△BFG≌CPG(SAS, .∠6=∠7，BF=CP, :∠BAC=∠FAH=60°， 试卷第1页，共3页 .∠BAC-∠2=∠FAH-∠2，即∠1=∠3. :在△ABF与△ACH中， AB=AC ∠1=∠3 AF=AH ∴.△ABF≌△4CH(SAS） .BF=CH,∠4=∠8 ∴.CP=CH 由(1)得△ABD≌△BCE, .∠4=∠5， ∴.∠5=∠8， ∠ABC=∠ACB=60°， ,∠4+∠6=60°，∠5+∠9=60°， .∠5+∠7=60°，即∠PCF=60°， ∠8+∠9=60°，即∠HCF=60°， .∠PCF=∠HCF. :在△PCF与△HCF中， CP=CH ∠PCF=∠HCE CF=CF .∴△PCF≌HCF(SAS) :FP=FH AF FH ∴.AF=FP .AF=2FG. 试卷第1页，共3页 (3)解：延长BH至点K,使得HK=BH,连接CK,则 BK=2BH=2×6.6=13.2 B :点H是PC的中点， :PH=CH, :在△BPH和△KCH中， BH=KH ∠BHP=∠KHC, PH=CH .△BPH≌△KCH(SAS, :∠PBH=∠K,BP=KC, .AB∥CK, .∠BCK=180°-∠ABC=180°-60°=120°. 延长PM至点L,使得ML=NC,连接BL, :∠ABC=60°，∠MON=120°， ∴.在四边形BNOM中，∠1+∠2=360°-（∠ABC+∠MON=180°， .∠2+∠3=180°， .∠1=∠3， :在△BCN和△BLM中， 试卷第1页，共3页 BN=BM ∠1=∠3 NC=ML :△BCN≌△BLM(SAS), .BC=BL,∠MBL=∠NBC=60°， .∠PBL=∠ABC+∠MBL=60°+60°=120°， ·.∠PBL=∠KCB. :在△PBL和△KCB中， BP=CK ∠PBL=∠KCB, BL=CB .△PBL≌AKCB(SAS, .PL=BK=13.2, .ML=PL-PM=13.2-5.4=7.8, .CN=ML=7.8, 题型4，旋转模型 1.如图，在ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,D是线段BC上一点，连 接AD,过点A作AE⊥AD,且AE=AD,连接EC交AB于点F,若 BD=3.3,BF=2.5,则AB的长度为() B A.8.3 B.8.5 C.8.7 D.9.1 【答案】A 试卷第1页，共3页 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解 题的关键， 过点E作EG⊥AB于点G,则∠AGE=∠EGB=90°，先证明 △AEG≌△DAB得到EG=AB,AG=BD=3.3,则有EG=BC,进而推 出△EFG≌aCFB,得到GF=BF=2.5,再利用线段的和差即可求解. 【详解】解：如图，过点E作EG⊥AB于点G, D B 则∠AGE=∠EGB=90°， .∠EAG+∠AEG=90°， :AE⊥AD, ∠EAD=90°， .∠EAG+∠DAB=90°， .∠AEG=∠DAB, 又：∠AGE=∠DBA=90°，AE=AD, .△AEG≌△DAB(AAS), .EG=AB,AG=BD=3.3, AB=BC, .EG=BC, 又.∠EGF=∠CBF=90°，∠EFG=∠CFB, :△EFG≌△CFB(AAS), .GF=BF=2.5, .AB=AG+GF+BF=3.3+2.5+2.5=8.3. 故选：A 2.已知： ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为直线BC上一点，过点 试卷第1页，共3页 B作BG⊥直线AD于点G,过点C作CF⊥直线AD于点F. B B A 图1 备用图 (1)如图1，若BG=7,CF=2,则GF= (2)当点D在直线BC上运动时，FG=10,BG=6,则CF= 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等 三角形三垂直模型”， (1)证明△AFC≌△BGA(AAS),则BG=AF=7,CF=AG=2,可得 GF=AF-AG=5; (2)分三种情况讨论，证明△AFC≌△BGA(AAS),再根据线段和差求解即可. 【详解】解：(1)：BG⊥直线AD,CF⊥直线AD, .∠AFC=∠BGA=90°， :∠BAC=90°， :.∠ABG=∠CAF=90°-∠BAG, AB=AC ·.△AFC≌△BGA(AAS), .BG=AF=7,CF=AG=2, .GF=AF-AG=7-2=5, 故答案为：5； (2)当点D线段BC延长线上时， 试卷第1页，共3页 B G :BG⊥直线AD,CF⊥直线AD, .∠AFC=∠BGA=90°， :∠BAC=90°， :.∠ABG=∠CAF=90°-∠BAG, AB=AC :△AFC≌△BGA(AAS), .AF=BG=6,AG=CF=FG-AF=10-6=4; 当点D线段BC上时， GD :BG⊥直线AD,CF⊥直线AD, .∠AFC=∠BGA=90°， :∠BAC=90°， :.∠ABG=∠CAF=90°-∠BAG, AB=AC :△AFC≌△BGA(AAS), .AF=BG=6,AG=CF=FG+AF=10+6=16; 试卷第1页，共3页 当点D线段CB延长线上时， B G :BG⊥直线AD,CF⊥直线AD, .∠AFC=∠BGA=90°， ∠BAC=90°， .∠ABG=∠CAF=90°-∠BAG, AB=AC ·.△AFC≌△BGA(AAS), :AF=BG=6,AG=CF=FG-AF=10-6=4, 过点A作BC平行线，再过点C作平行线的垂线，垂足为H, :AB=AC,∠BAC=90°，AH∥BC, .∠ACB=∠CAH=45°， .∠CAF>45°，∠ACF<45°， .CF>AF, 故点D线段CB延长线上不成立，舍， 综上：CF=16或CF=4, 故答案为：16或4. 3.数学教材中有这样一道习题：如图1， ∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,若 AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长.在计算时，我们通过证明 △ADC≌△CEB,得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解. 试卷第1页，共3页 图1 图2 图3 图4 【类比探究】 (1)如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,DE为过点 C的直线，AD⊥DE于D,BE⊥DE于E,求证：DE=AD+BE; 【拓展应用】 (2)如图3，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，分别以BA和OB为直角边作等 腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC,连DC交OB延长线于点E.猜想AO与BE的 数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以 ABC的AB,AC边向外作等腰Rt△BAD和等腰Rt△CAE,其中 ∠BAD=∠CAE=90°，AG是边BC上的高.延长GA交DE于点H,若 AH=5,AG=I2,直接写出△DAE的面积. 【答案】(1)证明见解析；(2)OA=2BE(或BE=二OA);见解析；(3)60 【分析】(1)因为AD⊥DE于D,∠ACB=90°，所以∠DAC=∠BCE,因 为AC=BC,即可通过AAS证明△ADC≌△CEB作答； (2)过点D作DT⊥OB于点T,连接CT.证明△DTB≌△BOA(AAS),推出 DT=OB,BT=OA,再证明△BCE≌△TDE(AAS),即可得结论： (3)作辅助线，过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作 EN⊥AH于点N,利用角度等量变换，得到∠ABG=∠DAM,进而推导证明 试卷第1页，共3页 △ABG≌△DAM,同样证得△AGC≌△ENA,得到DM=EN=AG,最后 △DAE的面积为AADH、△AHE面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求 解. 【详解】(1)证明：：AD⊥DE于D,∠ACB=90°， .∠ADC=90°，∠DAC+∠DCA=90°，∠BCE+∠DCA=90°， ∴.∠DAC=∠BCE, :BE⊥DE, .∠BEC=∠ADC=90°， AC=BC, :.△ADC≌CEB(AAS), .CD=BE,AD=CE, .DE=CE+CD=AD+BE (2)解：结论：OA=2BE.理由如下： 如图，过点D作DT⊥OB于点T,连接CT. D T打 E B O :∠AOB=∠ABD=∠DTB=90°， ∴∠TBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°， .∠TBD=∠BAO, BD=DA, .△DTB≌△BOA(AAS), .DT=OB,BT=OA, 试卷第1页，共3页 :△BOC是等腰直角三角形， .OB=BC=DT, 又.∠BEC=∠TED,∠CBE=∠DTE=90°， :△BCE≌ATDE(AAS, .BE=TE, :BT=2BE, ∴.OA=2BE; (3)解：过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于 点N,如图所示： E B G AG⊥BC, .∠AGB=∠M=90°， .∠ABG+∠BAG=90°， :∠BAD=90°， :∠BAG+∠DAM=90°， .∠ABG=∠DAM, 在△ABG和△DAM中， ∠AGB=∠M ∠ABG=∠DAM, AB=AD .△ABG≌△DAM(AAS, .DM=AG, 同理可证明：△AGC≌△ENA, 试卷第1页，共3页 .EN=AG, .DM=EN=AG, S.=.m+5.mAHDM+AH EN=AHAG=5x12=60, 1 2 2 ADE的面积等于60， 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直 线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必 定存在全等三角形，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形 的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键 题型5.垂线模型 1.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC,∠CDE=55°， 则∠EAB的度数为 【答案】35° 【分析】过点E作EF⊥AD,证明Rt△ABE≌Rt△AFE,再根据∠CDE=55 ,即可求得∠EAB的度数 【详解】解：如图，过点E作EF⊥AD, D 试卷第1页，共3页 :DE平分∠ADC,且E是BC的中点， .CE=EB=EF, 又∠B=90°，且AE=AE, .Rt△ABE≌Rt△AFE(HL), .∠EAB=∠EAF. 又∠CDE=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°， .∠EAB=35°. 故答案为：35°. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线， 构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答， 2.如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一 5G信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从A点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处： ②从D处左转90°向正南方向行走，到E处时停止行走，此时发现信号塔B、树 C与自己所处的位置E恰好在一条直线上： ③从A到E小淇共走了140步. c (1)根据题意，画出示意图： (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少 米？请写出说理过程 【答案】(1)画图见解析 试卷第1页，共3页 (2)小淇在点A处时他与B处信号塔的距离为40米. 【分析】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成 数学问题，并应用相关知识解决 (1)依据题意即可画出示意图； (2)由题意可得△ABC≌△DEC,得AB=DE,即可求得AB的长. 【详解】(1)解：示意图如图所示 D (2)解：40米，理由如下： 在ABC和△DEC中， ∠A=∠D=90 AC=DC ∠ACB=∠DCE △ABC≌△DEC(ASA), ∴.AB=DE, 又.小淇走了140步，AD为30×2=60步， .DE为80步，一步大约50厘米即0.5米， .DE=80×0.5=40(米). 答：小淇在点A处时他与B处信号塔的距离为40米. 3.定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全 试卷第1页，共3页 重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴， E 图2 图3 图1 (1)如图1，OP是∠MON的平分线，请你在图1中画出一对以OP所在直线 为对称轴的全等三角形， (2)请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题： ①如图2，在ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、 ∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.猜想FE和DF之间的数量关系，直 接写出结论. ②如图3，在ABC中，如果∠ACB≠90°，而①中的其它条件不变，请问①中 结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 【答案】(1)见解析；(2)①FEFD.②结论FEFD仍然成立，证明见解析. 【分析】(1)根据SAS可知：在∠MON的两边上取格点M、N,使OON,在 角平分线OP上取格点Q,连接QM、QN所构成的两个三角形△OQM与△OQW 全等，且它们关于OP对称； (2)①在AC上截取AGAE,则EF=FG;根据ASA证明△FCD≌△FCG,得 DF=FG,故判断EF=FD;②在AC上截取AH=AE,证得△EAF≌△GAF(SAS), 得出∠EFA=∠GFA;再根据ASA证明△FDC≌△FGC,得CD=CG,进而得出 AC的长度 【详解】解：(1)如图，△OOM与△OON即为所求作， 试卷第1页，共3页 :OP是∠MON的平分线， ∴.∠MOP=∠NOP, OM=ON,OP=OP, :.△OQM≌△OQN; (2)①FE-FD. 如图，在AC上截取AG=AE,连接FG. B E A G :AD是∠BAC的平分线， ∴.∠EAF=∠GAF, 在△EAF和△GAF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF, AF=AF .△EAF≌△GAF(SAS), ∴.FE-FG, :∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， 试卷第1页，共3页 ∠PAC3∠B4C,∠FCA=)∠ACB,且∠EMF=∠GAR, ∠PAC+∠PCA=5(∠BAC+∠ACB180∠-60， ∴.∠AFC=120°， .∠CFD=60°=∠CFG, .∠AFG=60°， 又：∠EFA=∠CFD=60°， ∴.∠EFA=∠GFA=60°， .∠GFC=∠DFC, 在△FDC和△FGC中， ∠DFC=∠GFC FC=FC ∠FCG=∠FCD .△FDC≌△FGC(ASA), .FD-FG. .FE=FD. ②结论FE-FD仍然成立. 在AC上截取AH=AE,如图： B E R」 D H C 同①可得△EAF≌△HAF, ∴FE=FH,∠EFA=∠HFA. :∠PAC∠RAC,∠rCA3∠ACB, 2 试卷第1页，共3页 ∠PAC+∠rCA-5(∠BAC+∠AcB))a80P.∠Bm-60P. ∴.∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA)=120°. ∴.∠EFA=∠HFA=180°-120°=60°. 同①可得△FDC≌△FHC, ..FD-FH. ∴FE=FD 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定是 结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关 键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当 辅助线构造全等三角形， 题型6其他模型 1.如图，在ABC中，∠BAC=2∠B,CD平分∠ACB交AB于点D.求证： AC+AD=BC. A B 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在BC上截取CE=AC, 连接DE,利用已知条件求证△ACD≌△ECD,然后可得AD=DE, ∠A=∠CED,再利用三角形外角的性质求证DE=EB,然后问题可解， 【详解】证明：如图，在BC上截取AC=CE,连接DE. ,∠ACB的平分线CD交AB边于点D, B ∴.∠ACD=∠DCE, 试卷第1页，共3页 在△ACD与△ECD中， AC=CE ∠ACD=∠DCE, CD=CD .△ACD≌ECD(SAS), ∴.AD=DE,∠A=∠CED, '∠A=2∠B,∠CED=∠B+∠EDC, .∠CED=2∠B, ∴.∠B=∠EDB, ∴.DE=BE, ∴.AD=EB, CD+BE=BC, .AC+AD=BC. 2.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别 是BC,CD上的点，且EF=BE+FD,试猜想图中∠BAD与∠EAF的数量关 系.小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG ,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应 是 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是 BC,CD上的点，且EF=BE+FD,试探究∠BAD与∠EAF的数量关系，并 说明理由； (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E 在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足 EF=BE+FD,请写出∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由. 试卷第1页，共3页 G D D D E 图1 图2 图3 【答案】(1)∠BAD=2∠EAF;(2)∠EAF= 1∠BAD, 理由见解析；(3) ∠EAF=180°-)∠DAB,理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用. (1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定△ABE≌△ADG, 进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF,可得出 ∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF,据此得出结论； (2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定△ABE≌△ADG, 进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF，,可得出 ∠GAF=LDAG+∠DMAF=∠BAE+∠DAP,即∠EAFA (3)在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,先判定 △ADG≌△ABE,再判定△AEF≌△AGF,得出∠FAE=∠FAG,最后根据 ∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论， 【详解】解：(1)∠BAD=2∠EAF;理由如下： 如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G A E 在△ABE和△ADG中， 试卷第1页，共3页 AB=AD ∠B=∠ADG=90°， BE=DG △ABE≌△ADG(SAS, ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG, EF=BE+DF,DG=BE, .EF=BE+DF=DG+DF=GF, AF=AF, △AEF≌△AGF(SSS, ·∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF. ∴.∠BAE+∠FAD=∠EAF, ∴.∠BAD=2∠EAF, 故答案为：∠BAD=2∠EAF; (2)∠EAF=∠BAD:理由如下： 如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G D :∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°， E ∴.∠B=∠ADG, 又.AB=AD, △ABE≌△ADG(SAS, ∠BAE=∠DAG,AE=AG, .EF=BE FD=DG+FD=GF,AF=AF, △AEF≌△AGF(SSS, .∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF; 试卷第1页，共3页 即∠EAF=5∠BAD; (3》∠EAF=180°-∠DAB:理由如下： 如图，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, G B :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， E .∠ADC=∠ABE, 又.AB=AD, ∴△ADG≌△ABE(SAS, .AG=AE,∠DAG=∠BAE, .EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, △AEF≌△AGF(SSS), .∠FAE=∠FAG, :∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， .2∠FAE+∠GAB+∠BAE)=360°， ∴.2∠FAE+∠GAB+∠DAG=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， ∠EAF=180°-∠DAB 3.(1)如图1，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,分 别从点B,C向直线I作垂线，垂足分别为D,E.求证：△ABD≌△CAE; (2)如图2，在ABC中，AB=AC,直线I经过点A,点D,E分别在直线I 上，如果∠CEA=∠ADB=∠BAC,猜想DE,BD,CE有何数量关系，并给 予证明； 试卷第1页，共3页 (3)如图3，∠ACB=90°，CA=CB,点B的坐标为(1,3)，点C的坐标为 (-1,0),直接写出点A的坐标· B B D A 图1 图2 图3 【答案】(1)证明见解析. (2)BD+CE=DE,证明见解析. (3)(-4,2) 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角 是解题关键。 (1)利用同角的余角相等得出∠ABD=∠CAE,再利用角角边证明全等即可. (2)利用∠CEA+∠ECA+∠CAE=180°和∠CAE+∠CAB+∠BAD=180° 可得∠ECA=∠BAD,证明CEA≌ADB,得到CE=AD,BD=AE,等量代 换即可. (3)过点A和点B向x轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边 长相等求坐标即可. 【详解】解：(1)∠BAC=90°， .∠BAD+∠CAE=90°， BD⊥AD, .∠DBA+∠BAD=90°， .L CAE =L DBA, CE⊥AE, ∴.∠CEA=90°， 试卷第1页，共3页 :∠DBA=∠EAC,∠BDA=∠AEC,AB=CA, △ABD2ACAE. (2):∠EAC+∠CEA+∠ACE=180°， ∴.∠ECA=180°-∠CAE-∠CEA, :∠CAB+∠CAE+∠BAD=180°， ∴.∠BAD=180°-∠CAB-∠CAE, :∠AEC=∠CAB, ∴.∠ECA=∠BAD, :∠CEA=∠DAB,∠ACE=∠BAD,AC=AB, ∴ACEA≌AADB, :CE=AD,BD=AE, ED EA+AD, ∴.DE=BD+CE. (3)过点A作AD⊥x轴点D,过点B作BE⊥x轴于点E, -2C 2 -2 由(1)可得：∠DAC=∠ECB, :∠ADC=∠CEB,∠DAC=∠ECB,AC=BC, ∴.△ADC≌△CEB, .AD=CE,DC=EB, :B(1,3),C(-1,0), ∴.BE=3,OE=1,OC=1, .AD=2,0D=4, 试卷第1页，共3页 .A(-4,2). 题型7.全等三角形综合问题 1.如图，在ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD和 CE交于O,AO的延长线交BC于F,则图中全等的直角三角形有() E A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC,根据全等三角形的判定 证明相关三角形全等进而可得答案 【详解】解：：BD⊥AC,CE⊥AB, .∠ADB=∠AEC=90°， AC=AB, .∠ACB=∠ABC, ①在△AEC和△ADB中 ∠CAE=∠BAD ∠AEC=∠ADB=90° AC=AB :△AEC≌△ADB(AAS CE=BD,AE=AD,∠ACE=∠ABD AB=AC ∴.∠CBE=∠BCD, ②在ABCE和△CBD中 试卷第1页，共3页 ∠CBE=∠BCD ∠CEB=∠BDC=90° BC=BC ∴.△BCE≌ACBD(AAS .BE=CD, ③在Rt△AOD和Rt△AOE中 A0=A0 AD=AE :.Rt&AOD≌RtAAOE(HL :.OD=OE,∠DAO=∠EAO ④在△COD和△BOE中 ∠COD=∠BOE ∠CDO=∠BEO=90° OD=OE .△COD≌△BOE(AAS ⑤在CAF和△BAF中 AC=AB ∠CAF=∠BAF AF=AF .△CAF≌△BAF(AAS) ∴.∠CFA=∠BFA=90°， ⑥在Rt△COF和Rt△BOF中 CO=BO OF=OF .RtACOF≌Rt△BOF(HL .共有6对全等的直角三角形. 试卷第1页，共3页 2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补，点E、F 分别在射线CB、DC上，且∠EF=B4D.当8C=5,DC=8,CF=2时， △CEF的周长等于 【答案】17 【分析】在DF上截取DG=BE,先证△ADG≌△ABE,再证△AFG≌△AEF ,可得EF=FG,再由△CEF的周长 EF+CF+CE=FG+BE+BC+CF=DF+BC+CF即可解答. 【详解】解：在DF上取点G,使DG=BE, D:∠ABE+∠ABC=180°，∠ABC+∠ADC=180°， G .∠D=∠ABE, 在△ADG与△ABE中， AB=AD ∠ABE=∠D, BE=DG :.△ABE≌△ADG(SAS), .AG=AE,∠EAB=∠DAG, .∠EAB+∠GAB=∠DAG+∠GAB,即∠EAG=∠BAD, :∠EAF=∠BAD, 试卷第1页，共3页 1 ∠EAF=∠EAG, 2 .∠FAE=∠GAF, 在△AFG与△AFE中， 「AG=AE ∠FAG=∠EAF, AF=AF :△AFG≌△AFE SAS), :EF=FG. ∴.EF+BE=FG+DG=CD+CF :.△CEF的周长等于 EF+CF+CE=EF+BE+BC+CF=CD+CF+BC+CF, BC=5,DC=8,CF=2, .△CEF的周长等于8+2+5+2=17. 3.已知∠ACB中，AC=BC,过点A作直线I∥CB,点F为直线I上任意一 点 F B C 图1 图2 图3 (I)点E为线段AC上的任意一点，点F位于A点的右边，连接CF交BE于点 H·如图1，若∠ACB=90°，BE=CF,试探究BE与CF的位置关系，并证 明你的结论； (2)若∠ACB=90°，连接FC,过点C作CD⊥CF，,并使CD=CF,连接DB 交射线AC于点G,过点D作DM⊥AC于点M,若AC=m,AG=n, 试卷第1页，共3页 ①如图2，点F在A点右边，求线段AF的长度；（用m，n表示) ②若点F在A点左边，在图3中画出图形并直接写出线段AF的长度.（用m, n表示) 【答案】(1)BE⊥CF,证明见解析 (2)①AF=2m-2n;②图见解析，AF=2n-2m. 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，作出合适的辅助线 构建全等三角形是解题的关键 (I)先证明Rt△ACF≌Rt△CBEHL),得出∠CBE=∠ACF,再得出 ∠CBE+∠FCB=90°，即可得出结论； (2)①当点F在A点右边，先证明△DMC≌△CAF(AAS),得到DM=AC, AF=MC,进而得到DM=CB,然后可证△DMG≌△BCG(AAS),得到 MG=CG=m-n,即可得到结论；②先画出图像，点F在A点左边，先证明 △DMC2△CAF(AAS),得到DM=AC,AF=MC,进而得到DM=CB, 然后可证△DMG≌△BCG(AAS),得到MG=CG=n-m,即可得到结论. 【详解】(1)解：BE⊥CF,证明： :∠ACB=90°，l1∥CB, ∠CAF=90°， 在Rt△ACF和Rt△CBE中， CF=BE AC=BC' :.RtAACF≌RtaCBE(HL), .∠CBE=∠ACF, 又：∠ACF+∠FCB=90°， .∠CBE+∠FCB=90°， 试卷第1页，共3页 .∠CHB=180°-∠CBE+∠FCB)=90°， .BE⊥CF; (2)①∠ACB=90°，1∥CB, ∠CAF=90°， :CD⊥CF,DM⊥AC, ∴.∠DMC=∠DCF=90°， .∠DCA+∠ACF=90°， :∠ACB=90° ∴.∠FCB+∠ACF=90°， .∠FCB=∠DCM, l∥CB, .∠FCB=∠AFC, .∠DCM=∠AFC, 在△DCM和CAF中， [∠DMC=∠CAF=90° ∠DCM=∠AFC DC=CF .△DMC≌△CAF(AAS), .DM=AC,AF=MC, AC=CB, ∴DM=CB, 在△DMG和△BCG中， ∠DGM=∠CGB ∠DMG=∠GCB=90°， DM=CB :.△DMG≌△BCG(AAS), 试卷第1页，共3页 ∴.MG=CG, AC=m,AG=n, .MG=CG=AC-AG=m-n, .AF MC=2CG=2(m-n=2m-2n ②如图为所求作， C -B G M .∠ACB=90°，I∥CB, ∴.∠CAF=90°， :CD⊥CF,DM⊥AC, :.∠DMC=∠DCF=90°， .∠DCM+∠ACF=90°，∠DCM+∠CDM=90°， .∠ACF=∠CDM, 在△DCM和△ACF中， ∠DMC=∠CAF=90° ∠CDM=∠ACF DC=CF .△DMC≌ACAF(AAS), .DM=AC,AF=MC, AC=CB, .DM=CB, 在△DMG和△BCG中， 试卷第1页，共3页 ∠DGM=∠CGB ∠DMG=∠GCB=90°， DM=CB ∴△DMG≌△BCG(AAS), .MG=CG, .AC=m,AG=n, .MG=CG=AG-AC=n-m, :AF MC =2CG=2(n-m)=2n-2m. 分层精练 一、单选题 1.己知在ABC和△A'B'C'中，AB=AB,∠B=∠B',补充下面一个条件， 不能说明△ABC≌△A'B'C'的是() A.BC=B'C'B.AC=A'C'C.∠C=∠C'D.∠A=∠A 【答案】B 【分析】已知AB=AB',∠B=∠B,根据全等三角形的判定规则逐一判断选 项，SSA不能判定三角形全等. 【详解】解：：已知在ABC和△A'B'C中，AB=AB,∠B=∠B; 若添加BC=B'C',可根据SAS判定△ABC≌△A'B'C',故A不符合要求； 若添加AC=AC',SSA不能判定△ABC≌△AB'C',故B符合要求； 若添加∠C=∠C',可根据AAS判定△ABC≌△A'B'C',故C不符合要求： 若添加∠A=∠A,可根据ASA判定△ABC≌△A'B'C',故D不符合要求， 2.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在ABC中， 试卷第1页，共3页 AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流， 得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使DE=AD,连接CE.请根据小 明的方法进行思考，求得AD的取值范围是() E A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长AD至 点E,使DE=AD,连接CE,根据SAS证明△ABD≌△ECD,即可得到 AB=CE=8,然后根据三角形的三边关系解答即可. 【详解】解：延长AD至点E,使DE=AD,连接CE, :点D是BC的中点， .BD=DC, 又：∠ADB=∠EDC, .△ABD≌AECD, .AB=CE=8, .CE-AC<AE<AC+CE, 即2<AE<14,故1<AD<7, 故选：C 3.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜边 BC上两点，且∠DAE=45°，若BD=3,CE=4,SMDE=15,则△ABD与 试卷第1页，共3页 △AEC的面积之和为() B D E A.36 B.21 C.30 D.22 【答案】B 【分析】将ADE关于AE对称得到△AFE,从而可得△AFE的面积为15，再 根据对称的性质可得AF=AD,∠EAF=45°，然后根据三角形全等的判定定理 证出△ACF兰△ABD,从而可得 CF=BD=3,LACF=∠ABD=45,SACF=SABD,最后根据△ABD与 △AEC的面积之和等于△AFE与△CEF的面积之和即可得. 【详解】解：如图，将ADE关于AE对称得到△AFE, D E 则AF=AD,LEAF=45°，S。AFE=SADE=15, .∠CAF+∠CAD=∠DAE+∠EAF=45°+45°=90°， .∠BAD+∠CAD=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°， .∠CAF=∠BAD, AC=AB 在△ACF和△ABD中， ∠CAF=∠BAD, AF=AD 试卷第1页，共3页 .△ACF≌△ABD(SAS), .CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45,S。ACF=S。MBD, .∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，即△CEF是直角三角形， Sc=)CE-CF=x4×3=6, S.ABD+S.EC =S.4CF+S.EC=S.AFE+S.CEF =15+6=21, 即△ABD与△AEC的面积之和为21， 故选：B 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通 过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键 4.如图，∠ACB=90°，AC=BC,AE⊥CE于点E,BD⊥CD于点D, AE=5cm,BD=2cm,则DE的长是() B A.8cm B.4cm C.3cm D.2cm 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD, ∠CAE=∠BCD,然后证△AEC兰△CDB后求解. 【详解】解：，∠ACB=90°，AC=BC,AE⊥CE于E,BD⊥CE于D, .∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD, .∠CAE=∠BCD, 又：∠AEC=∠CDB=90°，AC=BC, .△AEC兰△CDB. 试卷第1页，共3页 .CE=BD=2,CD=AE=5, .ED CD -CE =5-2=3(cm). 故选：C 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和 性质求解，发现并利用∠CAE+∠ACD=∠ACD+∠BCD,∠CAE=∠BCD,是 解题的关键 5.如图，已知AF=DC,BC∥EF,且点A,F,C,D在同一直线上，补充 下列条件后，仍不能一定使△ABC≌△DEF的是() A.AB=DE B.BC=EF C.∠B=∠E D.AB∥DE 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可. 【详解】解：：AF=DC, ∴.AC=DF, :BC∥EF, ∴.∠EFD=∠BCA, A当AB=DE时，为SSA,没有此判定定理，故符合题意； B.当BC=EF时，可通过SAS证明全等，故不符合题意； C.当∠B=∠E时，可通过AAS证明全等，故不符合题意； D.当AB∥DE时，∠A=∠D,可通过ASA证明全等，故不符合题意. 试卷第1页，共3页 二、填空题 6.在ABC中，AB=2,AC=4,则BC边上的中线AD的取值范围是 【答案】1<AD<3 【分析】本题考查三角形的中线定义，全等三角形的判定与性质及三角形三边关 系；正确添加辅助线，构造全等三角形是解题关键.延长AD到E,使 AD=DE,连接BE,利用SAS证明ADC≌EDB,得到AC=BE,在 △ABE中利用三角形三边关系求出AE的范围，进而得到AD的取值范围. 【详解】解：如图，延长AD到E,使DE=AD,连接BE, D C.AD是BC边上的中线 方 .BD=DC AD=DE 在△ADC和△EDB中， ∠ADC=∠EDB, DC=BD :.△ADC≌△EDB(SAS), :.AC=BE=4, 在△ABE中，BE-AB<AE<AB+BE,即2-4<AE<2+4, .2<AE<6 AE=AD+DE=2AD, .2<2AD<6, 1<AD<3. 故答案为：1<AD<3 试卷第1页，共3页 7.如图，在ABC中，以AB,AC为腰作等腰直角三角形ABE和等腰直角三 角形ACF,连接EF,AD为BC边上的高线，延长DA交EF于点N,下列结 论：①∠EAN=∠ABC;②△EAN≌△BAD;③S。AEF=SABC;④EN=FN, 其中正确的有 (写上序号) B D 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应 用，先作EH⊥AN,交AN于点H,FK⊥AN,交AN延长线于点K,构造 三对全等三角形：△AEH≌ABAD,△AFK≌△ACD,△FKN≌△EHN,根据 全等三角形的面积相等，即可得出S。ABD=SEAH，SFK4=S4Dc, S,EH=SFwK,根据 S.ABC =S.4BD+S.4DC =S.4EH +S.AFK =(S.EAN -S.ENH)+S.FNA+S.FNK)=S.EAN+S.FNA=S.4E ,即可得出结论③；最后根据△FKN≌△EHN,得出FN=EN即可. 【详解】解：∠BAE=90°，AD⊥BD, .∠EAN+∠BAD=90°=∠ABC+∠BAD, .∠EAN=∠ABC,故①正确： :∠AEN与∠BAD不一定相等， ,△AEN与△BAD不一定全等，故②错误； 作EH⊥AN,交AN于点H,FK⊥AN,交AN延长线于点K, 试卷第1页，共3页 F D ∴.∠AEH+∠EAH=90°， :∠EAB=90°， .∠EAH+∠BAD=90°， .∠AEH=∠BAD, 在△AEH和△BAD中， ∠AHE=∠ADB ∠AEH=∠BAD, AE=AB .△AEH≌△BAD(AAS, :EH=AD,S.ABD =S.EAH 同理可得：△AFK≌△CAD, :FK AD,S.FKA S.ADC, .FK =EH 在△FKN和△EHN中， ∠FKN=∠EHN ∠FNK=∠ENH, FK=EH :△FKN≌△EHN(AAS), ·SENH=S,Fx, S.ARC S.ABD+S.ADC =S。AEH+S.AFK 试卷第1页，共3页 =(S.EAN -S.ENH)+(S.FNA+S.FNK) =S.EAN +SFNA =SAEF’ 即SAABC=S△HEF,】 故③正确； ,△FKN≌△EHN, ·.FN=EN,故④正确 故答案为：①③④. 三、解答题 8.如图，已知ABC,过点C作CD∥AB,CD=AB，,点E、F在AC边上， 连接BE、DF,请你添加一个条件，使得△ABE≌△CDF,并写出证明过程.你 添加的条件是： B 【答案】AE=CF,见解析（答案不唯一） 【分析】理解题意，结合AB∥CD得∠BAE=∠DCF,再根据CD=AB以及 全等三角形的判定方法进行添加条件，即可作答。 【详解】解：添加的条件是AE=CF,证明过程如下： :AB∥CD, ∴.∠BAE=∠DCF, 在△ABE与CDF中， 试卷第1页，共3页 AE=CF ∠BAE=∠DCF, AB=CD ∴△ABE≌△CDF(SAS. 或当添加的条件是∠ABE=∠CDF,证明过程如下： :AB∥CD, .∠BAE=∠DCF, 在△ABE与CDF中， ∠ABE=∠CDF AB=CD ∠BAE=∠DCF ∴.△ABE≌△CDF(ASA. 或当添加的条件是∠AEB=∠CFD,证明过程如下： :AB∥CD, .∠BAE=∠DCF, 在△ABE与CDF中， 「∠AEB=∠CFD ∠BAE=∠DCF, AB=CD ∴.△ABE≌△CDF(AAS 9.阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：如图1，在ABC中，AD平分∠BAC, ∠B=2∠C.求证：AB+BD=AC”. 李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD=AC就是要证线段的和差问题，李 试卷第1页，共3页 老师采用了截长法'，如图2，在AC上截取AE=AB,连接DE,只要证BD= 即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出 ≌△ ,得出∠B=∠AED及BD= ,再证出 ,进而得出ED=EC,则结论成立. A B B D D (图1) (图2) 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC,BD=DC, ∠BAC=70°，∠BDC=110°，以A为顶点作一个35°角，角的两边分别交边 CD,DB延长线于点E、F,连接EF,则BE,EF,FC之间存在什么样的关 系？并说明理由 E B D 【答案】CE;ABD;AED;DE;EDC;C;变式应用：BE+EF=FC.理 由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线.按照题 干的要求填空即可；变式应用：在CF上截取CG=BE,连接AG,求得 ∠ABD=∠ACD=90°，证明△ABE≌△ACG(SAS),得到∠EAB=∠GAC, AE=AG,得到∠FAG=∠FAE,证明△FAG≌△FAE(SAS,得到 试卷第1页，共3页 EF=FG，据此求解即可. 【详解】解：如图2，在AC上截取AE=AB,连接DE, D (图2) 只要证BD=CE即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只 要证出△ABD≌△AED,得出∠B=∠AED及BD=DE,再证出∠EDC=∠C ,进而得出ED=EC,则结论成立. 故答案为：CE;ABD;AED;DE;EDC;C; 变式应用：BE+EF=FC,理由如下： 在CF上截取CG=BE,连接AG, A E B G D :AB=AC,∠BAC=70°， ∠4Bc=∠4cB=2180-709=5°， 1 :BD=DC,∠BDC=110°， :∠DBC=∠DCB=180°-110)=35， 2 .∠ABD=∠ACD=90°， 试卷第1页，共3页 .∠ABE=90°， .△ABE≌△4CG(SAS, .∠EAB=∠GAC,AE=AG, :∠EAB+∠BAF=35°=∠GAC+∠BAF, :.∠FAG=∠BAC-（∠GAC+∠BAF)=35°， :.∠FAG=∠FAE, :.△FAG≌AFAESAS, .EF=FG, .GF+GC=CF, .BE +EF=FC. 10.(1)如图1，C、A、E在一条直线上，∠BAD=90°，AB=AD,BC⊥CA于 点C,DE⊥AE于点E.求证：BC=AE. (2)如图2，EA⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,计算图中实线所 围成的图形ABCDE的面积. (3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC、DE, 且BC⊥AF于点F,DE与AF交于点G,若BC=21,AF=12,求△ADG的 面积. B B B P A 图1 图2 图3 【答案】(1)证明见解析；(2)50；(3)63 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记 三角形全等的判定定理是解题的关键， 试卷第1页，共3页 (1)证明△ABC≌△DAE(AAS),根据全等三角形的对应边相等得到BC=AE (2)根据全等三角形的性质得到AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4, CH=BG=3,根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； (3)过点D作DP⊥AG于P,过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q,推导 出DP=EQ,∠DPG=∠EQG=90°，即可证明△DPG≌△EOG(AAS),得 到PG=GQ，再根据全等三角形的性质推导出 BC=BF+FC=AP+AQ=2(AP+PG=21进而求出AG,根据三角形的面 积公式计算即可. 【详解】证明：(1)证明：：∠BAD=90° .∠BAC+∠DAE=90°， BC⊥AC,DE⊥AC, ∠ACB=∠DEA=90°， .∠BAC+∠ABC=90°， :∠ABC=∠DAE, 在ABC和△DAE中， ∠ABC=DAE ∠ACB=∠DEA, BA=AD .△ABC≌△DAE(AAS), .BC=AE (2)解：由(1)中模型可知，△AEP≌△BAG,△CBG≌△DCH, .AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CH=BG=3, 则 S实线围成的图形ABCDE= 4+6x3+6+4+3-x3x6-x3×6-7×3x4-×3x4=50 试卷第1页，共3页 (3)解：过点D作DP⊥AG于P,过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q, 由(1)中模型可知，△AFB≌△DPA,△AFC≌△EQA, :DP=AF,EQ=AF,BF=AP,FC=A0, .DP=EO=AF =12, :DP⊥AG,EQ⊥AG, B 图3 .∠DPG=∠EQG=90°， ∠DGP=∠EGQ :.△DPG≌△EOG(AAS, .DG=GE,PG=GO, BF=AP,FC=AO, .BC=BF+FC=AP+A, BC=21, .AP+AQ=21, .AP+AP+PG+GO=21, .AP+AP+PG+PG=21, .AP+PG=10.5, .AG=10.5, .nc=4G-Dp-7×105x12=63. 1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 专题05利用三角形全等测距离 专项训练 题型梳理归纳 题型1.添加条件使三角形全等 题型2.连接两点构造全等三角形 题型3.倍长中线模型 题型4.旋转模型 题型5.垂线模型 题型6.其他模型 题型7.全等三角形综合问题 题型8.分层精练10道题 核心题型精讲 题型1.添加条件使三角形全等 1．如图，已知和的顶点、、、在同一直线上，已知，，下列哪个条件不能判定≌（     ） A． B． C． D． 2．如图，在和中，，，请添加一个条件___________，使． 3．数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件： (1)请补全三位同学展示的答案； 甲补充条件，全等的判定依据是 ； 乙补充条件，全等的判定依据是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是； (2)AF与DC什么数量关系，写出完整证明过程 题型2.连接两点构造全等三角形 1．如图，在中，，，则上中线的取值范围为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是___________（用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是___________（直接填空）． 3．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连结，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．SSS                B．SAS                C．AAS                D．ASA (2)根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长至点，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　． 题型3.倍长中线模型 1．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 3．如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 题型4.旋转模型 1．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 2．已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 3．数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 题型5.垂线模型 1．如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 2．如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 3．定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． （1）如图1，是的平分线，请你在图1中画出一对以所在直线为对称轴的全等三角形． （2）请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题： ①如图2，在中，，，、分别是、的平分线，、相交于点．猜想和之间的数量关系，直接写出结论． ②如图3，在中，如果，而①中的其它条件不变，请问①中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 题型6.其他模型 1．如图，在中，，平分交于点D．求证：． 2．（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________； （2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 3．（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 题型7.全等三角形综合问题 1．如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 2．如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 3．已知中，，过点作直线，点为直线上任意一点． (1)点为线段上的任意一点，点位于点的右边，连接交于点．如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，连接，过点作，并使，连接交射线于点，过点作于点，若，， ①如图2，点在点右边，求线段的长度；（用，表示） ②若点在点左边，在图3中画出图形并直接写出线段的长度．（用，表示） 分层精练 一、单选题 1．已知在和中，，，补充下面一个条件，不能说明的是（    ） A． B． C． D． 2．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 4．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 5．如图，已知，，且点A，F，C，D在同一直线上，补充下列条件后，仍不能一定使的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在中，，，则边上的中线的取值范围是_________． 7．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________（写上序号） 三、解答题 8．如图，已知，过点作，点、在边上，连接、，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程．你添加的条件是：_______． 9．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 10．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $